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答题模板03：三角函数解答题常考题型
题型01 由解析式求三角函数的单调性，值域，对称性
（24-25高一上·云南·期末）已知是函数的一个零点，
(1)求实数的值：
(2)求的单调递增区间；
(3)若，求的值域.
四步 内容
理解 题意 题目给出函数，已知是其零点，需完成三问：求的值、求单调递增区间、求时的值域.
思路 探求 (1)零点意味着，将代入函数，计算、的值，解方程得. (2)代入后，用二倍角公式化简，再用辅助角公式将函数化为的形式，结合正弦函数的单调递增区间求解. (3)确定时的范围，结合正弦函数在该区间的最值，计算的值域.
书写 表达 （1）由题意，，化简可得，. （2）， 令，解得， 所以的单调递增区间为. （3）由，可得，，， 所以，即的值域为.
题后 反思 零点应用需准确代入函数值为0，计算三角值时要注意角度对应的函数值. 三角恒等变换是关键，需熟练掌握二倍角、辅助角公式的化简方法. 求单调区间时，要结合正弦函数的增减性，注意的符号对区间的影响. 求值域需先确定内层角的范围，再结合三角函数的单调性找最值.
函数零点的概念（代入函数值为0求解参数）.
三角恒等变换（二倍角公式、辅助角公式的应用）.
正弦型函数的单调区间求解（结合正弦函数的增减区间）.
正弦型函数在给定区间内的值域求解（确定内层角范围，分析三角函数最值）.
（24-25高一下·内蒙古包头·期末）．
(1)求的最小正周期和单调递增区间；
(2)求在区间上的最大值和最小值．
（24-25高二下·内蒙古包头·期末）已知函数为奇函数．
(1)求；
(2)设函数，求的值域和图象的对称中心．
（24-25高一下·湖北荆门·期末）已知函数.
(1)求的最小值，并求取得最小值时的取值集合：
(2)将的图象向右平移单位长度，得到的图象，若的图象关于轴对称，求的最小值.
题型02 由图像求三角函数的解析式，对称性，周期性，单调性最值
（22-23高一上·福建宁德·期末）如图，函数的图象经过，，三点.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标缩短到原来的，得到图象.若，求函数的单调增区间.
四步 内容
理解 题意 题目给出正弦型函数的图像经过P、M、N三点，已知且. 第一问求的解析式. 第二问通过横坐标、纵坐标的伸缩变换得到，再结合构造，求的单调递增区间.
思路 探求 (1)求解析式：先由M、N的横坐标间距确定周期，进而得；再代入点求，代入点求. (2)图像变换：横坐标缩短到原来的对应变为，纵坐标缩短到原来的对应变为，得；对平方后用降幂公式化简，再与合并，用辅助角公式整理，最后结合正弦函数的递增区间求的单调递增区间.
书写 表达 （1）由图可得函数的最小正周期 ∴ 又函数过点，且图象在该点附近单调递增， ∴，即， 又∵，∴， ∵过点， ∴，即 ∴； （2）将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标缩短到原来的得到 . ∴ 令，得：， 所以的单调增区间为，.
题后 反思 求正弦型函数解析式时，需通过零点间距准确判断周期，注意的范围限制. 图像伸缩变换要区分横坐标（影响的系数）与纵坐标（影响振幅）的变换规则. 处理时，降幂公式和辅助角公式的应用要注意符号与系数的准确性，避免恒等变换错误.
正弦型函数解析式的求解（周期、振幅、相位的确定）
三角函数的图像变换（横坐标伸缩、纵坐标伸缩）
三角恒等变换（降幂公式、辅助角公式）
正弦型函数单调区间的求解
（24-25高一下·山东东营·期末）已知函数的部分图像，如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图像向右平移个单位，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的单调递增区间.
（24-25高三下·江西宜春·期末）已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式及对称中心；
(2)先将的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图象，求函数在上的单调减区间.
（24-25高一下·山东淄博·期末）已知函数的部分图像如图所示，
(1)求解析式；
(2)求函数的最大值.
题型03 三角函数图像变换结合三角恒等变换求值
（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数．
(1)求图象的对称轴方程；
(2)若关于的方程在区间内有两个不同的根．
（i）求实数的取值范围；
（ii）求的值（用含的代数式表示）．
四步 内容
理解 题意 题目给出函数 第一问求图象的对称轴方程. 第二问是关于的方程在内有两个不同根，分两小问求实数的取值范围，以及含的余弦表达式的值.
思路 探求 (1)先利用和差化积或和角公式化简为正弦型函数，再根据正弦函数的对称轴性质（相位取）求对称轴方程. (2)(i)代入化简与，将方程转化为单正弦函数形式，结合的区间确定相位范围，根据解的个数分析的范围. (ii)利用三角函数的对称性，找到与的关系，结合三角恒等变换（二倍角公式）计算目标表达式.
书写 表达 （1）. 令，解得， 所以图象的对称轴方程为. （2）（i）由， 得， 化简整理得， 则．其中， 所以在内有两个不同的根， 当且仅当，即时，满足题意， 故实数的取值范围为. （ii）当时，，则， 所以， 又， 所以， 由（i）知，所以， 故； 当时，，则， 所以， 又， 所以， 因为，所以， 故.
题后 反思 化简三角函数时，需准确选择和差化积或和角公式，避免计算错误. 求对称轴时，要抓住正弦型函数“相位取最值”的核心条件. 处理方程解的个数问题，需结合三角函数的取值范围与区间内的相位覆盖情况分析. 利用三角函数的对称性找根的关系，是化简目标表达式的关键，需熟练应用三角恒等变换.
三角函数的和差化积、和角公式（化简函数）.
正弦型函数的对称轴方程（相位与最值的关系）.
三角函数方程的解的个数与参数范围（结合函数值域与区间）.
三角恒等变换（二倍角公式）与对称性的应用（化简含根的表达式）.
（24-25高一下·四川泸州·期末）已知函数的最小值为，其图象经过点，且图象上相邻两个最高点之间的距离为.
(1)求函数的解析式；
(2)若，且，求的值.
（24-25高一下·四川资阳·期末）已知函数.
(1)当取什么值时，函数取得最大值？并求出该最大值；
(2)若为锐角，且，求的值.
（24-25高一下·广东汕头·期末）已知函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)已知，求的值.
题型04 三角函数中方程的根，函数的零点问题
（24-25高一下·四川眉山·期末）已知函数的两条相邻对称轴的距离为．
(1)求的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象．
①若，且，求的值；
②若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围．
四步 内容
理解 题意 题目给出函数（），已知其相邻对称轴距离为. 第一问求的解析式. 第二问通过图像平移、伸缩得到，分两小问：①已知求；②求方程在上有两个不同解的的范围.
思路 探求 (1)先利用降幂公式化简项，再用辅助角公式将化为正弦型函数，结合相邻对称轴距离求周期，进而得，确定解析式. (2)按“右移单位→纵坐标伸长2倍”的变换规则得. ①由得，结合的范围求，再用两角和公式求. ②分析在内的单调性与最值，结合图像交点个数确定的范围.
书写 表达 （1）因 ， 由函数的相邻两条对称轴的距离为，所以函数的周期． 则．∴． （2）将函数的图象向右平移个单位长度，得． 再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到． ①∵，∴． ∵则，则， ∴ ． ②由题知，方程在上恰有两个不同的实数解， 可转化为函数和函数的图象在区间上有且只有2个交点． 由可得，作出函数在上的图象如图： 当时，； 当时， ；当时，. 由图可知：实数的取值范围是．
题后 反思 化简时，需准确应用降幂公式与辅助角公式，避免系数或相位错误. 图像变换中，平移是对“”进行变化，伸缩是对函数值进行缩放，需区分变换对象. 求时，要先确定的范围，确保余弦值符号正确. 分析方程解的个数时，需结合函数在区间内的单调性、端点值与最值，通过图像趋势判断参数范围.
