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答题模板04：三角函数的图像变换的和的取值范围
题型01 对称性，周期性，单调性综合求的值
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1 B． C． D．3
四步 内容
理解 题意 函数形式：给定三角函数（）. 周期条件：最小正周期满足. 对称条件：函数图象关于点中心对称. 求解目标：计算的值.
思路 探求 步骤1：利用周期范围和周期公式，推导的取值范围. 步骤2：结合中心对称性质，确定的值，并建立关于的方程，结合的范围求出其具体值. 步骤3：将和代入函数，计算.
书写 表达 步骤1：推导的范围 由且，可得. 两边除以得，取倒数（，不等号方向改变）得. 步骤2：确定和 因为图象关于中心对称，所以（对称中心的纵坐标为），且，即（）. 整理得，结合，解得，代入得（验证：，且，，符合条件）. 步骤3：计算 代入，，得：
题后 反思 易错点：推导的整数解时易出现计算失误，需结合范围仔细验证. 方法总结：解决此类问题需紧扣三角函数的周期、对称等性质，通过“条件转化→参数求解→代入计算”的步骤逐步突破，注重每一步的逻辑严谨性.
核心考点：三角函数的周期公式（）、中心对称性质（若关于中心对称，则）.
考点类型：三角函数图象与性质的综合应用，属于高考三角函数模块的常规考查内容.
（25-26高三上·天津河北·期中）函数的最小正周期为.若，且函数的图象关于点中心对称，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】由三角函数的图像与性质可求得参数值，进而可得函数解析式，代入即可得解.
【详解】由函数的最小正周期满足，得，解得：.
又因为函数图像关于点对称，所以，
所以，，所以，因此可得：，
所以.
故选：A
（25-26高三上·四川·月考）已知函数，若且函数的最小正周期满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依题意可得为函数的最大值或最小值，即可求出的取值集合，再由周期求出的范围，即可求出的值，从而得解.
【详解】，为函数的最大值或最小值.
，，解得.又
函数的最小正周期满足，且，
，解得，当时，满足题意，.
故选：B.
（25-26高三上·湖南邵阳·期中）已知（，）在上单调递增，且为图象的一条对称轴，是图象的一个对称中心，当时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】利用正弦函数的对称性得出，根据单调性得出，从而确定，结合对称轴与对称中心再求出，得出函数解析式，利用整体思想及正弦函数的性质即可得解.
【详解】因为在上单调递增且为图象的一条对称轴，
所以 ，，
得：，且（）①
因为是图象的一个对称中心，
所以，得：（）②，
由①②，得：（，），结合，得，
则（），，所以.故.
当时，，所以的最小值为.
故选：A.
题型02 由函数的最值求的值
（25-26高三上·北京·开学考试）若函数的最小值为，则常数的一个取值为 ．
四步 内容
理解 题意 已知：函数，其最小值为. 目标：求常数的一个取值. 核心：三角函数的和角展开、辅助角公式与最值性质的综合应用.
思路 探求 步骤1：利用余弦和角公式展开，将函数整理为的形式. 步骤2：通过辅助角公式，将化为（或）的形式，其中（即振幅）. 步骤3：三角函数的最值为，已知最小值为，故，据此建立方程求解.
书写 表达 因为， 要想的最小值为， 需要同时成立， 由得到，， 不妨取，则，即， 解得，取，得. 故答案为：（答案不唯一）
题后 反思 关键点：辅助角公式中“振幅决定最值”的逻辑，需明确的最值为. 易错点：求解时易忽略“周期性”，即的解应为（），而非唯一值. 拓展：若函数形式为，均可用“振幅法”快速求最值，核心是的应用.
三角函数和角公式：.
辅助角公式：（或），其中振幅为.
三角函数最值：的最值为.
三角函数周期性：若，则或（）；本题中，故（）.
（25-26高三上·北京顺义·阶段练习）已知函数，且.若两个不等的实数满足且，则 ， .
【答案】 2 /0.6
【分析】利用辅助角公式化简的解析式，再由题意可得函数关于对称，且最小正周期，即可求出的值；进而得到，再由二倍角公式计算即得.
【详解】依题意，函数，其中锐角由确定，
且函数的最小值为，最大值为，
由，得函数的图象关于对称，
又两个不等的实数满足且，
则函数在处同取最大值或同取最小值，且函数的最小正周期，
，又，则，解得，
于是，则，即，
所以
故答案为：2；
（24-25高三上·北京海淀·阶段练习）已知函数的图象的相邻两个对称轴之间的距离为，且，恒成立．若存在，使得成立，则 ；的取值范围为 ．
【答案】 2
【分析】根据两角和的正弦公式，辅助角公式，化简可得解析式，根据题意，求得周期，可得值，根据，结合正弦型函数的性质，可求得a值，根据x的范围，求得的范围，可得的最值，结合题意，分析即可得b的范围.
【详解】由题设，，，
由相邻两个对称轴之间的距离为，故，
又，即，
故，解得．
，
当时，，此时的最大值为，最小值为，
若存在，使成立，
则只需，
，故的取值范围为.
故答案为：2；.
（24-25高一下·安徽·阶段练习）已知函数满足，且对任意的，都有，则当取最小值时，下列结论正确的是 （把所有正确结论的序号都填上）
①；
②图象的对称轴方程为，
③在区间上的值域为；
④在区间上单调递减
【答案】①②④
【分析】根据题意的图象关于点对称，又当时，取得最大值，当取最小值时，即周期最大可得，即，进而求出，得到，再逐项分析判断即可得出结论.
【详解】对于①，因为，所以的图象关于点对称，
又对任意，都有，所以当时取得最大值；
当取最小值时，即周期最大，可得，即，可得；
函数在时取得最大值，所以，又，所以；
可得，所以①正确；
对于②，令，解得，即②正确；
对于③， 当时，，
当时，取最小值为0，此时，故③错误；
对于④，当时，，
由于在上单调递减，故在上单调递减，即④正确；
故答案为：①②④.
题型03 由单调性求的最值或范围
（2022高三·全国·专题练习）定义在上的函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是
四步 内容
理解 题意 已知：函数（），在区间上单调递增. 目标：求的取值范围。 核心：利用正弦函数的单调递增区间，结合“复合函数单调性”与“区间包含关系”求解参数.
