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重难点专题 对数函数图像与性质
1对数函数图像核心性质想
重难点一、不同底数图像高低来源
对数函数源于指数函数，所以对于对数函数的性质和图像，可以通过指数函数一步一步的对称过来
1．（24-25高一·全国·专题练习）设，在同一直角坐标系中，函数与的大致图象是
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，结合对数函数与指数函数的性质，即可得出结果.
【详解】因为，所以为增函数，过点；
为增函数，过点，
综上可知，B选项符合题意.
故选B
【点睛】本题主要考查对数函数与指数函数图像的识别，熟记对数函数与指数函数的性质即可，属于常考题型.
2．（24-25高一·河北 阶段练习）函数，，，的图象如图所示，则的大小顺序是( )
A．c＜d＜1＜a＜b B．1＜d＜c＜a＜b
C．c＜d＜1＜b＜a D．d＜c＜1＜a＜b
【答案】A
【分析】令4个函数取同样的函数值1，得到的自变量的值恰好是，通过函数的图象从左到右依次与交于，从而得出.
【详解】令4个函数取同样的函数值1，即，
解得，
作出的图象从左到右依次与交于
，
，故选A.
【点睛】本题主要考查对数函数的图象与性质，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.
3．（23-24高一·湖南 课后作业）如图，在平面直角坐标系中，已知曲线依次为的图象，其中为常数，，点是曲线上位于第一象限的点，过分别作轴、轴的平行线交曲线分别于点B、D，过点B作轴的平行线交曲线于点，若四边形为矩形，则的值是 .
【答案】/
【分析】设出点坐标，求得点坐标并代入，从而求得的值.
【详解】设，其中，则，，
由解得，则，所以，
将点坐标代入得.故答案为：
重难点二、利用不同底数图像高低比大小
4．（2025·辽宁丹东·模拟预测）设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由函数与的单调性可得、，再化简得，可得，由此可得，则可选出答案.
【详解】因为函数在上单调递减，函数在上单调递增，
所以，，
所以，
所以，
所以，
所以.
故选：D.
5．（25-26高三上·北京朝阳·期中）下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据指数函数、幂函数及对数函数的单调性一一判断即可.
【详解】对于A：因为在定义域上单调递减，所以，故A错误；
对于B：因为在上单调递增，所以，故B错误；
对于C：因为在定义域上单调递减，所以，故C错误；
对于D：因为在定义域上单调递减，所以，
所以，
又，，
所以，故D正确.
故选：D
6．（25-26高三上·四川南充·阶段练习）已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性分别求出的范围，即得答案.
【详解】因为底数 ，所以 在上单调递减，
所以 ，故 ；
因为底数 ，所以 在上单调递减，
所以 ；
因为底数 ，所以 在上单调递增，
所以 ；
因此，大小关系为：.
故选：B
7．（15-16高一上·宁夏银川·期中）已知则
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为，，，所以，故选A．
试题分析：
考点：对数函数的图象与性质．
【方法点睛】（1）比较两个指数幂或对数值大小的方法：①分清是底数相同还是指数（真数）相同；②利用指数、对数函数的单调性或图像比较大小；③当底数、指数（真数）均不相同时，可通过中间量过渡处理；（2）多个指数幂或对数值比较大小时，可对它们先进行0,1分类，然后在每一类中比较大小．
2 对数函数复合型单调性与值域
重难点一、值域是R型求参
对数定义域为R 对于值域是R ， 则
1．（2025高三·全国·专题练习）的值域为，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用对数函数值域确定真数取值集合，再利用二次函数求出范围.
【详解】 因为的值域为，
所以的值域包含，
所以，解得.
故选：C.
2．（24-25高一下·湖南·阶段练习）已知命题的值域为，命题的定义域为，则是的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】对于命题，要使能取到所有大于的数，需分和两种情况讨论，时根据二次函数图象性质确定的取值范围；
对于命题，要使在上恒成立，同样分和两种情况，时根据二次函数图象性质确定的取值范围.
最后根据充分不必要条件的定义判断与的关系.
【详解】对于命题可以取到所有大于0的数显然成立；
时，，解得，所以.
