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答题模板02：三角函数的图像与性质
题型01 五点法求三角函数解析式或参数
若的图象如图所示，则 ．
四步 内容
理解 题意 本题给出正弦型函数（）的图像，要求确定其解析式.需通过图像的振幅（最高点、最低点）、周期（相邻特殊点的水平距离）、特殊点（与坐标轴的交点）来分别求解参数、、.
思路 探求 求解正弦型函数解析式的核心是“三步法”： 求振幅：由图像的最大值和最小值，即； 求周期与角频率：通过图像中相邻的“最高点-最高点”“最低点-最低点”或“零点-零点”的水平距离确定周期，再由计算； 求初相：代入图像上的特殊点（如时的点、零点），结合的范围确定.
书写 表达 由图象知， 所以， 因为，故．所以， 因为的图象过，所以， 所以，得， 由图可知，，得 所以． 所以．
题后 反思 易错点1：求周期时，易误判“相邻特殊点的水平距离”.例如本题中，需明确到下一个零点的距离才是半个周期，需结合图像趋势准确判断. 易错点2：求时，易忽略的范围限制，导致多解时选错.需代入后结合三角函数的单调性或特殊角的三角函数值严格筛选.
本题核心考查正弦型函数的图像与性质，具体考点包括：
振幅的几何意义（最大值与最小值的关系）；
周期与角频率的关系（）；
初相的求解方法（代入特殊点结合范围限制）.
（25-26高一上·全国·单元测试）如图是函数的部分图象，则该函数的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
（2025高三·全国·专题练习）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式是（ ）．
A． B．
C． D．
（24-25高一下·四川攀枝花·期末）如图是函数的部分图象，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型02 利用图像的平移求函数的解析式或参数
将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位，得到偶函数的图象，则的最小值是 .
四步 内容
理解 题意 本题考查三角函数的图像变换（伸缩、平移）与偶函数性质的综合应用.已知函数，先将其图象横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，得到偶函数，需求的最小值.
思路 探求 解决此类问题需遵循“变换步骤→函数解析式→偶函数条件→求解参数”的逻辑： 图像变换：先进行横坐标伸缩变换（周期变换），再进行向左平移变换（相位变换），得到的解析式； 偶函数性质：利用“偶函数关于轴对称，即”，结合正弦函数与余弦函数的奇偶性，推导相位需满足的条件； 求解：解三角方程，结合的限制，求出其最小值.
书写 表达 步骤1：横坐标伸缩变换 对于函数，将图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）. 根据“横坐标伸缩规则：若，横坐标缩短为原来的倍（），则变为”，可得变换后的函数为： 步骤2：向左平移个单位 将上述函数图象向左平移个单位，根据“左加右减”规则（对直接加减），可得变换后的函数为： 步骤3：利用偶函数性质求解 因为是偶函数，即. 对于正弦函数，若要成为偶函数，需转化为余弦函数形式（是偶函数），即要求. 令，则需满足： 解此方程： 步骤4：求的最小值 因为，令时，取得最小正值：
题后 反思 易错点1：伸缩变换的系数混淆.横坐标变为原来的倍，是对的缩放，因此原函数中的系数需乘以（而非除以），易因逻辑颠倒导致错误. 易错点2：平移变换的“左加右减”对象混淆.平移是对本身进行加减，而非对括号内的整体，例如“向左平移个单位”应写为，而非，需严格遵循变换规则. 易错点3：偶函数条件的转化不准确.正弦函数需转化为余弦函数才能满足偶函数性质，因此相位需满足（），易因忽略的多解性或范围限制导致结果错误.
本题核心考查三角函数的图像变换与奇偶性，具体考点包括：
图像变换：横坐标的伸缩变换（周期变换，的变化规则）、平移变换（相位变换，“左加右减”的应用）；
偶函数性质：利用“”结合正弦函数与余弦函数的奇偶性，推导相位需满足的条件；
三角方程求解：结合参数范围（）求最小值，涉及对整数的取值分析.
（2025·陕西西安·三模）若函数的图象向右平移个单位可得到函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．
（25-26高三上·河北·阶段练习）已知函数的一个零点是，为了得到的图象，需要将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
（2025·陕西商洛·模拟预测）将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
题型03 图像法求三角函数的最值或值域
函数，的值域是 ．
四步 内容
理解 题意 本题考查三角函数的恒等变换与值域求解，已知函数，定义域为，要求确定其值域.
思路 探求 解决此类问题的核心逻辑是“化简函数→分析定义域→利用三角函数单调性求值域”： 化简函数：利用正弦差角公式展开，再合并同类项，将函数整理为单一余弦函数的形式； 分析定义域：根据的范围，确定化简后函数中相位的取值范围； 求值域：利用余弦函数的单调性，结合相位范围，求出函数的取值范围.
书写 表达 步骤1：化简函数解析式 利用正弦差角公式，展开： 将其代入原函数： 为将其整理为单一三角函数形式，提取系数，得： 结合余弦和角公式（令，），进一步化简为： 步骤2：分析相位的取值范围 已知，则相位. 步骤3：利用余弦函数单调性求值域 余弦函数在上单调递减： 当时，； 当时，； 因此，. 将其乘以，得函数的值域：
题后 反思 易错点1：三角恒等变换公式混淆。在展开时，易误将正弦差角公式记成“”，导致化简错误，需牢记公式的符号规则. 易错点2：定义域分析遗漏。在确定相位的范围时，易忽略的开区间，误将端点包含在内，从而导致值域的端点判断错误，需严格结合定义域的开闭性分析.
本题核心考查三角恒等变换与三角函数值域，具体考点包括：
三角恒等变换：正弦差角公式、余弦和角公式的应用；
三角函数值域：利用余弦函数的单调性，结合定义域内的相位范围，求解函数的值域.
（24-25高一下·河北承德·期中）已知函数的图象关于点对称，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
（24-25高一下·山东·阶段练习）函数，取得最大值时，（ ）
A． B． C． D．
（24-25高二下·云南·开学考试）函数在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
题型04 换元法求三角函数的最值或值域
函数的值域为
四步 内容
理解 题意 本题考查三角函数与二次函数的综合应用，要求函数（）的值域，需通过换元法将其转化为二次函数求解.
思路 探求 通过换元法将三角函数转化为二次函数：设，利用三角恒等式将用表示，从而将原函数转化为关于的二次函数；再结合的取值范围，利用二次函数的单调性与最值求解值域.
