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重难点专题 指数函数图像与性质
1 指数运算
重难点一：式子代换运算
.指数式子主要运算： ①a＝ ②am·an＝am＋n ③am÷an＝am－n ④(am)n＝amn.
1．（25-26高一上·江苏南京·阶段练习）已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用指数运算化简求解.
【详解】由，得，，则，因此，
所以.
故选：C
2．（25-26高三上·吉林延边·开学考试）若，则（ ）
A．6 B．12 C．20 D．30
【答案】D
【分析】利用换元法结合指数幂的运算可得.
【详解】设，则，
所以，则，
所以，
所以.
故选：D.
重难点二 、指数式运算求最值型
指数式子运算求最值，常见的有平方关系，立方差与和关系式等，在技巧上，借助因式分解与整体换元法来转化求解，要注意取值范围，如果平方后再开方，结果的正负问题判断。
3．（2024·全国·模拟预测）若，x，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【分析】构造，变形，然后用基本不等式求出结果即可.
【详解】因为，
所以．
因为，所以．
所以，即．
当且仅当，，即，时等号成立，
所以的最小值为．
故选：C．
4．（22-23高三上·全国·阶段练习）若实数x，y满足，则的值可以是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】令，由条件用表示，结合基本不等式求的取值范围即可.
【详解】因为，又，
所以，
设，则，即.
因为，即，当且仅当，即时等号成立，
解得，，所以的取值范围是
故选：C.
2指数函数图像核心特征
重难点一、 指数函数图像渐近线型
指数函数核心特征是“一点一线”。 一点，即一定点。 一线，即一条渐近线（x轴） 指数函数的定点，类似中心对称的点，两个点关于“定点”满足“积定值。这个性质。 无论指数函数怎么变换，要注意“一点一线”是否存在且“跟随”变换。
1.．已知实数a，b满足等式，则下列关系式：①；②；③；④；⑤中可以成立的关系式有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①②④
【南昌新东方】莲塘一中高一期中11月份
【答案】C
【分析】在同一坐标系中画出函数与的图象，由结合图象，即可求得答案.
【详解】在同一坐标系中画出函数与的图象，
当，可能成立，
当时，可能成立，
当时，，
当时，
当=0时，成立
故③④⑤正确．
故选：C
2.（2022秋·甘肃兰州·高一校考期中）已知函数满足（其中），则函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由可得出，分析函数的单调性与可判断出函数的图象.
【详解】因为，则，
因为，则，所以，且函数在上单调递减，
故函数的图象如C选项中的函数图象.
如选：C.
重难点二、 指数绝对值型渐近线含参讨论
指数函数绝对值型图像，符合绝对值函数的两种变化特征
3.若函数（，且）在区间上单调递减，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】利用指数函数的图象变换，分类讨论，根据单调性建立不等式求解即可.
【详解】函数（，且）的图象是将函数（，且）的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到的，
故函数（，且）的图象恒过点．当时，结合函数的图象：
若函数在区间上单调递减，则，解得．
当时，结合函数的图象：若在区间上单调递减，则，无实数解．综上，实数的取值范围为．
解法二：
若，则，所以在区间上单调递增，不符合题意；
当时，函数在区间上单调递减，要使函数在区间上单调递减，则在区间上恒成立，
所以，解得．故实数的取值范围是．故答案为：.
4.若直线与函数的图象有两个公共点，则a的取值范围是______.
四川省绵阳市绵阳第一中学2021-2022学年高一上学期期中数学试题
【答案】
【分析】就的取值分类讨论后可得a的取值范围.
【详解】直线与的图象有两个公共点，
故有两个不同的解，
故和共有两个不同的解，
因为，故有且只有一个实数解.
若，则，故无解，而只有一个解，
故有且只有一个实数解，与题设矛盾，舍；
若，因为只有一个解，故需有一解，
故，故.
故答案为：.
3 指数函数不等式
重难点一、指数函数定义域型不等式
解指数定义域型不等式，通过定义域的求法，转化为指数形式的不等式，对于指数不等式，主要是利用“同底”单调函数来求解，可以借助对数、换元等技巧转化。
1．（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令，运算求解即可得函数的定义域.
【详解】令，解得且，
所以函数的定义域为.
故选：D.
2．（23-24高一上·全国·课后作业）函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由偶次方根的被开方数必须大于等于零，建立不等式可解.
【详解】由题意得所以，即，
又指数函数为上的单调减函数，所以，解得.
