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重难点专题 幂指对压轴大题归类
1 函数值域
重难点一、指数函数型值域
求函数最值和值域的常用方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值； (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值； (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值； (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值； (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
1．（25-26高一上·江苏镇江·期中）已知函数是奇函数．
(1)求λ的值；
(2)判断的单调性，并用证明你的结论；
(3)对，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)1 =1(2)增函数，证明见解析 3)
【分析】（1）法一，利用奇函数的定义结合待定系数法计算即可；法二、利用计算参数，再根据定义验证即可；
（2）利用单调性的定义作差计算即可；
（3）先利用函数的单调性脱去函数符号，再根据整体思想分离参数得出，
结合换元法构造新函数，由单调性的定义判定其单调性计算函数最值即可.
【详解】（1）法一、因为函数是R上奇函数，所以恒成立，
则，由于，则，所以．
法二、因为函数是R上奇函数，所以，即，解得．
当时，由于，此时函数是奇函数，所以．
（2）函数为增函数，证明如下：
任取，因为，由于是增函数，所以，又因为，所以，所以，所以函数为增函数．
（3）因为为单调增函数，当，不等式恒成立，
所以恒成立，即，
则，在为增函数，则，
所以，有．令，
则，令，由于，设，
则，由于，
则，所以，
所以在单调递增．所以函数在为增函数，
则，则，所以．
2．（25-26高一上·山东·期中）已知函数是定义域为上的偶函数.
(1)求的值；
(2)解不等式；
(3)若在上的最小值为，求的值.
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）根据偶函数的定义直接计算；
（2）根据复合函数的单调性可得函数的单调性，结合函数的奇偶性可解不等式；
（3）根据二次函数与函数复合，可得函数单调性与最值情况.
【详解】（1）由已知是定义域为上的偶函数，
则，即，化简可得恒成立，又不恒成立，即；
（2）由（1）得，当时，设，且单调递增，
则，，则函数在上单调递增，综上所述在上单调递增，根据偶函数可知在上单调递减；
所以若，则，解得或且≠，
即不等式的解集为；
（3）由，设，
由（2）可知，在上单调递增，即当，，
，
当时，函数在处取得最小值为，解得；
当时，函数在处取得最小值为，解得，不成立；
综上所述.
3．（25-26高一上·四川成都·期中）已知指数函数.
(1)当时，解不等式；
(2)若，当且时，不等式恒成立，求的取值范围；
(3)若，求函数在上的最大值.
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）令，解二次不等式结合指数函数单调性可得答案；
（2）由指数函数单调性可得，令，由二次函数知识可得答案；
（3）由题可得，，令，分类讨论，，三种情况可得答案.
【详解】（1）当时，，，
令，得到，，因此，得到，故解集为.
（2）因为，所以是单调增函数，故由得，
因为，且，所以恒成立，所以，，
设，令，则，，
令，，
则函数在上单调递减，所以，，故；
（3）因为，则，，
令，因，故，令，其中，
当时，在上递增，则；
当时，令，其中，
若，函数在上单调递增，则；
若，则，则函数在上单调递增，；
若，则，则.综上所述，.
重难点二、对数函数型值域
求对数函数最值和值域： 1.对数定义内求值域，真数大于0，底数大于0且不等于1 2.如果涉及到复合型对数，要注意复合型定义范围。 3.合理使用对数运算公式，借助整体换元来转化对数函数为一元二次函数等形式，便于求值域。
4．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知函数．
(1)当时，求该函数的值域；
(2)若对于恒成立，求的最小值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）令，得到，通过二次函数即可求解；
（2）令，转换成对于恒成立，再通过参变分离，求最值即可求解.
【详解】（1）因为，
令，则，函数转化为，
则二次函数，故函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取到最小值，即，
由，可知当时，取到最大值，即，
故当时，函数的值域为.
（2）由于对于恒成立，
令，则，即对于恒成立，
即对于恒成立，时，显然成立；
所以当时，恒成立.因为函数在上单调递增，也在上单调递增，
所以函数在上单调递增，则时，，
故当时，对于恒成立．所以的最小值为.
5．（25-26高一上·河南郑州·期中）（1）设，求在上的最小值，并求此时的值.
（2）已知函数，，当，求的最值及对应的的值.
【答案】（1）；；
（2），；，.
【分析】（1）设，再通过换元可得一个二次函数，进而可得最小值；
（2）通过，换元可得一个二次函数，进而可得二次函数在闭区间的最值.
【详解】（1）设，因为在R上单调递增，在R上单调递减，
所以在上单调递增，所以.
又，所以，
是一个开口向上，对称轴为的抛物线，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以时，
而当时，得，解得或（舍去），
再由，得.故时，.
（2）由，得，.
设，，所以在单调递增，所以.
所以，是一个开口向上的抛物线
所以在上单调递减，在上单调递增.当，即，得时，；当，即时，.
故时，，时，.
6．（24-25高一上·海南·阶段练习）已知函数满足．
(1)当时，解不等式；
(2)设，若对，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）当时，，由的单调性，即可求解；
（2），，由单调性求出在区间上的最大值与最小值，利用其差不超过1，求出关于的关系式在恒成立，转化为关于的函数最值与参数关系，即可求解.
【详解】（1）当时，，所以，
由题意可得，所以，解得，故不等式的解集为.
（2），
当时，，则，所以在上单调递减，
函数在区间上的最大值与最小值分别为，
则，
所以 整理得对任意恒成立，
因为，所以函数对称轴方程为，
函数在区间上单调递增，
所以时，有最小值.由，得，故的取值范围为.
重难点二、分式函数型值域
7．（25-26高一上·北京·期中）已知函数.
(1)判断在区间上的单调性并用定义法证明；
(2)求出该函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1)单调递增，证明见解析；(2)最大值为，最小值为1.
【分析】（1）在上任取两个数，且，计算与0的大小，利用单调性定义得解；（2）由（1）的结论可知为最小值，为最大值，利用求出和，即得函数在区间上的最大值和最小值.
【详解】（1）在上任取两个数，且，，，，
，，，，
，，在区间上单调递增.
（2）在区间上单调递增，在区间上为增函数，
在时，取最小值，且最小值为，
在时，取最大值，且最大值为.
8．（25-26高一上·北京·期中）已知函数是定义在的奇函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)求证：函数在上是减函数；
(3)求函数在上的最大值和最小值.
【答案】(1)(2)证明见解析(3)最大值为，最小值为
【分析】（1）由奇函数的定义可得出的值，再由可得出的值，即可得出函数的解析式；
（2）利用函数单调性的定义可证得结论成立；
（3）利用函数的单调性可得出函数在上的最大值和最小值.
【详解】（1）因为函数是定义在的奇函数，
则，即，解得，则，
又因为，可得，故，
此时满足，即函数为奇函数，所以；
（2）任取，则
，因为，则，，
所以，即，因此函数在上是减函数.
（3）因为函数在上是减函数，故，，
因此函数在上的最大值为，最小值为.