书写 表达 步骤1：换元并确定的范围 设，由辅助角公式可得： 因此，. 对两边平方，得： 整理得. 步骤2：将原函数转化为关于的二次函数 将代入原函数，得： 步骤3：求二次函数在上的值域 二次函数的对称轴为，且开口向上. 当时，取得最小值： 当时，取得最大值：
题后 反思 易错点1：换元后忽略的取值范围（），直接按全体实数求解二次函数值域，导致结果错误. 易错点2：求二次函数最值时，误将对称轴排除在区间外，实际上，需准确判断对称轴与区间的位置关系.
本题核心考查三角函数与二次函数的综合应用，具体考点包括：
三角恒等变换：辅助角公式（将化为）、平方关系（推导与的关系）；
换元法：将三角函数问题转化为二次函数问题，体现“化归与转化”的数学思想；
二次函数值域：结合开口方向、对称轴与区间的位置关系，求解闭区间上的最值.
（24-25高二下·浙江·月考）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
（24-25高一下·广西桂林·月考）函数在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
（24-25高一下·江苏徐州·期中）已知函数，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
题型05 整体带入法求三角函数的单调区间，对称轴，对称中心
已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．为偶函数
C．在上单调递增 D．的图象关于直线对称
四步 内容
理解 题意 本题考查三角函数的恒等变换与性质，需先将函数化简为正弦型函数，再逐一分析选项（最小正周期、奇偶性、单调性、对称性）.
思路 探求 通过三角恒等变换将函数化简为，再利用整体代换法（令），结合正弦函数的性质（周期、奇偶性、单调性、对称轴），逐一分析选项.
书写 表达 步骤1：化简函数解析式 利用降幂公式、辅助角公式化简： 步骤2：分析选项（整体代换） 选项A：最小正周期 对于，周期.由，得，故函数的最小正周期，A正确. 选项B：为偶函数 计算： 令，则是偶函数（），故为偶函数，B正确. 选项C：在上单调递增 当时，. 正弦函数在上单调递增，在上单调递减，故在上并非单调递增，C错误. 选项D：图象关于直线对称 正弦函数的对称轴满足. 令，解得. 当时，，故的图象关于直线对称，D正确.
题后 反思 关键方法：整体代换法（将视为整体）是分析三角函数性质的核心技巧，可将复杂的“”转化为熟悉的“”，直接利用正弦函数的性质求解，降低思维难度. 易错点：分析单调性时，易忽略“整体的区间划分”，需准确判断在定义域内的取值范围，再结合正弦函数的单调区间逐一分析.
本题核心考查三角函数的恒等变换与性质，具体考点包括：
三角恒等变换：降幂公式（）、辅助角公式（）的应用；
三角函数性质：通过整体代换法分析周期（）、奇偶性（偶函数满足）、单调性（结合正弦函数单调区间）、对称性（正弦函数对称轴为）.
【多选题】（25-26高三上·四川内江·期中）已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．的最小正周期为 B．为偶函数
C．在上单调递增 D．的图象关于直线对称
【多选题】（25-26高三上·江苏镇江·月考）已知函数，则（ ）
A．的值域为 B．的图象关于点对称
C．在区间单调递减 D．的图象平移变换后可得的图象
【多选题】（25-26高三上·河南南阳·期中）若函数，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小正周期
C．在上单调递增 D．函数为奇函数
题型06 代入验证法判断三角函数的单调区间，对称轴，对称中心
设函数，则下列叙述正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C．在上的最小值为 D．的图象关于点对称
四步 内容
理解 题意 本题考查正弦型函数的周期、对称轴、对称中心及区间最值，需通过代入验证法逐一分析选项.
思路 探求 代入验证法的核心是针对每个选项，将相关值代入函数，结合正弦函数的性质（周期公式、对称轴取最值、对称中心函数值为常数项、区间内极值与端点值比较）验证结论是否成立.
书写 表达 选项A：最小正周期 对于正弦型函数，周期公式为. 此处，故，A正确. 选项B：图象关于直线对称 对称轴的特征是函数在该直线处取得最值（或）. 代入： 既不是最大值也不是最小值，故B错误. 选项C：在上的最小值 先确定的范围：当时，. 端点值：，； 极值点：令，解得，代入得： 此为区间内最小值，C正确. 选项D：图象关于点对称 对称中心的特征是函数在该点的函数值为常数项（而非）. 代入： 故对称中心为，而非，D错误. 综上，正确选项为.
题后 反思 代入验证时需明确“对称轴→函数取最值”“对称中心→函数值为常数项”的核心特征，避免仅代入坐标而忽略函数值的验证； 求区间最值时，需同时关注区间内的极值点和区间端点，确保不遗漏最小值的可能取值.
本题核心考查正弦型函数的性质，具体考点包括：
周期：；
对称轴：函数在对称轴处取得最值，满足；
对称中心：函数在对称中心处的函数值为，满足；
区间最值：结合三角函数的单调性，分析区间内的极值点与端点值，比较得最值.
【多选题】（25-26高二上·湖南·期中）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．，
C．在上单调递减 D．是的图象的一条对称轴
【多选题】（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数在区间上单调
C．函数的最小正周期为
D．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象
【多选题】（25-26高二上·贵州遵义·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点对称
C．在区间上单调递减
D．在区间的值域为
题型07 由单调性求参数
已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
四步 内容
理解 题意 本题考查正弦型函数的单调性与参数范围，已知函数（）在区间上单调递增，要求确定的取值范围.
思路 探求 解决此类问题的核心是利用正弦函数的单调递增区间，通过整体代换法将视为整体，结合给定区间的“包含关系”，建立关于的不等式组，进而求解的范围.
书写 表达 步骤1：确定正弦函数的单调递增区间 对于函数，其单调递增区间为： 令，则需满足： 步骤2：结合给定区间分析（取） 因，若，区间会超出的范围，故取，此时不等式为： 整理为的取值范围： 步骤3：建立不等式组（保证） 需满足： 解第一个不等式： 解第二个不等式： 结合，得的取值范围为.
题后 反思 易错点1：忽略的取值。若错误选取，会导致区间范围超出的范围，需结合和区间长度，确定是唯一符合条件的取值. 易错点2：区间包含关系分析不全。需同时满足左端点和右端点的约束条件，避免只考虑单侧而遗漏范围，确保完全包含在单调递增区间内.
本题核心考查正弦型函数的单调性与参数范围，具体考点包括：
正弦函数的单调递增区间：；
整体代换法：将视为整体，结合给定区间的包含关系，建立关于的不等式组；
参数范围求解：通过解不等式组，结合的限制，确定最终取值范围.
（25-26高三上·河北保定·期中）若函数（），在 上单调递减，则a的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
（25-26高三上·吉林长春·月考）已知函数在上单调递增，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
（25-26高三上·北京·期中）已知函数在上递增，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型08 奇偶性求参数
已知函数，若为偶函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
四步 内容
理解 题意 本题考查三角函数的奇偶性与相位求解，已知函数（），且为偶函数，要求确定的值.
