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重难点专题 对数恒等变形与求值
1给值求值
重难点一、给方程求值
给方程求值，主要是利用对数的运算法则来进行。 对数的运算法则： ①loga(MN)＝logaM＋logaN ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM (n∈R)； ④logamMn＝logaM．
1．（25-26高三上·山东·阶段练习）已知，，，，则（ ）
A．e B． C．1 D．
2．（25-26高三上·湖北孝感·阶段练习）若，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则（ ）
A．1 B．4 C．1或4 D．2
重难点二、 指对互化转化为幂函数
指对互化转化时候，要注意“底数”不变这个小技巧。 (a>0且a≠1，M>0，N>0) 指对互化： x＝logaN
4．（24-25高二下·宁夏·期末）若，则（ ）
A．1 B． C．2 D．3
5．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2 换底公式应用
重难点一、换底求值
换底公式 ①换底公式：logbN＝； ②换底推广：logab＝， logab·logbc·logcd＝logad.
1．（23-24高一上·甘肃武威·阶段练习）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高三·全国·专题练习）设，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三·全国·专题练习）已知，则的值为（ ）
A． B．1 C．或0 D．1或0
4．（23-24高三上·山西忻州·开学考试）已知，则（ ）
A． B． C． D．
重难点二、换底公式型恒等证明
换底公式应用：常数同构转化 ①a＝ N ； ②logaaN＝ N (a>0且a≠1)
5．（19-20高一上·全国·课后作业）若实数、、满足，则下列式子正确的是
A． B．
C． D．
6．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）设，且，利用对数的换底公式证明：
(1)；
(2)；
(3)计算：若，求的值．
7．（19-20高一下·上海·课后作业）已知在中，，角A，B，C所对应的三条边长分别为a，b，c．求证：．
对数换底构造型求最值
重难点一、构造均值不等式条件来求最值
通过对数运算，构造出“和定”或者“积定”形式，再用均值不等式求最值。比较常见的均值不等式求最值方法： “1”的代换 .利用常数代换法。多称之为“1”的代换。
1．（2025高三·全国·专题练习）若实数满足，，则的最大值是（ ）
A．2 B．1
C． D．
2．（2025·陕西安康·模拟预测）已知，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
3.（25-26高三上·上海·阶段练习）设是正实数，.若，则的最小值是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
4.（25-26高三上·山西太原·阶段练习）若，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
重难点二、消元型求最值
双变量或者多变量形式，可以通过消元来构造单一函数求最值。
5．（25-26高三上·安徽阜阳·阶段练习）已知正数a，b满足，则的最大值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6、（24-25高二下·山东青岛·期末）已知，若，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7、（2025高三·全国·专题练习）设任意实数，要使恒成立，则的最大值为 ．
4换底比大小
重难点一、 多底数换底比大小
指、对、幂大小比较的常用方法： （1）底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； （2）指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小； （3）底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小； （4）底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定.
1．（2025高三·全国·专题练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·广东茂名·期末）设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一上·贵州安顺·期末）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23高二下·广西·阶段练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
重难点二、连等式型化归比大小
指数和对数的比较大小问题，通常有以下方法： （1）利用指数、对数函数的单调性比较大小，底数不一样时可以化成一样的再比较； （2）比较与0，1的关系，也可以找中间值比较大小； （3）当真数一样时，可以考虑用换底公式，换成底数一样，再比较大小； （4）去常数再比较大小，当底数与真数成倍数关系时，需要将对数进行分离常数再比较； （5）也可以结合基本不不等式进行放缩，再比较大小； （6）构造函数，利用函数的单调性比较大小.