9．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知．
(1)用定义证明：在上单调递增；
(2)若在上单调递减，求的取值范围；
(3)求在内的最大值．
【答案】(1)证明见解析(2)(3)
【分析】（1）用函数单调性的定义证明单调性；（2）由（1）可知在单调递增，而在上单调递减，说明在上恒成立，参变分离后得解；（3）通分整理,再用换元法令,根据的范围及函数单调性得解.
【详解】（1）任取，则；
因为，所以，
所以，故在单调递增；
（2）由（1）可知，在单调递增，且时，，则，
由复合函数单调性的知识可知，在上单调递减的充要条件是，
即，即恒成立，由于，所以；
（3），
令，因为，所以，所以在上单调递减，
故当，即时取到最大值.
2 不等式求参
重难点一、双变量型不等式求参
1．（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知函数．
(1)设函数，求在区间上的值域；
(2)设函数，求的值；
(3)设函数，且，成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)(2)1012(3)
【分析】（1）先求出的解析式，并利用单调性的定义证明在区间上单调性，再利用单调性求值域即可；
（2）先求出的解析式，发现，再分组求和即可；
（3）先求出在上的值域是，将，成立，转化为当时，；令，，将转换为，然后根据的对称轴与区间的位置关系分三种情况讨论，分别求解，即可求出实数的取值范围.
【详解】（1）因为，所以，，，，且，则，由，得，，
所以，即， 所以在区间上单调递减，
因为，，所以在区间上的值域为；
（2）由，则，
所以，
，
上式中一共有1012组，每组的和为1，所以；
（3）因为，所以在上的值域是，，成立，
意味着当时，，令，当时，，
所以可转化为关于的函数，
即当时，，已知函数的对称轴为，
①当，即时，在上单调递增，
所以，解得，
因为，所以；
②当，即时，在时取得最小值，
所以，
即，即，解得，因为，所以；
③当，即时，在上单调递减，
所以，解得，
因为，所以此时无解；综上①②③可知，实数的取值范围为.
2．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知函数能表示为奇函数和偶函数的和．
(1)求和的解析式；
(2)利用函数单调性的定义，证明：函数在区间上是增函数；
(3)令（），对于任意，都有，求实数的取值范围．
【答案】(1)(2)证明见解析(3)
【分析】（1）根据函数的奇偶性，列式，解方程组，即可得答案；
（2）根据函数单调性的定义，即可证明结论；
（3）结合函数单调性，将不等式恒成立转为函数最值问题，即对于任意成立，即得对于任意成立，结合对数函数性质，继而转化为对于任意成立，结合解不等式以及函数单调性，即可求得答案.
【详解】（1）因为分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且①，
所以，即②，联立①②解得，；
（2）设，则，，
因为，所以，，，，故，
所以，所以，故在上单调递增．
（3）由（2）知，函数在上为增函数，当时，，
由于对于任意，使得，所以对于任意成立，
即对于任意成立，
又需满足，对于任意成立，则，
由，可得，所以．式可化为，
即对于任意成立，即成立，
即对于任意成立，因为，所以对于任意成立，即任意成立，而，所以，
又，可得，所以的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：函数的奇偶性以及单调性的应用，解答的难点在于第3问，根据函数不等式恒成立求解参数范围，解答时要结合函数的单调性将不等式恒成立转化为函数最值问题解决.
3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数．
(1)当时，求的最小值；
(2)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据复合函数单调性确定函数的单调性即可得最值；
（2）由题意可得恒成立，利用换元法可得，则在上恒成立，由对数函数的单调性及参变量分离法可得在上恒成立，利用基本不等式可得的最小值，从而可得的取值范围．
【详解】（1），由于恒成立，
所以函数的定义域为，
又函数在上单调递减，在上单调递增，函数为增函数，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
故的最小值为；
（2）若对于任意，存在，使得不等式成立，
则恒成立，令，当时，，
所以，所以当时，，所以在上恒成立，
即在上恒成立，则在上恒成立，
所以在上恒成立，因为，当且仅当，即时等号成立，所以，即的取值范围是．
重难点二、双变量等式型求参
4．（22-23高一下·浙江·月考）已知函数（、），.
(1)设的解集为A，解集为，若，求实数的取值范围；
(2)已知函数的图象关于点对称，当时，，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围.
【答案】(1)或(2)
【分析】（1）设，则的解集为等价于的解集为，然后求出b，即可求解；（2）将问题转化为函数的值域是函数的值域的子集问题，然后利用对称性，分类讨论的值域即可求出b的范围.
【详解】（1）设的解集，则的解集为，
设，则的解集为等价于的解集为，
的一个解为，，的另一个解所以，
又，，解得或或，
所以或，又∵的解集非空，，或.
综上所述或.
（2）因为对任意的，总存在，使得，
所以函数的值域是函数的值域的子集，
因为为增函数，所以为增函数，
所以当时，的值域为，
设函数的值域为集合，则原问题转化为，
因为的图像关于对称，且时，，所以，.
当，即时，在上递增，则函数在上也是增函数，
所以函数在上递增，
又，，所以的值域为，即，
又，所以，解得，
当，即时，在上递减，则函数在上也是减函数.
所以函数在上递减，则，
又，所以，解得，
当，即时，在上递减，在上递增，
又因函数过对称中心，所以函数在上递增，在上递减，
故此时，，
要使，只需要，解得，
综上所述，实数的取值范围为.
【点睛】本题难点有二：一是将问题转化为值域的包含关系；二是分类讨论求值域.分类讨论求值域时，要充分利用对称性.
5．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函数，.
(1)讨论函数在的单调性；
(2)若存在实数，，使得函数的定义域为时，值域为，求实数的取值范围；
(3)若存在，使得，记，求的最大值.
【答案】(1)答案见解析(2)(3)
【分析】（1）先将化简为，然后再利用定义判断单调性即可；
（2）由题可知，显然在，单调递增，然后得到，易知、是方程的两个实数根，然后根据二次函数根的分布问题求解的取值范围即可；
（3）根据题意得到，在有解，然后利用二次函数根的分布，求得的最大值即可.
【详解】（1），任取，则
①当时，，，所以，
所以，所以，即，所以在上单调递减.
②当时，，，所以在上单调递增.
（2），显然函数在上单调递增，所以当时函数在上单调递增，
所以由题意可得，所以，所以、是方程的两个实数根，即关于的方程在上有两个不等的实数根，
设，显然函数过点，所以，解得，
所以实数的取值范围；
（3）由（1）可知在上单调递减.
若，此时，不满足题意；
故必有，于是，所以，
整理得：（当时不成立），
记函数，则方程在上有解，
函数开口向上，对称轴为，
于是在上单调递增，为使有解，则.
故有，解得：，因此.
【点睛】关键点点睛：（2）由，可得、是方程的两个实数根；
（3）
需要消参，然后是一个关于的一元二次方程，然后利用对应二次函数根的分布求解即可.
