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重难点专题 三角函数图像与性质归类
1 图像能力：五点画图
重难点一、五点法
确定的步骤和方法: (1)求 ：确定函数的最大值和最小值，则 ，； (2)求：确定函数的周期，则可； (3)求：常用的方法有代入法和五点法． ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时已知)或代入图象与直线的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)． ②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．
1．（2025·广东广州·模拟预测）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2025·河南郑州·二模）函数与函数的图象交点个数为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·广东广州·期末）时，函数与的图象交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（24-25高一上·江苏徐州·期末）函数与图象的交点个数为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
1 0 -1 0
重难点二、识图求解析式
函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）中参数A．φ、ω的作用 参数作用AA决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅.φφ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位.ωω决定了函数的周期T＝.
5．（2025·江苏淮安·模拟预测）函数的图像如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·广东·模拟预测）已知函数的部分图象大致如图所示，则（ ）
A．0 B． C． D．
7．（25-26高三上·北京·月考）已知函数，,，如图A，B是直线与曲线的交点，若，，则（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
8．（25-26高三上·山东聊城·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．3 B．4 C． D．2
重难点三、看图平移--异名型
y＝sin ωx→y＝sin(ωx＋φ)变换规则是：先提取后者x的系数ω，然后在左(右)平移||个单位； (2)基本性质：①定义域：解三角函数不等式用“数形结合” ②值域：由内向外 ③单调性：同增异减 (3)周期公式：①y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝ ②y＝|Asin(ωx＋φ)|的周期T＝. (3)对称性： 换元思想，将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中的“x”，采用整体代入求解． ①对称轴：最值处，令sin(ωx＋φ) ＝1，则ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，可求得对称轴方程； ②对称中心：零点处，令sin(ωx＋φ) ＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标； 正弦“第一零点”：；正弦“第二零点”： 余弦“第一零点”：；余弦“第二零点”：
9．（19-20高一·全国·课后作业）要得到的图像，可以将函数的图像
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
10．（22-23高一上·河南安阳·期末）为了得到函数的图像，只需将的图像（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
11．（22-23高一上·山东临沂·期末）为了得到函数的图像，只需将函数的图象（ ）
A．左移个单位长度 B．左移个单位长度
C．右移个单位长度 D．右移个单位长度
12．（23-24高一下·内蒙古赤峰·月考）已知函数，为了得到函数的图像，可把函数的图像（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
重难点四、复合型图像与解析式
图象的变换 （1）振幅变换 要得到函数y＝Asinx（A＞0，A≠1）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到． （2）平移变换 要得到函数y＝sin（x＋φ）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到． （3）周期变换 要得到函数y＝sinωx（x∈R）（其中ω＞0且ω≠1）的图象，可以把函数y＝sinx上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的_倍（纵坐标不变）即可得到
13．（25-26高三上·四川绵阳·月考）函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则（ ）
A．1 B． C． D．
14．（2024·广东广州·一模）已知函数的部分图像如图所示，则函数 的表达式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数，则下列结论中正确的有（ ）
A．的最小正周期为 B．的值域为
C．点是图象的一个对称中心 D．不等式的解集为
16．（19-20高三上·全国·月考）已知函数的图象与直线的相邻交点间的距离为，若定义，则函数在区间内的图象是（ ）
A． B．
C． D．
重难点五、最小平移求参
最小平移法技巧： 可以直接借助五点画图来画出喊“w”的对应“五点”的点坐标，然后结合中心或者轴等最小值因素求解
17．（2023·甘肃定西·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，则的最小正值为（ ）
A． B． C． D．
18．（2020·湖南长沙·模拟预测）已知两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于，当时，函数取得最小值，将的图象向左平移个单位得到一个奇函数，则的最小正值是（ ）
A． B． C． D．
19．（20-21高三上·湖南常德·期末）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于原点对称，则的最小正值是 （ ）
A． B． C． D．
20．（2025高三·全国·专题练习）若把函数的图象按向量平移所得的图象关于轴对称，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
2 对称轴与对称中心
重难点一、存在对称轴求w
正弦函数对称轴 （k∈Z）时，ymax＝1； （k∈Z）时，ymin＝－1 余弦函数对称轴 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ＋π（k∈Z）时，ymin＝－1
1．（22-23高二下·陕西咸阳·月考）已知函数在区间上至少存在两条对称轴，则的最小值为（ ）
A．6 B．
C． D．
2．（22-23高二下·陕西咸阳·月考）已知函数的图象在区间内至多存在3条对称轴，则正实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高一下·四川成都·月考）已知，函数满足，且在区间上恰好存在两条对称轴，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·三模）已知函数，（）的图象在区间内至多存在3条对称轴，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
重难点二、存在对称中心求w
正余弦函数性质：对称中心 正弦函数对称中心： (kπ，0)(k∈Z) 余弦函数对称中心 (＋kπ，0)(k∈Z) 正切函数对称中心 (，0)(k∈Z) 正余弦函数对称中心（零点），在一些特殊题型时，要注意“第一零点与第二零点”的区别。而对于正切函数tanx，特别是正切型的对称中心，不一定是正切的零点，这个要注意区别。
5．（2025·云南大理·模拟预测）若函数与函数（，）图象的对称中心完全一致，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高一上·全国·专题练习）设函数的图象在区间内恰有三条对称轴、两个对称中心，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（25-26高三上·河北衡水·月考）若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·重庆·模拟预测）函数 的一条对称轴为，一个对称中心为，则可能为（ ）