5．（25-26高三上·山东泰安·开学考试）已知，则，，的大小关系不可能为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·天津滨海新·模拟预测）已知正实数x，y，z满足，则不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023高三·全国·专题练习）已知，则下列选项不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
重难点三、同构型比大小
同构：通过构造结构相同的式子形式，提炼出对应的新函数形式，再利用单调性、放缩等方法来比大小，判断大小。
8．（22-23高一下·四川眉山·开学考试）已知实数a、b，满足，，则关于a、b下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（22-23高一上·江苏南通·期末）设，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025·广东广州·模拟预测）已知，.设，，，则（ ）
A． B． C． D．
11．（22-23高三上·四川巴中·阶段练习）已知实数和满足，．则下列关系式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5取对数法
重难点一、取对数型估值计算
对于指数式子或者幂函数形式，可以通过取对数来达到降幂次转化的目的。取对数时候，选择合适的底数能达到化繁为简。在取对数时候，要注意对应的定义域，防止扩大或者缩小取值范围。
1．（24-25高一上·河南·阶段练习）用计算器计算可知：，则的值所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·江苏苏州·模拟预测）对数的第一位小数的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（23-24高一上·陕西咸阳·期末）若，则的值约为（ ）
A．1.322 B．1.410 C．1.507 D．1.669
重难点二、取对数求值证明
4．（25-26高三上·天津南开·开学考试），试比较与大小.
5．（24-25高一上·全国·周测）（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值.
6．（2025高三·全国·专题练习）对不等式进行同构变形，并写出相应的同构函数.
7．（24-25高一上·贵州毕节·期末）阅读材料：“同构法”是通过函数单调性解决问题时的常用方法，如下面的典型例题.已知实数，满足，则的最小值是多少？
解析：，
有，
得，
设函数，则在上单调递增，
因为，所以，
则，
当且仅当，即时等号成立.
阅读参考以上材料，解答下列问题：
(1)判断函数在上的单调性，并用定义证明；
(2)已知，求的值.
结束
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重难点专题 对数恒等变形与求值
1给值求值
重难点一、给方程求值
给方程求值，主要是利用对数的运算法则来进行。 对数的运算法则： ①loga(MN)＝logaM＋logaN ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM (n∈R)； ④logamMn＝logaM．
1．（25-26高三上·山东·阶段练习）已知，，，，则（ ）
A．e B． C．1 D．
【答案】B
【分析】借助指数与对数运算法则计算即可得.
【详解】由，，
则，，
所以，则，
则，所以.
故选：B.
2．（25-26高三上·湖北孝感·阶段练习）若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，代入，求出或，分两种情况，结合，求出，的值，得到答案.
【详解】显然且，且，
设，代入，可得：，
即，解得：或．
若，则，即，又因为，所以，则，
解得：，，所以；
若，则，即，又因为，所以，则，
故，解得，故，故.
故选：
3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则（ ）
A．1 B．4 C．1或4 D．2
【答案】B
【分析】根据对数运算的性质可得，即可求得答案.
【详解】由已知得，整理得，得或．
，即，
则,
故选：B
重难点二、 指对互化转化为幂函数
指对互化转化时候，要注意“底数”不变这个小技巧。 (a>0且a≠1，M>0，N>0) 指对互化： x＝logaN
4．（24-25高二下·宁夏·期末）若，则（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】由对数的运算性质即可求解.
【详解】若，则，
则.
故选：C.
5．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指对互化，结合换底公式即可求解.
【详解】设，则，
由得，
因此，故.
故选：D.
2 换底公式应用
重难点一、换底求值
换底公式 ①换底公式：logbN＝； ②换底推广：logab＝， logab·logbc·logcd＝logad.
1．（23-24高一上·甘肃武威·阶段练习）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据对数的运算性质即可结合换底公式求解.
【详解】由题意，.
故选：B．
2．（2025高三·全国·专题练习）设，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题运用对数换底公式，把不同底数的对数转化为常用对数，构建起相关对数间的等式联系，利用对数运算性质找到各个对数间的数量关系，通过联立等式求解出中间量，进而代入求出即可.
【详解】由题意得，，
故由换底公式得即
所以，解得，
则，故B正确.
故选：B．
3．（2024高三·全国·专题练习）已知，则的值为（ ）
A． B．1 C．或0 D．1或0
【答案】C
【分析】由题设等式，利用换底公式和对数运算性质化简得，再将化简成，分类求值即得.