6．（24-25高一上·重庆·月考）已知函数（，且）过点．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数为的反函数，且在上单调递增，求b的取值范围；
(3)若函数，其中为奇函数，为偶函数，已知函数，对于任意，都存在，使得等式成立，求实数c的取值范围．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）把点代入解析式即可得到结果.
（2）利用反函数的概念求出的解析式，根据复合函数的单调性可求参数b的取值范围.
（3）根据条件求出与的解析式，把问题转化在上恒成立，利用换元法分离参数结合基本不等式即可得到结果.
【详解】（1）∵函数过点，∴，解得，故函数解析式为.
（2）∵函数为的反函数，∴，在上为增函数，
∵在上单调递增，∴在上单调递增，且当时，，
∵对称轴为直线，∴，解得，∴b的取值范围为.
（3）∵，∴，∵为奇函数，为偶函数，∴，∴，.∵，，∴，
∵对于任意，都存在，使得等式成立，
∴在上恒成立，
∵在上为增函数，在上为减函数，∴在上为增函数.
令，则，
问题转化为在上恒成立，∴恒成立，即，
∵，当且仅当，即时等号成立，
∴，即，∴，∴实数c的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：解决第（3）问的关键是把问题转化为在上恒成立，令，则，分离参数可得在上恒成立，利用基本不等式可得结果.
重难点三、多变量不等式型求参
7．（24-25高一上·江苏南京·月考）对于两个定义域相同的函数和，若存在实数，使，则称函数是由“基函数和”生成的.
(1)若是由“基函数和”生成的，求的值；
(2)试利用“基函数和”生成一个函数，满足为偶函数，且.
①求函数的解析式；
②已知，对于上的任意值，记，求的最大值.（注：.）
【答案】(1)1
(2)①；②
【分析】（1）根据题意，由求解即可；
（2）①设，利用为偶函数得到，再由即可求出；②化简，判断在上的单调性，利用单调性，设，
则，
化简，再求出最大值即可.
【详解】（1）由已知，可得，
则，则，解得，所以实数的值为1.
（2）①设，因为为偶函数，所以，
由，可得，
整理可得，即，所以，
所以对任意恒成立，所以，所以，
又因为，所以，所以，故函数的解析式为.
②由①知.在内任取，且，
则，
因为，所以，所以，
所以，即，所以，即，
所以函数在上是增函数，同理可证，函数在上是减函数.
设，
则，
所以
，
当且仅当或时，有最大值，
故的最大值为.
【点睛】“新定义”主要是指新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解，但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
8．（24-25高一上·湖南长沙·期末）对于两个定义域相同的函数和，若存在实数，使，则称函数是由“基函数和”生成的.
(1)若是由“基函数和”生成的，求的值；
(2)试利用“基函数和”生成一个函数，满足为偶函数，且.
①求函数的解析式；
②已知，对于上的任意值，记，求的最大值.
【答案】(1)；(2)①；②.
【分析】（1）利用给定的定义列式，借助恒等式问题列出方程组求解.
（2）①利用偶函数的定义可得，再利用求出即得解析式；②利用函数单调性定义证明函数的单调性，再化简求和表达式即可求出最大值.
【详解】（1）依题意，，
则，于是，解得，所以实数的值为.
（2）①设，由为偶函数，得，，
则，整理得，即，于是，即对任意恒成立，则，，又，则，解得以，
所以函数的解析式为.
②由①知，在内任取，且，
则.
，而，，则，，于是，即，
因此函数在上是增函数，由偶函数的性质知，函数在上是减函数.
设，
则，
所以
，
当且仅当或时，有最大值，
所以的最大值为.
【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解，但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
9．（25-26高一上·江西·期中）已知且是上的奇函数，且.
(1)求的值；
(2)设.求的解析式，并求其值域；
(3)在（2）的条件下，设，把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，，记，是否存在正整数，使不等式有解？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由.
【答案】(1)，(2)，值域为(3)或
【分析】（1）根据可求得，代回解析式验证可知满足题意；由可求得的值；
（2）根据（1）中结论可整理得到，并由得其定义域；结合基本不等式和不等式的性质可求得的值域；（3）结合的对称性可得的对称中心，由对称性可求得，根据不等式有解可得，由此可得的取值.
【详解】（1）是定义在上的奇函数，，解得：；当时，，
则，满足为奇函数；，，又且，；综上所述：，.
（2）由（1）得：，，
，，定义域为，.
，，（当且仅当时取等号），，
，，的值域为.
（3）由题意知：，，
；
为奇函数，图象关于中心对称，
图象关于中心对称，，
；若存在正整数，使不等式有解，则，
，解得：，存在正整数或，使不等式有解.
重难点四、绝对值型不等式型求参
10．（25-26高一上·山东·期中）已知函数是奇函数，且．
(1)求函数的解析式；
(2)判断并证明函数在上的单调性；
(3)令，若对任意的，都有，求实数的取值范围．
【答案】(1)(2)函数在上单调递增，证明见解析(3)
【分析】（1）由是奇函数，可知，，进而列出关系式，求出，即可得到函数的解析式；
（2）根据题意，利用定义法，可判断并证明函数在上的单调递增；
（3）由对任意的，都有恒成立，可得，分、、、四种情况求出，进而可求出的取值范围．
【详解】（1），且是奇函数，，，解得，此时的定义域为，又，所以满足题意．
（2）函数在上单调递增，证明如下：任取，，且，
则，，且，
，，∴，，即，
函数在上单调递增．
（3）由题意知，令，，
由（2）可知函数在上单调递减，在上单调递增，
，又对任意的，都有恒成立，
，即，函数的对称轴方程为，
①当时，函数在上单调递增，
，，所以，解得，
又，所以；
②当时，；，
所以，又，所以解得；
③当时，，，
所以，又，所以解得；
④当时，函数在上单调递减，
，，所以，解得，
又，所以；综上，的取值范围是．
11．（25-26高一上·河北邢台·期中）已知函数．
(1)设．
（i）求的最小值，并求出当取得最小值时的值；
（ii）求的单调递减区间．
(2)对任意、，恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)（i）最小值为，；（ii）(2)
【分析】（1）（i）令，，则，利用二次函数的基本性质可求出的最小值及其对应的的值；
（ii）利用复合函数法可求得函数的单调递减区间；
（2）令，则可化为，记函数在上的最大值为，最小值为，问题可化为，对实数的取值进行分类讨论，分析二次函数在上的单调性，结合可求得实数的取值范围.
【详解】（1）（i）当时，，
的定义域为，
令，，则，
当，即当时，即时，取得最小值，最小值为.
（ii）在上单调递增，在上单调递减，令，解得，所以的单调递减区间为.
（2）当时，令，可化为．
记函数在上的最大值为，最小值为，
由对任意、，恒成立，得恒成立．
，其图象开口向上且对称轴为直线．
①当时，在上单调递增，
可得，，
由，得，解得，不符合题意；
②当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
则，，
当时，由，可得，所以，
解得，此时；
当时，由，可得，解得，此时；
③当时，，
由，可得，解得，不符合题意．综上，的取值范围为.