思路 探求 步骤1：分析内层函数的取值范围。当时，求出的左右端点. 步骤2：正弦函数的单调递增区间为（）。需使的区间包含于某一个单调递增区间中. 步骤3：结合的条件，分析的取值（仅合理），建立不等式组求解.
书写 表达 由题意可知，，则， 因，则， 又，所以，， 因函数在区间上单调递增， 则结合正弦函数的性质可知， ，得， 故ω的取值范围是. 故答案为：
题后 反思 关键点：准确利用“区间包含关系”，即的区间必须完全包含在正弦函数的单调递增区间内，而非仅端点相等. 易错点：忽略的取值分析，若盲目取，会导致范围错误；需结合和区间长度合理判断是唯一可行的情况. 拓展：若函数单调递减，可类似分析，将区间包含于正弦函数的单调递减区间中求解.
正弦函数的单调区间：的单调递增区间为，单调递减区间为（）.
复合函数单调性：形如的函数，单调性由内层函数和外层函数的单调性共同决定（同增异减）.
区间包含关系：若区间单调递增，则需（或对应递减区间），通过解不等式组求参数范围.
（25-26高三上·辽宁·阶段练习）已知函数的最小正周期为，且在上单调递增，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先利用函数的最小正周期得，然后根据正弦函数的单调性求得的单调增区间，根据所给区间建立不等关系进行求解．
【详解】因为函数的最小正周期为，
所以，所以，故，
由得，
又在上单调递增，
则，解得，
又，则当时，，所以的取值范围为.
故答案为：
（24-25高一下·四川雅安·阶段练习）已知函数满足恒成立，且在上单调，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】由函数在区间上单调，求出的取值范围，再由得到，即可求出的取值集合，从而求出的最大值.
【详解】因为在区间上单调，所以，得到，
所以，解得，
又，所以，
则由的图象与性质知，
所以，得到，所以，
当，解得，
又，所以.
故答案为：.
（24-25高一下·广东佛山·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意，得到，求得，再由，结合余弦型函数的性质，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数在上单调递增，
可得，可得，即，可得，
又由，可得，
则满足，解得，
当时，可得，当时，可得，
当时，不合题意；
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
题型04 由对称性求的最值或范围
（25-26高三上·福建泉州·期中）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于原点中心对称，则可能的取值是（ ）
A． B． C． D．
四步 内容
理解 题意 已知：函数的图象向左平移个单位后，得到的函数图象关于原点中心对称（即平移后函数为奇函数）. 目标：求的可能取值（从选项A、B、C、D中选择）. 核心：三角函数的平移变换规则、奇函数的性质（）的综合应用.
思路 探求 步骤1：根据“左加右减”的平移规则，求出平移后的函数解析式. 步骤2：利用奇函数在处的性质（为平移后函数），建立关于的方程. 步骤3：求解方程得到的表达式，结合选项确定取值.
书写 表达 步骤1：求平移后的函数解析式 函数向左平移个单位，根据“左加右减”（对直接加平移量），得： 步骤2：利用奇函数性质建立方程 因为关于原点中心对称（奇函数），且在处有定义，故. 代入得： 由余弦函数零点性质，，因此： 步骤3：结合选项判断 当时，（对应选项C）.
题后 反思 关键点：平移变换需严格对“”进行操作，避免错误地对直接加平移量；利用奇函数可快速建立方程. 易错点：平移时混淆“对加”和“对加”，导致解析式错误；忽略的整数解，错过正确选项. 拓展：若函数关于轴对称（偶函数），可利用分析，方法同理.
三角函数平移变换：“左加右减，上加下减”，针对进行线性变换，如向左平移个单位得.
奇函数性质：若奇函数在处有定义，则.
余弦函数零点：.
（24-25高一下·广东茂名·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位，得到的图象恰好关于直线对称，则的最小值是 .
【答案】/
【分析】首先求平移后的解析式，再代入对称轴，求最小值.
【详解】先求平移后函数解析式：对于函数，图象向左平移个单位.根据函数图象平移规律“左加右减”，也就是给加上平移的单位数.
所以平移后函数的解析式是.
已知所得图象关于直线对称.
则. 得到.
因为，当时，不符合要求.
当时，，所以的最小值是.
故答案为：.
（24-25高一下·广东中山·阶段练习）若函数的图像关于对称，则的最小值为 .
【答案】/0.75
【分析】运用对称轴的性质得到方程计算即可.
【详解】由，解得，
因为，所以则的最小值为.
故答案为：.
（2025·湖南常德·一模）已知函数在区间上有且仅有1个零点和1条对称轴，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】求出相位的取值范围，再由零点及对称轴情况列出不等式求解.
【详解】当时，，
由函数在区间上有且仅有1个零点和1条对称轴，，
得或，解得或，
则，所以实数的取值范围是.
故答案为：
题型05 由函数的零点或方程的根求的最值或范围
（25-26高三上·黑龙江吉林·阶段练习）已知函数，若曲线与直线在区间上有且仅有2个交点，则的取值范围为 .
四步 内容
理解 题意 已知：函数（），曲线与直线在区间上有且仅有2个交点. 目标：求的取值范围. 核心：利用三角恒等变换化简函数，结合三角函数的图象与交点个数分析参数范围.
思路 探求 步骤1：用余弦和角公式或和差化积公式化简，得到形如的形式. 步骤2：令，求解方程，得到的解的形式. 步骤3：分析解在区间内的个数，结合建立不等式组，确定的范围.
书写 表达 由函数 ， 令，因为，可得， 因为曲线与直线在区间上有且仅有2个交点， 则曲线与直线在区间上有且仅有2个交点， 则这2个交点的横坐标分别为，则， 解得，即实数的取值范围为 故答案为：
题后 反思 关键点：三角恒等变换的化简是基础，将函数化为单一三角函数形式后，通过解方程分析交点个数，结合区间范围建立不等式组. 易错点：化简时公式应用错误，或分析的取值时遗漏区间限制，导致范围错误. 拓展：若交点个数为其他数值，可类似分析的取值范围，核心是找到解的个数与的对应关系.
三角恒等变换：余弦和角公式，以及辅助角公式的应用.
三角函数方程求解：利用余弦函数的零点、最值性质解方程，结合区间分析解的个数.
三角函数图象与交点个数：通过函数周期性和区间范围，确定参数的取值范围.