【详解】因，
，
故由，可得，
化简得，即，
解得或.
又
故当时，
当时，.
故选：C.
4．（23-24高三上·山西忻州·开学考试）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据指数和对数的互化、对数运算法则进行转化即可.
【详解】，，，
，，
.
故选：C.
重难点二、换底公式型恒等证明
换底公式应用：常数同构转化 ①a＝ N ； ②logaaN＝ N (a>0且a≠1)
5．（19-20高一上·全国·课后作业）若实数、、满足，则下列式子正确的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由指数式化对数式，然后利用换底公式得出，，，利用对数的运算性质和可得出成立.
【详解】由已知，得 ，得 ， ，，所以，，，
而，则，
所以，即 .
故选A.
【点睛】本题考查对数式的运算，同时也考查了指数式与对数式的互化以及换底公式的应用，解题时要需要注意各真数之间的关系，考查计算能力，属于中等题.
6．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）设，且，利用对数的换底公式证明：
(1)；
(2)；
(3)计算：若，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）直接利用换底公式即可证明结果；
（2）直接利用换底公式即可证明结果；
（3）根据条件，利用换底公式得到，即可求出结果.
【详解】（1）因为，所以命题得证.
（2）因为，所以命题得证.
（3）因为，所以，
故，即的值为.
7．（19-20高一下·上海·课后作业）已知在中，，角A，B，C所对应的三条边长分别为a，b，c．求证：．
【答案】见解析
【分析】利用直角三角形的勾股定理、对数的运算性质以及对数的运算法则可以证明等式成立.
【详解】证明：在中，因为，所以，
因为
，
所以.
【点睛】本题考查了等式的证明，考查了对数的运算性质、对数的运算法则，属于基础题.
对数换底构造型求最值
重难点一、构造均值不等式条件来求最值
通过对数运算，构造出“和定”或者“积定”形式，再用均值不等式求最值。比较常见的均值不等式求最值方法： “1”的代换 .利用常数代换法。多称之为“1”的代换。
1．（2025高三·全国·专题练习）若实数满足，，则的最大值是（ ）
A．2 B．1
C． D．
【答案】D
【分析】先得到，，由基本不等式可得，进而得到，由，故，得到答案.
【详解】由题意可得，，
由基本不等式可得，又，
故，据此可得，解得，所以，
由和可得，即，
则，由于，故，即.故选：D．
2．（2025·陕西安康·模拟预测）已知，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】将变形得，代入再根据基本不等式可求出结果.
【详解】由题意，知，.由，得，
两边同时除以，得.
因为，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为.
故选：D.
3.（25-26高三上·上海·阶段练习）设是正实数，.若，则的最小值是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】A
【分析】根据对数的运算及基本不等式计算可得.
【详解】，
，
即，，当且仅当，即时取等号.
故选：A.
4.（25-26高三上·山西太原·阶段练习）若，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】由题可得，，，根据基本不等式可得，当且仅当时，取等号. 对进行变形，结合二次函数性质及即可求解.
【详解】由得，，，
所以，当且仅当时，取等号，
所以.
故选：C.
重难点二、消元型求最值
双变量或者多变量形式，可以通过消元来构造单一函数求最值。
5．（25-26高三上·安徽阜阳·阶段练习）已知正数a，b满足，则的最大值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】根据基本不等式、对数的运算公式与换底公式即可求得.
【详解】因为正数a，b满足，所以（*），
当且仅当时，即，时等号成立.
由（*）可得.
又，
当且仅当，时等号成立.
所以的最大值为1.
故选：D.
6、（24-25高二下·山东青岛·期末）已知，若，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】利用对数运算，结合因式分解，通过分析可得，然后再利用基本不等式可求得最小值.
【详解】由题意得：，
所以或，即或，
因为，所以，
即，
取等号条件为，此时，
故选: D
7、（2025高三·全国·专题练习）设任意实数，要使恒成立，则的最大值为 ．
【答案】9
【分析】根据已知及换底公式可得，再由，并利用基本不等式求右侧的最小值，即可得参数的最大值.