三角恒等变换（降幂公式、辅助角公式）.
正弦型函数的周期与对称轴的关系.
三角函数的图像变换（平移、伸缩）.
三角函数的求值（两角和公式、二倍角公式）.
三角函数方程的解的个数与参数范围（结合函数单调性与最值）.
（24-25高一上·四川泸州·期末）设函数的周期为．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)当时，求方程的所有根的和．
（24-25高一下·辽宁·期末）已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)若函数在区间上恰好有二个零点，求实数k的取值范围．
（24-25高一下·河北保定·期末）已知函数的最小正周期为．
(1)求实数的值；
(2)设函数，，证明：有且只有一个零点，且．
题型05 三角函数中不等式的恒成立有解问题
（24-25高一下·江西宜春·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示.
(1)求的解析式及单调递减区间；
(2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意的，，都有，求实数的取值范围.
四步 内容
理解 题意 题目给出正弦型函数的部分图像，已知且. 第一问求的解析式与单调递减区间. 第二问将图象左移单位，再横坐标变为原来2倍得，在内，任意满足，求的取值范围.
思路 探求 (1)求解析式：由图像最高点得，由零点与最高点的水平距离求周期得，代入点坐标求；再结合正弦函数递减区间的性质求的单调递减区间. (2)按图像变换规则（左移、横坐标伸缩）得，确定区间对应的相位范围，求的最值，得到的最大值，进而解关于的不等式.
书写 表达 （1）设的最小正周期为，所以，解得， 所以，解得. 由题意知，所以， 又，所以，， 即，，又， 所以，所以. 令，，解得，， 即的单调递减区间为，. （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为， 再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的函数解析式为. 当，， 所以，， 若对任意的，，都有，则， 解得，即的取值范围是.
题后 反思 求正弦型函数解析式时，需准确判断零点与最高点/最低点的水平距离对应的周期比例，避免周期计算错误. 图像变换中，左移是对“”加平移量，横坐标伸缩是对“”乘伸缩系数的倒数，需注意变换顺序与对象. 求函数在区间内的最值时，要结合相位的范围分析三角函数的取值，确保最大值与最小值的准确性.
正弦型函数解析式的求解（振幅、周期、相位的确定）.
正弦型函数的单调区间求解.
三角函数的图像变换（平移、横坐标伸缩）.
三角函数在区间内的最值与绝对值差的范围.
不等式与三角函数结合的参数范围求解.
（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数
(1)求的最小正周期和单调递增区间；
(2)求在区间上的最值，并求出取得最值时x的值；
(3)若不等式在区间上恒成立，求m的取值范围．
（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知函数.
(1)求f（x）的对称中心的坐标；
(2)若 对 成立，求n的取值范围；
(3)设函数 求的值域.
（24-25高一下·重庆·阶段练习）已知向量，，其中，函数，且．
(1)求函数的解析式；
(2)求在上的值域；
(3)若对，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围.
题型06 三角函数中的取值范围问题
（24-25高一下·辽宁·期末）已知函数.
(1)若，求的最小正周期；
(2)若在区间上有定义.
（i）求的最大值；
（ⅱ）若曲线至少有两个对称中心在区间上，求的取值范围.
四步 内容
理解 题意 题目给出正切函数（）. 第一问是时求的最小正周期. 第二问分两小问：(i)在区间上有定义，求的最大值；(ii)曲线至少有两个对称中心在上，求的取值范围.
思路 探求 (1)正切函数的最小正周期公式为，代入即可求解. (2)(i)正切函数有定义的条件是自变量不等于（），需保证区间内不包含这些无定义点，通过分析区间端点对应的自变量值，确定的最大值. (ii)正切函数的对称中心满足（），先求出对称中心的横坐标，再让这些横坐标在内至少有两个，进而确定的范围.
书写 表达 （1）当时，， 易得的最小正周期； （2）（i）当时，，， 若函数在区间上有定义，则， 解得，故的最大值为； （ii）函数的对称中心满足，， 解得，， 其图象至少有两个对称中心在区间上， 则在区间上至少有两解， 故至少存在两个值使， 故至少有，两个取值， 所以，综上，的取值范围为.
题后 反思 正切函数的周期、定义域、对称中心的公式需准确记忆，尤其是对称中心是对应的点，易与正弦函数混淆. 分析定义域时，需关注区间内是否包含无定义点，通过端点值限制参数范围. 对称中心个数问题，需列出对应值的横坐标，结合区间条件确定参数的取值范围.
正切函数的最小正周期公式.
正切函数的定义域（无定义点的条件）.
正切函数的对称中心求解.
利用区间条件确定参数的范围.
（2024·全国·模拟预测）已知函数.
(1)若的图象经过点，，且点恰好是的图象中距离点最近的最高点，试求的解析式；
(2)若，且在上单调，在上恰有两个零点，求的取值范围.
（22-23高一上·吉林长春·期末）设函数.
(1)当时，求的值域；
(2)若函数在区间上没有零点，求正实数的取值范围.
（22-23高一下·湖北恩施·期末）已知函数．
(1)若，求的最小值；
(2)若在区间上的值域为，求的取值范围．
题型07 三角函数的实际应用题
（24-25高一上·福建漳州·期末）长泰摩天轮位于长泰天柱山，是欢乐大世界的地标式游乐设施，被誉为“长泰之眼”．游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图1，该摩天轮最高点距离地面高度为90米，转盘直径为88米，设置有56个座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似的看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要18分钟．如图2，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系．
(1)游客小明坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；
(2)坐上摩天轮转动一圈，当距离地面68米及以上高度时游客就能俯瞰全景，大有“一览众山小”之感．小明能有多长时间感受这个过程？
(3)小明在摩天轮上发现朋友小华刚要入舱乘坐摩天轮，而且小华的座舱和自己的座舱之间还有13个座舱，求两人距离地面的高度差的最大值．
四步 内容
理解 题意 题目以摩天轮匀速圆周运动为背景，已知最高点离地面90米、直径88米、转一周18分钟，进舱在最近点P. 第一问求转动t分钟后高度H关于t的三角函数解析式. 第二问求高度≥68米的持续时间. 第三问求小明与间隔13个座舱的小华的高度差的最大值.
思路 探求 (1)解析式：振幅A为摩天轮半径，轴心高度b是最高点高度减半径，周期得ω，t=0时的最低高度求相位φ. (2)解不等式H(t)≥68，结合t∈[0,18]的角度范围求区间长度. (3)计算两人座舱的角度差，利用三角函数差的绝对值求高度差的最大值.
书写 表达 （1）， 由题意知，解得， 又，解得， 所以， 因为，所以，所以，， 所以，； （2）由（1）． 令，则，即， 因为，则，所以，解得， 所以小明坐上摩天轮能有（分钟）感受这个过程； （3）由题意知，两人间隔的弧度数为， 所以小明经过分钟后距离地面的高度为， 小华距离地面的高度为，； 则两人离地高度差 ， 当（或），即（或）时，的最大值为米．
题后 反思 摩天轮模型需明确“振幅=半径、轴心高度=最高点高度-半径”，初始位置对应三角函数的相位. 解三角不等式要结合周期内的角度范围，避免遗漏区间. 高度差的最大值可利用三角函数的有界性（|cosα+sinα|≤√2）简化计算.