A．0 B． C． D．
重难点三、单调区间求w
正弦函数 在每一个闭区间（k∈Z）上都单调递增， 在每一个闭区间（k∈Z）上都单调递减 余弦函数 在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）上都单调递增， 在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π] （k∈Z）上都单调递减
9．（22-23高一下·重庆·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是的一个单调区间，且，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
10．（2025·全国·模拟预测）已知函数在上单调， ，若将曲线向右平移个单位后恰好关于轴对称，则正数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在单调，且是的一个零点，直线是图象的一条对称轴，则ω的最大值为（ ）
A．18 B．17 C．14 D．13
12．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，（，），，，且在区间上单调，则的最大值为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．7
重难点四、零点最多最少求w
在三角函数图象与性质中，对整个图象性质影响最大，因为可改变函数的单调区间，极值个数和零点个数，求解的取值范围是经常考察的内容，综合性较强，除掌握三角函数图象和性质，还要准确发掘题干中的隐含条件，找到切入点，数形结合求出相关性质，如最小正周期，零点个数，极值点个数等，此部分题目还常常和导函数，去绝对值等相结合考查综合能力. 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)在区间内有n个零点，则满足
13．（25-26高三上·广东·月考）若对任意实数，函数在上最少有三个不同的零点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
14．（25-26高三上·重庆·月考）已知将向左平移个单位得到函数的图象，若函数在区间上恰有4个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
15．（25-26高二上·河北保定·月考）将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在上有两个不同的零点，，则（ ）
A．0 B． C． D．
16．（25-26高三上·浙江杭州·期中）已知函数在上恰有个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
重难点五、无最值或者不单调求w
没有零点型型求w，可以采用正难则反的策略把无交点问题转化为有交点的问题，利用补集思想得到最终的结果，对于其他否定性问题经常这样思考. 对于正余弦型函数，如果区间内不单调，则区间内必有对称轴，可以借助这个思维来求解
17．（2023·辽宁·模拟预测）已知函数（，）在区间内单调，在区间内不单调，则ω的值为 ．
18．（19-20高三上·湖南益阳·期末）已知，将的图象向右平移个单位，得到的函数与的图象关于对称，且函数在上不单调，则的最小值为 ．
19．（2024·河南·模拟预测）已知函数，满足的的最小值为，若函数在区间内有零点，无最值，则的取值范围是 .
20．（24-25高一下·上海·期中）若直线是函数图象的对称轴，且在上无最值，则 ．
重难点六、整数型
求正整数型，可以先求出对应的范围，再“卡”整数点。
21．（20-21高一下·陕西渭南·期末）已知函数在区间上的最小值小于零，则可取的最小正整数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
22．（20-21高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）将函数的图像向左平移个单位长度，得函数的图像，若在内只有两个最值（即最大值和最小值），则的最大正整数值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
23．（19-20高一·全国·课后作业）已知函数f(x)＝sin，其中k≠0，当自变量x在任何两个整数间(包括整数本身)变化时，至少含有一个周期，则最小正整数k的值为 ．
24．（2021高三·全国·专题练习）已知函数图像上任意一点关于点的对称点在的图像上，且函数的图像关于对称，则的最小正整数值为 ．
3最值与值域型
重难点一、辅助角型求值域
辅助角公式：
1．（2025高三·全国·专题练习）已知为第二象限角，且，那么的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
2．（2025高三·全国·专题练习）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·江苏南通·模拟预测）函数的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
4．（2025·河北·模拟预测）函数在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
重难点二、非特殊角的辅助角型
非特殊角的辅助角公式原理：
5．（24-25高一下·山东威海·期中）已知函数的最大值为，则（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高一下·江苏苏州·月考）设的最大值为，则正数a的值是（ ）
A．3 B． C． D．
7．（24-25高一下·广西钦州·期末）函数的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．3
8．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，其中，且.记的最大值与最小值之和为，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
重难点三、正切主元型
正切主元型： 构造关于正弦与余弦的齐次式，借助同除来构造正切主元型函数。
9．（24-25高一下·江苏苏州·期中）若，其中，，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24高二上·湖南长沙·期末）函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
11．（23-24高三上·湖北·期中）已知，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．（20-21高三上·浙江台州·月考）已知，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
重难点四、超越函数型
13．（2025高三·全国·专题练习）已知，设函数的最大值是M，最小值是N，则（ ）
A． B．
C． D．
14．（23-24高三上·福建福州·期中）设函数的定义域为D，，，当时，恒有，则称点为函数图象的对称中心．利用对称中心的上述定义，研究函数，可得到（ ）
A．0 B．2023 C．4046 D．4047
15．（16-17高三上·宁夏石嘴山·月考）设函数的定义域为，若对于任意的，，当时，恒有，则称点为函数图象的对称中心．研究函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到
A．0 B．2014 C．4028 D．4031
16．（22-23高三上·四川广安·月考）已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
1中小学教育资源及组卷应用平台
重难点专题 三角函数图像与性质归类
1 图像能力：五点画图
重难点一、五点法
确定的步骤和方法: (1)求 ：确定函数的最大值和最小值，则 ，； (2)求：确定函数的周期，则可； (3)求：常用的方法有代入法和五点法． ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时已知)或代入图象与直线的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)． ②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．
1．（2025·广东广州·模拟预测）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】当时，画出曲线与的图象即可得解.