思路 探求 通过函数变换写出的解析式，再利用偶函数的性质（正弦函数需转化为余弦函数形式，即相位满足），结合的限制，求解.
书写 表达 步骤1：写出的解析式 将替换为，得： 步骤2：利用偶函数性质推导 因为是偶函数，而正弦函数需转化为余弦函数形式（是偶函数）才能满足奇偶性，即要求： 整理得： 步骤3：结合确定的值 因为，令，得： 此时，符合条件. 综上，的值为.
题后 反思 关键逻辑：偶函数的本质是“关于轴对称”，对于正弦型函数，需通过相位调整转化为余弦函数（或其相反数），因此相位需满足，这是推导的核心依据. 易错点：忽略的限制，若取非零整数，会导致超出范围，需严格结合条件筛选的取值.
本题核心考查三角函数的奇偶性与相位求解，具体考点包括：
函数变换：将转化为，体现“代入法”的应用；
偶函数性质：正弦函数转化为余弦函数的相位条件（）；
参数范围：结合筛选符合条件的值.
（25-26高二上·贵州遵义·期中）设函数.若为偶函数，则 ．
（24-25高二下·福建漳州·期末）已知函数，．若是偶函数，则的值为 ．
（2025·广东·一模）若是偶函数，则有序实数对可以是 .（写出你认为正确的一组数即可）.
题型09 对称性求参数
将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
四步 内容
理解 题意 本题考查三角函数的图像平移与对称轴性质，已知函数（）的图象向左平移后得到，且的图象关于直线对称，要求的最小值.
思路 探求 解决此类问题需遵循“图像平移→解析式推导→对称轴条件→求解参数”的逻辑： 图像平移：根据“左加右减”规则，将原函数向左平移个单位，得到的解析式； 对称轴条件：利用正弦函数“对称轴处相位为”的性质，代入建立关于的方程； 求解参数：结合的限制，求出的最小正值.
书写 表达 步骤1：图像平移得到的解析式 将函数的图象向左平移个单位，根据“左加右减”规则（对直接加减），得： 步骤2：利用对称轴性质建立方程 因为的图象关于直线对称，对于正弦函数，其对称轴满足. 将代入，得： 步骤3：求解的最小值 两边除以并化简： 通分计算： 因为，令时，取得最小正值： .
题后 反思 易错点1：图像平移的对象混淆。“左加右减”是对本身进行加减，而非对括号内的整体，例如“向左平移个单位”应写为，而非，需严格遵循变换规则. 易错点2：对称轴条件的转化不准确。正弦函数的对称轴处相位需满足（），易因忽略的多解性或范围限制导致结果错误.
本题核心考查三角函数的图像平移与对称轴性质，具体考点包括：
图像平移：“左加右减”规则的应用，将原函数向左平移个单位得到的解析式；
对称轴性质：正弦函数的对称轴满足，结合该性质建立关于的方程；
参数范围：结合的限制，求解的最小正值，涉及对整数的取值分析.
（25-26高三上·吉林长春·阶段练习）若函数，且对任意的满足，则实数 .
（24-25高一下·辽宁·期末）已知函数的图象关于直线对称，则的值为 .
（24-25高一下·河南南阳·期末）已知函数图象上相邻的两条对称轴之间的距离为，将图象上所有的点向右平移个单位长度后，所得函数的图象关于y轴对称，则 ，的最小正值为
题型10单调性奇偶性对称性求参数
已知（，）在上单调递增，且为图象的一条对称轴，是图象的一个对称中心，当时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
四步 内容
理解 题意 本题考查正弦型函数的单调性、对称轴、对称中心及区间最值，已知（）的单调区间、对称轴和对称中心，要求时的最小值.
思路 探求 通过对称轴与对称中心的距离推导周期，进而求；再结合对称轴和单调区间确定；最后分析时函数的取值范围，求最小值.
书写 表达 步骤1：推导周期与 对称轴与对称中心的距离为： 正弦函数中，对称轴到相邻对称中心的距离为，故（），即. 函数在上单调递增，区间长度为，单调递增区间长度不超过，故. 结合，得，，因此. 步骤2：求解 由对称轴，得（），即： 由对称中心，得（），即： 结合，验证得（当时，，且在上单调递增，符合条件）. 步骤3：求时的最小值 当时，. 正弦函数在上的最小值为，故的最小值为.
题后 反思 关键逻辑：利用“对称轴与对称中心的距离为的整数倍”推导周期，结合单调区间长度限制确定的最小值，是求解的核心；验证时需结合单调区间的单调性，避免因范围分析不全导致错误. 易错点：忽略“单调递增区间长度不超过半个周期”的限制，可能误判周期的取值，需严格结合函数单调性的性质分析.
本题核心考查正弦型函数的性质综合应用，具体考点包括：
周期与：通过对称轴与对称中心的距离推导周期，结合单调区间长度确定；
的求解：利用对称轴和对称中心的性质建立方程，结合单调区间验证；
区间最值：分析相位范围，结合正弦函数的单调性求区间内的最小值.
（23-24高一下·上海·期中）已知函数在内为严格减函数，是函数的一条对称轴，且函数为奇函数 ，则函数的表达式为 ．
（24-25高一下·安徽·阶段练习）已知函数满足，且对任意的，都有，则当取最小值时，下列结论正确的是 （把所有正确结论的序号都填上）
①；
②图象的对称轴方程为，
③在区间上的值域为；
④在区间上单调递减
（24-25高三下·福建厦门·阶段练习）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图象的两条对称轴，则 ．
.一、单选题
1．（25-26高三上·海南·月考）已知函数 的图象关于点中心对称，则（ ）
A． B． C．2 D．
2．（江苏省常州市2025-2026学年高三上学期11月期中质量调研数学试题）将函数的图象向左平移个单位长度，再将得到的曲线上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高三上·福建莆田·阶段练习）已知函数是奇函数，是图象的一条对称轴，且在区间上单调，则的可能取值有（ ）
A．1个 B．2个 C．6个 D．无数个
4．（25-26高三上·青海西宁·期中）已知函数图象的一条对称轴是直线，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26高三上·天津河北·期中）函数的最小正周期为.若，且函数的图象关于点中心对称，则（ ）
A． B． C． D．1
6．（25-26高三上·天津·期中）已知将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数图象关于对称
B．函数图象在内有3个极值点
C．函数在上单调递增
D．函数图象关于中心对称
7．（25-26高一上·云南楚雄·月考）函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．（25-26高三上·云南昆明·月考）函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ）
A．的周期为
B．该函数的解析式为
C．是图象的一个对称中心
D．的单调递增区间是
三、填空题
9．（22-23高三上·上海静安·阶段练习）已知函数的最小正周期满足，且的图象关于点对称，则 ．
10．（25-26高三上·北京西城·期中）已知函数（）在区间上单调递增，则写出符合题意的一个的值为 .