（22-23高一下·北京延庆·期中）已知函数，（其中，为常数，且）有且仅有3个零点，则的值为 ，的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据偶函数可知必为函数的一个零点，由此求得，根据方程的根得，即可求解.
【详解】函数在上为偶函数，又函数，有且仅有3个零点，故必有一个零点为，
，；
结合为偶函数，函数，的零点个数，
即方程在有唯一的实数根，
所以在有唯一的实数根，解得，
时，，时，
故且，，故；
故答案为：，,．
（2025·湖南常德·模拟预测）已知是函数的极大值点，若在有两个零点和三条对称轴，则a的取值范围为
【答案】
【分析】根据极值点及已知可得，则，结合正弦型函数的性质及区间零点和对称轴有，即可得.
【详解】因为是的极大值点，
所以，，即，
又，故，所以，
当时，，在有两个零点和三条对称轴，
所以，解得.
故答案为：
（24-25高三下·湖南·阶段练习）若函数在内有2个零点，则的最大值为 .
【答案】/
【分析】利用辅助角公式将函数化简，再结合正弦函数的性质求出函数的零点，最后根据零点个数确定的取值范围，进而求出的最大值
【详解】已知，根据辅助角公式得到.
令，即，则.
所以，，解关于的方程可得，.
因为，
当时，；
当时，；
当时，.
由于函数在内有个零点，所以.解得的取值范围是.
可知，的最大值为.
故答案为：.
题型06 由图像的变换求的最值或范围
（25-26高三上·河北·月考）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数的图象与曲线重合，则的最小值为 .
四步 内容
理解 题意 已知：函数（）的图象向左平移个单位后，与曲线重合. 目标：求的最小值（）. 核心：正切函数的平移变换规则与周期性（图象重合条件）的综合应用.
思路 探求 步骤1：根据“左加右减”的平移规则，写出平移后的函数解析式. 步骤2：正切函数的图象重合时，相位差为（），据此建立关于的方程. 步骤3：结合的条件，求解的取值，得到的最小值.
书写 表达 将的图象向左平移个单位长度后得到 ， 又与函数的图象重合， 所以，解得， 又，所以的最小值为. 故答案为：
题后 反思 关键点：正切函数的图象重合条件是“相位差为”（而非），因为正切函数的周期是，这是与正弦、余弦函数的重要区别，容易混淆. 易错点：平移时对“左加右减”的操作对象理解错误（需对直接加平移量），或忽略正切函数周期的特殊性，误将相位差当成，导致结果错误. 拓展：若涉及正切函数的伸缩或多次平移，需依次分析变换，始终紧扣“解析式的推导”和“周期、相位的变化规律”.
正切函数的平移变换：“左加右减”，即向左平移个单位得.
正切函数的周期性与图象重合条件：与图象重合的充要条件是（），其周期为.
参数求解：通过建立相位差的方程，结合参数的取值范围（如），确定整数的合理取值，进而得到参数的最小值.
（24-25高一下·广东茂名·期中）已知函数在上单调递增，在上单调递减，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则 .
【答案】/
【分析】根据函数单调性，得出极值点，列出等式与不等式，求出，再由图象平移及诱导公式得解.
【详解】因为函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，
解得，
由题意，
因为函数为偶函数，，
所以，解得.
故答案为：
（24-25高一下·湖北·期中）把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数是奇函数，则的值为 ，若函数在区间上存在最大值2，则实数的取值范围为 .
【答案】 5
【分析】应用辅助角公式得，结合图象平移及正弦型函数的奇偶性有，即可求参数，再由正弦型函数的区间最值有，即可得范围.
【详解】由题设，
所以为奇函数，则，
所以，又，故，
所以，若，则，
又函数在区间上存在最大值2，则 .
故答案为：5，
（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）若函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于轴对称，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】求出平移后所得函数的解析式，根据正弦函数的奇偶性可得出关于的表达式，即可得出正数的最小值.
【详解】将函数的图象向右平移个单位，
得到函数的图象，
由于函数为偶函数，则，可得，
因为，故当时，取最小值.
故答案为：.
题型07 由最值求的最值或范围
（25-26高三上·安徽合肥·开学考试）已知函数在区间上既有最大值，也有最小值，则实数的取值范围为 ．
四步 内容
理解 题意 已知：函数，区间。 目标：求实数的取值范围，使得函数在该区间上既有最大值，又有最小值。 核心：利用二倍角公式化简函数，结合正弦函数的图象与性质（周期性、最值点）分析区间范围.
思路 探求 步骤1：用二倍角公式化简，得到，其周期为. 步骤2：分析的取值范围：当时，. 步骤3：结合正弦函数（）的图象，确定的范围需同时包含最大值点（）和最小值点（），进而推导的范围，得到的取值范围.
书写 表达 ，由，则. 结合的图象（如图），当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，并以为周期. 故当时，此时在区间上单调递减，故该函数没有最小值； 当时，该函数有最小值，有最大值. 当时，该函数有最小值，没有最大值. 当时，该函数有最小值，有最大值. 综上，当或时，该函数有最大值也有最小值. 故实数的取值范围为．
题后 反思 关键点：二倍角公式化简是基础，换元后将问题转化为正弦函数在区间的最值分析，需准确识别正弦函数在时的最值点顺序（先最小值，再最大值，再最小值）. 易错点：对正弦函数周期内的最值点分布判断错误，尤其是的取值（容易遗漏的最大值点），或忽略区间的上界限制（导致包含多余的最值点）. 拓展：若函数为形式，可通过换元、结合三角函数图象的“峰谷”分布，精准推导区间参数的范围，核心是抓住“第一个包含所有所需最值点的区间”.
二倍角公式：，故.
三角函数周期性：的周期，本题中的周期为.
正弦函数的最值点：的最大值点为，最小值点为（）.
区间参数求解：通过分析三角函数在区间内的“峰谷”分布（最值点顺序），建立关于参数的不等式组，进而确定参数的取值范围.
（23-24高三下·广东肇庆·阶段练习）若函数在内存在最小值但无最大值，则的范围是
【答案】
【分析】化简得，由求得范围，根据条件与函数图象即可求解．
【详解】函数，，
所以当时，，
又在内存在最小值但无最大值，
结合图象可得，
解得.
故答案为：
（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数在区间上单调递增，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用整体法，根据单调性可得，又在上恰好取得一次最大值，则，然后解不等式整合即可.