【详解】当时，曲线与的图象如图所示，
由图可知，当时，曲线与的交点个数为4.
故选：B.
2．（2025·河南郑州·二模）函数与函数的图象交点个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用五点法作出三角型函数图象，再用两点法作出对数函数图象，即可通过图象观察交点个数.
【详解】
通过五点法作出周期函数的图象，
再通过两点法作出单调函数的图象，
因为，所以通过图象可判断它们有个交点，
故选：A.
3．（24-25高一上·广东广州·期末）时，函数与的图象交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】作出函数图象即可求解.
【详解】在同一直角坐标系中，分别作出与的图象，
根据图象可知：与的图象在有4个交点，
故选：B
4．（24-25高一上·江苏徐州·期末）函数与图象的交点个数为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】A
【分析】在同一坐标系中画出函数与函数交点个数可得答案.
【详解】由题.
在一个周期内，所过5个特殊点对应表格为：
1 0 -1 0
据此可在同一坐标系中画出大致图像如下，由图可得共8个交点.
故选：A
重难点二、识图求解析式
函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）中参数A．φ、ω的作用 参数作用AA决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅.φφ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位.ωω决定了函数的周期T＝.
5．（2025·江苏淮安·模拟预测）函数的图像如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由图象的最值得到的值，由两个零点求出，最后代入特殊点求得，即可得到函数解析式.
【详解】观察图象可得函数的最大值为，最小值为，又，
所以，
又∵，∴，∴，
因为时函数取最大值，
所以，，又，
∴，
∴.
故选：C.
6．（2025·广东·模拟预测）已知函数的部分图象大致如图所示，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】要解决这个问题，我们需要根据函数的图象求出和，进而求出的值。
【详解】因为的图象过点，所以，
由图可知，点在减区间内，所以．
因为的图象过点，所以，
由图可知，点在减区间内，所以，即．
因为，所以，所以，
所以，所以.
故选：D
7．（25-26高三上·北京·月考）已知函数，,，如图A，B是直线与曲线的交点，若，，则（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】由图可知，，可求出，再由，可求出.
【详解】由题意，令，
则由图可知，.
所以，解得.
又，结合图象可知，则，
又，解得.
故选：C.
8．（25-26高三上·山东聊城·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．3 B．4 C． D．2
【答案】A
【分析】结合图象求出周期，进而利用可得结果.
【详解】由题图知，即，
所以，又，则.
故选：A
重难点三、看图平移--异名型
y＝sin ωx→y＝sin(ωx＋φ)变换规则是：先提取后者x的系数ω，然后在左(右)平移||个单位； (2)基本性质：①定义域：解三角函数不等式用“数形结合” ②值域：由内向外 ③单调性：同增异减 (3)周期公式：①y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝ ②y＝|Asin(ωx＋φ)|的周期T＝. (3)对称性： 换元思想，将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中的“x”，采用整体代入求解． ①对称轴：最值处，令sin(ωx＋φ) ＝1，则ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，可求得对称轴方程； ②对称中心：零点处，令sin(ωx＋φ) ＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标； 正弦“第一零点”：；正弦“第二零点”： 余弦“第一零点”：；余弦“第二零点”：
9．（19-20高一·全国·课后作业）要得到的图像，可以将函数的图像
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】C
【解析】利用诱导公式将与化成同名函数,再根据函数的图像变换分析即可.
【详解】（方法一）
,
将函数的图像向左平移个单位,便可得到函数的图像.
（方法二）,
将函数的图像向左平移个单位,便可得到函数的图像.
故选：C
【点睛】本题主要考查了诱导公式以及三角函数图像变换的运用等.属于中等题型.