对于命题在上恒成立.时显然成立；
时，，解得，所以.
所以是的充分不必要条件，
故选：B.
3．（2025高二下·陕西西安·学业考试）若函数的值域为，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．]
【答案】D
【分析】令，等价于的值域能取到内的任意实数即可，
【详解】令，等价于的值域能取到内的任意实数，
若，则，符合题意，
若，则需，解得，∴a的范围为，
故选：D．
重难点二、复合型对数函数单调性求参
(1)单调性的运算关系： ①一般情况下，－f(x)和均与函数f(x)的单调性 相反 ； ②同区间，↑+↑= ↑ ，↓+↓= ↓ ，↑－↓= ↑ ，↓－↑= ↓ ； 单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么有： ①>0 f(x)是[a,b]上的 增函数 ； ②<0 f(x)是[a,b]上的__减函数__； (3)复合函数单调性结论： 同增异减 （4）对数函数单调性，在定义域内，结合底数大于1还是小于1，分类讨论
4．（24-25高二下·江西赣州·阶段练习）若在区间上递减，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由对数函数是增函数，可得要使函数在上递减，则函数在上单调递减以及函数值总大于零，由此联立不等式组求解．
【详解】令，其对称轴方程为，对数函数是增函数，
要使函数在上递减，则，
解得，实数的取值范围是．
故选：B.
5．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复合函数的单调性及对数函数的单调性和定义域求解即可.
【详解】因为函数在上单调递减，
所以在上单调递减，且在上恒成立，
则，解得，
故选：B
6．（24-25高三下·河南焦作·阶段练习）函数在上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由对数的定义及真数为正可得及，由此得，故可知在上单调递增，要使得函数整体在上单调递减，则，综上取交集即可得的取值范围.
【详解】由题意可得及，解得，
所以，故在上单调递增，
所以，，综上可得，
故选：B.
重难点三、对数函数恒成立求参数
般地，已知函数， 不等关系 (1)若，，总有成立，故； (2)若，，有成立，故； (3)若，，有成立，故； (4) 若，，有成立，故
7．（24-25高一上·安徽·阶段练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分类讨论，当时， 令可判断原不等式不成立，当时，令函数，由函数的单调性可得当时，取得最大值，从而代入不等式可得解.
【详解】不等式，变形为，
当时， 令，则，此时原不等式不成立；
当时，令，
由在单调递增，在单调递减，
所以在单调递增，
故当时，取得最大值为，
由，解得，
所以.
故选：B.
8．（22-23高一上·江苏淮安·期末）已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求出函数的奇偶性和单调性，再根据得到的函数性质化简不等式，，最后结合基本不等式计算求解即可
【详解】,
,
所以为奇函数,
为单调增函数,
,
,恒成立,
,
.
故选：D.
9．（20-21高一上·云南玉溪·期末）已知函数的值域为，若不等式在上恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，先求得，把不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，结合指数幂的运算性质，即可求解.
【详解】由题意，函数的值域为，可得函数的最大值为，
当时，函数显然不存在最大值；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，当时，函数有最大值，即，解得；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
此时函数无最大值，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
由在上恒成立，可得；
由在上恒成立，即在上恒成立，可得；
由在上恒成立，即在上恒成立，
令，可得函数在上单调递增，所以，即，
综上可得，即实数的取值范围是.
故选：A.
3对数函数与方程
重难点一、指数与对数图像对称性
对数函数源于指数函数，所以对于底数相同的指数对数函数而言，关于y=x对称。 所以对数和指数这个性质，可以借助同构形式来求解，
1．（24-25高一上·辽宁大连·期末）函数的图象与函数的图象（ ）
A．关于直线对称 B．关于y轴对称
C．关于x轴对称 D．关于原点对称
【答案】A
【分析】证得与互为反函数，由反函数的图象关于直线对称可直接得答案.
【详解】的反函数满足，化简可得，
所以，因为反函数的图象关于直线对称，
即与关于直线对称，
故选：A.