故选：C.
重难点二、 指数函数性质解不等式
指数函数的单调性解不等式，如果同底，则利用底数决定的增减来计算，如果不同底，第一，看看是否能转化为同底求解，第二，借助函数线性和或者差的增减来计算，特殊情况下，可以同除其中一个指数函数（或者底数的最小公倍数的指数函数）来处理。
3．（21-22高三上·江苏无锡·阶段练习）若函数为定义在R上的偶函数，当，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意求得函数的解析式，将不等式化简，再分，，三种情况讨论，从而可得答案.
【详解】解：因为函数为定义在R上的偶函数，令，则，则，
所以当时，，所以，
所以不等式，即，
当时，，令，
则，即，解得，所以，
当时，，即，不成立，
当时，，即，恒成立，
综上，不等式的解集为．故选：B．
4．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）已知函数，若对任意的使得成立，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知，对任意的，，利用参变量分离法得出，求出函数在区间上的最大值和最小值，即可得出实数的取值范围.
【详解】若对任意的使得成立，即，得，
，由于函数在上为增函数，函数在上为减函数，
所以，函数在上为增函数，，，
，即，因此，实数的取值范围是.
故选：D.
【点睛】本题考查利用对数不等式在区间上恒成立求参数的取值范围，利用参变量分离法求解是一种常用方法，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.
4指数函数复合型单调性
重难点一、复合型函数单调性
函数单调性规律： 线性复合
1．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）若函数满足，则的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知，代入函数，结合，推出，所以，对绝对值函数单调性进行分段讨论求解.
【详解】由,
所以.
当时，，此时，指数随着x的增大而增大，因此在上单调递增；
当时，，此时，指数随着x的增大而减小，因此在上单调递减.
所以函数在上单调递增，在上单调递减（包含，左侧递减，右侧递增）.
故选：A.
6．（2024·江西·模拟预测）函数的一个单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用指数型复合函数的单调性即可得出答案.
【详解】令，则，
由复合函数的单调性可知：
的单调递减区间为函数的单调递减区间，
又函数，
即函数为偶函数，
结合图象，如图所示，
可知函数的单调递减区间为和，
即的单调递减区间为和．
故选：C．
重难点二、 复合型函数单调性求参
复合型函数单调性求参： 整体化换元，简化或者通过换元构造更简洁的函数，来寻找单调性。 对于每一层对应函数的单调性，寻找它的单调增减分界点，可以找出对应参数的讨论点。 对于多层复合函数，要注意内外层函数的单调性分界点的互相传递。传递包括以下几个思维点： 、内层单调性分界点对应的函数值，是外层函数的自变量； 、外层函数单调性的自变量分界点，传递给内层函数，是内层函数的函数值，再从这个寻找内层函数的对应分界点。 所有的单调性，都得满足对应各层函数的“定义域”
3．（24-25高三上·吉林·开学考试）已知有唯一的零点，则实数的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用换元法结合函数性质法得到新函数部分区间的单调性，结合奇偶性得到全部定义域上的单调性，进而求出最值，结合给定条件建立方程，求解参数即可.
【详解】令，所以原函数可化为，
而，
所以是偶函数，而当时，，当时，，
当时，单调递增，所以单调递增，
由偶函数性质得当时，单调递减，
且作为最小值，
还原回原函数，则作为最小值，
因为有唯一的零点，所以，
解得，故B正确.
故选：B
4．（24-25高三上·黑龙江佳木斯·开学考试）设函数且在区间上单调递减，则的取值范围是( ).
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用复合函数的单调性及指数函数的单调性分类讨论底数计算即可.
【详解】若，在上单调递增，
要满足题意，则要在上单调递减，故，即；
若，在上单调递减，要满足题意，则要在上单调递增，故，
即，不满足综上所述：的取值范围是.故选：B.
5 指数函数值域
重难点一、复合型指数函数值域
函数求值域问题，常用的方法有： （1）图像法(针对二次函数和三角函数) （2）配方法（针对二次函数） （3）分离常数法 (形如函数，分子分母最高次一致) （4）换元法（注意换元之后的范围） 指数型复合函数，多和以上特别是一元二次或者分式型来内外层复合。
1．（25-26高三上·重庆·开学考试）函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】令，求出，继而结合指数函数的单调性，即可求得答案.
【详解】令，则，当时取等号，
又为R上的单调递增函数，故，即，
故函数的值域为，
故选：D
2．（2021·江西·模拟预测）已知，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】判断函数的性质，令，转化成关于t的二次函数即可求得的值域.