四、解答题
11．（广东省多校2025-2026学年高二上学期11月联考数学试卷）设函数.
(1)若为偶函数，求的值；
(2)若，求在上的最值.
12．（25-26高三上·河北·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式；
(2)将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域.
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答题模板02：三角函数的图像与性质
题型01 五点法求三角函数解析式或参数
若的图象如图所示，则 ．
四步 内容
理解 题意 本题给出正弦型函数（）的图像，要求确定其解析式.需通过图像的振幅（最高点、最低点）、周期（相邻特殊点的水平距离）、特殊点（与坐标轴的交点）来分别求解参数、、.
思路 探求 求解正弦型函数解析式的核心是“三步法”： 求振幅：由图像的最大值和最小值，即； 求周期与角频率：通过图像中相邻的“最高点-最高点”“最低点-最低点”或“零点-零点”的水平距离确定周期，再由计算； 求初相：代入图像上的特殊点（如时的点、零点），结合的范围确定.
书写 表达 由图象知， 所以， 因为，故．所以， 因为的图象过，所以， 所以，得， 由图可知，，得 所以． 所以．
题后 反思 易错点1：求周期时，易误判“相邻特殊点的水平距离”.例如本题中，需明确到下一个零点的距离才是半个周期，需结合图像趋势准确判断. 易错点2：求时，易忽略的范围限制，导致多解时选错.需代入后结合三角函数的单调性或特殊角的三角函数值严格筛选.
本题核心考查正弦型函数的图像与性质，具体考点包括：
振幅的几何意义（最大值与最小值的关系）；
周期与角频率的关系（）；
初相的求解方法（代入特殊点结合范围限制）.
（25-26高一上·全国·单元测试）如图是函数的部分图象，则该函数的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】已知的部分图象，确定的方法
（1）逐一定参法：如果从图象可直接确定和，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“”（要注意正确判断哪一点是“第一零点”）求得，或选取最大值点时代入公式，选取最小值点时代入公式求的值．
（2）五点法：将若干特殊点代入函数解析式，可以求得相关待定系数．这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五点中的哪一点，并能正确代入列式．
（3）图象变换法：运用逆向思维，先确定函数的基本解析式，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数．
【详解】方法一（逐一定参法）：由题图可得，，即，即，
观察各选项可知，本题考虑即可，则，把点代入中，
可得，故，，即，
所以．
方法二（五点法） ： 由题图知．因为图象过点和，所以，
解得所以．
方法三（图象变换法） ：由题图可得，即，即，
结合选项可知，本题考虑即可．由点在函数图象上，
可知函数图象由的图象向左平移个单位长度而得，所以．
故选：C.
（2025高三·全国·专题练习）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据最值确定，周期确定，将点代入求解的值，即可得解.
【详解】由图象知，且，则，所以，
又，则，又，所以，
所以．
故选：A
（24-25高一下·四川攀枝花·期末）如图是函数的部分图象，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先通过观察图像可得A和周期，根据周期公式可求出，再代入最低点坐标可得.
【详解】由图象知，，，；
所以，又因为函数图象过点，所以，
所以，所以，结合，得．
故选：D.
题型02 利用图像的平移求函数的解析式或参数
将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位，得到偶函数的图象，则的最小值是 .
四步 内容
理解 题意 本题考查三角函数的图像变换（伸缩、平移）与偶函数性质的综合应用.已知函数，先将其图象横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，得到偶函数，需求的最小值.
思路 探求 解决此类问题需遵循“变换步骤→函数解析式→偶函数条件→求解参数”的逻辑： 图像变换：先进行横坐标伸缩变换（周期变换），再进行向左平移变换（相位变换），得到的解析式； 偶函数性质：利用“偶函数关于轴对称，即”，结合正弦函数与余弦函数的奇偶性，推导相位需满足的条件； 求解：解三角方程，结合的限制，求出其最小值.
书写 表达 步骤1：横坐标伸缩变换 对于函数，将图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）. 根据“横坐标伸缩规则：若，横坐标缩短为原来的倍（），则变为”，可得变换后的函数为： 步骤2：向左平移个单位 将上述函数图象向左平移个单位，根据“左加右减”规则（对直接加减），可得变换后的函数为： 步骤3：利用偶函数性质求解 因为是偶函数，即. 对于正弦函数，若要成为偶函数，需转化为余弦函数形式（是偶函数），即要求. 令，则需满足： 解此方程： 步骤4：求的最小值 因为，令时，取得最小正值：
题后 反思 易错点1：伸缩变换的系数混淆.横坐标变为原来的倍，是对的缩放，因此原函数中的系数需乘以（而非除以），易因逻辑颠倒导致错误. 易错点2：平移变换的“左加右减”对象混淆.平移是对本身进行加减，而非对括号内的整体，例如“向左平移个单位”应写为，而非，需严格遵循变换规则. 易错点3：偶函数条件的转化不准确.正弦函数需转化为余弦函数才能满足偶函数性质，因此相位需满足（），易因忽略的多解性或范围限制导致结果错误.
本题核心考查三角函数的图像变换与奇偶性，具体考点包括：
图像变换：横坐标的伸缩变换（周期变换，的变化规则）、平移变换（相位变换，“左加右减”的应用）；
偶函数性质：利用“”结合正弦函数与余弦函数的奇偶性，推导相位需满足的条件；
三角方程求解：结合参数范围（）求最小值，涉及对整数的取值分析.
（2025·陕西西安·三模）若函数的图象向右平移个单位可得到函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平移得到，根据已知建立等式，根据解出的值.
【详解】由的图象向右平移个单位，可得函数的图象，
因，
依题意可得，
解得，
因，故.
故选：C.
（25-26高三上·河北·阶段练习）已知函数的一个零点是，为了得到的图象，需要将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】A
【分析】由零点求出，可将整理为，根据与关系确定平移方向和大小.
【详解】依题意，得，得，
所以，，，
需要将函数的图象向左平移个单位长度.
故选：A.
（2025·陕西商洛·模拟预测）将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由三角函数平移变换知识以及诱导公式可得答案.
【详解】由题，.
故选：D
题型03 图像法求三角函数的最值或值域
函数，的值域是 ．
四步 内容
理解 题意 本题考查三角函数的恒等变换与值域求解，已知函数，定义域为，要求确定其值域.