三角函数的实际应用（圆周运动的高度模型）
三角不等式的求解（结合周期内的角度范围）
三角函数差的绝对值的最大值（利用有界性）
（24-25高一上·江苏盐城·期末）一个半径为6m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面3m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．
(1)将点P距离水面的高度y（单位：m．在水面下，则y为负数）表示为时间x（单位：s）的函数；
(2)在转动的一个周期内，点P在水中的时间是多少？
（24-25高一下·陕西渭南·期末）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过.秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足（，，）.
(1)求函数的解析式；
(2)当时，求点到轴的距离的最大值.
（24-25高一下·上海·期末）如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于的常数．阴影部分是一个半径为米的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好．工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点P在弧上．设，矩形的面积为S平方米．
(1)求S关于的函数表达式；
(2)当时，求S的最值，并求出当S取得最值时，所对应的的值．
题型08 三角函数中任意与存在问题
（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)若，，，求；
(3)设，若对任意的，，都有，求正实数a的取值范围.
四步 内容
理解 题意 题目给出函数（）的部分图象 第一问求的解析式. 第二问已知、、，求. 第三问设，对任意、，都有，求正实数的范围.
思路 探求 (1) 求解析式：由图象最值求$ A、b $，由图象两点间距求周期得，代入点坐标求. (2) 求：先由得，结合的范围求，再求，利用角的拆分，用正弦差公式计算. (3) 求的范围：先求在的最小值，再将转化为关于的二次函数，求其在的最大值，由“”解不等式.
书写 表达 （1）由题设，则，可得， 由图知，可得，则， 又，可得，，则， 所以； （2）由题设，可得， ，则，且， 可得，， 所以； （3）由题意，，，有， 由，则，故， 由，而， 所以， 当，则，此时恒成立，满足； 当，则，此时，故满足； 所以.
题后 反思 求三角函数解析式时，需准确利用图象的最值、周期点求参数，注意相位的范围限制. 角的拆分是三角求值的关键，需结合角的范围确定三角函数的符号. 恒成立问题需转化为“函数最大值<函数最小值”，二次函数在区间上的最值需分对称轴位置讨论.
三角函数解析式的求解（振幅、周期、相位的确定）.
三角恒等变换（角的拆分、同角三角函数关系、正弦差公式）.
二次函数在区间上的最值求解.
恒成立问题的转化（最值比较）.
（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知函数．
(1)求在上的值域；
(2)设，若对，，使得．求实数的取值范围．
（24-25高一上·山东烟台·期末）已知函数图象上两条相邻的对称轴之间的距离为
(1)求的单调递增区间;
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，设，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围.
（23-24高一上·吉林长春·期末）已知函数，且．
(1)设，若对任意，总存在，使成立，求实数t的取值范围；
(2)函数的图象与函数的图象关于直线对称，求不等式的解集．
.1．（23-24高一上·江苏徐州·期末）已知函数，用“五点法”画一个周期的图象，列表如下：
0
3
(1)求的解析式，并求当时，的值域；
(2)若，求的值.
2．（23-24高一下·北京怀柔·期末）已知函数
从条件① 条件② 条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一.
条件①：；
条件②：在区间单调，且；
条件③：函数相邻两个零点间的距离为.
选__________作为条件
(1)求值；
(2)求在区间上的最大值与最小值及对应的的值.
3．（24-25高一上·江苏南京·期末）已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式；
(2)求在上的单调增区间；
(3)若，求的值.
4．（24-25高一上·湖北·期末）已知函数在区间上有且仅有4个零点.
(1)求的取值范围;
(2)当时，若不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围;
(3)当时，若函数在区间内有两个不同的零点，求实数t的取值范围.
5．（24-25高一上·江苏常州·期末）已知函数的图象如图所示.
(1)求函数的对称中心；
(2)先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向左平移个单位后得到函数的图象.若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
6．（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知函数在区间上的值域为.
(1)求函数的解析式；
(2)若对任意，存在使得，求实数的取值范围.
7．（24-25高一上·海南·期末）已知函数的图象关于点中心对称.
(1)求的值；
(2)分析在区间上的单调性；
(3)设函数，若与的图象相交于，两点，为坐标原点，求的面积.
8．（24-25高一上·云南德宏·期末）已知函数的图象经过点，且图象中任意一条对称轴和其相邻的对称中心之间的距离为.
(1)求函数的解析式；
(2)若函数，证明：函数的图象关于点对称；
(3)已知函数，若在区间内共有8个零点，，求的取值范围以及的值.
9．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，且，，．
(1)求的值；
(2)求在区间上的单调递减区间；
(3)若关于的方程在区间上有且仅有4个不同的实数解，求实数的取值范围．
10．（24-25高一下·广西钦州·期末）已知函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的图象的对称中心的坐标和对称轴方程；
(3)当时，方程有两个不相等的实数根，且，求的值．
11．（24-25高一下·河南·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．
(1)求函数和的解析式；
(2)求函数的单调递增区间和对称中心；
(3)求函数在区间上的值域．
12．（24-25高一下·安徽安庆·期末）已知函数（，）的周期为，且过点.
(1)求，的值；
(2)求函数在上的单调递减区间.
13．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）已知函数的图象关于直线对称，点在的图象上，，，且的最小值是．
(1)求的解析式；
(2)求不等式的解集；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
14．（24-25高一下·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知函数的图象经过，，三点，且的最小值为．
(1)求的解析式；
(2)求在上的值域；
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答题模板03：三角函数解答题常考题型
题型01 由解析式求三角函数的单调性，值域，对称性
（24-25高一上·云南·期末）已知是函数的一个零点，
(1)求实数的值：
(2)求的单调递增区间；
(3)若，求的值域.
四步 内容
理解 题意 题目给出函数，已知是其零点，需完成三问：求的值、求单调递增区间、求时的值域.
思路 探求 (1)零点意味着，将代入函数，计算、的值，解方程得. (2)代入后，用二倍角公式化简，再用辅助角公式将函数化为的形式，结合正弦函数的单调递增区间求解. (3)确定时的范围，结合正弦函数在该区间的最值，计算的值域.
书写 表达 （1）由题意，，化简可得，. （2）， 令，解得， 所以的单调递增区间为. （3）由，可得，，， 所以，即的值域为.
题后 反思 零点应用需准确代入函数值为0，计算三角值时要注意角度对应的函数值. 三角恒等变换是关键，需熟练掌握二倍角、辅助角公式的化简方法. 求单调区间时，要结合正弦函数的增减性，注意的符号对区间的影响. 求值域需先确定内层角的范围，再结合三角函数的单调性找最值.
函数零点的概念（代入函数值为0求解参数）.
三角恒等变换（二倍角公式、辅助角公式的应用）.
正弦型函数的单调区间求解（结合正弦函数的增减区间）.
正弦型函数在给定区间内的值域求解（确定内层角范围，分析三角函数最值）.
（24-25高一下·内蒙古包头·期末）．
(1)求的最小正周期和单调递增区间；
(2)求在区间上的最大值和最小值．
【答案】(1)，单调递增区间为
(2)，
【分析】（1）利用三角恒等变换化简，根据周期公式可求得最小正周期，利用正弦函数的单调性即得；
（2）由，得，利用正弦函数的单调性得解.
【详解】（1），
故的最小正周期，
令，可得，
故的单调递增区间为.
（2）当，，
故当时，即时，．
当时，即时，.
（24-25高二下·内蒙古包头·期末）已知函数为奇函数．
(1)求；
(2)设函数，求的值域和图象的对称中心．
【答案】(1)
(2)值域是，
【分析】（1）根据余弦函数的性质即可得解；
（2）由（1），利用三角恒等变换化简，利用正弦函数有界性和对称性求解.