【详解】函数是R上偶函数，因，即函数在R上单调递增，
而，，令，则，因此，原函数化为：，
显然在上单调递增，则当时，，
所以函数的值域为故选：A
重难点二、复合二次型指数函数值域求参
指数与一元二次函数内外型复合，一般采取整体换元形式来转化分解内外层函数。但是要注意，因为指数函数的值域是恒大于0，所以如果指数函数是内层函数，则隐藏着一元二次函数的根有正根，所以可能会涉及到一元二次函数“根的分布”这个应用，或者参变分离法时候，要注意存在着交点坐标为正 这个隐藏条件。
3．（24-25高一上·重庆合川·期中）已知函数在区间上的最大值为3，则实数的值为（ ）
A．-3或-1 B．-1或 C．1或 D．3或-1
【答案】B
【解析】令，根据的范围，求出的范围，得到，通过讨论的范围，得到关于的方程，解出即可.
【详解】令，，是单调递增函数，，
则，，当时，，故舍去；
当时，二次函数，对称轴为
当时，二次函数开口向上，在上单减，在上单增，所以，故符合；
当时，二次函数开口向下，在上单增，在上单减，所以；，故符合；综上：或.故选：B.
4．（21-22高三上·河南·阶段练习）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】因为函数的值域为，所以可以取到所有非负数，即的最小值非正.
【详解】因为，
且的值域为，
所以，解得.
故选：C.
6 指数函数应用：比大小
重难点一、指数幂形式比大小
对数幂大小比较的常用方法： （1）底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； （2）指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小； （3）底数相同，底数、指数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定.
1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可.
【详解】因为，
函数是减函数，
所以，
同理，函数是增函数，所以.
综上，可得.
故选：B
2．（2025·甘肃白银·二模）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得,然后结合指数函数单调性和分式不等式性质可以判定的正负，进而做出判定.
【详解】∵，∴，∴，
又∵，∴，∴；又，且，∴，∴，∴.故选：C
重难点二、指数函数构造型比大小
利用所给式子结构,提炼出“相同结构部分”，利用“同构”来构造新函数，研究新函数的单调性、奇偶性等函数性质，来比较对应的大小关系。
3．（24-25高一上·湖北恩施·期中）若，其中m，n均为实数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数，可得函数为增函数，借助单调性即可得出结果.
【详解】由变形，可得：，
设函数，
因为指数函数在上是增函数，在上是减函数，
所以在上是增函数，
所以在上是增函数.
由可得，即.
故选：C
4．（2023·江苏·一模）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由指数式的取值范围可得且，通过构造函数证明不成立，可得到正确选项.
【详解】因为，所以，所以，，所以，所以，若，则，设在上单调递增，所以，即，不合题意.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于，由，，构造函数，通过单调性证明若则存在矛盾.
7指数函数应用
重难点一、分式型指数函数性质
分式型指数函数，母函数是如下函数，可以通过母函数来构造，那么逆向，则可以分离常数来推导：
1．（24-25高一下·湖南·阶段练习）已知函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由分析得，其中，不等式等价转化为，通过分析的单调性和奇偶性可得结果.
【详解】由题意得，函数，
令，则，
由得，
∴，即.
∵，在上为增函数，在上为减函数，
∴在上为增函数，
∵定义域为，且，
∴是上的奇函数，故.
∴由得，，解得或，
∴实数的取值范围为.
故选：A.
2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】整理函数解析式，然后代入不等式，整理化简得到，由指数函数的单调性得到，令函数，由基本不等式求出函数的最小值，即可得到不等式，求出实数m的取值范围.
【详解】,,
,.,
∵在上单调递增，即令函数，
∵，∴，∴，当且仅当，即时取等号.
∴，∴.故选：B.
【点睛】思路点睛，本题是不等式恒成立问题，将函数解析式代入不等式化简得到新的不等式，然后利用函数的最小值建立与参数有关的不等式.
重难点二、指数函数型取整函数
取整函数图像特征： 取整函数表示不超过的最大整数，又叫做“高斯函数”，
3．（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）近代世界三大数学家之一高斯发明了取整函数，设，用表示不超过的最大整数，则称为取整函数，例如：，，已知函数，则的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分离常数法化简，根据新定义即可求得函数的值域．
【详解】，．
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，.
函数的值域是.