思路 探求 解决此类问题的核心逻辑是“化简函数→分析定义域→利用三角函数单调性求值域”： 化简函数：利用正弦差角公式展开，再合并同类项，将函数整理为单一余弦函数的形式； 分析定义域：根据的范围，确定化简后函数中相位的取值范围； 求值域：利用余弦函数的单调性，结合相位范围，求出函数的取值范围.
书写 表达 步骤1：化简函数解析式 利用正弦差角公式，展开： 将其代入原函数： 为将其整理为单一三角函数形式，提取系数，得： 结合余弦和角公式（令，），进一步化简为： 步骤2：分析相位的取值范围 已知，则相位. 步骤3：利用余弦函数单调性求值域 余弦函数在上单调递减： 当时，； 当时，； 因此，. 将其乘以，得函数的值域：
题后 反思 易错点1：三角恒等变换公式混淆。在展开时，易误将正弦差角公式记成“”，导致化简错误，需牢记公式的符号规则. 易错点2：定义域分析遗漏。在确定相位的范围时，易忽略的开区间，误将端点包含在内，从而导致值域的端点判断错误，需严格结合定义域的开闭性分析.
本题核心考查三角恒等变换与三角函数值域，具体考点包括：
三角恒等变换：正弦差角公式、余弦和角公式的应用；
三角函数值域：利用余弦函数的单调性，结合定义域内的相位范围，求解函数的值域.
（24-25高一下·河北承德·期中）已知函数的图象关于点对称，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】利用，可求，进而利用辅助角公式可得，可求最大值.
【详解】由题意，得，解得，
所以，
故当，即时，取得最大值．
故选：D．
（24-25高一下·山东·阶段练习）函数，取得最大值时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用辅助角公式化简函数得，且，根据取得最大值时,，得，利用诱导公式化简即可求解.
【详解】根据辅助角公式,其中，
可得,，
则，
所以，
当时，取得最大值，
此时,,移项可得，
由,,可得，
即，
根据诱导公式，可得，
故选：A.
（24-25高二下·云南·开学考试）函数在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用三角恒等变换化简得到，整体法得到，结合图象求出函数值域.
【详解】
，
当时，，故，
故的值域为.
故选：A
题型04 换元法求三角函数的最值或值域
函数的值域为
四步 内容
理解 题意 本题考查三角函数与二次函数的综合应用，要求函数（）的值域，需通过换元法将其转化为二次函数求解.
思路 探求 通过换元法将三角函数转化为二次函数：设，利用三角恒等式将用表示，从而将原函数转化为关于的二次函数；再结合的取值范围，利用二次函数的单调性与最值求解值域.
书写 表达 步骤1：换元并确定的范围 设，由辅助角公式可得： 因此，. 对两边平方，得： 整理得. 步骤2：将原函数转化为关于的二次函数 将代入原函数，得： 步骤3：求二次函数在上的值域 二次函数的对称轴为，且开口向上. 当时，取得最小值： 当时，取得最大值：
题后 反思 易错点1：换元后忽略的取值范围（），直接按全体实数求解二次函数值域，导致结果错误. 易错点2：求二次函数最值时，误将对称轴排除在区间外，实际上，需准确判断对称轴与区间的位置关系.
本题核心考查三角函数与二次函数的综合应用，具体考点包括：
三角恒等变换：辅助角公式（将化为）、平方关系（推导与的关系）；
换元法：将三角函数问题转化为二次函数问题，体现“化归与转化”的数学思想；
二次函数值域：结合开口方向、对称轴与区间的位置关系，求解闭区间上的最值.
（24-25高二下·浙江·月考）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由余弦二倍角公式整理函数，利用换元法，根据二次函数的性质，可得答案.
【详解】由，令，则，
由，则函数的值域为.
故选：C.
（24-25高一下·广西桂林·月考）函数在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，令，转化为二次函数求解.
【详解】，
令，由，得，变为．
该二次函数开口向下，对称轴，在递增，递减．
当时，时，，所以值域为.
故选：C.
（24-25高一下·江苏徐州·期中）已知函数，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用二倍角公式化简函数，再利用余弦函数及二次函数求出值域.
【详解】函数，而，
则当时，有；当时，有，
所以的值域为.
故选：C
题型05 整体带入法求三角函数的单调区间，对称轴，对称中心
已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．为偶函数
C．在上单调递增 D．的图象关于直线对称
四步 内容
理解 题意 本题考查三角函数的恒等变换与性质，需先将函数化简为正弦型函数，再逐一分析选项（最小正周期、奇偶性、单调性、对称性）.
思路 探求 通过三角恒等变换将函数化简为，再利用整体代换法（令），结合正弦函数的性质（周期、奇偶性、单调性、对称轴），逐一分析选项.
书写 表达 步骤1：化简函数解析式 利用降幂公式、辅助角公式化简： 步骤2：分析选项（整体代换） 选项A：最小正周期 对于，周期.由，得，故函数的最小正周期，A正确. 选项B：为偶函数 计算： 令，则是偶函数（），故为偶函数，B正确. 选项C：在上单调递增 当时，. 正弦函数在上单调递增，在上单调递减，故在上并非单调递增，C错误. 选项D：图象关于直线对称 正弦函数的对称轴满足. 令，解得. 当时，，故的图象关于直线对称，D正确.
题后 反思 关键方法：整体代换法（将视为整体）是分析三角函数性质的核心技巧，可将复杂的“”转化为熟悉的“”，直接利用正弦函数的性质求解，降低思维难度. 易错点：分析单调性时，易忽略“整体的区间划分”，需准确判断在定义域内的取值范围，再结合正弦函数的单调区间逐一分析.
本题核心考查三角函数的恒等变换与性质，具体考点包括：
三角恒等变换：降幂公式（）、辅助角公式（）的应用；
三角函数性质：通过整体代换法分析周期（）、奇偶性（偶函数满足）、单调性（结合正弦函数单调区间）、对称性（正弦函数对称轴为）.
【多选题】（25-26高三上·四川内江·期中）已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．的最小正周期为 B．为偶函数
C．在上单调递增 D．的图象关于直线对称
【答案】ABD
【分析】对A，根据条件，直接求出最小正周期，即可判断正误；对B，根据条件得，再由奇偶函数的定义，即可求解；对C，根据选项条件求得，再利用的性质，即可求解；对D，利用的性质，求出的对称轴，即可求解.
【详解】对于A，因为的最小正周期为，所以A正确，
对于B，因为，则，
令，又，所以为偶函数，故B正确，
对于C，当时，，由的性质知，在上不单调，所以C错误，
对于D，由，得到，令，得，
所以的图象关于直线对称，故D正确，
故选：ABD.