12．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求，的值；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明；
(3)若方程在恰有三个实根，，（其中），求实数的取值范围及的最小值.
【答案】(1)，(2)在上单调递增，证明见解析(3)，
【分析】（1）利用函数的奇偶性以及条件列方程，解方程即得答案；
（2）利用函数单调性定义证明即可；
（3）借助韦达定理，把化成形式，再利用基本不等式求最值可得答案.
【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，
，即，又，即，经检验，该函数为奇函数，
故，.
（2）在上单调递增，证明如下：任取，
其中，，所以，故在上单调递增.
（3），由题易知，为方程的一个根，
则方程在有两个不相等的实根，
因为，所以，即方程在有两不相等实根，
因为函数对称轴为直线，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
所以当，即时，在恰有三个不相等实根；
因为与的图像都关于中心对称，又因为，
则，，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，所以的取值范围为，的最小值为.
3 韦达定理型应用
重难点一、构造求范围
二次函数基础公式 ①一般式顶点式：y＝ax2＋bx＋c＝a＋. ②顶点是，对称轴是：x＝－. ③方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)求根公式：x＝ 一元二次根与系数，要首先保证有根，所以判别式大于或者大于等于0，是前提条件。在这个前提条件下，构造韦达定理并转化代入韦达定理求最值或者范围。
1．（25-26高一上·四川南充·期中）已知二次函数.
(1)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
(2)若，解关于的不等式.
(3)若关于的不等式的解集为，求的最小值.
【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)3.
【分析】（1）问题化为时，应用基本不等式求最小值，即可得；
（2）由题设，讨论参数并求出对应解集；
（3）由不等式解集及对应方程得，应用换元法，令并应用基本不等式求最小值.
【详解】（1）不等式，即，
当时，可变形为，即，
又，当且仅当，即时等号成立，
，即，实数的取值范围是；
（2），等价于，即，
由，方程的两根为，，
①当时，即时，解不等式得：；
②当时，即，不等式的解集为；
③当时，即，解不等式得：.
综上所述，
当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为.
（3）由已知有且，是方程的两个根，
则，设，
令，则，
又，，当且仅当，即时等号成立，
此时，即，此时，满足方程有实根条件，
所以最小值为3.
2．（20-21高一上·重庆巴南·阶段练习）已知过点，且满足.
（1）求的解析式；
（2）若在上的值域为，求的值；
（3）若，则称为的不动点，函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值.
【答案】（1）；（2）或；（3）.
【分析】（1）本题首先可根据过点求出，然后根据求出，即可得出结果；
（2）首先可令得出，令得出或，然后分为、两种情况进行讨论，即可得出结果；
（3）本题可根据题意得出有两个不相等的正实数根、，然后通过判别式以及韦达定理得出，最后将转化为，通过基本不等式即可得出结果.
【详解】（1）因为过点，
所以，，，因为，
所以，解得，.
（2）令，解得，令，解得或，
因为在上值域为，所以当时，在上值域满足题意；
当，即时，在上值域满足题意，故或.
（3），
函数有两个不相等的不动点、，且、，
即有两个不相等的正实数根、，
即有两个不相等的正实数根、，则，解得，
则，
当且仅当时取等号，故的最小值为6.
3．（25-26高一上·江苏苏州·阶段练习）法国数学家佛郎索瓦 韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根、有如下关系：，．”
韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数和满足如下关系：，，那么这两个数和是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程．
例如：，，那么和是方程的两根．
请应用上述材料解决以下问题：
(1)已知、是两个不相等的实数，且满足，，求的值；
(2)已知实数、满足，，求的值；
(3)已知，是一元二次方程的两个不相等的实数根，且，求使的值为整数的所有的值．
【答案】(1)(2)157(3)24
【分析】（1）利用两个等式特征，可将可看作方程的两个异实数根，由韦达定理即可求出所求式的值；
（2）设 ，，可将看作方程的两个实数根，求出两根，分情况讨论求解即得；
（3）由以及，求得，利用韦达定理求得，将所求式整理化简得，结合题设条件，即可求得的所有取值.
【详解】（1）已知 和 满足 和 ，且 。
将方程变形为：
因此， 和 是二次方程 的两个根.，由韦达定理得：
，.
（2）已知实数 满足：设 ，，则：
，.解方程组：，
和 是方程 的根，解方程得：或，
，
若 ，，则是方程的二实根，此方程有实根，
因此 ；
若 ，，则是方程的二实根，而此方程无实根，
所以的值为157.
（3）由韦达定理得：，，
.此式需为整数，因 为整数， 为整数，故 需为整数.
，是一元二次方程的两个不相等的实数根，故，
解得： 或 ，又 ，所以，又 需为整数，
所以27 的正因数：1，3，9，27，故.
重难点二、非对称多元型
非对称多元型，可以借助求根公式代入转化，也可以代入方程等量代换转化求解。
4．（25-26高一上·江苏南通·期中）（1）已知，试比较方程的两根与1的大小关系，并说明理由；
（2）若方程恰有3个不等实根，求实数a的取值范围；
（3）若方程恰有2个不等正实根，试比较与的大小关系，并说明理由.
【答案】（1）；理由见解析（2）（3），理由见解析
【分析】（1）设，根据韦达定理和即可求解；
（2）去绝对值，分类讨论根的情况，求出对应的取值范围，即可求解；
（3）去绝对值，分别求得，，进而，将问题转化为比较的大小即可求解.
【详解】（1）一元二次方程，由韦达定理，得，
则一正一负，不妨设，可得，因为，所以，
经检验由可得，即可得，因此可得.
（2），易知.当即或时，原方程变形为，解得，
此时方程有1个解，，所以且；当即时，原方程变形为，
即，此时方程在内需有2个解，设，则，开口向上，
有，解得.综上，方程有3个不等的实根，
实数需满足，解得或.故实数的取值范围为.
（3）方程的两个根，当，即时，原方程变形为，即，易知，所以此时两根异号，
此时有效根为，且该根在内；当时，即，原方程变形为，解得，依题意此根必是有效根，因此，可得；
由题意可知；
所以，
要比较与的大小，只需比较与0的大小，
易知函数在上单调递增，所以；
而函数在上单调递减，所以；
可得当时，，即；因此.
5．（21-22高一下·浙江杭州·期中）已知函数，，其中，.
(1)求函数在上的最小值；
(2)若函数恰好存在三个零点、、，且，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析(2)
【分析】（1）化简函数的解析式，分析出函数的单调性，分、两种情况讨论，可得出函数在上的最小值；
（2）分、两种情况讨论，利用韦达定理和求根公式可得出的表达式，并求得的取值范围，根据可求得实数的取值范围.
【详解】（1）解：因为，
所以，函数在、上单调递增，在上单调递减，
当时，即当时，；
当时，即当时，.
综上所述，函数在上的最小值为.