故选：．
【点睛】本题考查了新定义的理解和应用，考查了分离常数法求函数的值域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
4．（23-24高一·浙江·阶段练习）在计算机的算法语言中有一种函数叫做取整函数也称高斯函数，表示不超过x的最大整数，例如，，，设函数，则函数的值域为 ．
【答案】
【分析】由题意得，函数是定义在R上的奇函数，值域为，且的值域也是；分，，时讨论函数y的值即可．
【详解】由题意，函数，；
，为奇函数．
又，，，．
即，．
当时，，；
当时，若，，
；
若，，
函数y的值域为．
故答案应为．
【点睛】本题以高斯函数为素材，用求值域来考查指数函数的性质、函数的奇偶性、函数的取整问题，有一定的技巧性．函数奇偶性的判断，先要看定义域是否关于原点对称，接着再按照定义域验证和 的关系，求值域，往往先要确定函数的定义域，常见的方法有：根据函数的单调性得到函数的值域，换元将函数化为熟悉的模型，再由定义域求得值域.
8指数函数型恒成立求参
重难点一、双变量恒成立与存在型
一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故；
1．（20-21高一上·重庆北碚·阶段练习）函数，，若对，都存在，使成立，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】原问题转化为，再根据二次函数的最值和指数函数的值域建立不等式，解之可得选项.
【详解】若对，都存在，使成立，则需，
又，，所以，
令，因为，所以，所以，
所以，解得，则m的取值范围是，
故选：B.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
2．（22-23高一上·江苏泰州·期末）已知函数，.若对于，，使得成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把，，成立，转化为，逐步求解，即可得到本题答案.
【详解】因为，所以，
所以.
设，因为，即
所以在单调递增，最小值为，
因为，，，即，
所以，
令，易得，所以，即，
显然在的最小值为0，所以，即的取值范围为.
故选：B
重难点二、双变量相等型
一般地，已知函数， 若，，有，则的值域是值域的子集 ．
3．（22-23高二下·江西南昌·期末）已知函数，．若，，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，将问题转化为的值域是的值域的子集，然后分与讨论，即可得到结果.
【详解】设函数在上的值域为，函数在上的值域为，
因为若，，使得成立，所以，
因为，，所以在上的值域为，
因为，
当时，在上单调递减，所以在上的值域为，
因为，所以，解得，又，所以此时不符合题意，
当时，图像是将下方的图像翻折到轴上方，
令得，即，
①当时，即时，在，上单调递减，
，，所以的值域，
又，所以，解得，
②当时，即时，在上单调递减，在
上单调递增，
，或，
所以的值域或，又，所以或，
当时，解得或，又，所以，
当时，解得或，又，所以，所以的取值范围．
③当时，时，在上单调递增，
所以，，所以在上的值域，
又，所以，解得，综上所述，的取值范围为.
故选：C
4．（20-21高一上·山西·期中）已知函数（），函数（）.若任意的，存在，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】问题转化为函数的值域是值域的子集，分别求出和的值域，得到关于m的不等式组，解出即可.
【详解】对任意的，存在，使得，
即在上的值域是在上的值域的子集，
，
当时，，
在上单调递增，的值域为，
又在上单调递减，的值域为：，
，
，方程无解
当时，，在上单调递减，的值域为
的值域为：，
，解得
当时，，显然不满足题意.
综上，实数的取值范围为
故选：D.
【点睛】关键点睛：解决此题的关键是将所求问题转化为函数的值域是值域的子集.
9指数函数压轴小题应用
重难点一、三角形三边型
要使以，，为长度的线段能围成三角形，只需三个值中两较小值的和大于最大值， 如果、、三个数可以互相取等，则可以转化为2min>max。
1．（2020·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数，若对于任意的、、，以、、为长度的线段都可以围成三角形，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，可得，设，由对任意的求得，进而可求得函数在区间的值域，由题意可得出关于的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解】令，，则，
令，由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，当时，，则，
，则，，
构造函数，其中，由，可得，
由于函数在区间上单调递减，则，可得.
二次函数的对称轴为直线，
则函数在区间上单调递增，
当时，，即.
由于以、、为长度的线段都可以围成三角形，
所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了参数取值范围的求解，以及构成三角形的条件和利用函数单调性求函数值域，属于难题.