10．（22-23高一上·河南安阳·期末）为了得到函数的图像，只需将的图像（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】C
【分析】利用诱导公式化简两个函数的表达式为同名函数，然后利用左加右减的原则确定平移的方向与单位即可得解．
【详解】因为，所以只需将的图像上的所有点向左平移个单位长度即可得到函数的图像．
故选：C
11．（22-23高一上·山东临沂·期末）为了得到函数的图像，只需将函数的图象（ ）
A．左移个单位长度 B．左移个单位长度
C．右移个单位长度 D．右移个单位长度
【答案】D
【分析】根据函数图象的平移变换即可求解.
【详解】因为，
所以为了得到函数的图像，
只需将函数的图象右移个单位长度，
故选:D.
12．（23-24高一下·内蒙古赤峰·月考）已知函数，为了得到函数的图像，可把函数的图像（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】D
【分析】根据左加右减得到平移后的解析式，并结合诱导公式得到答案.
【详解】A选项，向左平移个单位长度，
得到，A错误；
B选项，向右平移个单位长度，
得到，B错误；
C选项，向左平移个单位长度，
得到，C错误；
D选项，向右平移个单位长度，
得到，D正确.
故选：D
重难点四、复合型图像与解析式
图象的变换 （1）振幅变换 要得到函数y＝Asinx（A＞0，A≠1）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到． （2）平移变换 要得到函数y＝sin（x＋φ）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到． （3）周期变换 要得到函数y＝sinωx（x∈R）（其中ω＞0且ω≠1）的图象，可以把函数y＝sinx上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的_倍（纵坐标不变）即可得到
13．（25-26高三上·四川绵阳·月考）函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】由正切函数的周期性及其图象，应用等面积法求得最小正周期为，结合图象所过的点求得参数，即可得的解析式，进而求函数值即可.
【详解】如图，由正切函数的周期性可知，①和②面积相等，
故阴影部分的面积即为矩形的面积，易知，
设函数的最小正周期为，则，
由题意得，解得，故，得，即.
的图象过点，即，
所以，则，所以，解得，则，
所以.
故选：B.
14．（2024·广东广州·一模）已知函数的部分图像如图所示，则函数 的表达式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性、定义域以及三角函数的性质来逐一分析选项，从而确定函数的解析式.
【详解】对于A选项：已知，，
因为，所以，
又因为（为任意角），这里，
所以，故是奇函数，
而题目所给函数图象关于轴对称，是偶函数，所以A选项不符合，排除.
对于B选项：对于，同样根据奇函数的定义计算：，
由于，所以，
又因为（为任意角，这里），
所以，即是奇函数，
不符合函数图象为偶函数这一条件，排除.
对于C选项：对于，，
因为，且（为任意角，这里），
所以，所以是偶函数.
对于D选项：对于，，
因为，所以，
所以是偶函数.
此时C、D选项函数均为偶函数，还需结合定义域进一步判断.
对于C选项：正切函数的定义域为，，
对于，其自变量需满足有意义，
所以的定义域为，，不是.
而从题目所给图象来看，函数的定义域是，所以C选项不符合，排除.
对于D选项：对于，因为余弦函数的定义域是，
且，的值在正切函数的定义域内，
所以的定义域是，符合图象所给信息.
故选：D.
15．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数，则下列结论中正确的有（ ）
A．的最小正周期为 B．的值域为
C．点是图象的一个对称中心 D．不等式的解集为
【答案】D
【分析】把函数用分段函数表示，再作出的图象，观察图象即可判断选项A，B，C，解不等式即可判断选项D而作答.
【详解】，
作出的图象，如图，观察图象，
对于A， 的最小正周期为，故A错误；
对于B，的值域为，B错误；
对于C，的图象没有对称中心，C错误；
对于D，不等式，
即时，得，
解得，
所以的解集为，故D正确.
故选：D.
16．（19-20高三上·全国·月考）已知函数的图象与直线的相邻交点间的距离为，若定义，则函数在区间内的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题知，利用求出，再根据题给定义，化简求出的解析式，结合正弦函数和正切函数图象判断，即可得出答案.
【详解】根据题意，的图象与直线的相邻交点间的距离为，
所以的周期为，则，
所以，
由正弦函数和正切函数图象可知A正确.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是对新定义的理解.
重难点五、最小平移求参
最小平移法技巧： 可以直接借助五点画图来画出喊“w”的对应“五点”的点坐标，然后结合中心或者轴等最小值因素求解
17．（2023·甘肃定西·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，则的最小正值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用三角恒等变换得到，得到平移后的解析式，结合三角函数诱导公式求出，，得到最小正值.
【详解】，
故图象向右平移个单位长度得到，
又，
令，，解得，，
当时，取得最小正值，最小正值为.
故选：A
18．（2020·湖南长沙·模拟预测）已知两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于，当时，函数取得最小值，将的图象向左平移个单位得到一个奇函数，则的最小正值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可知,从而求出,再将最小值代入解析式求出,从而得到,进而根据平移变换得到平移后的解析式,再利用奇偶性求出,即可得出结论.