【详解】（1）由为奇函数，则，由，得.
（2）由（1）得，
则
.
∵，∴，
即，则的值域是.
令，∴，
则图象的对称中心是.
（24-25高一下·湖北荆门·期末）已知函数.
(1)求的最小值，并求取得最小值时的取值集合：
(2)将的图象向右平移单位长度，得到的图象，若的图象关于轴对称，求的最小值.
【答案】(1)最小值为，
(2)
【分析】（1）借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，再借助正弦函数的性质计算即可得；
（2）先求出平移后的函数解析式，再利用正弦函数的对称性计算即可得.
【详解】（1），
当且仅当，
即时，的最小值为：
所以函数的最小值为，
此时的取值集合为；
（2）由题知，，
要使得的图象关于轴对称，
则，即，
则的最小值为.
题型02 由图像求三角函数的解析式，对称性，周期性，单调性最值
（22-23高一上·福建宁德·期末）如图，函数的图象经过，，三点.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标缩短到原来的，得到图象.若，求函数的单调增区间.
四步 内容
理解 题意 题目给出正弦型函数的图像经过P、M、N三点，已知且. 第一问求的解析式. 第二问通过横坐标、纵坐标的伸缩变换得到，再结合构造，求的单调递增区间.
思路 探求 (1)求解析式：先由M、N的横坐标间距确定周期，进而得；再代入点求，代入点求. (2)图像变换：横坐标缩短到原来的对应变为，纵坐标缩短到原来的对应变为，得；对平方后用降幂公式化简，再与合并，用辅助角公式整理，最后结合正弦函数的递增区间求的单调递增区间.
书写 表达 （1）由图可得函数的最小正周期 ∴ 又函数过点，且图象在该点附近单调递增， ∴，即， 又∵，∴， ∵过点， ∴，即 ∴； （2）将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标缩短到原来的得到 . ∴ 令，得：， 所以的单调增区间为，.
题后 反思 求正弦型函数解析式时，需通过零点间距准确判断周期，注意的范围限制. 图像伸缩变换要区分横坐标（影响的系数）与纵坐标（影响振幅）的变换规则. 处理时，降幂公式和辅助角公式的应用要注意符号与系数的准确性，避免恒等变换错误.
正弦型函数解析式的求解（周期、振幅、相位的确定）
三角函数的图像变换（横坐标伸缩、纵坐标伸缩）
三角恒等变换（降幂公式、辅助角公式）
正弦型函数单调区间的求解
（24-25高一下·山东东营·期末）已知函数的部分图像，如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图像向右平移个单位，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的单调递增区间.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）结合三角函数的图像求参数的值即可得解；
（2）由三角函数图像的平移和伸缩变换求出函数的解析式，再结合三角函数单调区间的求法即可.
【详解】（1）由题图得，
因为，∴.
由，得，
所以，解得.
又因为，∴当时，.
又由，得.
故.
（2）将 的图像向右平移个单位，
得到的图像，
再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，
得到的图像.
由，，得，
当时，；当时，，
因为，所以函数在区间上的单调递增区间为，
（24-25高三下·江西宜春·期末）已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式及对称中心；
(2)先将的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图象，求函数在上的单调减区间.
【答案】(1)，对称中心为
(2)、
【分析】（1）由图象可求出的值以及函数的最小正周期的值，进而可得出的值，再由以及的取值范围可得出的值，由此可得出函数的解析式，再利用正弦型函数的对称性可求得函数的对称中心坐标；
（2）利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，由可求出的取值范围，然后利用正弦型函数的单调性可得出关于的不等式，由此可求得函数在上的单调减区间.
【详解】（1）由图象可知，
函数的最小正周期满足，故，所以，
所以，
因为，可得，
因为，故，所以，解得，
因此，，
由得，
因此，函数的对称中心的坐标为.
（2）将的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图象，
则，
当时，，
由得，由得，
因此，函数在上的单调减区间为、.
（24-25高一下·山东淄博·期末）已知函数的部分图像如图所示，
(1)求解析式；
(2)求函数的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由图可知，根据即可求解的值.再结合函数图象过和的范围即可求解解析式；
（2）由（1）知，根据二倍角公式及两角和差的余弦公式、辅助角公式化简可得，即可求解.
【详解】（1）由图可知，∴，∴，∴.
又，∴，∴，∴.
又，∴，，∴.
（2）由（1）知，∴
.
∴当，即时，函数的最大值，最大值为.
题型03 三角函数图像变换结合三角恒等变换求值
（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数．
(1)求图象的对称轴方程；
(2)若关于的方程在区间内有两个不同的根．
（i）求实数的取值范围；
（ii）求的值（用含的代数式表示）．
四步 内容
理解 题意 题目给出函数 第一问求图象的对称轴方程. 第二问是关于的方程在内有两个不同根，分两小问求实数的取值范围，以及含的余弦表达式的值.
思路 探求 (1)先利用和差化积或和角公式化简为正弦型函数，再根据正弦函数的对称轴性质（相位取）求对称轴方程. (2)(i)代入化简与，将方程转化为单正弦函数形式，结合的区间确定相位范围，根据解的个数分析的范围. (ii)利用三角函数的对称性，找到与的关系，结合三角恒等变换（二倍角公式）计算目标表达式.
书写 表达 （1）. 令，解得， 所以图象的对称轴方程为. （2）（i）由， 得， 化简整理得， 则．其中， 所以在内有两个不同的根， 当且仅当，即时，满足题意， 故实数的取值范围为. （ii）当时，，则， 所以， 又， 所以， 由（i）知，所以， 故； 当时，，则， 所以， 又， 所以， 因为，所以， 故.
题后 反思 化简三角函数时，需准确选择和差化积或和角公式，避免计算错误. 求对称轴时，要抓住正弦型函数“相位取最值”的核心条件. 处理方程解的个数问题，需结合三角函数的取值范围与区间内的相位覆盖情况分析. 利用三角函数的对称性找根的关系，是化简目标表达式的关键，需熟练应用三角恒等变换.
三角函数的和差化积、和角公式（化简函数）.
正弦型函数的对称轴方程（相位与最值的关系）.
三角函数方程的解的个数与参数范围（结合函数值域与区间）.
三角恒等变换（二倍角公式）与对称性的应用（化简含根的表达式）.
（24-25高一下·四川泸州·期末）已知函数的最小值为，其图象经过点，且图象上相邻两个最高点之间的距离为.
(1)求函数的解析式；
(2)若，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求解；
（2）由（1）可得，，再利用正弦的和角公式，即可求解.
【详解】（1）因为函数的最小值为，所以，
因为函数图象上相邻两个最高点之间的距离为.
所以函数最小正周期为，解得，
又图象经过点，所以，又，
所以，则.
（2）由（1）知，
又，则，所以，
因为，
又，
所以.
（24-25高一下·四川资阳·期末）已知函数.
(1)当取什么值时，函数取得最大值？并求出该最大值；
(2)若为锐角，且，求的值.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据辅助角公式及正弦函数的性质即可求解；
（2）根据诱导公式，同角关系式及二倍角公式即可求解.
【详解】（1），
，
，
所以，
即时，取得最大值，且.
（2），
所以，
因为为锐角，所以，
所以，
所以.
（24-25高一下·广东汕头·期末）已知函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)已知，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，然后利用整体代换法即可求解；
（2）由，再结合诱导公式可得，即可求解.
【详解】（1）由，
则，，解得，，
所以的单调递增区间为.