（2）解：，不妨设，
因为，
①当时，即当时，
由可得，即为方程的一根，
由可得，即为方程的一根，
由可得，即为方程的一根，
由图象可知、是方程的两根，是方程的较大根，
则由韦达定理与求根公式可知，，
则，可得，
令，而，则，
因为函数在上单调递减，当时，，则；
②由可得，，可得，
且当时，即当时，由可得，
由图象可知、是方程的两相异根，是方程的较大根，
由韦达定理以及求根公式可得，，
所以，，可得，
令，而，则.
由双勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，
且当时，，
则在上单调递增，当时，.综上所述，，
又满足，故，即.
6．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段练习）已知关于的不等式的解集为.
(1)求证：.
(2)若，且，，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)或
【分析】（1）对是否为进行分类讨论，进而证明即可.
（2）先求出的两个根，再结合并对参数范围分类讨论，建立不等式，求解参数范围即可.
【详解】（1）当时，不等式转化为，解得，满足，
当时，可得，则，综上，得证.
（2）因为，所以，又因为一元二次方程的两个根分别为1，，
而，且，可得，当时，，可得，，
因为，所以，解得，当时，，可得，，
因为，所以，解得，当时，，不符合题意，
综上，的取值范围为或.
重难点三、综合型
确定的根与二次方程的关系，利用韦达定理结合求根公式等，将条件系数、参数与求解的目标联系起来，利用已知的不等式关系求出范围。
7．（25-26高一上·上海·期中）阅读：高中数学必修第一册29页——《韦达定理的证明》.
韦达定理 若一元二次方程的两个根为、.则，.
证明 因为一元二次方程的两个根为、，所以二次三项式可以因式分解为.由于，从而等式恒成立.由例5知，该等式两边的对应项系数应相等.因此，.深刻阅读，类比思考，仔细计算，完成以下问题：
(1)写出一个满足三个根分别为1，2，3的一元三次方程______；（整理成的形式）
(2)“若一元三次方程的三个实根为，，”，则______，______，______；
(3)已知长方体体积为1，长宽高之和为，表面积为，求实数的取值范围.（需要用到的公式提示：
【答案】(1)(答案不唯一)；(2)，，；(3).
【分析】（1）利用因式分解直接构造含指定根的一元三次方程；
（2）类比二次韦达定理的推导思路，推导三次方程的根与系数关系；
（3）构造三次方程并因式分解，结合二次方程实根的判别条件和根的和的性质求解取值范围.
【详解】（1）根据根与方程的因式分解关系，
三个根为1，2，3的一元三次方程可写为，展开整理得.
（2）对一元三次方程，将其因式分解为，
展开得，比较各项系数，
可得，，.
（3）设长方体的长、宽、高为、、，由题意得，，.
构造一元三次方程，易知是其根，，
故方程可分解为. 对于二次方程，
需满足判别式且两根之和，解得，
即实数的取值范围为.
8．（25-26高一上·河北邢台·阶段练习）已知，函数.
(1)证明：无论为何值，函数的图象与轴都有两个交点；
(2)当时，函数的图象与轴交于，两点，求的值；
(3)求关于的不等式的解集.
【答案】(1)证明见解析(2)3)答案见解析
【分析】（1）计算说明即可；（2）根据韦达定理代入求解即可；
（3）因式分解，根据两根大小关系进行讨论即可.
【详解】（1）证明：因为，
所以关于的方程有两个不相等的实数根，
则函数的图象与轴都有两个交点.
（2）当时，，由题可知是方程的两个不相等的实数根，
则，，.
（3）由，得，因为，
所以，
令，得或，
当，即时，由，得或；
当，即时，不等式恒成立；
当，即时，由，得或；
综上所述，当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或.
8．（25-26高一上·北京·阶段练习）已知关于的方程组，其中.
(1)当时，求该方程组的解集；
(2)若该方程组总有两组不同的解，求的取值范围；
(3)记该方程组的两组不同的解分别为和，已知，求的值.
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）解方程组，即可求解；（2）消去得一元二次方程，利用判别式即可求解；
（3）利用韦达定理得到即可求出，由即可得解.
【详解】（1）当时，，解得或，故方程组的解集为
（2），消去得，，
，故的取值范围为；
（3），
原式，
解得，或（舍去）综上所述，.
8．（22-23高一上·湖南常德·阶段练习）设二次函数，，的最小值为，方程的两个根分别为、．
(1)求的值；
(2)若关于的不等式的解集为，函数在上不存在最小值，求的取值范围；
(3)若，求的取值范围．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）由已知可得，利用配方法可求得该函数的最小值，即可求得的值；
（2）设，则，且，根据题意可得出关于的不等式，结合可求得的取值范围；
（3）分析可得，，利用函数的单调性可得出的取值范围.
【详解】（1）由题意可知，
所以，，可得.
（2）不妨设，则，
则在上不存在最小值，
所以，或，因为，且，可得.
（3），，所以，，
因为，若，则，不合乎题意，
所以，，则，
当时，由于函数、均为增函数，
故函数在上单调递增，所以，.
【点睛】关键点点睛：本题第三问要求的取值范围，解题的关键在于将利用韦达定理结合已知条件表示为关于的函数，结合函数的单调性来求解.
4幂指对综合与新定义型
重难点一、新定义型
新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
1．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知函数．
(1)若不等式在恒成立，求实数的取值范围.
(2)已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，都有，则称是“反比例对称函数”，常数称为反比例对称常数.
已知函数是“反比例对称函数”.
（i）求函数的反比例对称常数；
（ii）若关于的方程的解集中只含有一个元素，求的取值范围．
【答案】(1)(2)（i）；（ii）
【分析】（1）利用对数运算对函数表达式进行化简，令，将函数转化为二次函数，求出函数的最大值，使最大值，解不等式即可；
（2）（i）根据“反比例对称函数”列出，取，得到方程，解出，再进行验证，得到答案；
（ii）根据（i）得到，分别判断的单调性，根据在同一单调区间内，得到，按和两种情况讨论，当，分离参数得，令，分析该函数的单调性，得到该函数的值域，求出的取值范围.
【详解】（1）因为，所以，
则，令，
即可化为，，
由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减，
所以，
则有恒成立，解得；
（2）（i）定义域为，
因为函数是“反比例对称函数”，所以有，
当时，有，即，
下面研究函数的单调性：，令，
由对勾函数性质得在上单调递减，在上单调递增，
又在上单调递增，在上单调递减，
结合函数的性质得在上单调递增，在上单调递减，因为，
当时，，当时，，不满；
故不满足条件；当时，，，
，
，所以，即时对任意的都有
综上，；
（ii）若，则，
由已知得，故，则使即可，
而，由基本不等式得，当且仅当时取等，此时，则而，故在同一单调区间内，
得到，即，由题意得，
当时，方程变为，解得，此时的解集中只含有一个元素，符合题意，
当时，得到，即，若解集中只含有一个元素，则和在上只有一个交点，而，
，令，则，代入原函数中，
原函数可化为，
，当时，此时符合题意，当时，，
由对勾函数性质得在上单调递减，在上单调递增，
结合函数的性质得在上单调递减，在上单调递增，
则在上单调递减，在上单调递增，
而，且当时，，当时，，
且当时，，即当时，满足题意，
则，综上，.