2．(多选题）（2024·江苏宿迁·模拟预测）已知a，b分别是函数与和的图象在第一象限的交点的横坐标，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】对于A，设函数与和的图象在第一象限的交点分别为C，D，得到C，D两点的坐标，结合函数的对称性得到，结论；对于B，结合A中的结论即可判定；对于C，结合B中的结论，以及代入消元法，结合基本不等式即可求解判断；对于D，利用乘1法，换元，并结合函数的单调性进行判断.
【详解】对于选项A：设函数与和的图象在第一象限的交点分别为C，D，
则，，
又因为函数的图象关于直线对称，函数和的图象关于直线对称，
可知点，D两点关于对称，则，，
所以，故A正确；
对于选项B：因为，且，则，
取倒数有，即，故B错误；
对于选项C：由得，当且仅当时取等号，
由图象可知，，等号不成立，所以，故C正确；
对于选项D：因为，则，
可得，
令，可知在区间上单调递减，
所以，故D正确；
故选：ACD.
3．（23-24高一上·北京东城·期末）若、分别是函数，的零点，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意看得出、，数形结合可知点、关于直线对称，由此可得出结论.
【详解】由题意可得，可得，
，则，所以，，
作出函数、、的图象如下图所示：
对于函数可得，所以，函数的图象关于直线对称，
又因为函数、的图象关于直线对称，
所以，点、关于直线对称，则，故.
故选：B.
4．（2024·广东佛山·模拟预测）已知，分别是关于的方程，的根，则下面为定值2023的是（ ）
A． B． C． D． E．均不是
【答案】C
【分析】由与关于直线对称，关于直线对称可得与为同一点即可求得结果.
【详解】由已知条件可知，，，令，，，如图所示，
曲线与曲线关于直线对称，曲线关于直线对称，
设曲线分别与曲线，交于点， ，
则点，关于直线对称，
而点关于直线对称的点为，即为点，
则，即.故选：C.
重难点二、指数与对数函数构造对称性
指数对数同底形式，可以借助对称性来转化，构造对应的对称性如下图
5．（2025·山西晋中·模拟预测）已知，则 .
【答案】2026
【分析】法一：变形得到，，构造，则，根据函数单调性得到，
故；
法二：设与的交点为，与的交点为，根据对称性得到与关于对称，求出.
【详解】法一：，
，
设，则，
由于在R上单调递增，故，
故；
法二：，
设与的交点为，
与的交点为，
由于和为反函数，
即和关于对称，
而和垂直，关于对称，
联立，解得，
所以与关于对称，
故，所以.
故答案为：2026
【点睛】关键点点睛：变形得到，，构造，由函数单调性进行求解；或由函数的对称性进行求解
6．（2025·河北衡水·模拟预测）已知，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】利用同构互为反函数的图象对称性和数形结合法来求解即可.
【详解】由可得：，
又由可得：。
而函数与互为反函数，所以它们的图象关于直线对称，
下面作出函数，，，的图象：
由图可得：方程的根为，即为如图交点的横坐标，
方程的根为，即为如图交点的横坐标，
由图可知交点的横坐标为，根据对称性可得：，
根据同构方程思想可得：满足和的根必有：，
所以，
故选：A.
7．（24-25高二下·云南丽江·期末）若，设函数的零点为，的零点为，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】函数的零点是与图象交点的横坐标，函数的零点是与图象交点的横坐标，数形结合可得出，再将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的取值范围.
【详解】函数的零点是与图象交点的横坐标，
函数的零点是与图象交点的横坐标，
由于与互为反函数，其图象关于直线对称，
直线与直线垂直，
故直线与直线的交点即是的中点，
，，
当且仅当时等号成立，故，
故所求的取值范围是．
故选：B．
8．（2025·吉林·三模）已知正实数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用常见不等式结合数形结合可得，故A，B选项错误；根据与的图象关于直线对称可得选项C错误，选项D正确.
【详解】设，则，
当时，，当时，，
故在上递增，在上递减，故，
所以，故，故，
故的图像在的下方.
∵
∴，
如图，为函数与函数图象交点的横坐标，
为函数与函数图象交点的横坐标，
为函数与函数图象交点的横坐标，
由图知，，而，
由为增函数得，故，故A，B选项错误.