2．（20-21高一上·江西·期中）已知函数，若对任意的，以为长度的线段可以构成三角形，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】令，利用基本不等式求出的范围，把函数转化为，利用分离参数法得到恒成立，因为函数在上为减函数，求出的取值范围，再利用二次函数的对称轴为，
得到在上单调递增，求出最值，要使以，，为长度的线段能围成三角形，只需三个值中两较小值的和大于最大值，即可得出结果.
【详解】
，
令，
由，
当且仅当时等号成立，此时，
则函数在单调递减，在单调递增，
所以，
函数转化为，
由条件可知时恒成立，
即恒成立，
化简为恒成立．
因为函数在上为减函数，
所以，
可得．
又二次函数的对称轴为，
所以在上单调递增，
所以，
，
要使以，，为长度的线段能围成三角形，
只需三个值中两较小值的和大于最大值，
即，
解得．
故答案为：.
重难点二、倍增函数型
3．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数单调性求函数值域，利用对应关系可得有两个不相等的正实数根，结合判别式和韦达定理可得结果.
【详解】因为在上为增函数，在上为减函数，
所以在为增函数，
所以函数在区间上的值域为，
所以，整理得，
所以为方程的两根，即有两个不相等的正实数根，
所以，解得且，
所以实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】思路点睛：本题考查函数与方程综合问题，具体思路如下：
（1）分析函数的单调性，可得在为增函数，函数在区间上的值域为.
（2）根据值域的对应关系可得为方程的两根，即一元二次方程有两个不相等的正实数根，利用判别式和韦达定理可求得实数的取值范围.
4.设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”.已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依题意可知函数与函数在区间上同增或者同减，则根据同增或同减分两种情况讨论即可.
【详解】函数在上单调递减，函数在上单调递增,
若区间为函数的“稳定区间”，
则函数与函数在区间上同增或者同减，
①若两函数在区间上单调递增，
则在区间上恒成立，即，
所以;
②若两函数在区间上单调递减，
则在区间上恒成立，即，不等式组无解.
综上所述；.
故选；C.
结束
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重难点专题 指数函数图像与性质
1 指数运算
重难点一：式子代换运算
.指数式子主要运算： ①a＝ ②am·an＝am＋n ③am÷an＝am－n ④(am)n＝amn.
1．（25-26高一上·江苏南京·阶段练习）已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高三上·吉林延边·开学考试）若，则（ ）
A．6 B．12 C．20 D．30
重难点二 、指数式运算求最值型
指数式子运算求最值，常见的有平方关系，立方差与和关系式等，在技巧上，借助因式分解与整体换元法来转化求解，要注意取值范围，如果平方后再开方，结果的正负问题判断。
3．（2024·全国·模拟预测）若，x，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
4．（22-23高三上·全国·阶段练习）若实数x，y满足，则的值可以是（ ）
A． B．1 C． D．
2指数函数图像核心特征
重难点一、 指数函数图像渐近线型
指数函数核心特征是“一点一线”。 一点，即一定点。 一线，即一条渐近线（x轴） 指数函数的定点，类似中心对称的点，两个点关于“定点”满足“积定值。这个性质。 无论指数函数怎么变换，要注意“一点一线”是否存在且“跟随”变换。
1.．已知实数a，b满足等式，则下列关系式：①；②；③；④；⑤中可以成立的关系式有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①②④
2.（2022秋·甘肃兰州·高一校考期中）已知函数满足（其中），则函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
重难点二、 指数绝对值型渐近线含参讨论
指数函数绝对值型图像，符合绝对值函数的两种变化特征
3.若函数（，且）在区间上单调递减，则实数的取值范围是______．
4.若直线与函数的图象有两个公共点，则a的取值范围是______.