（2）由（1）得
则.
题型04 三角函数中方程的根，函数的零点问题
（24-25高一下·四川眉山·期末）已知函数的两条相邻对称轴的距离为．
(1)求的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象．
①若，且，求的值；
②若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围．
四步 内容
理解 题意 题目给出函数（），已知其相邻对称轴距离为. 第一问求的解析式. 第二问通过图像平移、伸缩得到，分两小问：①已知求；②求方程在上有两个不同解的的范围.
思路 探求 (1)先利用降幂公式化简项，再用辅助角公式将化为正弦型函数，结合相邻对称轴距离求周期，进而得，确定解析式. (2)按“右移单位→纵坐标伸长2倍”的变换规则得. ①由得，结合的范围求，再用两角和公式求. ②分析在内的单调性与最值，结合图像交点个数确定的范围.
书写 表达 （1）因 ， 由函数的相邻两条对称轴的距离为，所以函数的周期． 则．∴． （2）将函数的图象向右平移个单位长度，得． 再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到． ①∵，∴． ∵则，则， ∴ ． ②由题知，方程在上恰有两个不同的实数解， 可转化为函数和函数的图象在区间上有且只有2个交点． 由可得，作出函数在上的图象如图： 当时，； 当时， ；当时，. 由图可知：实数的取值范围是．
题后 反思 化简时，需准确应用降幂公式与辅助角公式，避免系数或相位错误. 图像变换中，平移是对“”进行变化，伸缩是对函数值进行缩放，需区分变换对象. 求时，要先确定的范围，确保余弦值符号正确. 分析方程解的个数时，需结合函数在区间内的单调性、端点值与最值，通过图像趋势判断参数范围.
三角恒等变换（降幂公式、辅助角公式）.
正弦型函数的周期与对称轴的关系.
三角函数的图像变换（平移、伸缩）.
三角函数的求值（两角和公式、二倍角公式）.
三角函数方程的解的个数与参数范围（结合函数单调性与最值）.
（24-25高一上·四川泸州·期末）设函数的周期为．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)当时，求方程的所有根的和．
【答案】(1)单调递增区间为
(2)
【分析】（1）根据周期公式求出，即，再根据正弦函数单调区间求法求单调区间；
（2），则，根据，求得或，分别在，，研究根的情况，得到答案.
【详解】（1）因为函数的周期为，
所以周期，解得，即函数；
由正弦函数的单调性，可令，
解得，，即的单调递增区间为；
（2）由，可得或，
因为，可得，
当时，，设方程的解为，，
则，可得；
当时，，则，可得，
综上所述：方程的所有根的和为．
（24-25高一下·辽宁·期末）已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)若函数在区间上恰好有二个零点，求实数k的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据图象确定及的周期，从而求得，再利用特殊点坐标代入中，进而求出，即可得出的解析式；
（2）将函数在区间上恰好有二个零点，转化为与在区间上恰好有二个交点，再根据正弦型函数的性质求的单调区间及对应的值域，进而利用数形结合即可求解．
【详解】（1）由，则根据图象可得，
又，解得，
所以，
又，
则，，又，得，
故．
（2）由，则，
又在上单调递增，对应的值域为；
在上单调递减，对应的值域为，
又函数在区间上恰好有二个零点，
即与在区间上恰好有二个交点，如下图：
所以，即．
故实数k的取值范围为．
（24-25高一下·河北保定·期末）已知函数的最小正周期为．
(1)求实数的值；
(2)设函数，，证明：有且只有一个零点，且．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由三角函数周期计算公式求解即可；
（2）由题可得，由单调性，正负情况结合零点存在性定理可得零点情况，然后由单调性可完成证明.
【详解】（1）的最小正周期为，
，；
（2）由（1）可得，定义域为，
①当时，函数在上单调递增，
因为，，
所以，根据零点存在定理，使得，
故在上有且只有一个零点；
②当时，因为单调递增，单调递减，
，，所以，
所以在上不存在零点；
③当时，因为单调递增，，因为
所以，所以在上不存在零点；
综上：有且只有一个零点，且，
因为，所以，
所以，
在上单调递减，，所以．
题型05 三角函数中不等式的恒成立有解问题
（24-25高一下·江西宜春·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示.
(1)求的解析式及单调递减区间；
(2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意的，，都有，求实数的取值范围.
四步 内容
理解 题意 题目给出正弦型函数的部分图像，已知且. 第一问求的解析式与单调递减区间. 第二问将图象左移单位，再横坐标变为原来2倍得，在内，任意满足，求的取值范围.
思路 探求 (1)求解析式：由图像最高点得，由零点与最高点的水平距离求周期得，代入点坐标求；再结合正弦函数递减区间的性质求的单调递减区间. (2)按图像变换规则（左移、横坐标伸缩）得，确定区间对应的相位范围，求的最值，得到的最大值，进而解关于的不等式.
书写 表达 （1）设的最小正周期为，所以，解得， 所以，解得. 由题意知，所以， 又，所以，， 即，，又， 所以，所以. 令，，解得，， 即的单调递减区间为，. （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为， 再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的函数解析式为. 当，， 所以，， 若对任意的，，都有，则， 解得，即的取值范围是.
题后 反思 求正弦型函数解析式时，需准确判断零点与最高点/最低点的水平距离对应的周期比例，避免周期计算错误. 图像变换中，左移是对“”加平移量，横坐标伸缩是对“”乘伸缩系数的倒数，需注意变换顺序与对象. 求函数在区间内的最值时，要结合相位的范围分析三角函数的取值，确保最大值与最小值的准确性.
正弦型函数解析式的求解（振幅、周期、相位的确定）.
正弦型函数的单调区间求解.
三角函数的图像变换（平移、横坐标伸缩）.
三角函数在区间内的最值与绝对值差的范围.
不等式与三角函数结合的参数范围求解.
（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数
(1)求的最小正周期和单调递增区间；
(2)求在区间上的最值，并求出取得最值时x的值；
(3)若不等式在区间上恒成立，求m的取值范围．
【答案】(1)最小正周期为；
(2)答案见解析；
(3)
【分析】（1）由正弦函数的性质求解周期和单调递增区间即可；
（2）由函数的单调性可得函数的最值；
（3）令，将不等式转化为关于的一元二次不等式，结合二次函数的性质求解即可；
【详解】（1）最小正周期，
令，解得，
所以单调递增区间为.
（2）因为，所以在上单调递增，
所以当时，取得最小值为；
当时，取得最大值为
（3）当时，为增函数，
，
所以，
令，则，
不等式在区间上恒成立等价于在上恒成立，
令，开口向上，对称轴为，
当时，在上单调递增，则，与矛盾，舍去；
当时，在上单调递减，则，与矛盾，舍去；
当时，，
综上m的取值范围是.
（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知函数.
(1)求f（x）的对称中心的坐标；
(2)若 对 成立，求n的取值范围；
(3)设函数 求的值域.
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）由，利用进行求解；
（2）转化为进行求解；
（3），令，则，因为，所以，令，得，对称轴方程为：，进行分类讨论求解函数的单调性进行求解．
【详解】（1），
由，得，
得f（x）的对称中心的坐标为：
（2）因为，，而，
所以，
若 对 成立，
则，
得，
即，
得，或，
故n的取值范围为：．
（3）
，
令，得，
则
，
因为，所以，
得，
令，
得，
对称轴方程为：，
当，即，得函数在上单调递增，而，得，
当，即，得函数在上单调递减，在上单调递增，且
而，
得．
当，即，得函数在上单调递减，在上单调递增，且，
而，
得．
当，即，得函数在上单调递减，而，得，
综上知：
当时，的值域为：；
当时，的值域为：；
当时，的值域为：；
当时，的值域为：．
（24-25高一下·重庆·阶段练习）已知向量，，其中，函数，且．
(1)求函数的解析式；
(2)求在上的值域；
(3)若对，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，得到，由，求得，结合，求得，即可得函数解析式.