由得，．
∵与的图象关于直线对称，
∴点和关于对称，且，，
∴且，
∴，故C选项错误.
∵，∴，故D选项正确．
故选：D.
4对数函数型不等式与方程
重难点一、解对数方程型
解对数方程，主要利用指对互换以及以下公式：
1．（21-22高二上·陕西西安·期末）若关于x的方程有解，则实数的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将对数方程化为指数方程，用x表示出a，利用基本不等式即可求a的范围．
【详解】，
，
当且仅当时取等号，故．故选：C．
2．（2024·安徽·模拟预测）若关于的方程有解，则实数m的最大值为 .
【答案】/
【分析】根据题意，由条件可得，构造函数，即可得到，然后利用导数求得函数的值域即可得到结果.
【详解】由题意得，，令，则，
易知单调递增，所以.令，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，所以，所以，得.
所以的最大值为.故答案为：
3．（24-25高一上·浙江·阶段练习）若关于x的方程上有解，则实数a的取值范围为
【答案】
【详解】方程在内有解,则在内有解,
即在内有值使成立。设,当时,,
,的取值范围是.故答案为:
重难点二、对数方程型最值
对数型最值，一般包含以下思维： 以对数式子整体换元为主，构造复合型新函数，一元二次型比较多。 换元时，要注意原函数和换元后新函数的定义域与值域，如本小专题的第5题。 3.解对数方程，多利用换底公式来转化为同底型。
4．（2021·陕西安康·三模）若对任意，总存在，使得成立，则m的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出，从而得到，
再利用函数的单调性求出的值域为，比较端点值，列出不等式组，
求出m的最小值.
【详解】因为，所以，则为对勾函数，
在处取得最小值，，
又因为，，所以．
由，得．
又函数在上单调递增，则的值域为，即的值域为，则，解得．所以m的最小值为.故选：B
5．（20-21高一上·河北保定·阶段练习）若(为自然对数)，则函数的最小值为（ ）
A．-3 B．-2 C．0 D．6
【答案】B
【分析】求出新函数的定义域，化简函数解析式后用换元思想转化为二次函数求解．
【详解】由题意，所以，则，设，，
又，而，所以时，，
所以函数的最小值为．
故选：B．
【点睛】易错点睛：本题考查求对数型复合函数的最值．解题方法是换元法，转化为二次函数求解．解题时要注意新元的取值范围．特别要注意函数的定义域，否则易出错．
6．（24-25河北模拟）函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】函数式变形后把作为一个整体，结合二次函数的性质求解．
【详解】由题意知的定义域为.
所以，，
，时等号成立．故选：A.
【点睛】本题考查求对数型函数的最值，解题方法利用整体思想（实质就是换元法）结合二次函数的性质求解．
重难点三、对数不等式
解对数不等式，可以采用“同底法”，利用对数的单调性求解。要注意以下两点： 1.对数的真数大于0，底数大于0且不等于1. 2.(a>0且a≠1，M>0，N>0) 指对互化： x＝logbN
7．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）若不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，则函数的定义域为，若恒成立，则，即，将转化成关于的二次函数求最小值即可.
【详解】依题意，设，则函数的定义域为，
令，解得或.
易知函数在上均单调递减，
若恒成立，则，即，
所以，
当且仅当时，取得最小值，即的最小值为，
故选：C.
8．（21-22高二下·河南商丘·期末）若对任意的实数，不等（）恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据对数函数的单调性得到，参变分离后换元，得到，利用在上的单调性求出最大值，从而得到实数m的取值范围.
【详解】当时，要使得不等式有意义，
需要在恒成立，可得，
此时不等式恒成立等价于恒成立，
即.令，则，且，
所以.
因为在上单调递减，
所以，当时，取得最大值为1，
所以实数m的取值范围是.
故选：C.