四川省绵阳市绵阳第一中学2021-2022学年高一上学期期中数学试题
3 指数函数不等式
重难点一、指数函数定义域型不等式
解指数定义域型不等式，通过定义域的求法，转化为指数形式的不等式，对于指数不等式，主要是利用“同底”单调函数来求解，可以借助对数、换元等技巧转化。
1．（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·全国·课后作业）函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
重难点二、 指数函数性质解不等式
指数函数的单调性解不等式，如果同底，则利用底数决定的增减来计算，如果不同底，第一，看看是否能转化为同底求解，第二，借助函数线性和或者差的增减来计算，特殊情况下，可以同除其中一个指数函数（或者底数的最小公倍数的指数函数）来处理。
3．（21-22高三上·江苏无锡·阶段练习）若函数为定义在R上的偶函数，当，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）已知函数，若对任意的使得成立，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
4指数函数复合型单调性
重难点一、复合型函数单调性
函数单调性规律： 线性复合
1．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）若函数满足，则的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·江西·模拟预测）函数的一个单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
重难点二、 复合型函数单调性求参
复合型函数单调性求参： 整体化换元，简化或者通过换元构造更简洁的函数，来寻找单调性。 对于每一层对应函数的单调性，寻找它的单调增减分界点，可以找出对应参数的讨论点。 对于多层复合函数，要注意内外层函数的单调性分界点的互相传递。传递包括以下几个思维点： 、内层单调性分界点对应的函数值，是外层函数的自变量； 、外层函数单调性的自变量分界点，传递给内层函数，是内层函数的函数值，再从这个寻找内层函数的对应分界点。 所有的单调性，都得满足对应各层函数的“定义域”
3．（24-25高三上·吉林·开学考试）已知有唯一的零点，则实数的值为（ ）
A．0 B． C． D．
4．（24-25高三上·黑龙江佳木斯·开学考试）设函数且在区间上单调递减，则的取值范围是( ).
A． B．
C． D．
5 指数函数值域
重难点一、复合型指数函数值域
函数求值域问题，常用的方法有： （1）图像法(针对二次函数和三角函数) （2）配方法（针对二次函数） （3）分离常数法 (形如函数，分子分母最高次一致) （4）换元法（注意换元之后的范围） 指数型复合函数，多和以上特别是一元二次或者分式型来内外层复合。
1．（25-26高三上·重庆·开学考试）函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·江西·模拟预测）已知，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
重难点二、复合二次型指数函数值域求参
指数与一元二次函数内外型复合，一般采取整体换元形式来转化分解内外层函数。但是要注意，因为指数函数的值域是恒大于0，所以如果指数函数是内层函数，则隐藏着一元二次函数的根有正根，所以可能会涉及到一元二次函数“根的分布”这个应用，或者参变分离法时候，要注意存在着交点坐标为正 这个隐藏条件。
3．（24-25高一上·重庆合川·期中）已知函数在区间上的最大值为3，则实数的值为（ ）
A．-3或-1 B．-1或 C．1或 D．3或-1
4．（21-22高三上·河南·阶段练习）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6 指数函数应用：比大小
重难点一、指数幂形式比大小
对数幂大小比较的常用方法： （1）底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； （2）指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小； （3）底数相同，底数、指数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定.
1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·甘肃白银·二模）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
重难点二、指数函数构造型比大小
利用所给式子结构,提炼出“相同结构部分”，利用“同构”来构造新函数，研究新函数的单调性、奇偶性等函数性质，来比较对应的大小关系。
3．（24-25高一上·湖北恩施·期中）若，其中m，n均为实数，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·江苏·一模）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
7指数函数应用
重难点一、分式型指数函数性质
分式型指数函数，母函数是如下函数，可以通过母函数来构造，那么逆向，则可以分离常数来推导：
1．（24-25高一下·湖南·阶段练习）已知函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
重难点二、指数函数型取整函数
取整函数图像特征： 取整函数表示不超过的最大整数，又叫做“高斯函数”，
3．（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）近代世界三大数学家之一高斯发明了取整函数，设，用表示不超过的最大整数，则称为取整函数，例如：，，已知函数，则的值域是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一·浙江·阶段练习）在计算机的算法语言中有一种函数叫做取整函数也称高斯函数，表示不超过x的最大整数，例如，，，设函数，则函数的值域为 ．
8指数函数型恒成立求参
重难点一、双变量恒成立与存在型
一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故；
1．（20-21高一上·重庆北碚·阶段练习）函数，，若对，都存在，使成立，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高一上·江苏泰州·期末）已知函数，.若对于，，使得成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
重难点二、双变量相等型
一般地，已知函数， 若，，有，则的值域是值域的子集 ．
3．（22-23高二下·江西南昌·期末）已知函数，．若，，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．（20-21高一上·山西·期中）已知函数（），函数（）.若任意的，存在，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9指数函数压轴小题应用
重难点一、三角形三边型
要使以，，为长度的线段能围成三角形，只需三个值中两较小值的和大于最大值， 如果、、三个数可以互相取等，则可以转化为2min>max。
1．（2020·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数，若对于任意的、、，以、、为长度的线段都可以围成三角形，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（20-21高一上·江西·期中）已知函数，若对任意的，以为长度的线段可以构成三角形，则实数的取值范围为 .
重难点二、倍增函数型
3．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4.设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”.已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
结束
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