2．（25-26高一上·江苏苏州·期中）对定义域分别为和的函数和，若满足对任意，恰好存在个不同的实数，使得，则称为的“重覆盖函数”.
(1)判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由；
(2)若是的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围；
(3)若，已知是的“重覆盖函数”（其中，请直接写出正实数的取值范围（用表示）.
【答案】(1)是，(2)(3)
【分析】（1）理解“重覆盖函数”的定义，将为的“重覆盖函数”转化为“对任意，直线与函数的图象都恰有个交点”. 作出函数的图象，结合直线与图象交点情况可得；
（2）先求出的值域，再借助在上单调递增，可将题意转化为对任意，
直线与函数的图象均有一个交点，然后结合图象变化分类讨论求解可得；
（3）先利用导函数求得值域为，再结合题意分析出()的图象可由的图象向右平移个单位得到，数形结合分析直线与图象的交点个数变化，则可得出范围.
【详解】（1）由题意，为的“重覆盖函数”，则对任意（即的值域），都恰好存在个不同的实数，使得.
即对任意，直线与函数的图象都恰有个交点.
由，则，由在定义域上的值域为，
如图，作出的图象，
可知对任意，直线均与的图象恰有一个交点，
即对任意，都存在唯一实数（即），使得.
故由定义可知，是的“重覆盖函数”，故.
（2）由，其值域为.
，当时，在上单调递增，
且值域为，
则需对任意，直线与均有且只有一个交点；
故由题意，要使是的“2重覆盖函数”，
则只需对任意，直线与函数的图象均有且只有一个交点，
①当时，单调递减，且值域为，故对任意，
函数的图象与直线均有且只有一个交点，
此时满足题意；设.
②当时，二次函数的图象开口向下，有最大值，
故任意时，当时，，
即直线与函数图象无交点，此时不满足题意；
③当时， 函数图象开口向上，对称轴，
且，，
令，得；令，得；令得.
当时，则且，当时，，
结合图形可知，必存在，
使得直线与函数的图象有两个交点，此时不满足题意；
当时，，且，
当时，，结合图形同理可知，必存在，
使得直线与函数的图象有两个交点，不满足题意；
当时，，且，则在上单调递减，
结合图形可知，必存在，使得直线与函数的图象无交点，
此时不满足题意；
当时，，此时，且在上单调递减，
当时，直线与函数的图象无交点，不满足题意；
当时，，且，
则在上单调递减，结合图形可知，对任意，
必存在直线与函数的图象均有一个交点，满足题意；
综上所述，若是的“2重覆盖函数”，
则的取值范围为.
（3）由，当时，，当时，，因为，
当且仅当时等号成立，则此时，当时，，因为，
当且仅当时等号成立，则此时，因此的值域为.
由，当时，；
当时，，即()的图象可由的图象向右平移个单位得到，由题意，若是的“重覆盖函数”（其中，
则对任意，要使直线与的图象均有个交点，
作函数的图象与直线，结合交点个数变化可得，
当且仅当时，直线与的图象均有个交点.
综上所述，若是的“重覆盖函数”，
则正实数的取值范围为.
3．（24-25高一上·上海宝山·期末）定义：对于函数，.如果存在正常数，使得当取其定义域中任意值时，有，且成立，则称是“一致变化函数”，而这个常数就叫做函数的“一致变化系数”.
(1)给出，.判断函数是否为“一致变化函数”，并说明理由；
(2)给出，.若是“一致变化函数”，求“一致变化系数”与之和的最小值；
(3)给出，.求证：函数是“一致变化函数”，并求“一致变化系数”的取值范围.
【答案】(1)函数是“一致变化函数”，理由见解析(2)4(3)证明见解析，
【分析】（1）取，满足要求，是“一致变化函数”；
（2）求出定义域，，由题意得到不等式，得到对一切成立，故有，因为，等价于成立，所以，换元，由基本不等式，求出最值，得到答案；
（3）取，得到，所以是“一致变化函数”；根据为偶函数且在上为减函数，等价于研究对恒成立时的取值范围，即恒成立，对恒成立，令，对恒成立，由函数单调性得到，只需即可，解得.
【详解】（1）取，，
所以函数是“一致变化函数”.
（2）定义域为，因为是“一致变化函数”，其中，
对一切成立，故有.
因为，所以不等式恒成立等价于成立，所以，故而，
所以，令，故且，所以，当且仅当，
即，时等号同时取到.所以的最小值为4.
（3）取，，
，所以函数是“一致变化函数”.
，，因为为偶函数且在上为减函数，
所以①当时，有，设，即，
，
②当时，有，，，
③当时，；
综上，等价于研究对恒成立时的取值范围，
对恒成立，
恒成立，恒成立，
对恒成立，对恒成立，
令，对恒成立，又，所以在上为严格增函数，只需即可，解得.
重难点二、幂指对综合型
4．（24-25高一上·上海·期末）已知函数为奇函数，，其中.
(1)若函数的图象过点，求实数和的值；
(2)若，试判断函数在上的单调性并用定义证明；
(3)设函数，若对每一个不小于3的实数，都存在小于3的实数，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，(2)在上单调递增，证明见详解(3)
【分析】（1）利用奇函数的定义可得，再由图象经过点，解方程可得；
（2）利用函数单调性定义判断证明；
（3）根据的解析式，分别讨论，，，运用基本不等式和函数的单调性，求得的范围．
【详解】（1）函数为奇函数，可得，即，可得，
又的图象过点，得，可得，解得，所以，.
（2）当时，，，在上单调递增，
证明如下：设，则，
由，可得，，，则，即，
所以函数在上单调递增.
（3）当时，，当时，，
当时，对任意，，而对任意，不满足条件，舍去；当时，，，
对，，，由题意，，可得，即，
所以，
当时，，，对，，，所以，得，
令，易得在R上严格递减，，所以，即，
综上，实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题第三问解决的关键是分，，讨论，求出，的值域，问题转化为的值域是的值域的子集.
5．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知函数为常数，函数.
(1)若为奇函数，求的值.
(2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围.
(3)在第(1)问的条件下，当时，，函数在区间上的值域为，求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根据函数为奇函数可得，由此即可得解；
（2）令，根据增函数的定义可得恒成立，进而可得出答案；
（3）根据（1）中所得函数解析式确定函数的解析式，并运用函数单调性确定其单调性，再根据单调性和值域列等式，将问题转化为函数与方程问题，最后求解出参数的取值范围.