【详解】由题意，可知，
故
，
因为，
所以
，
当且仅当，即时取等号，所以.
故答案为：9
4换底比大小
重难点一、 多底数换底比大小
指、对、幂大小比较的常用方法： （1）底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； （2）指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小； （3）底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小； （4）底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定.
1．（2025高三·全国·专题练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造函数，由函数的单调性进行求解．
【详解】，
构造函数，则，
由，，
则函数为增函数，函数为减函数，
则在上单调递增．
所以，故，
故选：B．
2．（24-25高一上·广东茂名·期末）设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过构造函数或者利用对数的运算性质转换来逐步分析它们的大小.
【详解】比较和，采用作差法，将和转化为同底数形式来比较.
利用换底公式，则，.
计算.
根据基本不等式，对于和，有.
而，即.
所以，也就是，即.
比较与的大小，同样利用换底公式，，.
计算.
由基本不等式，对于和，.
且，即.
所以，也就是，即.
综上可得.
故选：B.
3．（23-24高一上·贵州安顺·期末）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据换底公式，结合基本不等式与作商法判断即可.
【详解】易得，结合换底公式与基本不等式有，
，
故，，故.
故选：A
4．（22-23高二下·广西·阶段练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先证明当，时，有.进而根据对数的运算性质以及换底公式，即可得出答案.
【详解】当，时，有，
则，所以.
所以，所以，即．
故选：B.
重难点二、连等式型化归比大小
指数和对数的比较大小问题，通常有以下方法： （1）利用指数、对数函数的单调性比较大小，底数不一样时可以化成一样的再比较； （2）比较与0，1的关系，也可以找中间值比较大小； （3）当真数一样时，可以考虑用换底公式，换成底数一样，再比较大小； （4）去常数再比较大小，当底数与真数成倍数关系时，需要将对数进行分离常数再比较； （5）也可以结合基本不不等式进行放缩，再比较大小； （6）构造函数，利用函数的单调性比较大小.
5．（25-26高三上·山东泰安·开学考试）已知，则，，的大小关系不可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设，分别讨论情况下的关系，进而得出结果.
【详解】设，则
当时，，选项A正确；
当时，，，，所以，，
，由此可得，选项B正确；
当时，同理可得，选项C正确.故选：D.
6．（2023·天津滨海新·模拟预测）已知正实数x，y，z满足，则不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】首先把指数式化成对数式，表示出.选项A，取倒数再根据换底公式可以判断A；选项B，根据换底公式转化为比较的大小关系；选项C，同样根据换底公式转化为比较底数的大小关系；选项D，把利用换底公式进行化简，再结合基本不等式得出结果.
【详解】设，，则，，.
选项A，，，，则，故A正确；
选项B，，，，
下面比较的大小关系，
因为，，，所以，即，又，
所以，即，故B不正确；
选项C，，，，
因为，又，所以，即，故C正确；
选项D，，
因为，所以，
又，所以，故D正确；故选：B.
7．（2023高三·全国·专题练习）已知，则下列选项不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据指数式与对数式的互化，再利用对数的运算性质及对数大小的比较结合不等式的性质即可求解.
【详解】
对于A，，故A选项不正确；
对于B，，，
由，有；由，有，
，故B选项正确；
对于C，
，
，，，故C 选项正确；
对于D，由B知，，，有，则，故D选项正确；
故选：A.
重难点三、同构型比大小
同构：通过构造结构相同的式子形式，提炼出对应的新函数形式，再利用单调性、放缩等方法来比大小，判断大小。
8．（22-23高一下·四川眉山·开学考试）已知实数a、b，满足，，则关于a、b下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】通过对数运算性质和基本不等式可以判断；根据b的结构，构造函数，利用函数的单调性得到的大小关系，最后再判断b和2的大小关系，最终得到答案．
【详解】因为，，所以，构造函数：，
易知函数是上的减函数，且，由，可知：，则，
又，则，故，，则，
所以，故选：D．
9．（22-23高一上·江苏南通·期末）设，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据基本不等式，结合指数函数的单调性、函数单调性的性质进行判断即可.