9．（2021高一上·江苏·专题练习）对不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】原不等式整理为，令，，在上单调递增，分，，三种情况讨论，最后得出交集即为所求．
【详解】，
即，
令，，
因为在上单调递增，
①时，，即：恒成立，
需要在上恒成立，而二次函数开口向下，所以需要 ，解得；
②当时原不等式显然恒成立；
③时，恒成立，即恒成立，在上恒成立，
又开口向下且对称轴为，由及可知，所以在上单调递减，
时，，所以需要 ，解得，
综上可得，的取值范围是，故选：A．
5复合型对数奇偶性
重难点一、真数无理型
1．（25-26高三上·河南信阳·阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】记，易证为奇函数且在上单调递增，由此即可解不等式.
【详解】设，则，
因为，
所以函数为奇函数，
当时，易知单调递增，单调递增，
所以当时，函数单调递增，
又函数为奇函数，所以函数在上单调递增，
所以等价于
所以
所以不等式的解集为.
故选：C.
2．（24-25高一上·湖北恩施·期中）设函数（a，b为实数），已知，则的值为（ ）
A． B．4 C．5 D．与a，b的取值有关
【答案】B
【分析】计算可得，再利用对数运算法则可得，则有，即可得解.
【详解】由，，
则
，
又，则，
故，
则.
故选：B.
3．（24-25高二下·吉林长春·期末）已知函数（e是自然对数的底数），若，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据奇偶性定义判断函数的奇偶性，再由对数函数、复合函数的单调性判断函数的单调性，最后应用奇函数、单调性解不等式即可.
【详解】由题设，定义域为R，
所以，故在R上为奇函数，
根据复合函数的单调性，知在上单调递减，且在R上连续，
所以在R上单调递减，
由题设，即，
所以不等式解集为.故选：B
重难点二、真数反比例型
4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据解析式可得，利用对称性求函数值.
【详解】由题设，
且，则，
由，可得.
故选：A
5．（25-26高三上·重庆·阶段练习）的图象与轴和直线围成的封闭区域的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分析函数的对称性，作出图形，结合对称性与三角形的面积公式可求得所求区域的面积.
【详解】由得，解得，即函数的定义域为，
因为，
所以，
所以函数的图象关于点对称，
因为，，记点、，
如下图所示：
结合对称性质可知，的图象与轴和直线围成的封闭区域的面积等于的面积，所求区域的面积等于.故选：D.
6．（25-26高三上·安徽·阶段练习）若为奇函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用奇函数得，即，又由的定义域得，最后利用基本不等式即可求解.
【详解】由题意有：，
所以，所以，又，所以，又函数定义域关于原点对称，故，即，
又因为，，所以，
当且仅当，即时，等号成立.故选：B.
重难点三、真数指对混合型
对数-指数复合反比例型： 对数-指数复合反比例型原理：
7．（2025·山西临汾·三模）已知，则满足的实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由函数解析式明确定义域，判其奇偶性，整理函数解析式，根据指数函数、对勾函数以及复合函数的单调性，可得函数的单调性，简化不等式，可得答案.
【详解】由，易知其定义域为，
由
，则函数为偶函数，
，
由在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
则在上单调递减，在上单调递增，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
由，则，即，
整理可得，化简可得，
解得.
故选：A
8．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知函数，若成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】化简函数解析式为，分析可知函数的图象关于直线对称，利用复合函数法分析函数在上的单调性，结合可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】对任意的，，即函数的定义域为，
且，
因为，
所以，函数的图象关于直线对称，
令，其中，
任取、且，即，故，
所以，，
则
，即，
所以，函数在上为增函数，
又因为函数为增函数，由复合函数的单调性可知，函数在上为增函数，
因为，则，即，
即，解得，
因此，实数的取值范围是.
故选：B.
9．（25-26高三上·重庆·阶段练习）设 且 ，若函数的最小值为2，则 （ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【分析】由条件可得，令，根据基本不等式可得，由条件结合对数函数性质可得，且，由此可求.
【详解】由已知，
所以，令，又，
故，当且仅当，即时等号成立，所以，
因为函数的最小值为2，所以，解得.
故选：D.
重难点四、真数反比例绝对值型
对数-指数复合反比例型原理：
10．（24-25高三下·山西大同·期末）若是奇函数，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】利用奇函数的定义域区间对称性求参数，再由求参数，进而验证即可得.