【详解】，
又在区间上单调递增，
所以，解得，
，
又在区间上恰好取得一次最大值，
所以，
综上，.
故答案为：.
（25-26高三上·山东·阶段练习）若函数在上有最小值而没有最大值，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】先求的取值范围，进而结合的图象列不等式组求解.
【详解】由，得.
因为，所以,
作出在上的图象，如图所示，
因为函数在上有最小值而没有最大值，
所以，解得.
故答案为：
题型08 由单调性，对称性，函数的零点求的最值或范围
（2025高三·全国·专题练习）已知函数在单调，且是的一个零点，直线是图象的一条对称轴，则ω的最大值为（ ）
A．18 B．17 C．14 D．13
四步 内容
理解 题意 已知：函数（），在单调；是零点；是对称轴. 目标：求的最大值，选项为A.18、B.17、C.14、D.13. 核心：三角函数的零点与对称轴的关系、单调性与周期的关系的综合应用.
思路 探求 步骤1：利用“零点到对称轴的距离与周期的关系”，推导的表达式（含整数）. 步骤2：结合“单调区间长度不超过半个周期”，得到的上限. 步骤3：根据的表达式和上限，验证最大可能的奇数，确定最终值.
书写 表达 由题意得，所以. 又，所以，所以 . 因为在单调，所以，即. 结合得，解得. ①当，即时，，所以，. 因为，所以，此时. 当时，，由正弦函数的性质可知函数在上不单调，所以不符合题意； ②当，即时，，所以，. 因为，所以 ，此时. 当时，，由正弦函数的性质可知函数在上不单调，所以不符合题意； ③当，即时，，所以，. 因为，所以，此时. 当时，，由正弦函数的性质可知函数在上单调递增，所以符合题意. 综上，的最大值为13.
题后 反思 关键点：准确把握“零点与对称轴的距离和周期的关系”，得出的结论；结合单调性的区间长度限制，缩小的范围. 易错点：忽略需为奇数的隐含条件，误选18；验证时未检查的取值范围（），导致逻辑不完整. 拓展：若题目改为“既有最大值又有最小值”，则需结合周期内的“峰谷”分布分析；本题仅需单调，故只需区间长度不超过半个周期.
三角函数的零点与对称轴的关系：若是零点，是对称轴，则（），即（正弦函数）.
单调性与周期的关系：若函数在区间单调，则.
参数范围求解：通过建立周期、区间长度的不等式，结合函数的奇偶性（或整数性），确定参数的最值.
（23-24高三上·辽宁大连·期末）已知函数满足下列条件：①对任意恒成立；②在区间上是单调函数；③经过点的任意一条直线与函数图像都有交点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】方法一：由题意可知函数周期是，由①得函数的一条对称轴是，结合②可得或，由③可得，结合可求得结果.
方法二：，由①可得，由②列不等式组可知，由③可得，结合可求得结果.
【详解】方法一：由函数可知函数周期是，
因为①对任意恒成，所以函数的一条对称轴是，
又因为在区间是单调函数，所以，
所以，所以为0或1.
当时，；当时，，
由已知得，
因为经过点的任意一条直线与函数图像都有交点，
所以，所以.
因为①对任意恒成立，
所以.
所以，
由或，得或，
所以或.
方法二：
由①可知：，即（*）
由②可知：，
因为函数在上是单调函数，
所以，
，将（*）带入化简可得：，
所以，
由已知得，
因为经过点的任意一条直线与函数图像都有交点，
所以，所以.
因为①对任意恒成立，
所以.
所以，
由或，得或，
所以或.
（2025·全国·模拟预测）已知函数在上单调， ，若将曲线向右平移个单位后恰好关于轴对称，则正数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用函数的单调区间长度可以估计周期的长度，再结合，可确定的取值，然后进行讨论检验即可得解.
【详解】因为函数，
又函数在上单调，
所以函数的最小正周期，
则，又，所以．
若，则由，
又因为，，所以此时无解．
若，则，
因为，所以．又，符合题意．
若，则，
又，，则此时无解．
综上，，所以函数图像向右平移个单位，，
由的图象关于轴对称，
所以有，
则正数的最小值为，
故选：D．
（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．0
【答案】A
【分析】利用正弦函数的对称性得出，根据单调性得出，从而确定，结合对称轴与对称中心再求出，得出函数解析式，利用整体思想及正弦函数的性质即可得解.
【详解】因为函数在上单调递增，且为它的一条对称轴，
所以时函数取最大值，
又因为是它的一个对称中心，
所以，，
设的最小正周期为，由正弦函数的对称性可知，
即，
又在上单调递增，则，
∴，则，，
∵，∴时，，∴，
当时，，
由正弦函数的单调性可知.
故选：A
题型09 由函数的图像求
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．
四步 内容
理解 题意 已知：函数，直线与曲线的两个交点满足. 目标：求的值. 核心：利用正弦函数的方程解结构、周期与的关系，结合图象特征确定和，进而求值.
思路 探求 步骤1：解方程，得到两个解的横坐标差，结合求. 步骤2：根据图象特征（如处函数值的正负）确定. 步骤3：利用三角函数的周期性计算.
书写 表达 设，由可得， 由可知，或，，由图可知， ，即，． 因为，所以，即，． 所以， 所以或， 又因为，所以，． 故答案为：．
题后 反思 关键点：利用正弦方程解的“间距与周期的关系”求，需明确的两个解间距为，再结合的缩放作用推导. 易错点：确定时易忽略图象的正负性，导致取值错误；计算时易忘记三角函数的周期性化简.
正弦函数的方程解：（）的解为或（）.
周期与的关系：，解的间距与周期的比值由决定.
三角函数求值：利用周期性（）和相位化简，直接计算函数值.
（24-25高一下·北京顺义·期末）已知函数（，）部分图象如图所示.其中A，B是直线与曲线相邻的两个交点.若，则 ， .
【答案】 2 /
【分析】先根据与周期的关系求出；再利用图象过的点求出；最后将代入函数求.
【详解】已知A，B是直线与曲线的两个相邻交点，且.
设则.
且，则，则，
同理，则，则，
因此，解得.
因为及，则函数的图象过点，可得，
所以，，则，.
由于，则，那么.
将代入可得：.
故答案为：2； .