【详解】因为两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于,
所以,
所以,即
又当时,函数取得最小值,
所以,
则,
又,所以,
所以,
设将的图象向左平移个单位得到,则,
因为是一个奇函数,
所以,即,
所以当时,的最小正值是,
故选:D.
【点睛】本题综合考查了三角函数的图象性质及平移变换,需要学生对基础知识掌握牢固且灵活运用,属于中档题.
19．（20-21高三上·湖南常德·期末）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于原点对称，则的最小正值是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得平移后的函数解析式为，再根据三角函数的对称性即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴向右平移个单位后的函数解析式为，
∵所得图象关于原点对称，
∴，
∴，
∴当时，有最小正值，且，
故选：A．
【点睛】本题主要考查三角函数的图象及其性质，属于基础题．
20．（2025高三·全国·专题练习）若把函数的图象按向量平移所得的图象关于轴对称，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题设得平移后的解析式为，由对称性得，即可得.
【详解】由题设，向右平移个单位，则，
平移后图象关于轴对称，则，，可得，.
又，故的最小值为.
故选：B
2 对称轴与对称中心
重难点一、存在对称轴求w
正弦函数对称轴 （k∈Z）时，ymax＝1； （k∈Z）时，ymin＝－1 余弦函数对称轴 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ＋π（k∈Z）时，ymin＝－1
1．（22-23高二下·陕西咸阳·月考）已知函数在区间上至少存在两条对称轴，则的最小值为（ ）
A．6 B．
C． D．
【答案】C
【分析】化简函数，根据题意，结合余弦型函数的性质，列出不等式，即可求解.
【详解】因为函数，
由，可得，
要使得函数在区间上至少存在两条对称轴，
根据余弦型函数的性质，则满足，解得，
所以实数的最小值为.
故选：C.
2．（22-23高二下·陕西咸阳·月考）已知函数的图象在区间内至多存在3条对称轴，则正实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定的区间，求出相位范围，再结合余弦函数的图象性质列式求解即得.
【详解】由，得，
依题意，，解得，即，
所以正实数的最大值为.
故选：A
3．（22-23高一下·四川成都·月考）已知，函数满足，且在区间上恰好存在两条对称轴，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知条件得出周期的范围，即得的范围，由得函数图象的一个对称中心是，则，结合的范围可得答案.
【详解】函数的最小正周期为，则，
在区间上恰好存在两条对称轴，，
所以，即，解得，
因为，所以，
所以点是函数图象的一个对称中心，
则，得，即，
因，则，且随的增大而增大，
当时，，当时，，
则的最大值为.
故选：A.
4．（2023·全国·三模）已知函数，（）的图象在区间内至多存在3条对称轴，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据，，得到，数形结合得到，求出答案.
【详解】因为，，
所以，
画出的图象，
要想图象在区间内至多存在3条对称轴，则，
解得.
故选：A
重难点二、存在对称中心求w
正余弦函数性质：对称中心 正弦函数对称中心： (kπ，0)(k∈Z) 余弦函数对称中心 (＋kπ，0)(k∈Z) 正切函数对称中心 (，0)(k∈Z) 正余弦函数对称中心（零点），在一些特殊题型时，要注意“第一零点与第二零点”的区别。而对于正切函数tanx，特别是正切型的对称中心，不一定是正切的零点，这个要注意区别。
5．（2025·云南大理·模拟预测）若函数与函数（，）图象的对称中心完全一致，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，可算出与的周期相等，由此可求出，然后根据正弦曲线、正切曲线的对称性，分别求出两个函数图象的对称中心，建立关于的等式，进而求出满足条件的值.
【详解】因为函数，的相邻对称中心的距离都是半个周期，
且函数与函数图象的对称中心完全一致，
故函数与的周期相等，
又函数的周期，∴，
∴，
∴，
令（），故（），
令（），则（），
故（，），
解得（，），
又，所以.
故选：.
6．（2025高一上·全国·专题练习）设函数的图象在区间内恰有三条对称轴、两个对称中心，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到，求解即可.
【详解】因为，所以.
的部分图象如图所示，
要使函数的图象在区间内恰有三条对称轴、两个对称中心，
则，解得，即.
故选：C.
7．（25-26高三上·河北衡水·月考）若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正切函数的图象对称性特征，建立方程求解即得.
【详解】依题意，，即，
又，故的最小值为.
故选：B.
8．（2025·重庆·模拟预测）函数 的一条对称轴为，一个对称中心为，则可能为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】利用辅助角公式化简原函数，再利用整体代入法求解对称轴和对称中心，最后求解的可能值即可.
【详解】因为，所以由辅助角公式得，
令，解得，故，
令，解得，故，
则,
当时，，故C正确.