【详解】若，则的定义域为，不关于原点对称，所以．
若奇函数有意义，则且，所以且．
因为奇函数的定义域关于原点对称，由，解得．
由，得，所以．
所以，经验证满足题设.
故选：B
11．（25-26高二上·湖南长沙·开学考试）已知函数为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由定义域得到值，再验证.
【详解】因为是偶函数，所以其定义域关于原点对称，
由解析式可知，其定义域需满足，解得
所以的解为，代入得，
此时，定义域为
且，满足条件.
故选：A.
12．（2025高三·全国·专题练习）对于函数，下列不正确的是（ ）
A．是奇函数 B．
C．在上单调递减 D．在上单调递增
【答案】B
【分析】利用函数奇偶性的定义来判断A选项，利用特殊值来判断B选项，利用复合函数的单调性来判断C和D选项，
【详解】要使得函数有意义，则，解得：且，
所以的定义域关于原点对称，
又因为，从而是奇函数，故A正确；
由于，故B错误；
当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，故C正确；
当时，，
在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，故D正确.
故选：B
13．（25-26高三上·宁夏银川·阶段练习）若是奇函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】若时，则的定义域为，不关于原点对称，则为非奇非偶函数，
.
若奇函数的有意义，则且
且，
函数为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得，
所以函数，定义域为.
又由0在函数定义域内，所以，得，，经检验符合题意，
所以.
故选：D.
结束
1中小学教育资源及组卷应用平台
重难点专题 对数函数图像与性质
1对数函数图像核心性质想
重难点一、不同底数图像高低来源
对数函数源于指数函数，所以对于对数函数的性质和图像，可以通过指数函数一步一步的对称过来
1．（24-25高一·全国·专题练习）设，在同一直角坐标系中，函数与的大致图象是
A．B．C． D．
2．（24-25高一·河北 阶段练习）函数，，，的图象如图所示，则的大小顺序是( )
A．c＜d＜1＜a＜b B．1＜d＜c＜a＜b
C．c＜d＜1＜b＜a D．d＜c＜1＜a＜b
3．（23-24高一·湖南 课后作业）如图，在平面直角坐标系中，已知曲线依次为的图象，其中为常数，，点是曲线上位于第一象限的点，过分别作轴、轴的平行线交曲线分别于点B、D，过点B作轴的平行线交曲线于点，若四边形为矩形，则的值是 .
重难点二、利用不同底数图像高低比大小
4．（2025·辽宁丹东·模拟预测）设，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26高三上·北京朝阳·期中）下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（25-26高三上·四川南充·阶段练习）已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．（15-16高一上·宁夏银川·期中）已知则
A． B．
C． D．
2 对数函数复合型单调性与值域
重难点一、值域是R型求参
对数定义域为R 对于值域是R ， 则
1．（2025高三·全国·专题练习）的值域为，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一下·湖南·阶段练习）已知命题的值域为，命题的定义域为，则是的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2025高二下·陕西西安·学业考试）若函数的值域为，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．]
重难点二、复合型对数函数单调性求参
(1)单调性的运算关系： ①一般情况下，－f(x)和均与函数f(x)的单调性 相反 ； ②同区间，↑+↑= ↑ ，↓+↓= ↓ ，↑－↓= ↑ ，↓－↑= ↓ ； 单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么有： ①>0 f(x)是[a,b]上的 增函数 ； ②<0 f(x)是[a,b]上的__减函数__； (3)复合函数单调性结论： 同增异减 （4）对数函数单调性，在定义域内，结合底数大于1还是小于1，分类讨论
4．（24-25高二下·江西赣州·阶段练习）若在区间上递减，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三下·河南焦作·阶段练习）函数在上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
重难点三、对数函数恒成立求参数
般地，已知函数， 不等关系 (1)若，，总有成立，故； (2)若，，有成立，故； (3)若，，有成立，故； (4) 若，，有成立，故
7．（24-25高一上·安徽·阶段练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（22-23高一上·江苏淮安·期末）已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
9．（20-21高一上·云南玉溪·期末）已知函数的值域为，若不等式在上恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3对数函数与方程
重难点一、指数与对数图像对称性
对数函数源于指数函数，所以对于底数相同的指数对数函数而言，关于y=x对称。 所以对数和指数这个性质，可以借助同构形式来求解，
1．（24-25高一上·辽宁大连·期末）函数的图象与函数的图象（ ）
A．关于直线对称 B．关于y轴对称
C．关于x轴对称 D．关于原点对称
2．(多选题）（2024·江苏宿迁·模拟预测）已知a，b分别是函数与和的图象在第一象限的交点的横坐标，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高一上·北京东城·期末）若、分别是函数，的零点，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·广东佛山·模拟预测）已知，分别是关于的方程，的根，则下面为定值2023的是（ ）
A． B． C． D． E．均不是
重难点二、指数与对数函数构造对称性
指数对数同底形式，可以借助对称性来转化，构造对应的对称性如下图
5．（2025·山西晋中·模拟预测）已知，则 .