（2025·广西·模拟预测）如图，记函数在一个周期内的图象为曲线，直线与交于A，B两点，直线与交于C，D两点，连接AD，BC，若四边形ABCD为平行四边形，且其面积为，则 .
【答案】
【分析】根据平行四边形面积公式来计算面积，求出底，再找出平行四边形的底与函数的关系，进而求解的值．
【详解】已知直线与曲线T交于A，B两点，直线与曲线T交于C，D两点，
所以平行四边形ABCD的高
平行四边形ABCD的面积，由平行四边形面积公式，得底边，
直线与T交于A，B两点，设，，则平行四边形底边为，
根据正弦函数性质及题图，知，，
两式相减，得到，即，解得
故答案为：
（25-26高一上·全国·单元测试）如图，已知函数，点是直线与函数的图象的两个交点，若，则 ．
【答案】/
【分析】通过两点间的距离以及三角函数的周期性来求解函数中的参数，进而求出指定点的函数值.
【详解】设，由可得，
令，得或，
即，
，，
由题图可知，
因为零点在增区间中， ，解得，
，，
故．
故答案为：.
.1．（25-26高三上·福建泉州·期中）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于原点中心对称，则可能的取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】通过平移得到，由求解即可.
【详解】将函数的图象向左平移个单位，
得，
由题意为奇函数，
所以，
则，
结合选项可知：ABD不符合，C符合，
故选：C
2．（25-26高三上·北京·期中）已知函数（），若恒成立，且在内至少有3个零点，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】先化简得，由及进行求解．
【详解】
，
若恒成立，则函数的一个周期为，
则，得
由，得，
而在内至少有3个零点，
则，
得，由，
得的最小值是，
故选：B
3．（25-26高三上·山东聊城·月考）已知函数．
(1)若函数的最小正周期为，求的值；
(2)若函数在上单调，且其图象在上存在对称轴，求实数的取值范围．
【答案】(1)8；
(2).
【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦型函数的周期公式求解.
（2）利用正弦函数的对称性及单调性质列式求出范围.
【详解】（1）
由函数的最小正周期为，得，所以.
（2）当时，，
由函数的图象在上存在对称轴，得，解得，
当时，，
由函数在上单调，得，
，整理得，
由，解得，则，
当时，；当时，；当时，，
又，所以实数的取值范围是.
4．（25-26高三上·上海·期中）已知，若两个不等的实数满足且 的最小值为，则 .
【答案】2
【分析】根据辅助角公式，可得，根据，可得或，根据正弦型函数的图象与性质，分析可得与间的最小距离为一个周期，根据周期公式，即可得答案.
【详解】由题意得，
因为，且，
所以或，
所以与间的最小距离为一个周期，即，
所以2.
故答案为：2
5．（25-26高三上·天津蓟州·期中）已知函数 ．若恒成立，且在区间内至少存在两个零点，则的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】B
【分析】利用辅助角公式化简，设函数的最小正周期为，则，结合周期公式求出的取值，再由的范围求出的范围，结合零点的特征求出的范围，即求出的最小值.
【详解】因为 ，
设函数的最小正周期为，由可得，
所以，解得；
当时，，
因为在区间内至少存在两个零点，
所以，即；
所以当时取最小值，综上，的最小值为.
故选：B.
6．（25-26高三上·山东·期中）若函数 的最大值为1，则常数φ的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用两角和的余弦公式及辅助角公式将函数化简，再根据三角函数的性质求出最大值，最后结合已知条件求出的值．
【详解】 ，
令，
则 ，
因为，，所以的最大值为，
从而，即，则，
因为，所以．
故选：C
【多选题】7．（2025·陕西榆林·一模）如图，函数的部分图象与直线交于两点，且，点在曲线上，则（ ）
A．
B．为偶函数
C．在上单调递减
D．
【答案】BCD
【分析】先根据，列方程求出判断A；将代入求出，进而求出判断B；由，求出，取，即可判断C；由，，可求出当时，取得最小值，即可判断D.
【详解】解：根据题意，设，，
由得，
由图象可知，，，
两式相减得，，所以，所以，A错误；
则，将点代入得，，
由知，，所以，
所以，
故，
令，定义域为，关于原点对称，
又，所以为偶函数，B正确；
令，解得，，
取，则在上单调递减，
因为是的真子集，
所以在上单调递减，C正确；
令，，解得，，
令，解得，
所以当时，取得最小值，
所以，D正确；
故选：BCD.
8．（25-26高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数在区间上恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据的取值范围求解出的取值范围，进而根据函数零点的个数求解的取值范围，从而求解的取值范围即可.
【详解】因为且，可得：，
由于函数在区间上恰又个零点，即在区间上恰又个解，
因此可得：，解得：.
又，
由，得：，由此可得：，
即得：.
故选：B
9．（2025·福建福州·模拟预测）已知函数，若方程在区间上恰有3个实根，则ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得，从而得或，再根据，求出的可能取值，由有3个实根，列出不等式组求解即可.
【详解】若方程，
则，
即或，
当时， ，
则大于的取值为，
因为原方程在区间上恰有3个实根，
所以，解得．
所以的取值范围.
故选：D.
10．（24-25高三上·上海黄浦·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】通过整体代入法表示出函数的单调区间，结合已知列不等式组求解可得.
【详解】由，，
得，
因为函数在区间上单调递增，
所以，解得，结合得.
故选：A
11．（25-26高三上·黑龙江吉林·阶段练习）已知函数，若曲线与直线在区间上有且仅有2个交点，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】化简函数，令，得到，结合余弦函数的性质，得到这2个交点的横坐标分别为，列出不等式，即可求解.
【详解】由函数
，
令，因为，可得，
因为曲线与直线在区间上有且仅有2个交点，
则曲线与直线在区间上有且仅有2个交点，
则这2个交点的横坐标分别为，则，
解得，即实数的取值范围为
故答案为：
【多选题】12．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知函数，若、是关于的方程的两个不同的解，且的最小值为，则下列说法中正确的有（ ）
A．
B．若是图象的一条对称轴，则
C．若在区间内无最大值，则
D．若，则的图象在内有且仅有一个对称中心
【答案】ABD
【分析】求出函数的最小正周期，利用正弦型函数的周期公式求出的值，可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断B选项；当时，求出的取值范围，结合正弦型函数的最值可得出关于的不等式组，结合可得出的取值范围，可判断C选项；由可求出的取值范围，分、两种情况讨论，结合正弦型函数的对称性可判断D选项.