【多选题】（25-26高三上·江苏镇江·月考）已知函数，则（ ）
A．的值域为 B．的图象关于点对称
C．在区间单调递减 D．的图象平移变换后可得的图象
【答案】AC
【分析】根据三角函数的性质依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项，因为函数，
所以，即的值域为，故A选项正确；
对于B选项，令，解得，
即的图象关于点对称，故B选项错误；
对于C选项，当时，，
因为函数在上单调递减，
所以函数在区间单调递减，故C选项正确；
对于D选项，由函数图象到函数图象，需要经过平移变换与伸缩变换得到，故D选项错误.
故选：AC
【多选题】（25-26高三上·河南南阳·期中）若函数，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小正周期
C．在上单调递增 D．函数为奇函数
【答案】BC
【分析】根据的性质，逐一验证即可求解.
【详解】因为，所以，故A错误；
由的最小正周期，故B正确；
令，得，
取，得在上单调递增，，
所以在上单调递增，故C正确；
为非奇非偶函数，故D错误．
故选：BC．
题型06 代入验证法判断三角函数的单调区间，对称轴，对称中心
设函数，则下列叙述正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C．在上的最小值为 D．的图象关于点对称
四步 内容
理解 题意 本题考查正弦型函数的周期、对称轴、对称中心及区间最值，需通过代入验证法逐一分析选项.
思路 探求 代入验证法的核心是针对每个选项，将相关值代入函数，结合正弦函数的性质（周期公式、对称轴取最值、对称中心函数值为常数项、区间内极值与端点值比较）验证结论是否成立.
书写 表达 选项A：最小正周期 对于正弦型函数，周期公式为. 此处，故，A正确. 选项B：图象关于直线对称 对称轴的特征是函数在该直线处取得最值（或）. 代入： 既不是最大值也不是最小值，故B错误. 选项C：在上的最小值 先确定的范围：当时，. 端点值：，； 极值点：令，解得，代入得： 此为区间内最小值，C正确. 选项D：图象关于点对称 对称中心的特征是函数在该点的函数值为常数项（而非）. 代入： 故对称中心为，而非，D错误. 综上，正确选项为.
题后 反思 代入验证时需明确“对称轴→函数取最值”“对称中心→函数值为常数项”的核心特征，避免仅代入坐标而忽略函数值的验证； 求区间最值时，需同时关注区间内的极值点和区间端点，确保不遗漏最小值的可能取值.
本题核心考查正弦型函数的性质，具体考点包括：
周期：；
对称轴：函数在对称轴处取得最值，满足；
对称中心：函数在对称中心处的函数值为，满足；
区间最值：结合三角函数的单调性，分析区间内的极值点与端点值，比较得最值.
【多选题】（25-26高二上·湖南·期中）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．，
C．在上单调递减 D．是的图象的一条对称轴
【答案】AC
【分析】利用正弦函数的图像与性质依次判断选项即可.
【详解】对于A项，的最小正周期为，A正确；
对于B项，因为，所以不存在，使得成立，B错误；
对于C项，，则，所以在上单调递减，C正确；
对于D项，，所以不是的图象的一条对称轴，D错误.
故选：AC
【多选题】（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数在区间上单调
C．函数的最小正周期为
D．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象
【答案】BC
【分析】代入即可求解A，利用整体法即可求解B，根据周期公式即可求解C，由函数平移的性质即可求解D.
【详解】对于A, ，故不是的对称中心，故A错误，
对于B, ，故在单调递减，B正确，
对于C，，C正确，
对于D, 将函数的图象向左平移个单位长度得到，故D错误，
故选：BC
【多选题】（25-26高二上·贵州遵义·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点对称
C．在区间上单调递减
D．在区间的值域为
【答案】AB
【分析】借助正弦函数的性质逐项计算并判断即可得.
【详解】对A：当时，，由函数关于对称，
故的图象关于直线对称，故A正确；
对B：当时，，由函数关于点对称，
故的图象关于点对称，故B正确；
对C：当时，，
由函数在上单调递增，
故在区间上单调递增，故C错误；
对D：当时，，
由函数在时的值域为，
则在区间的值域为，故D错误.
故选：AB.
题型07 由单调性求参数
已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
四步 内容
理解 题意 本题考查正弦型函数的单调性与参数范围，已知函数（）在区间上单调递增，要求确定的取值范围.
思路 探求 解决此类问题的核心是利用正弦函数的单调递增区间，通过整体代换法将视为整体，结合给定区间的“包含关系”，建立关于的不等式组，进而求解的范围.
书写 表达 步骤1：确定正弦函数的单调递增区间 对于函数，其单调递增区间为： 令，则需满足： 步骤2：结合给定区间分析（取） 因，若，区间会超出的范围，故取，此时不等式为： 整理为的取值范围： 步骤3：建立不等式组（保证） 需满足： 解第一个不等式： 解第二个不等式： 结合，得的取值范围为.
题后 反思 易错点1：忽略的取值。若错误选取，会导致区间范围超出的范围，需结合和区间长度，确定是唯一符合条件的取值. 易错点2：区间包含关系分析不全。需同时满足左端点和右端点的约束条件，避免只考虑单侧而遗漏范围，确保完全包含在单调递增区间内.
本题核心考查正弦型函数的单调性与参数范围，具体考点包括：
正弦函数的单调递增区间：；
整体代换法：将视为整体，结合给定区间的包含关系，建立关于的不等式组；
参数范围求解：通过解不等式组，结合的限制，确定最终取值范围.
（25-26高三上·河北保定·期中）若函数（），在 上单调递减，则a的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】先利用辅助角公式化简函数解析式，再利用函数单调性求得辅助角的范围，进一步根据三角函数的性质列不等式组求解.
【详解】利用辅助角公式得：
（），
其中，
因为 ，所以，
又因为，所以.
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以为了使得函数在 上单调递减，必须且只需，
所以，
所以,解得.
当时,在 上单调递减，符合题意.
故a的最小值为1.
故选：B
（25-26高三上·吉林长春·月考）已知函数在上单调递增，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由的范围，求出的范围，由正切函数的单调性可得，解方程即可得出答案.
【详解】因为，所以，
函数在上单调递增，
因为函数在上单调递增， 所以，
所以，即的最大值为.
故选：A
（25-26高三上·北京·期中）已知函数在上递增，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由可求出的取值范围，根据正弦型函数的单调性可得出关于的不等式组，即可求得的最大值.
【详解】因为，当时，，
因为函数在上递增，则，
故，解得，故的最大值为.
故选：D.
题型08 奇偶性求参数
已知函数，若为偶函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
四步 内容
理解 题意 本题考查三角函数的奇偶性与相位求解，已知函数（），且为偶函数，要求确定的值.
思路 探求 通过函数变换写出的解析式，再利用偶函数的性质（正弦函数需转化为余弦函数形式，即相位满足），结合的限制，求解.