【详解】（1）因为为奇函数，所以，
即，即，所以，所以，所以，
经检验不符题意，所以；
（2）令，则，
因为函数在上单调递增，所以恒成立，
因为，所以，所以恒成立，即，
因为，所以，所以，所以实数的取值范围为；
（3）由（1）知，令，函数在上单调递减，
又函数为增函数，所以函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，且，
所以函数在上单调递减，
所以函数在区间上的值域为，
又因为函数在区间上的值域为，
所以，即，所以，
令，则关于的方程在上有两根不同的实数根，
等价于关于的方程在上有两根不同的实数根，
令，则函数在上有两个不同零点，
当时，为一次函数，不可能有两个零点，舍去；
当时，函数的对称轴为，则，无解；
当时，函数的对称轴为，，解得且，
综上所述，实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：第二问，根据对数复合函数的单调性及其区间值域，将问题转化为方程在某区间内有两个不同实根，是解决本题的关键.
6．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）函数.
(1)若的定义域为，求实数a的取值范围；
(2)当时，为定义域为的奇函数，且时，，
①求的解析式
②若关于x的方程恒有两个不同的实数根，求t的取值范围.
【答案】(1)(2)①；②
【分析】（1）由函数定义域为，推得恒成立，只需求的值域即得.
（2）①先求出时的的解析式，再利用函数奇偶性求得时的解析式，结合，即得分段函数的解析式；
②结合的解析式，将方程等价转化成，再利用在上的单调性，并化简得到，最后利用双勾函数的值域求得的取值范围.
【详解】（1）因的定义域为，故恒成立，即恒成立，
设，则， 在上单调递增，
则，即，故，即.（2）①因，则当时，；
若，则，，又因为为定义域为的奇函数，所以当时，，
故；
②方程等价于，
根据解析式可知，当时，，
当时，，当时，，
即，，故方程即为，
由于在上是单调递增函数，
故方程等价于，即：，
当时，函数在单调递减，在上单调递增，
而，故要使得有两个不同的实数解，须使，即；
当时，同理可得.
综上可得，.
【点睛】思路点睛：本题主要考查求解分段函数的解析式和方程的根与函数零点关系的综合运用，属于难题.
解题思路为：求解分段函数解析式时，注意不重不漏，利用函数奇偶性求解并正确书写；对于函数与方程的关系，一般要有等价转化思想，巧妙运用函数奇偶性和单调性将其转化为求解函数的值域问题.
7．（23-24高一上·四川凉山·期末）已知
(1)当是奇函数时，解决以下两个问题：
①求k的值；
②若关于x的不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围；
(2)当是偶函数时，设，那么当n为何值时，函数有零点．
【答案】(1)①；②；
(2)当或时，函数有零点.
【分析】（1）①根据函数的奇偶性列方程，由此求得；②化简已知不等式，利用换元法、分离常数法，结合对勾函数的知识求得的取值范围.
（2）根据函数的奇偶性求得，转化，利用构造函数法，结合二次函数的知识进行分类讨论，从而求得的范围.
【详解】（1）①当是奇函数时，，
，解得.
②由得，则不等式，
可化为，
令，因为为增函数，所以也为增函数，
，，，由对勾函数的性质知，当的最小值为，，即实数m的取值范围为.
（2）当是偶函数时，，，解得，
，所以，即，令，则，
则函数有零点，转化为关于t的方程在时有实数根，
即是在时有实数根，令为开口向下的二次函数，
当方程在有两相等实数根时，函数在上有一个零点，
，即，解得或，若时，的零点为，符合题意，
若，此时的零点为，符合题意，
所以或.
当方程有—负—非负实数根时，函数在上有一个零点，
则，解得或，若时，，此时的零点为或，与有—负—非负实数根矛盾，所以或.
当方程有两不等非负实数根时，函数在上有两个零点，
所以，解得，综上所述：n的取值范围为或，
所以当或时，函数有零点.
【点睛】方法点睛：1.根据函数的奇偶性求参数，关键是利用函数奇偶性的定义，由或列方程来求参数；
2.一元二次方程根的分布问题，可以考虑判别式、根与系数关系等知识来进行求解.
结束
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重难点专题 幂指对压轴大题归类
1 函数值域
重难点一、指数函数型值域
求函数最值和值域的常用方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值； (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值； (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值； (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值； (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
1．（25-26高一上·江苏镇江·期中）已知函数是奇函数．
(1)求λ的值；
(2)判断的单调性，并用证明你的结论；
(3)对，不等式恒成立，求实数的取值范围．
2．（25-26高一上·山东·期中）已知函数是定义域为上的偶函数.
(1)求的值；
(2)解不等式；
(3)若在上的最小值为，求的值.
3．（25-26高一上·四川成都·期中）已知指数函数.
(1)当时，解不等式；
(2)若，当且时，不等式恒成立，求的取值范围；
(3)若，求函数在上的最大值.
重难点二、对数函数型值域
求对数函数最值和值域： 1.对数定义内求值域，真数大于0，底数大于0且不等于1 2.如果涉及到复合型对数，要注意复合型定义范围。 3.合理使用对数运算公式，借助整体换元来转化对数函数为一元二次函数等形式，便于求值域。
4．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知函数．
(1)当时，求该函数的值域；
(2)若对于恒成立，求的最小值．
5．（25-26高一上·河南郑州·期中）（1）设，求在上的最小值，并求此时的值.
（2）已知函数，，当，求的最值及对应的的值.
6．（24-25高一上·海南·阶段练习）已知函数满足．
(1)当时，解不等式；
(2)设，若对，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围．
重难点二、分式函数型值域
7．（25-26高一上·北京·期中）已知函数.
(1)判断在区间上的单调性并用定义法证明；
(2)求出该函数在区间上的最大值和最小值.
8．（25-26高一上·北京·期中）已知函数是定义在的奇函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)求证：函数在上是减函数；
(3)求函数在上的最大值和最小值.
9．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知．
(1)用定义证明：在上单调递增；
(2)若在上单调递减，求的取值范围；
(3)求在内的最大值．
2 不等式求参
重难点一、双变量型不等式求参
1．（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知函数．
(1)设函数，求在区间上的值域；
(2)设函数，求的值；
(3)设函数，且，成立，求实数的取值范围．
2．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知函数能表示为奇函数和偶函数的和．
(1)求和的解析式；
(2)利用函数单调性的定义，证明：函数在区间上是增函数；
(3)令（），对于任意，都有，求实数的取值范围．
3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数．
(1)当时，求的最小值；
(2)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围．
重难点二、双变量等式型求参
4．（22-23高一下·浙江·月考）已知函数（、），.
(1)设的解集为A，解集为，若，求实数的取值范围；
(2)已知函数的图象关于点对称，当时，，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围.
5．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函数，.
(1)讨论函数在的单调性；
(2)若存在实数，，使得函数的定义域为时，值域为，求实数的取值范围；
(3)若存在，使得，记，求的最大值.