故选：C
重难点三、单调区间求w
正弦函数 在每一个闭区间（k∈Z）上都单调递增， 在每一个闭区间（k∈Z）上都单调递减 余弦函数 在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）上都单调递增， 在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π] （k∈Z）上都单调递减
9．（22-23高一下·重庆·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是的一个单调区间，且，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】先根据平移法则求得的解析式，根据的对称性求出，结合两角和差正弦公式化简得的解析式，利用正弦函数性质即可求得最值.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后得到，因为是的一个单调区间，所以，
所以，所以，又，所以，
故，，
所以
，因为，所以的最大值为，
故选：C
10．（2025·全国·模拟预测）已知函数在上单调， ，若将曲线向右平移个单位后恰好关于轴对称，则正数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用函数的单调区间长度可以估计周期的长度，再结合，可确定的取值，然后进行讨论检验即可得解.
【详解】因为函数，
又函数在上单调，
所以函数的最小正周期，
则，又，所以．
若，则由，
又因为，，所以此时无解．
若，则，
因为，所以．又，符合题意．
若，则，
又，，则此时无解．
综上，，所以函数图像向右平移个单位，，
由的图象关于轴对称，
所以有，
则正数的最小值为，
故选：D．
11．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在单调，且是的一个零点，直线是图象的一条对称轴，则ω的最大值为（ ）
A．18 B．17 C．14 D．13
【答案】D
【分析】由题意得，故.结合正弦型函数的周期公式可得.由在单调得 ，结合可得.由于最大时，对应也最大，结合所求为的最大值，则考虑从最大的开始代入验证，即可求解.
【详解】由题意得，所以.
又，所以，所以.
因为在单调，所以，即.
结合得，解得.
①当，即时，，所以，.
因为，所以，此时.
当时，，由正弦函数的性质可知函数在上不单调，所以不符合题意；
②当，即时，，所以，.
因为，所以，此时.
当时，，由正弦函数的性质可知函数在上不单调，所以不符合题意；
③当，即时，，所以，.
因为，所以，此时.
当时，，由正弦函数的性质可知函数在上单调递增，所以符合题意.
综上，的最大值为13.
故选：D.
12．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，（，），，，且在区间上单调，则的最大值为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】根据函数的单调性确定的取值范围，再由两个函数的值列出方程组，求解后分析即得的最大值.
【详解】设函数的最小正周期为，
因为在区间上单调，所以，即，
又因为，则有，
又，，则得，
消去，可得，即，
因为，所以，可得，
故当时，取得最大值为5，
当时，，，，
此时，符合题意.
故选：B.
重难点四、零点最多最少求w
在三角函数图象与性质中，对整个图象性质影响最大，因为可改变函数的单调区间，极值个数和零点个数，求解的取值范围是经常考察的内容，综合性较强，除掌握三角函数图象和性质，还要准确发掘题干中的隐含条件，找到切入点，数形结合求出相关性质，如最小正周期，零点个数，极值点个数等，此部分题目还常常和导函数，去绝对值等相结合考查综合能力. 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)在区间内有n个零点，则满足
13．（25-26高三上·广东·月考）若对任意实数，函数在上最少有三个不同的零点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设的最小正周期为，可得，结合最小正周期可求得的最小值.
【详解】设的最小正周期为，则.
因为，所以，解得，所以的最小值为.
故选：B.
14．（25-26高三上·重庆·月考）已知将向左平移个单位得到函数的图象，若函数在区间上恰有4个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用三角恒等变换得，利用图像的变换得，由得，进而得，解出即可.
【详解】由题意有：，
所以，
由有，
又函数在区间上恰有4个零点，
所以，解得，即，
故选：B.
15．（25-26高二上·河北保定·月考）将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在上有两个不同的零点，，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数图象的变换可得，即可结合正弦函数的对称性得，进而，即可求解.
【详解】将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到的图象，
再向右平移个单位长度，得到的图象．
当时，，
令，，
则关于t的方程在上有两个不等的实数根，，
所以，
即，则，
所以．
故选：B
16．（25-26高三上·浙江杭州·期中）已知函数在上恰有个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将问题转化为在上恰有个零点，求出的范围，再分、两种情况讨论即可.
【详解】因，，则，
因函数与的零点完全相同，
则函数在上恰有个零点，等价于函数在上恰有个零点，
①若，即，则，
则不可能存在个零点；
②若，即，因为区间关于对称，
则，得
综上，的取值范围是.
故选：B
重难点五、无最值或者不单调求w
没有零点型型求w，可以采用正难则反的策略把无交点问题转化为有交点的问题，利用补集思想得到最终的结果，对于其他否定性问题经常这样思考. 对于正余弦型函数，如果区间内不单调，则区间内必有对称轴，可以借助这个思维来求解
17．（2023·辽宁·模拟预测）已知函数（，）在区间内单调，在区间内不单调，则ω的值为 ．
【答案】2
【分析】由函数的单调性列不等式组，解出ω的范围，即可得到答案.