书写 表达 步骤1：写出的解析式 将替换为，得： 步骤2：利用偶函数性质推导 因为是偶函数，而正弦函数需转化为余弦函数形式（是偶函数）才能满足奇偶性，即要求： 整理得： 步骤3：结合确定的值 因为，令，得： 此时，符合条件. 综上，的值为.
题后 反思 关键逻辑：偶函数的本质是“关于轴对称”，对于正弦型函数，需通过相位调整转化为余弦函数（或其相反数），因此相位需满足，这是推导的核心依据. 易错点：忽略的限制，若取非零整数，会导致超出范围，需严格结合条件筛选的取值.
本题核心考查三角函数的奇偶性与相位求解，具体考点包括：
函数变换：将转化为，体现“代入法”的应用；
偶函数性质：正弦函数转化为余弦函数的相位条件（）；
参数范围：结合筛选符合条件的值.
（25-26高二上·贵州遵义·期中）设函数.若为偶函数，则 ．
【答案】3
【分析】根据题意，解得，结合即可求解．
【详解】由题知，且为偶函数，
所以，
解得，
又，所以．
故答案为：3．
（24-25高二下·福建漳州·期末）已知函数，．若是偶函数，则的值为 ．
【答案】
【分析】利用辅助角公式将函数化简，根据函数是偶函数得，最后代入计算可得；
【详解】，
因为是偶函数，所以，
因为，所以，即是偶函数满足题意，
所以.
故答案为：.
（2025·广东·一模）若是偶函数，则有序实数对可以是 .（写出你认为正确的一组数即可）.
【答案】（答案不唯一，满足条件即可）
【分析】化简的解析式，根据是偶函数写出正确答案.
【详解】
，
注意到是偶函数，
所以当时，是偶函数，
所以有序实数对可以是.
故答案为：（答案不唯一，满足条件即可）
题型09 对称性求参数
将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
四步 内容
理解 题意 本题考查三角函数的图像平移与对称轴性质，已知函数（）的图象向左平移后得到，且的图象关于直线对称，要求的最小值.
思路 探求 解决此类问题需遵循“图像平移→解析式推导→对称轴条件→求解参数”的逻辑： 图像平移：根据“左加右减”规则，将原函数向左平移个单位，得到的解析式； 对称轴条件：利用正弦函数“对称轴处相位为”的性质，代入建立关于的方程； 求解参数：结合的限制，求出的最小正值.
书写 表达 步骤1：图像平移得到的解析式 将函数的图象向左平移个单位，根据“左加右减”规则（对直接加减），得： 步骤2：利用对称轴性质建立方程 因为的图象关于直线对称，对于正弦函数，其对称轴满足. 将代入，得： 步骤3：求解的最小值 两边除以并化简： 通分计算： 因为，令时，取得最小正值： .
题后 反思 易错点1：图像平移的对象混淆。“左加右减”是对本身进行加减，而非对括号内的整体，例如“向左平移个单位”应写为，而非，需严格遵循变换规则. 易错点2：对称轴条件的转化不准确。正弦函数的对称轴处相位需满足（），易因忽略的多解性或范围限制导致结果错误.
本题核心考查三角函数的图像平移与对称轴性质，具体考点包括：
图像平移：“左加右减”规则的应用，将原函数向左平移个单位得到的解析式；
对称轴性质：正弦函数的对称轴满足，结合该性质建立关于的方程；
参数范围：结合的限制，求解的最小正值，涉及对整数的取值分析.
（25-26高三上·吉林长春·阶段练习）若函数，且对任意的满足，则实数 .
【答案】/
【分析】用辅助角公式把函数的解析式化成正弦型函数形式，根据正弦型函数的对称性进行求解即可.
【详解】函数，
因为，
所以该函数的对称轴为，
因此有，
于是有，
故答案为：
（24-25高一下·辽宁·期末）已知函数的图象关于直线对称，则的值为 .
【答案】/
【分析】先利用和角的正弦公式与辅助角公式将化简成正弦型函数，再由的图象关于直线对称，求出的值，利用二倍角的正切公式求解即得.
【详解】由
，其中角满足.
因为的图象关于直线对称，
所以，可得，，
即，
所以
，
所以.
故答案为：.
（24-25高一下·河南南阳·期末）已知函数图象上相邻的两条对称轴之间的距离为，将图象上所有的点向右平移个单位长度后，所得函数的图象关于y轴对称，则 ，的最小正值为
【答案】 4 /
【分析】由周期求出，利用图象平移后关于y轴对称求出.
【详解】由题意得的最小正周期，得，
则．
因为函数的图象关于y轴对称，
所以，得的最小正值为.
故答案为：①4；②.
题型10单调性奇偶性对称性求参数
已知（，）在上单调递增，且为图象的一条对称轴，是图象的一个对称中心，当时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
四步 内容
理解 题意 本题考查正弦型函数的单调性、对称轴、对称中心及区间最值，已知（）的单调区间、对称轴和对称中心，要求时的最小值.
思路 探求 通过对称轴与对称中心的距离推导周期，进而求；再结合对称轴和单调区间确定；最后分析时函数的取值范围，求最小值.
书写 表达 步骤1：推导周期与 对称轴与对称中心的距离为： 正弦函数中，对称轴到相邻对称中心的距离为，故（），即. 函数在上单调递增，区间长度为，单调递增区间长度不超过，故. 结合，得，，因此. 步骤2：求解 由对称轴，得（），即： 由对称中心，得（），即： 结合，验证得（当时，，且在上单调递增，符合条件）. 步骤3：求时的最小值 当时，. 正弦函数在上的最小值为，故的最小值为.
题后 反思 关键逻辑：利用“对称轴与对称中心的距离为的整数倍”推导周期，结合单调区间长度限制确定的最小值，是求解的核心；验证时需结合单调区间的单调性，避免因范围分析不全导致错误. 易错点：忽略“单调递增区间长度不超过半个周期”的限制，可能误判周期的取值，需严格结合函数单调性的性质分析.
本题核心考查正弦型函数的性质综合应用，具体考点包括：
周期与：通过对称轴与对称中心的距离推导周期，结合单调区间长度确定；
的求解：利用对称轴和对称中心的性质建立方程，结合单调区间验证；
区间最值：分析相位范围，结合正弦函数的单调性求区间内的最小值.
（23-24高一下·上海·期中）已知函数在内为严格减函数，是函数的一条对称轴，且函数为奇函数 ，则函数的表达式为 ．
【答案】
【分析】根据对称轴和对称中心可得的一般形式，结合单调性可求，再根据对称轴可求初相位，故可得解析式.
【详解】函数为奇函数，故，
故的对称中心为，而是函数的一条对称轴，
故即，故，
而在内为严格减函数，故，
故，故即，故，
而，故，
故，而，故，
故，
故答案为：.