（2）由，得到，结合三角函数的图象与性质，即可求解；
（3）根据题意，将所给不等式等价转化，将其化成在恒成立，设，将函数化成，结合函数的单调性，求得函数的最小值，进而得到参数范围.
【详解】（1）解：由向量和，
可得
，
因为，可得，
可得，解得，
又因为，所以，所以.
（2）解：由（1）知，函数，
因为，可得，
当时，即时，；
当时，即时，，
所以函数的值域为.
（3）解：因为在上恒成立，
则，
又由
，
所以，
即在恒成立，
令，
因为，可得，所以，
又因为，
设，则在上单调递增，所以，
所以，即，所以故的取值范围为.
题型06 三角函数中的取值范围问题
（24-25高一下·辽宁·期末）已知函数.
(1)若，求的最小正周期；
(2)若在区间上有定义.
（i）求的最大值；
（ⅱ）若曲线至少有两个对称中心在区间上，求的取值范围.
四步 内容
理解 题意 题目给出正切函数（）. 第一问是时求的最小正周期. 第二问分两小问：(i)在区间上有定义，求的最大值；(ii)曲线至少有两个对称中心在上，求的取值范围.
思路 探求 (1)正切函数的最小正周期公式为，代入即可求解. (2)(i)正切函数有定义的条件是自变量不等于（），需保证区间内不包含这些无定义点，通过分析区间端点对应的自变量值，确定的最大值. (ii)正切函数的对称中心满足（），先求出对称中心的横坐标，再让这些横坐标在内至少有两个，进而确定的范围.
书写 表达 （1）当时，， 易得的最小正周期； （2）（i）当时，，， 若函数在区间上有定义，则， 解得，故的最大值为； （ii）函数的对称中心满足，， 解得，， 其图象至少有两个对称中心在区间上， 则在区间上至少有两解， 故至少存在两个值使， 故至少有，两个取值， 所以，综上，的取值范围为.
题后 反思 正切函数的周期、定义域、对称中心的公式需准确记忆，尤其是对称中心是对应的点，易与正弦函数混淆. 分析定义域时，需关注区间内是否包含无定义点，通过端点值限制参数范围. 对称中心个数问题，需列出对应值的横坐标，结合区间条件确定参数的取值范围.
正切函数的最小正周期公式.
正切函数的定义域（无定义点的条件）.
正切函数的对称中心求解.
利用区间条件确定参数的范围.
（2024·全国·模拟预测）已知函数.
(1)若的图象经过点，，且点恰好是的图象中距离点最近的最高点，试求的解析式；
(2)若，且在上单调，在上恰有两个零点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得函数的周期求出，又过点B取最值求；
（2）根据求，由已知条件及正弦函数的性质求的取值范围.
【详解】（1）依题意可知：，即，所以，
又过点，所以,即，
又，所以，即.
（2）因为，且，所以，即，
又当时恰有两个零点，，
依题意：，即，
又在上单调，所以，
依题意;若，即，所以，因，故不合题意；
若，即，所以，因，故；
若，即，显然不等式组无解；
综上的取值范围为.
（22-23高一上·吉林长春·期末）设函数.
(1)当时，求的值域；
(2)若函数在区间上没有零点，求正实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先根据题意得到，再求其值域即可.
（2）首先得到，令得到，从而得到，再解不等式组即可.
【详解】（1）因为
，
因为，所以，故，
，即的值域为.
（2）
令，可得，
解得，.
因为在区间上没有零点，
所以，解得，
因为，所以
又由，得，所以或
当时，；
当时，
综上所述，正实数的取值范围是.
（22-23高一下·湖北恩施·期末）已知函数．
(1)若，求的最小值；
(2)若在区间上的值域为，求的取值范围．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）根据条件可知函数关于点对称，代入即可求解；
（2）首先求的范围，再根据三角函数的图象和性质，即可列不等式求的取值范围．
【详解】（1）因为，
所以的图象关于点对称，
则，
解得．
又，故当时，取得最小值1．
（2）当时，，
因为函数在区间上的值域为，所以，
解得：．
所以的取值范围为．
题型07 三角函数的实际应用题
（24-25高一上·福建漳州·期末）长泰摩天轮位于长泰天柱山，是欢乐大世界的地标式游乐设施，被誉为“长泰之眼”．游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图1，该摩天轮最高点距离地面高度为90米，转盘直径为88米，设置有56个座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似的看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要18分钟．如图2，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系．
(1)游客小明坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；
(2)坐上摩天轮转动一圈，当距离地面68米及以上高度时游客就能俯瞰全景，大有“一览众山小”之感．小明能有多长时间感受这个过程？
(3)小明在摩天轮上发现朋友小华刚要入舱乘坐摩天轮，而且小华的座舱和自己的座舱之间还有13个座舱，求两人距离地面的高度差的最大值．
四步 内容
理解 题意 题目以摩天轮匀速圆周运动为背景，已知最高点离地面90米、直径88米、转一周18分钟，进舱在最近点P. 第一问求转动t分钟后高度H关于t的三角函数解析式. 第二问求高度≥68米的持续时间. 第三问求小明与间隔13个座舱的小华的高度差的最大值.
思路 探求 (1)解析式：振幅A为摩天轮半径，轴心高度b是最高点高度减半径，周期得ω，t=0时的最低高度求相位φ. (2)解不等式H(t)≥68，结合t∈[0,18]的角度范围求区间长度. (3)计算两人座舱的角度差，利用三角函数差的绝对值求高度差的最大值.
书写 表达 （1）， 由题意知，解得， 又，解得， 所以， 因为，所以，所以，， 所以，； （2）由（1）． 令，则，即， 因为，则，所以，解得， 所以小明坐上摩天轮能有（分钟）感受这个过程； （3）由题意知，两人间隔的弧度数为， 所以小明经过分钟后距离地面的高度为， 小华距离地面的高度为，； 则两人离地高度差 ， 当（或），即（或）时，的最大值为米．
题后 反思 摩天轮模型需明确“振幅=半径、轴心高度=最高点高度-半径”，初始位置对应三角函数的相位. 解三角不等式要结合周期内的角度范围，避免遗漏区间. 高度差的最大值可利用三角函数的有界性（|cosα+sinα|≤√2）简化计算.
三角函数的实际应用（圆周运动的高度模型）
三角不等式的求解（结合周期内的角度范围）
三角函数差的绝对值的最大值（利用有界性）
（24-25高一上·江苏盐城·期末）一个半径为6m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面3m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．
(1)将点P距离水面的高度y（单位：m．在水面下，则y为负数）表示为时间x（单位：s）的函数；
(2)在转动的一个周期内，点P在水中的时间是多少？
【答案】(1)
(2)5s
【分析】（1）建立如图所示的平面直角坐标系，设角是以Ox为始边，为终边的角，根据题意可得点P的纵坐标为，进而得到，再结合的位置为初始位置即可求解；
（2）先得到在转动的一个周期内，点P在水中转动，进而结合周期求解即可.
【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系，
设角是以Ox为始边，为终边的角，
易知OP在xs内所转过的角为，
故点P的纵坐标为，则，
当时，，可得，所以，
则．
（2）在转动的一个周期内，点P在水中转动，而，
故点P在水中的时间是s．
（24-25高一下·陕西渭南·期末）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过.秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足（，，）.