【详解】依题意得，即．
因为当时，，
所以()，则 ，()，解得：().
令k＝0，则1≤ω≤2，而，故，又ω∈Z，所以ω＝2，经检验，ω＝2符合题意．
故答案为：2
18．（19-20高三上·湖南益阳·期末）已知，将的图象向右平移个单位，得到的函数与的图象关于对称，且函数在上不单调，则的最小值为 ．
【答案】5
【分析】由题意可得，故有一条对称轴为，所以，可得.时，，无整数解；时，均为整数解，时，
【详解】解：与关于对称，
故有一条对称轴为，
所以，，
故存在，满足.
时，，无整数解；时，均为整数解，
时，.
【点睛】本题主要考查由三角函数的性质求参数，综合性大，后分k的情况讨论时解题的关键.
19．（2024·河南·模拟预测）已知函数，满足的的最小值为，若函数在区间内有零点，无最值，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据三角函数图象性质可得，再根据函数在区间内有零点，无最值限定出不等式，再根据的范围可得结果.
【详解】因为函数，且满足的的最小值为，
所以函数的最小正周期，所以，解得，
即可得，
因为，所以.
因为函数在区间内有零点，无最值，
所以，解得，
即，
当时，，不满足条件；
当时，，满足条件；
当时，，满足条件；
当时，，不满足条件.
综上所述，的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据满足的的最小值为求出，再结合正弦函数图象性质由零点和最值个数限定出不等式可解得的取值范围.
20．（24-25高一下·上海·期中）若直线是函数图象的对称轴，且在上无最值，则 ．
【答案】或
【分析】首先利用辅助角公式化简，再根据对称性求出，根据函数在上无最值，求出的范围，即可得解.
【详解】因为
，
又直线是函数图象的对称轴，所以，
则；
当，则，
又在上无最值，所以，解得，则，
所以或，则或（负值舍去）；
故答案为：或
重难点六、整数型
求正整数型，可以先求出对应的范围，再“卡”整数点。
21．（20-21高一下·陕西渭南·期末）已知函数在区间上的最小值小于零，则可取的最小正整数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】分别对4个选项中的值进行验证，利用余弦函数的图象与性质判断是否符合题意即可求出结果.
【详解】A：，所以，则不存在最小值，不合题意，故A错误；
B：，所以，则不存在最小值，不合题意，故B错误；
C：，所以，则不存在最小值，不合题意，故C错误；
D：，所以，当时， ，符合题意，故D正确；
故选：D.
22．（20-21高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）将函数的图像向左平移个单位长度，得函数的图像，若在内只有两个最值（即最大值和最小值），则的最大正整数值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【分析】本题首先可将转化为，然后根据图像变换得出，再然后根据得出，最后根据正弦函数性质得出，通过计算即可得出结果.
【详解】，
向左平移个单位长度，得到函数，
因为，所以，
因为在内只有两个最值，
所以，解得，的最大正整数值为，
故选：B.
【点睛】本题考查两角和的正弦公式、三角函数图像变换以及正弦函数性质，考查的公式为，考查推理能力，考查转化与化归思想，是中档题.
23．（19-20高一·全国·课后作业）已知函数f(x)＝sin，其中k≠0，当自变量x在任何两个整数间(包括整数本身)变化时，至少含有一个周期，则最小正整数k的值为 ．
【答案】63
【分析】先计算出函数的最小正周期，结合题意中给出的范围，即可求得参数的范围.
【详解】∵函数f(x)＝sin的最小正周期为T＝＝，
且由题意知T≤1，即≤1，|k|≥20π≈62.8.
∴最小正整数k的值为63.
故答案为：63
【点睛】本题考查由正弦型函数的最小正周期求参数的值，属基础题,
24．（2021高三·全国·专题练习）已知函数图像上任意一点关于点的对称点在的图像上，且函数的图像关于对称，则的最小正整数值为 ．
【答案】
【分析】由对称的特点可得，再根据的图像关于对称可得，即可得出所求.
【详解】设点的坐标为，其关于点的对称点为，
∵在的图像上，则，即，
又∵图像关于对称，∴是()的一个解，
即，即，，则的最小正整数值为．
故答案为：3.
3最值与值域型
重难点一、辅助角型求值域
辅助角公式：
1．（2025高三·全国·专题练习）已知为第二象限角，且，那么的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先得，然后由辅助角公式即可求解.
【详解】已知为第二象限角，即，所以，
又，所以，，
所以，，
所以，所以的范围是，
的取值范围是.
故选：D.
2．（2025高三·全国·专题练习）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将原式进行化简，然后根据正弦函数的范围列出不等式，然后求得一元二次不等式的解集即可.
【详解】原式可化为．
由辅助角公式，得，
∴，整理得，
解得.
故选：B．
3．（2025·江苏南通·模拟预测）函数的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】分、讨论去掉绝对值，然后利用两角和的正弦、余弦公式化简，再根据的范围求出值域可得答案.