6．（2025·河北衡水·模拟预测）已知，则（ ）
A． B．1 C． D．2
7．（24-25高二下·云南丽江·期末）若，设函数的零点为，的零点为，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·吉林·三模）已知正实数满足，则（ ）
A． B． C． D．
4对数函数型不等式与方程
重难点一、解对数方程型
解对数方程，主要利用指对互换以及以下公式：
1．（21-22高二上·陕西西安·期末）若关于x的方程有解，则实数的取值范围为( )
A． B． C． D．
2．（2024·安徽·模拟预测）若关于的方程有解，则实数m的最大值为 .
3．（24-25高一上·浙江·阶段练习）若关于x的方程上有解，则实数a的取值范围为
重难点二、对数方程型最值
对数型最值，一般包含以下思维： 以对数式子整体换元为主，构造复合型新函数，一元二次型比较多。 换元时，要注意原函数和换元后新函数的定义域与值域，如本小专题的第5题。 3.解对数方程，多利用换底公式来转化为同底型。
4．（2021·陕西安康·三模）若对任意，总存在，使得成立，则m的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．（20-21高一上·河北保定·阶段练习）若(为自然对数)，则函数的最小值为（ ）
A．-3 B．-2 C．0 D．6
6．（24-25河北模拟）函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
重难点三、对数不等式
解对数不等式，可以采用“同底法”，利用对数的单调性求解。要注意以下两点： 1.对数的真数大于0，底数大于0且不等于1. 2.(a>0且a≠1，M>0，N>0) 指对互化： x＝logbN
7．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）若不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（21-22高二下·河南商丘·期末）若对任意的实数，不等（）恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021高一上·江苏·专题练习）对不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5复合型对数奇偶性
重难点一、真数无理型
1．（25-26高三上·河南信阳·阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·湖北恩施·期中）设函数（a，b为实数），已知，则的值为（ ）
A． B．4 C．5 D．与a，b的取值有关
3．（24-25高二下·吉林长春·期末）已知函数（e是自然对数的底数），若，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
重难点二、真数反比例型
4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
5．（25-26高三上·重庆·阶段练习）的图象与轴和直线围成的封闭区域的面积为（ ）
A． B．
C． D．
6．（25-26高三上·安徽·阶段练习）若为奇函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
重难点三、真数指对混合型
对数-指数复合反比例型： 对数-指数复合反比例型原理：
7．（2025·山西临汾·三模）已知，则满足的实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知函数，若成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
9．（25-26高三上·重庆·阶段练习）设 且 ，若函数的最小值为2，则 （ ）
A． B．2 C． D．3
重难点四、真数反比例绝对值型
对数-指数复合反比例型原理：
10．（24-25高三下·山西大同·期末）若是奇函数，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
11．（25-26高二上·湖南长沙·开学考试）已知函数为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2025高三·全国·专题练习）对于函数，下列不正确的是（ ）
A．是奇函数 B．
C．在上单调递减 D．在上单调递增
13．（25-26高三上·宁夏银川·阶段练习）若是奇函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
结束
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