(1)求函数的解析式；
(2)当时，求点到轴的距离的最大值.
【答案】(1)；
(2)6.
【分析】（1）根据已知有、、求解析式中的参数，即可得；
（2）根据正弦型函数性质求值域范围，即可得点到轴的距离的最大值.
【详解】（1）由题意，，则，
由题意，即，又，则.
.
（2）由（1）知，
当时，，
，故，
点到轴的距离的最大值为6.
（24-25高一下·上海·期末）如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于的常数．阴影部分是一个半径为米的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好．工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点P在弧上．设，矩形的面积为S平方米．
(1)求S关于的函数表达式；
(2)当时，求S的最值，并求出当S取得最值时，所对应的的值．
【答案】(1)，；
(2)答案见解析．
【分析】（1）过作，垂足为，得，，应用矩形面积公式即可得关系式；
（2）由题设，令，进而得到，结合二次函数的性质求最值，且可得值.
【详解】（1）过作，垂足为，由题意得：，，
故，，
所以矩形的面积，．
（2）由（1）及题设知，
故，
令，，所以，且，
，
在区间上严格减，在区间上严格增，且，
当，即时，取得最小值，
此时，则，故，
当，即时，取得最大值，
此时，则，故或．
题型08 三角函数中任意与存在问题
（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)若，，，求；
(3)设，若对任意的，，都有，求正实数a的取值范围.
四步 内容
理解 题意 题目给出函数（）的部分图象 第一问求的解析式. 第二问已知、、，求. 第三问设，对任意、，都有，求正实数的范围.
思路 探求 (1) 求解析式：由图象最值求$ A、b $，由图象两点间距求周期得，代入点坐标求. (2) 求：先由得，结合的范围求，再求，利用角的拆分，用正弦差公式计算. (3) 求的范围：先求在的最小值，再将转化为关于的二次函数，求其在的最大值，由“”解不等式.
书写 表达 （1）由题设，则，可得， 由图知，可得，则， 又，可得，，则， 所以； （2）由题设，可得， ，则，且， 可得，， 所以； （3）由题意，，，有， 由，则，故， 由，而， 所以， 当，则，此时恒成立，满足； 当，则，此时，故满足； 所以.
题后 反思 求三角函数解析式时，需准确利用图象的最值、周期点求参数，注意相位的范围限制. 角的拆分是三角求值的关键，需结合角的范围确定三角函数的符号. 恒成立问题需转化为“函数最大值<函数最小值”，二次函数在区间上的最值需分对称轴位置讨论.
三角函数解析式的求解（振幅、周期、相位的确定）.
三角恒等变换（角的拆分、同角三角函数关系、正弦差公式）.
二次函数在区间上的最值求解.
恒成立问题的转化（最值比较）.
（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知函数．
(1)求在上的值域；
(2)设，若对，，使得．求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）变形得到，，求出值域；
（2）在区间上单调递增，从而得到的值域，由题意得的值域包含的值域，结合（1）得到不等式，求出答案.
【详解】（1）
因为，所以
所以当时，取最大值；
当或1时，取最小值1；
所以的值域是
（2）由复合函数单调性可知在区间上单调递增，
所以当时，的值域为，
对，，使得，故的值域包含的值域，
其中，
所以，解得
（24-25高一上·山东烟台·期末）已知函数图象上两条相邻的对称轴之间的距离为
(1)求的单调递增区间;
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，设，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由题意得到，结合正弦型函数性质求解；
由题意，结合单调性求解即可
【详解】（1）由题意，周期，
所以，
令，，解得，，
所以的单调递增区间为
（2）由题意，
因为对任意，存在，使得成立，所以
当时，，所以
当时，，，即
令，则，，
若，在上单调递增，
因为，所以，解得，
若，在上单减，在上单增，
因为，所以，解得，
若，在上单减，
因为，所以，解得
综上，a的取值范围为或
（23-24高一上·吉林长春·期末）已知函数，且．
(1)设，若对任意，总存在，使成立，求实数t的取值范围；
(2)函数的图象与函数的图象关于直线对称，求不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由求得，根据正弦函数性质可得，然后将问题转化为，，使得，参变分离，结合对勾函数性质可解；
（2）先求的解析式，然后结合余弦函数图象即可求解.
【详解】（1）因为，
则，可得，
因为，则，所以，可得，
所以．
当时，，则，
依题意，，使得，
所以，
因为，则，
令，函数在上单调递减，
所以，所以，，
因此，实数t的取值范围是．
（2）因为与的图象关于直线对称，
则
，
因为，令，
则，即，
作出函数的图象如图所示：
由可得，
即，
因为，故，可得，
解得或，
即，
因此，原不等式的解集为．
.1．（23-24高一上·江苏徐州·期末）已知函数，用“五点法”画一个周期的图象，列表如下：
0
3
(1)求的解析式，并求当时，的值域；
(2)若，求的值.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据表中数据结合“五点法”画图，求得的值，即求得解析式；再根据的范围求出的值域.
（2）由代入运算求得，利用诱导公式可求得，得解.
【详解】（1）由表中数据可得，，解得，
又，
，，
，
又，
，
即，，又，所以，
所以.
当时，，
，
，所以的值域为.
（2）由，得，即，
，
，
.
2．（23-24高一下·北京怀柔·期末）已知函数
从条件① 条件② 条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一.
条件①：；
条件②：在区间单调，且；
条件③：函数相邻两个零点间的距离为.
选__________作为条件
(1)求值；
(2)求在区间上的最大值与最小值及对应的的值.
【答案】(1)
(2)当时，；当时，
【分析】先化简，（1）若选条件，分别求解，舍掉不满足存在且唯一，逐一检验即可得解，（2）由（1）得到解析式，求出相位范围即可求解.
【详解】（1），
若选条件①，,，即，无解，不合题意；
若选条件②，因为，
所以且
所以过图象的最高点，过图象的最低点，
又因为在区间单调，所以
解得，
当时，，
当时，，所以在区间不单调，不符合题意，所以；
若选条件③， 因为相邻两个零点间的距离为，
所以，即，又，解得，不合题意；
综上，；
（2）由（1）知，
当时，，
所以，当时，；
当时，.
3．（24-25高一上·江苏南京·期末）已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式；
(2)求在上的单调增区间；
(3)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据三角函数的图象，依次求得的值.
（2）利用整体代入法和赋值法来求得正确答案.
（3）利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式等知识来求得正确答案.
【详解】（1）由图可知，
，
则，由，
得，则，
由于，所以，所以.
（2）由于，
要使，则令得，
所以在上的单调增区间是.
（3），
.
4．（24-25高一上·湖北·期末）已知函数在区间上有且仅有4个零点.
(1)求的取值范围;
(2)当时，若不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围;
(3)当时，若函数在区间内有两个不同的零点，求实数t的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用换元法可得函数在区间上有且仅有4个零点，然后结合余弦函数的图象与性质即可得结果；
（2）求出，问题转化为在上恒成立，进而求得结果；
（3）问题转化为函数与的图象在区间内有两个不同的交点，可得t的不等式，计算可得结果.
【详解】（1）因为，则，，
因为函数在区间上有且仅有4个零点，
所以函数在区间上有且仅有4个零点，
结合余弦函数的图象与性质可得：，
解得：，
所以的取值范围为
（2）当时，由可得：，所以，
因为不等式在上恒成立，
所以在上恒成立，又因为当时，，
所以，所以，
即，所以，故实数m的取值范围为
（3）因为函数在区间内有两个不同的零点，所以在区间内有两个不同的零点，
即在区间内有两个不同的零点，
即函数与的图象在区间内有两个不同的交点，
由余弦函数的图象与性质可得：或，即或，
故实数t的取值范围为
5．（24-25高一上·江苏常州·期末）已知函数的图象如图所示.