【详解】对于A选项，设函数的最小正周期为，由题意可知，则，故，A对；
对于B选项，由A选项可知，，
若是图象的一条对称轴，则，可得，
因为，则，B对；
对于C选项，因为，当时，，
因为函数在内无最大值，则，
所以，解得，
令，，则，
所以，，C错；
对于D选项，若，即，
当时，则，
当时，，此时函数上有且只有一个对称中心；
当时，，此时函数上有且只有一个对称中心.
综上所述，当时，函数的图象在内有且仅有一个对称中心，D对.
故选：ABD.
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答题模板04：三角函数的图像变换的和的取值范围
题型01 对称性，周期性，单调性综合求的值
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1 B． C． D．3
四步 内容
理解 题意 函数形式：给定三角函数（）. 周期条件：最小正周期满足. 对称条件：函数图象关于点中心对称. 求解目标：计算的值.
思路 探求 步骤1：利用周期范围和周期公式，推导的取值范围. 步骤2：结合中心对称性质，确定的值，并建立关于的方程，结合的范围求出其具体值. 步骤3：将和代入函数，计算.
书写 表达 步骤1：推导的范围 由且，可得. 两边除以得，取倒数（，不等号方向改变）得. 步骤2：确定和 因为图象关于中心对称，所以（对称中心的纵坐标为），且，即（）. 整理得，结合，解得，代入得（验证：，且，，符合条件）. 步骤3：计算 代入，，得：
题后 反思 易错点：推导的整数解时易出现计算失误，需结合范围仔细验证. 方法总结：解决此类问题需紧扣三角函数的周期、对称等性质，通过“条件转化→参数求解→代入计算”的步骤逐步突破，注重每一步的逻辑严谨性.
核心考点：三角函数的周期公式（）、中心对称性质（若关于中心对称，则）.
考点类型：三角函数图象与性质的综合应用，属于高考三角函数模块的常规考查内容.
（25-26高三上·天津河北·期中）函数的最小正周期为.若，且函数的图象关于点中心对称，则（ ）
A． B． C． D．1
（25-26高三上·四川·月考）已知函数，若且函数的最小正周期满足，则（ ）
A． B． C． D．
（25-26高三上·湖南邵阳·期中）已知（，）在上单调递增，且为图象的一条对称轴，是图象的一个对称中心，当时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
题型02 由函数的最值求的值
（25-26高三上·北京·开学考试）若函数的最小值为，则常数的一个取值为 ．
四步 内容
理解 题意 已知：函数，其最小值为. 目标：求常数的一个取值. 核心：三角函数的和角展开、辅助角公式与最值性质的综合应用.
思路 探求 步骤1：利用余弦和角公式展开，将函数整理为的形式. 步骤2：通过辅助角公式，将化为（或）的形式，其中（即振幅）. 步骤3：三角函数的最值为，已知最小值为，故，据此建立方程求解.
书写 表达 因为， 要想的最小值为， 需要同时成立， 由得到，， 不妨取，则，即， 解得，取，得. 故答案为：（答案不唯一）
题后 反思 关键点：辅助角公式中“振幅决定最值”的逻辑，需明确的最值为. 易错点：求解时易忽略“周期性”，即的解应为（），而非唯一值. 拓展：若函数形式为，均可用“振幅法”快速求最值，核心是的应用.
三角函数和角公式：.
辅助角公式：（或），其中振幅为.
三角函数最值：的最值为.
三角函数周期性：若，则或（）；本题中，故（）.
（25-26高三上·北京顺义·阶段练习）已知函数，且.若两个不等的实数满足且，则 ， .
（24-25高三上·北京海淀·阶段练习）已知函数的图象的相邻两个对称轴之间的距离为，且，恒成立．若存在，使得成立，则 ；的取值范围为 ．
（24-25高一下·安徽·阶段练习）已知函数满足，且对任意的，都有，则当取最小值时，下列结论正确的是 （把所有正确结论的序号都填上）
①；
②图象的对称轴方程为，
③在区间上的值域为；
④在区间上单调递减
题型03 由单调性求的最值或范围
（2022高三·全国·专题练习）定义在上的函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是
四步 内容
理解 题意 已知：函数（），在区间上单调递增. 目标：求的取值范围。 核心：利用正弦函数的单调递增区间，结合“复合函数单调性”与“区间包含关系”求解参数.
思路 探求 步骤1：分析内层函数的取值范围。当时，求出的左右端点. 步骤2：正弦函数的单调递增区间为（）。需使的区间包含于某一个单调递增区间中. 步骤3：结合的条件，分析的取值（仅合理），建立不等式组求解.
书写 表达 由题意可知，，则， 因，则， 又，所以，， 因函数在区间上单调递增， 则结合正弦函数的性质可知， ，得， 故ω的取值范围是. 故答案为：
题后 反思 关键点：准确利用“区间包含关系”，即的区间必须完全包含在正弦函数的单调递增区间内，而非仅端点相等. 易错点：忽略的取值分析，若盲目取，会导致范围错误；需结合和区间长度合理判断是唯一可行的情况. 拓展：若函数单调递减，可类似分析，将区间包含于正弦函数的单调递减区间中求解.
正弦函数的单调区间：的单调递增区间为，单调递减区间为（）.
复合函数单调性：形如的函数，单调性由内层函数和外层函数的单调性共同决定（同增异减）.
区间包含关系：若区间单调递增，则需（或对应递减区间），通过解不等式组求参数范围.
（25-26高三上·辽宁·阶段练习）已知函数的最小正周期为，且在上单调递增，则的取值范围为 ．
（24-25高一下·四川雅安·阶段练习）已知函数满足恒成立，且在上单调，则的最大值为 ．
（24-25高一下·广东佛山·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围是 ．
题型04 由对称性求的最值或范围
（25-26高三上·福建泉州·期中）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于原点中心对称，则可能的取值是（ ）
A． B． C． D．
四步 内容
理解 题意 已知：函数的图象向左平移个单位后，得到的函数图象关于原点中心对称（即平移后函数为奇函数）. 目标：求的可能取值（从选项A、B、C、D中选择）. 核心：三角函数的平移变换规则、奇函数的性质（）的综合应用.