（24-25高一下·安徽·阶段练习）已知函数满足，且对任意的，都有，则当取最小值时，下列结论正确的是 （把所有正确结论的序号都填上）
①；
②图象的对称轴方程为，
③在区间上的值域为；
④在区间上单调递减
【答案】①②④
【分析】根据题意的图象关于点对称，又当时，取得最大值，当取最小值时，即周期最大可得，即，进而求出，得到，再逐项分析判断即可得出结论.
【详解】对于①，因为，所以的图象关于点对称，
又对任意，都有，所以当时取得最大值；
当取最小值时，即周期最大，可得，即，可得；
函数在时取得最大值，所以，又，所以；
可得，所以①正确；
对于②，令，解得，即②正确；
对于③， 当时，，
当时，取最小值为0，此时，故③错误；
对于④，当时，，
由于在上单调递减，故在上单调递减，即④正确；
故答案为：①②④.
（24-25高三下·福建厦门·阶段练习）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图象的两条对称轴，则 ．
【答案】
【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案.
【详解】因为在区间单调递增，且和为对称轴，
所以，则，故，
当时，取得最小值，则，，
则，
若，则，则，
若，则，
则，
故，
则.
故答案为：
.一、单选题
1．（25-26高三上·海南·月考）已知函数 的图象关于点中心对称，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据余弦型函数的对称中心即可求解.
【详解】由题意可知，解得，
又因为，所以，则.
故选：A
2．（江苏省常州市2025-2026学年高三上学期11月期中质量调研数学试题）将函数的图象向左平移个单位长度，再将得到的曲线上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用函数图象变换求出解析式.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到，
再将得到的曲线上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得.
故选：A
3．（25-26高三上·福建莆田·阶段练习）已知函数是奇函数，是图象的一条对称轴，且在区间上单调，则的可能取值有（ ）
A．1个 B．2个 C．6个 D．无数个
【答案】B
【分析】结合题意，根据余弦函数的奇偶性、对称性、单调性求解即可.
【详解】因为函数是奇函数，
所以，而，则，
此时，
由是图象的一条对称轴，
所以，则，
又在区间上单调，则，即，则或6，
当时，，
由，则，因为函数在上单调递增，
所以在上单调递增，
即在上单调递减，满足题意；
当时，，
由，则，因为函数在上单调递增，
所以在上单调递增，
即在上单调递减，满足题意.
综上所述，或6.
故选：B.
4．（25-26高三上·青海西宁·期中）已知函数图象的一条对称轴是直线，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由正弦函数的对称轴求解即可.
【详解】令，则，
又，所以当时，．结合选项，A，B，C中的数值取不到，
故选：D．
5．（25-26高三上·天津河北·期中）函数的最小正周期为.若，且函数的图象关于点中心对称，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】由三角函数的图像与性质可求得参数值，进而可得函数解析式，代入即可得解.
【详解】由函数的最小正周期满足，得，解得：.
又因为函数图像关于点对称，所以，
所以，，所以，因此可得：，
所以.
故选：A
6．（25-26高三上·天津·期中）已知将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数图象关于对称
B．函数图象在内有3个极值点
C．函数在上单调递增
D．函数图象关于中心对称
【答案】C
【分析】本题考查三角函数的图象变换、性质，解题的关键在于先对函数进行化简，再根据图象平移规律得到的表达式，最后逐一分析选项.
【详解】由题意可得
因为将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，
所以；
当时，或0，
所以不是对称轴，选项A错误；
令,解得，
当时， ；当时， ；
所以函数图象在内有2个极值点，选项B错误；
当时，，在内单调递增，选项C正确；
当时，，
所以是对称中心,图象关于中心对称，选项D错误.
故选：C
7．（25-26高一上·云南楚雄·月考）函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由函数图像求出，利用周期公式求出，将代入函数求出.
【详解】由函数图像可知，所以，又，所以，
将代入得到，因为，所以，
故，解得．
故选：C．
二、多选题
8．（25-26高三上·云南昆明·月考）函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ）
A．的周期为
B．该函数的解析式为
C．是图象的一个对称中心
D．的单调递增区间是
【答案】AD
【分析】根据函数图象求出函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可.
【详解】对于A：由图知，得，即的最小正周期为，故A正确；
对于B：因为，所以，又，
，代入得，，
又，，，故B错误；
对于C：令，解得，所以的对称中心为，
则不是的对称中心，故C错误；
对于D：令，解得
所以的单调递增区间为，故D正确．
故选：AD
三、填空题
9．（22-23高三上·上海静安·阶段练习）已知函数的最小正周期满足，且的图象关于点对称，则 ．
【答案】1
【分析】根据函数最小正周期的范围确定，根据的图象关于点中心对称确定b，求出，结合求，即得函数解析式，即可得.
【详解】函数的最小正周期为T，则，
由 ，得, 则，
的图象关于点中心对称，则，
且，则，所以，
由，得，而，
，得， 所以 ，
故.
故答案为：1.
10．（25-26高三上·北京西城·期中）已知函数（）在区间上单调递增，则写出符合题意的一个的值为 .
【答案】（答案不唯一，可取内任意实数）
【分析】利用辅助角公式可将原函数化为正弦型函数，再利用正弦型函数单调性计算可得范围，即可得解.
【详解】，
当时，，
则有，
解得且，，
当时，无解；
当时，无解；
故，即有.
故答案为：（答案不唯一，可取内任意实数）
四、解答题
11．（广东省多校2025-2026学年高二上学期11月联考数学试卷）设函数.
(1)若为偶函数，求的值；
(2)若，求在上的最值.
【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为0.
【分析】（1）根据偶函数定义求得参数的值.
（2）根据条件求得参数，结合同角三角函数平方关系，二倍角公式和辅助角公式化简函数，利用整体代入法，结合正弦型函数的最值求得结果；
【详解】（1）若为偶函数，则，
，
，
故，
当且仅当时符合条件，故.
（2）若，解得，
此时，
其中，，
所以原函数，
当，，所以，
故在上取值范围为
所以最大值为，最小值为0.
12．（25-26高三上·河北·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式；
(2)将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）通过图像可以得到和之间的距离为周期的一半，利用周期公式得到的值，又图像过点，代入求解即可；
（2）根据平移求出，由，求出的范围，再结合余弦函数的图像得到最大值和最小值，从而得到的值域.
【详解】（1）由图可知的最小正周期，则.
因为的图象经过点，所以，所以.
因为，所以，所以，解得.
故.
（2）由（1）可得，则.
因为，所以.
当，即时，取得最小值，，
当，即时，取得最大值，，
则，即在上的值域是.
1