(1)求函数的对称中心；
(2)先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向左平移个单位后得到函数的图象.若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据函数图象求得的解析式，然后利用整体代入法求得的对称中心.
（2）利用三角函数图象变换的知识求得的解析式，根据在区间上的值域转化不等式，由此求得的取值范围.
【详解】（1）由图可知：，所以，所以，，
又，
所以，.
所以.
令，，
则，.
所以的对称中心为，.
（2）由题.
当时，.
因为对任意的恒成立，
则.
所以.
6．（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知函数在区间上的值域为.
(1)求函数的解析式；
(2)若对任意，存在使得，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由结合正弦型函数的基本性质可求出函数的值域，进而可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数的解析式；
（2）由题意可知，，求出在时的最小值，可得出，由此可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】（1）因为，则，则，
因为，则，
由题意可得，解得，因此，.
（2）由题意可得，
因为，所以，，则，故，
因为，则，
由题意可得，即，
所以，，解得，
因此，的取值范围是.
7．（24-25高一上·海南·期末）已知函数的图象关于点中心对称.
(1)求的值；
(2)分析在区间上的单调性；
(3)设函数，若与的图象相交于，两点，为坐标原点，求的面积.
【答案】(1)
(2)在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减
(3)
【分析】（1）根据对称性可得，结合余弦函数性质运算求解即可；
（2）由（1）可知，以为整体，结合余弦函数的单调性分析求解；
（3）由（2）可知，，令，解方程可得，，即可得面积.
【详解】（1）因为的图象关于点中心对称，则，
即，可得，解得，
且，所以.
（2）由（1）可知，
当时，则，
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减.
令，可得，令，可得，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减.
（3）由（2）可知，，
令，可得，
即，解得或（舍去），
又因为，可得或，
因为，，不妨设，，
则，两点关于点对称，
所以的面积.
8．（24-25高一上·云南德宏·期末）已知函数的图象经过点，且图象中任意一条对称轴和其相邻的对称中心之间的距离为.
(1)求函数的解析式；
(2)若函数，证明：函数的图象关于点对称；
(3)已知函数，若在区间内共有8个零点，，求的取值范围以及的值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)，
【分析】（1）应用正弦函数性质得出周期求出，再代入点求出，即可求出解析式；
（2）应用对称中心定义证明或根据奇函数得出对称中心结合图象的平移得出的对称中心；
（3）根据正弦函数的对称轴计算求值.
【详解】（1）由题意可得：，
所以；
（2）证法一：由题设及（1）可知：，
，
，
，
所以，函数的图象关于点对称.
证法二：由（1）知，
令，可证为奇函数，其图象关于对称.
而，所以将的图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到图象，可知函数的图象关于点对称.
（3）令，可得方程，
由的性质知，要使函数与在区间内共有8个交点，
则.
函数的对称轴方程为，其在区间内有7条对称轴，
分别是，
.
9．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，且，，．
(1)求的值；
(2)求在区间上的单调递减区间；
(3)若关于的方程在区间上有且仅有4个不同的实数解，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由已知条件确定对称中心与对称轴，再结合正弦函数的对称性求得；
（2）由正弦函数的单调性求解；
（3）先解方程得出，或，然后由函数的图象与直线和的交点个数得出参数范围．
【详解】（1）因为，所以的图象关于直线对称．
又，所以的图象关于点对称，
则有，即，
又因为，所以．
（2）因为，即在处取得最大值2，所以，
则，即，又，所以，
所以．令，可得，
由，可得，则，
所以在区间上的单调递减区间为．
（3）方程可化为，
则，或．
由（2）可知，在区间上的图象如图所示，
因为方程在区间上有且仅有4个不同的实数解，
所以或
解得或．
所以实数的取值范围是．
10．（24-25高一下·广西钦州·期末）已知函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的图象的对称中心的坐标和对称轴方程；
(3)当时，方程有两个不相等的实数根，且，求的值．
【答案】(1)
(2)对称中心为，对称轴方程为
(3)
【分析】（1）根据最大值可求解振幅，根据周期可求解，代入最高点坐标可求，
（2）利用整体法，结合正弦函数的性质即可求解，
（3）根据正弦函数的对称性可得，，即可根据诱导公式，结合同角关系即可求解.
【详解】（1）根据图可知，周期满足，故，故，
此时，
代入可得，故，
即，由于，故，
故
（2）令，解得，
故对称中心为，
令,解得，
故对称轴方程为
（3）由于，所以，
令，
则令，则在上有两个不相等的实数根，
满足，且，，
因此，
，
故，
11．（24-25高一下·河南·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．
(1)求函数和的解析式；
(2)求函数的单调递增区间和对称中心；
(3)求函数在区间上的值域．
【答案】(1)，
(2)（），对称中心为（）.
(3)
【分析】（1）首先根据图象的最值确定，然后根据图象求出最小正周期，进而可求出，然后根据图象经过的点的坐标求出，从而得到函数的解析式；根据图象的变化和平移求出的解析式.
（2）根据正弦函数的单调性和对称中心公式求出结果.
（3）根据的范围和正弦函数的性质求出函数的值域.
【详解】（1）由图象可知，设函数的最小正周期为，
所以，解得，
所以，所以，
又的图象过点，所以，
所以，解得，
又，所以，所以．
将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到，
再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到.
（2）令，，解得，，
即函数的单调递增区间为（），
令，，解得，，
所以函数的对称中心为（）.
（3）当时，，所以，
所以，即函数在区间上的值域为．
12．（24-25高一下·安徽安庆·期末）已知函数（，）的周期为，且过点.
(1)求，的值；
(2)求函数在上的单调递减区间.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据题意，利用正弦型函数的周期的定义，得到，即可求解，将代入中，结合，即可求出；
（2）由（1）知，利用正弦型函数的图象与性质，列出不等式，即可求解单调递减区间，又，在上的单调递减区间..
【详解】（1）依题意，，解得；
将代入中，得，故，
解得；因为，故；
（2）由（1）可知，
令，
则，即，
故的单调递减区间为.
又，令，解得，
综上所述，在上的单调递减区间为.
13．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）已知函数的图象关于直线对称，点在的图象上，，，且的最小值是．
(1)求的解析式；
(2)求不等式的解集；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由，，且的最小值是，可得，
由的图象关于直线对称，可得，由点在的图象上，可得，据此可得答案；
（2）即解不等式，然后由余弦函数单调性可得答案；
（3）即时，，利用余弦函数性质求得，解不等式可得答案.
【详解】（1）因为的最小值是，所以，所以．
因为的图象关于直线对称，所以，
所以，所以，即．
因为，所以．
因为点在的图象上，所以，所以．
故；
（2）不等式等价于不等式，
即，所以，
解得，
即不等式的解集为．
（3）因为，所以，
所以，则．
因为对任意的，不等式恒成立，
所以，即，
解得或，
即的取值范围为．
14．（24-25高一下·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知函数的图象经过，，三点，且的最小值为．
(1)求的解析式；
(2)求在上的值域；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可求出最小正周期，从而可得，再结合，可求得，，再结合，从而可求解.
（2）结合（1）中结论再利用整体代换法即可求解.
【详解】（1））由题意的图象经过，三点，且的最小值为，
可得的最小正周期，则，解得．
则，
由，
故，，
又因为，所以．
故．
（2）由于，所以，
故，．
所以函数的值域为．
1