思路 探求 步骤1：根据“左加右减”的平移规则，求出平移后的函数解析式. 步骤2：利用奇函数在处的性质（为平移后函数），建立关于的方程. 步骤3：求解方程得到的表达式，结合选项确定取值.
书写 表达 步骤1：求平移后的函数解析式 函数向左平移个单位，根据“左加右减”（对直接加平移量），得： 步骤2：利用奇函数性质建立方程 因为关于原点中心对称（奇函数），且在处有定义，故. 代入得： 由余弦函数零点性质，，因此： 步骤3：结合选项判断 当时，（对应选项C）.
题后 反思 关键点：平移变换需严格对“”进行操作，避免错误地对直接加平移量；利用奇函数可快速建立方程. 易错点：平移时混淆“对加”和“对加”，导致解析式错误；忽略的整数解，错过正确选项. 拓展：若函数关于轴对称（偶函数），可利用分析，方法同理.
三角函数平移变换：“左加右减，上加下减”，针对进行线性变换，如向左平移个单位得.
奇函数性质：若奇函数在处有定义，则.
余弦函数零点：.
（24-25高一下·广东茂名·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位，得到的图象恰好关于直线对称，则的最小值是 .
（24-25高一下·广东中山·阶段练习）若函数的图像关于对称，则的最小值为 .
（2025·湖南常德·一模）已知函数在区间上有且仅有1个零点和1条对称轴，则实数的取值范围是 .
题型05 由函数的零点或方程的根求的最值或范围
（25-26高三上·黑龙江吉林·阶段练习）已知函数，若曲线与直线在区间上有且仅有2个交点，则的取值范围为 .
四步 内容
理解 题意 已知：函数（），曲线与直线在区间上有且仅有2个交点. 目标：求的取值范围. 核心：利用三角恒等变换化简函数，结合三角函数的图象与交点个数分析参数范围.
思路 探求 步骤1：用余弦和角公式或和差化积公式化简，得到形如的形式. 步骤2：令，求解方程，得到的解的形式. 步骤3：分析解在区间内的个数，结合建立不等式组，确定的范围.
书写 表达 由函数 ， 令，因为，可得， 因为曲线与直线在区间上有且仅有2个交点， 则曲线与直线在区间上有且仅有2个交点， 则这2个交点的横坐标分别为，则， 解得，即实数的取值范围为 故答案为：
题后 反思 关键点：三角恒等变换的化简是基础，将函数化为单一三角函数形式后，通过解方程分析交点个数，结合区间范围建立不等式组. 易错点：化简时公式应用错误，或分析的取值时遗漏区间限制，导致范围错误. 拓展：若交点个数为其他数值，可类似分析的取值范围，核心是找到解的个数与的对应关系.
三角恒等变换：余弦和角公式，以及辅助角公式的应用.
三角函数方程求解：利用余弦函数的零点、最值性质解方程，结合区间分析解的个数.
三角函数图象与交点个数：通过函数周期性和区间范围，确定参数的取值范围.
（22-23高一下·北京延庆·期中）已知函数，（其中，为常数，且）有且仅有3个零点，则的值为 ，的取值范围是 ．
（2025·湖南常德·模拟预测）已知是函数的极大值点，若在有两个零点和三条对称轴，则a的取值范围为
（24-25高三下·湖南·阶段练习）若函数在内有2个零点，则的最大值为 .
题型06 由图像的变换求的最值或范围
（25-26高三上·河北·月考）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数的图象与曲线重合，则的最小值为 .
四步 内容
理解 题意 已知：函数（）的图象向左平移个单位后，与曲线重合. 目标：求的最小值（）. 核心：正切函数的平移变换规则与周期性（图象重合条件）的综合应用.
思路 探求 步骤1：根据“左加右减”的平移规则，写出平移后的函数解析式. 步骤2：正切函数的图象重合时，相位差为（），据此建立关于的方程. 步骤3：结合的条件，求解的取值，得到的最小值.
书写 表达 将的图象向左平移个单位长度后得到 ， 又与函数的图象重合， 所以，解得， 又，所以的最小值为. 故答案为：
题后 反思 关键点：正切函数的图象重合条件是“相位差为”（而非），因为正切函数的周期是，这是与正弦、余弦函数的重要区别，容易混淆. 易错点：平移时对“左加右减”的操作对象理解错误（需对直接加平移量），或忽略正切函数周期的特殊性，误将相位差当成，导致结果错误. 拓展：若涉及正切函数的伸缩或多次平移，需依次分析变换，始终紧扣“解析式的推导”和“周期、相位的变化规律”.
正切函数的平移变换：“左加右减”，即向左平移个单位得.
正切函数的周期性与图象重合条件：与图象重合的充要条件是（），其周期为.
参数求解：通过建立相位差的方程，结合参数的取值范围（如），确定整数的合理取值，进而得到参数的最小值.
（24-25高一下·广东茂名·期中）已知函数在上单调递增，在上单调递减，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则 .
（24-25高一下·湖北·期中）把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数是奇函数，则的值为 ，若函数在区间上存在最大值2，则实数的取值范围为 .
（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）若函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于轴对称，则的最小值为 ．
题型07 由最值求的最值或范围
（25-26高三上·安徽合肥·开学考试）已知函数在区间上既有最大值，也有最小值，则实数的取值范围为 ．
四步 内容
理解 题意 已知：函数，区间。 目标：求实数的取值范围，使得函数在该区间上既有最大值，又有最小值。 核心：利用二倍角公式化简函数，结合正弦函数的图象与性质（周期性、最值点）分析区间范围.
思路 探求 步骤1：用二倍角公式化简，得到，其周期为. 步骤2：分析的取值范围：当时，. 步骤3：结合正弦函数（）的图象，确定的范围需同时包含最大值点（）和最小值点（），进而推导的范围，得到的取值范围.
书写 表达 ，由，则. 结合的图象（如图），当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，并以为周期. 故当时，此时在区间上单调递减，故该函数没有最小值； 当时，该函数有最小值，有最大值. 当时，该函数有最小值，没有最大值. 当时，该函数有最小值，有最大值. 综上，当或时，该函数有最大值也有最小值. 故实数的取值范围为．
题后 反思 关键点：二倍角公式化简是基础，换元后将问题转化为正弦函数在区间的最值分析，需准确识别正弦函数在时的最值点顺序（先最小值，再最大值，再最小值）. 易错点：对正弦函数周期内的最值点分布判断错误，尤其是的取值（容易遗漏的最大值点），或忽略区间的上界限制（导致包含多余的最值点）. 拓展：若函数为形式，可通过换元、结合三角函数图象的“峰谷”分布，精准推导区间参数的范围，核心是抓住“第一个包含所有所需最值点的区间”.