【详解】当即时，
，
因为，所以，
所以，；
当即时，
，
因为，所以，
所以，；
综上所述，.
故选：B.
4．（2025·河北·模拟预测）函数在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先运用差角公式，二倍角公式，辅助角公式化简函数表达式，再换元求解函数值域即可.
【详解】根据题意，，
根据倍角公式可得，
令，因为，则，可得，
故选：A.
重难点二、非特殊角的辅助角型
非特殊角的辅助角公式原理：
5．（24-25高一下·山东威海·期中）已知函数的最大值为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】应用和角余弦公式及辅助角公式，结合最大值有，进而求得，最后应用二倍角余弦公式求值.
【详解】由题设
，且，
所以，则，可得，
所以.
故选：C
6．（24-25高一下·江苏苏州·月考）设的最大值为，则正数a的值是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二倍角公式和辅助角公式可得，结合函数的最大值可求正数的值.
【详解】
，其中，
因为，则的最大值为，当且仅当时取最大值，
故，即，
故选：A.
7．（24-25高一下·广西钦州·期末）函数的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【分析】由题可将化为，其中，然后可得答案.
【详解】
，其中，
则当时，取最大值.
故选：C
8．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，其中，且.记的最大值与最小值之和为，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用放缩可知最小值，利用辅助角公式可知最大值，然后计算即可.
【详解】因为，，所以
，当且仅当时，取最小值.
又，
其中，，.
所以当且仅当时，取最大值.
所以.
故选：C.
重难点三、正切主元型
正切主元型： 构造关于正弦与余弦的齐次式，借助同除来构造正切主元型函数。
9．（24-25高一下·江苏苏州·期中）若，其中，，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】经过换元，二倍公式，降幂公式得到，然后利用正弦函数的有界性求出最值
【详解】设，
所以，即，
所以，
所以，
因为，所以，
将方程两边除以得，
所以，
令，，
所以，
其中，又，
所以，
则的最大值为.
故选：D
10．（23-24高二上·湖南长沙·期末）函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用导数可求最大值，也可以利用万能公式统一三角函数名，再利用换元法结合四元基本不等式求解即可.
【详解】法一：不妨设，则，
整理得到: ,
当时，；当时，，
故在上为增函数，在为减函数，
而，，故的最大值为.
法二：由万能公式得，，
代入原式并化简得，
令，因为题设中欲求最大值，故可设,
故原式转化为，
当且仅当时取等，显然最大值为.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题考查求三角函数的最大值，解题关键是利用万能公式统一三角函数名，然后再用四元基本不等式求解，本题也可以直接利用导数计算.
11．（23-24高三上·湖北·期中）已知，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由条件可得，然后化为，利用均值不等式可得出答案.
【详解】，即；
即，故
令，则（当且仅当时等号成立）
故选：B．
12．（20-21高三上·浙江台州·月考）已知，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】采用三角代换的方式化简原式，然后利用换元法以及二次函数的值域求解最值，注意等号成立的条件.
【详解】令，，，，
因为，所以，可得，
所以
所以，
当且仅当，，，
时取等号，
即当且仅当时，的最小值为，
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用三角换元，注意三角函数中的万能公式
，，换元后注意新元的取值范围.
重难点四、超越函数型
13．（2025高三·全国·专题练习）已知，设函数的最大值是M，最小值是N，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】令，则在上是奇函数，利用奇偶性即可求解.
【详解】，令，
则在上是奇函数，
故有，，
即，
故选：C．
14．（23-24高三上·福建福州·期中）设函数的定义域为D，，，当时，恒有，则称点为函数图象的对称中心．利用对称中心的上述定义，研究函数，可得到（ ）
A．0 B．2023 C．4046 D．4047
【答案】D
【分析】根据题中定义可知的图象关于点对称，然后根据对称性即可求解.
【详解】的定义域为R.
因为，
所以的图象关于点对称.
所以.
故选：D
15．（16-17高三上·宁夏石嘴山·月考）设函数的定义域为，若对于任意的，，当时，恒有，则称点为函数图象的对称中心．研究函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到
A．0 B．2014 C．4028 D．4031
【答案】D
【分析】函数图象的对称中心的坐标为，即时，总有，再利用倒序相加，即可得到结论
【详解】解：，，
又
而，
函数图象的对称中心的坐标为，
即时，总有，
．
故选：．
16．（22-23高三上·四川广安·月考）已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用函数奇偶性的定义及导数可得函数为R上单调递增的奇函数，化简不等式，然后将分离，利用基本不等式，即可求出答案.
【详解】因为的定义域为R，
，
所以函数是奇函数，
由，
可知在上单调递增，
所以函数为R上单调递增的奇函数，
所以不等式对任意均成立等价于
，
即，即对任意均成立，
又，当且仅当时取等号，
所以的取值范围为.
故选：A.
结束
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