【详解】因为，且，所以，即，因为函数是单调递增函数，所以函数是单调递增函数，
所以当时，有，因为，所以有，
由，因为函数是单调递减函数，
所以函数是单调递减函数，因为，所以，因此，故选：A
【点睛】关键点睛：根据等式的形式构造函数，利用指数函数的单调性是解题的关键.
10．（2025·广东广州·模拟预测）已知，.设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意整理对数式，根据已知的大小关系，结合对数的运算律与公式，可得答案.
【详解】由题意可得，，
因为，，所以两边取对数整理可得，，所以
又，，，
且，即，
所以，，所以.故选：D.
11．（22-23高三上·四川巴中·阶段练习）已知实数和满足，．则下列关系式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由已知条件指对数转化得到的值,再根据基本不等式得到BCD错误, A正确.
【详解】由已知，，故且，，
对于A,，故A成立．
对于B,,故B错误.
对于C,,故C错误.
对于D,,故D错误故选: A.
5取对数法
重难点一、取对数型估值计算
对于指数式子或者幂函数形式，可以通过取对数来达到降幂次转化的目的。取对数时候，选择合适的底数能达到化繁为简。在取对数时候，要注意对应的定义域，防止扩大或者缩小取值范围。
1．（24-25高一上·河南·阶段练习）用计算器计算可知：，则的值所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】用对数加法公式和对数换底公式的推论，结合换元法解一元二次不等式可得结果.
【详解】因为，所以，即，所以，
设，又因为，所以，由对数加法公式得：，
由对数换底公式得：，所以可化为：，
即，解得或，又因为，所以，
即的值所在的区间为，故选：C
2．（2025·江苏苏州·模拟预测）对数的第一位小数的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】设对数的第一位小数位，第二位小数及以后的值为，则，利用对数的运算可得，即得.
【详解】设对数的第一位小数位，第二位小数及以后的值为，则，
∴，又，
∴，即，所以，故选：B.
3．（23-24高一上·陕西咸阳·期末）若，则的值约为（ ）
A．1.322 B．1.410 C．1.507 D．1.669
【答案】A
【分析】利用指对互化与换底公式即可得解.
【详解】因为，
所以.故选：A.
重难点二、取对数求值证明
4．（25-26高三上·天津南开·开学考试），试比较与大小.
【答案】
【分析】根据对数的运算性质化简即可比较它们的大小.
【详解】令，则，，，.
故.
5．（24-25高一上·全国·周测）（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）；（2）1
【分析】（1）（2）根据对数运算的概念以及运算律，可得答案.
【详解】（1）由已知，，所以.
（2）因为，所以，解得，
由，解得，
所以.
6．（2025高三·全国·专题练习）对不等式进行同构变形，并写出相应的同构函数.
【答案】同构变形见解析，
【分析】根据给定的不等式，利用不等式性质、指对数式互化变形、对数的运算法则将不等号两边结构化成相同的形式，再构建函数作答.
【详解】显然，则
，
∴.
7．（24-25高一上·贵州毕节·期末）阅读材料：“同构法”是通过函数单调性解决问题时的常用方法，如下面的典型例题.已知实数，满足，则的最小值是多少？
解析：，
有，
得，
设函数，则在上单调递增，
因为，所以，
则，
当且仅当，即时等号成立.
阅读参考以上材料，解答下列问题：
(1)判断函数在上的单调性，并用定义证明；
(2)已知，求的值.
【答案】(1)函数在上的单调递增，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据函数单调性的定义，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；
（2）依题意可得，即，根据（1）的结论得到，最后根据对数的运算性质计算可得.
【详解】（1）函数在上的单调递增，证明如下：
设且，
所以，
因为且，所以，，
则，
所以，即，即，
所以在上的单调递增；
（2）由，则，即，
显然，即，
因为，所以，，所以，则，
由（1）知在上的单调递增，所以，
即，即.
【点睛】关键点点睛：本题第二问解答的关键是“同构”得到，结合（1）中函数的单调性得到.
结束
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