二倍角公式：，故.
三角函数周期性：的周期，本题中的周期为.
正弦函数的最值点：的最大值点为，最小值点为（）.
区间参数求解：通过分析三角函数在区间内的“峰谷”分布（最值点顺序），建立关于参数的不等式组，进而确定参数的取值范围.
（23-24高三下·广东肇庆·阶段练习）若函数在内存在最小值但无最大值，则的范围是
（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数在区间上单调递增，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是 ．
（25-26高三上·山东·阶段练习）若函数在上有最小值而没有最大值，则的取值范围是 .
题型08 由单调性，对称性，函数的零点求的最值或范围
（2025高三·全国·专题练习）已知函数在单调，且是的一个零点，直线是图象的一条对称轴，则ω的最大值为（ ）
A．18 B．17 C．14 D．13
四步 内容
理解 题意 已知：函数（），在单调；是零点；是对称轴. 目标：求的最大值，选项为A.18、B.17、C.14、D.13. 核心：三角函数的零点与对称轴的关系、单调性与周期的关系的综合应用.
思路 探求 步骤1：利用“零点到对称轴的距离与周期的关系”，推导的表达式（含整数）. 步骤2：结合“单调区间长度不超过半个周期”，得到的上限. 步骤3：根据的表达式和上限，验证最大可能的奇数，确定最终值.
书写 表达 由题意得，所以. 又，所以，所以 . 因为在单调，所以，即. 结合得，解得. ①当，即时，，所以，. 因为，所以，此时. 当时，，由正弦函数的性质可知函数在上不单调，所以不符合题意； ②当，即时，，所以，. 因为，所以 ，此时. 当时，，由正弦函数的性质可知函数在上不单调，所以不符合题意； ③当，即时，，所以，. 因为，所以，此时. 当时，，由正弦函数的性质可知函数在上单调递增，所以符合题意. 综上，的最大值为13.
题后 反思 关键点：准确把握“零点与对称轴的距离和周期的关系”，得出的结论；结合单调性的区间长度限制，缩小的范围. 易错点：忽略需为奇数的隐含条件，误选18；验证时未检查的取值范围（），导致逻辑不完整. 拓展：若题目改为“既有最大值又有最小值”，则需结合周期内的“峰谷”分布分析；本题仅需单调，故只需区间长度不超过半个周期.
三角函数的零点与对称轴的关系：若是零点，是对称轴，则（），即（正弦函数）.
单调性与周期的关系：若函数在区间单调，则.
参数范围求解：通过建立周期、区间长度的不等式，结合函数的奇偶性（或整数性），确定参数的最值.
（23-24高三上·辽宁大连·期末）已知函数满足下列条件：①对任意恒成立；②在区间上是单调函数；③经过点的任意一条直线与函数图像都有交点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（2025·全国·模拟预测）已知函数在上单调， ，若将曲线向右平移个单位后恰好关于轴对称，则正数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．0
题型09 由函数的图像求
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．
四步 内容
理解 题意 已知：函数，直线与曲线的两个交点满足. 目标：求的值. 核心：利用正弦函数的方程解结构、周期与的关系，结合图象特征确定和，进而求值.
思路 探求 步骤1：解方程，得到两个解的横坐标差，结合求. 步骤2：根据图象特征（如处函数值的正负）确定. 步骤3：利用三角函数的周期性计算.
书写 表达 设，由可得， 由可知，或，，由图可知， ，即，． 因为，所以，即，． 所以， 所以或， 又因为，所以，． 故答案为：．
题后 反思 关键点：利用正弦方程解的“间距与周期的关系”求，需明确的两个解间距为，再结合的缩放作用推导. 易错点：确定时易忽略图象的正负性，导致取值错误；计算时易忘记三角函数的周期性化简.
正弦函数的方程解：（）的解为或（）.
周期与的关系：，解的间距与周期的比值由决定.
三角函数求值：利用周期性（）和相位化简，直接计算函数值.
（24-25高一下·北京顺义·期末）已知函数（，）部分图象如图所示.其中A，B是直线与曲线相邻的两个交点.若，则 ， .
（2025·广西·模拟预测）如图，记函数在一个周期内的图象为曲线，直线与交于A，B两点，直线与交于C，D两点，连接AD，BC，若四边形ABCD为平行四边形，且其面积为，则 .
（25-26高一上·全国·单元测试）如图，已知函数，点是直线与函数的图象的两个交点，若，则 ．
.1．（25-26高三上·福建泉州·期中）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于原点中心对称，则可能的取值是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高三上·北京·期中）已知函数（），若恒成立，且在内至少有3个零点，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（25-26高三上·山东聊城·月考）已知函数．
(1)若函数的最小正周期为，求的值；
(2)若函数在上单调，且其图象在上存在对称轴，求实数的取值范围．
4．（25-26高三上·上海·期中）已知，若两个不等的实数满足且 的最小值为，则 .
5．（25-26高三上·天津蓟州·期中）已知函数 ．若恒成立，且在区间内至少存在两个零点，则的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
6．（25-26高三上·山东·期中）若函数 的最大值为1，则常数φ的值为（ ）
A． B． C． D．
【多选题】7．（2025·陕西榆林·一模）如图，函数的部分图象与直线交于两点，且，点在曲线上，则（ ）
A．
B．为偶函数
C．在上单调递减
D．
8．（25-26高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数在区间上恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·福建福州·模拟预测）已知函数，若方程在区间上恰有3个实根，则ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25高三上·上海黄浦·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（25-26高三上·黑龙江吉林·阶段练习）已知函数，若曲线与直线在区间上有且仅有2个交点，则的取值范围为 .
【多选题】12．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知函数，若、是关于的方程的两个不同的解，且的最小值为，则下列说法中正确的有（ ）
A．
B．若是图象的一条对称轴，则
C．若在区间内无最大值，则
D．若，则的图象在内有且仅有一个对称中心
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