6．（24-25高一上·重庆·月考）已知函数（，且）过点．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数为的反函数，且在上单调递增，求b的取值范围；
(3)若函数，其中为奇函数，为偶函数，已知函数，对于任意，都存在，使得等式成立，求实数c的取值范围．
重难点三、多变量不等式型求参
7．（24-25高一上·江苏南京·月考）对于两个定义域相同的函数和，若存在实数，使，则称函数是由“基函数和”生成的.
(1)若是由“基函数和”生成的，求的值；
(2)试利用“基函数和”生成一个函数，满足为偶函数，且.
①求函数的解析式；
②已知，对于上的任意值，记，求的最大值.（注：.）
8．（24-25高一上·湖南长沙·期末）对于两个定义域相同的函数和，若存在实数，使，则称函数是由“基函数和”生成的.
(1)若是由“基函数和”生成的，求的值；
(2)试利用“基函数和”生成一个函数，满足为偶函数，且.
①求函数的解析式；
②已知，对于上的任意值，记，求的最大值.
9．（25-26高一上·江西·期中）已知且是上的奇函数，且.
(1)求的值；
(2)设.求的解析式，并求其值域；
(3)在（2）的条件下，设，把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，，记，是否存在正整数，使不等式有解？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由.
重难点四、绝对值型不等式型求参
10．（25-26高一上·山东·期中）已知函数是奇函数，且．
(1)求函数的解析式；
(2)判断并证明函数在上的单调性；
(3)令，若对任意的，都有，求实数的取值范围．
11．（25-26高一上·河北邢台·期中）已知函数．
(1)设．
（i）求的最小值，并求出当取得最小值时的值；
（ii）求的单调递减区间．
(2)对任意、，恒成立，求的取值范围．
12．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求，的值；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明；
(3)若方程在恰有三个实根，，（其中），求实数的取值范围及的最小值.
3 韦达定理型应用
重难点一、构造求范围
二次函数基础公式 ①一般式顶点式：y＝ax2＋bx＋c＝a＋. ②顶点是，对称轴是：x＝－. ③方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)求根公式：x＝ 一元二次根与系数，要首先保证有根，所以判别式大于或者大于等于0，是前提条件。在这个前提条件下，构造韦达定理并转化代入韦达定理求最值或者范围。
1．（25-26高一上·四川南充·期中）已知二次函数.
(1)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
(2)若，解关于的不等式.
(3)若关于的不等式的解集为，求的最小值.
2．（20-21高一上·重庆巴南·阶段练习）已知过点，且满足.
（1）求的解析式；
（2）若在上的值域为，求的值；
（3）若，则称为的不动点，函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值.
3．（25-26高一上·江苏苏州·阶段练习）法国数学家佛郎索瓦 韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根、有如下关系：，．”
韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数和满足如下关系：，，那么这两个数和是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程．
例如：，，那么和是方程的两根．
请应用上述材料解决以下问题：
(1)已知、是两个不相等的实数，且满足，，求的值；
(2)已知实数、满足，，求的值；
(3)已知，是一元二次方程的两个不相等的实数根，且，求使的值为整数的所有的值．
重难点二、非对称多元型
非对称多元型，可以借助求根公式代入转化，也可以代入方程等量代换转化求解。
4．（25-26高一上·江苏南通·期中）（1）已知，试比较方程的两根与1的大小关系，并说明理由；
（2）若方程恰有3个不等实根，求实数a的取值范围；
（3）若方程恰有2个不等正实根，试比较与的大小关系，并说明理由.
5．（21-22高一下·浙江杭州·期中）已知函数，，其中，.
(1)求函数在上的最小值；
(2)若函数恰好存在三个零点、、，且，求的取值范围.
6．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段练习）已知关于的不等式的解集为.
(1)求证：.
(2)若，且，，求的取值范围.
重难点三、综合型
确定的根与二次方程的关系，利用韦达定理结合求根公式等，将条件系数、参数与求解的目标联系起来，利用已知的不等式关系求出范围。
7．（25-26高一上·上海·期中）阅读：高中数学必修第一册29页——《韦达定理的证明》.
韦达定理 若一元二次方程的两个根为、.则，.
证明 因为一元二次方程的两个根为、，所以二次三项式可以因式分解为.由于，从而等式恒成立.由例5知，该等式两边的对应项系数应相等.因此，.深刻阅读，类比思考，仔细计算，完成以下问题：
(1)写出一个满足三个根分别为1，2，3的一元三次方程______；（整理成的形式）
(2)“若一元三次方程的三个实根为，，”，则______，______，______；
(3)已知长方体体积为1，长宽高之和为，表面积为，求实数的取值范围.（需要用到的公式提示：
8．（25-26高一上·河北邢台·阶段练习）已知，函数.
(1)证明：无论为何值，函数的图象与轴都有两个交点；
(2)当时，函数的图象与轴交于，两点，求的值；
(3)求关于的不等式的解集.
8．（25-26高一上·北京·阶段练习）已知关于的方程组，其中.
(1)当时，求该方程组的解集；
(2)若该方程组总有两组不同的解，求的取值范围；
(3)记该方程组的两组不同的解分别为和，已知，求的值.
8．（22-23高一上·湖南常德·阶段练习）设二次函数，，的最小值为，方程的两个根分别为、．
(1)求的值；
(2)若关于的不等式的解集为，函数在上不存在最小值，求的取值范围；
(3)若，求的取值范围．
4幂指对综合与新定义型
重难点一、新定义型
新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
1．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知函数．
(1)若不等式在恒成立，求实数的取值范围.
(2)已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，都有，则称是“反比例对称函数”，常数称为反比例对称常数.
已知函数是“反比例对称函数”.
（i）求函数的反比例对称常数；
（ii）若关于的方程的解集中只含有一个元素，求的取值范围．
2．（25-26高一上·江苏苏州·期中）对定义域分别为和的函数和，若满足对任意，恰好存在个不同的实数，使得，则称为的“重覆盖函数”.
(1)判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由；
(2)若是的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围；
(3)若，已知是的“重覆盖函数”（其中，请直接写出正实数的取值范围（用表示）.
3．（24-25高一上·上海宝山·期末）定义：对于函数，.如果存在正常数，使得当取其定义域中任意值时，有，且成立，则称是“一致变化函数”，而这个常数就叫做函数的“一致变化系数”.
(1)给出，.判断函数是否为“一致变化函数”，并说明理由；
(2)给出，.若是“一致变化函数”，求“一致变化系数”与之和的最小值；
(3)给出，.求证：函数是“一致变化函数”，并求“一致变化系数”的取值范围.
重难点二、幂指对综合型
4．（24-25高一上·上海·期末）已知函数为奇函数，，其中.
(1)若函数的图象过点，求实数和的值；
(2)若，试判断函数在上的单调性并用定义证明；
(3)设函数，若对每一个不小于3的实数，都存在小于3的实数，使得成立，求实数的取值范围.
5．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知函数为常数，函数.
(1)若为奇函数，求的值.
(2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围.
(3)在第(1)问的条件下，当时，，函数在区间上的值域为，求实数的取值范围.
6．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）函数.
(1)若的定义域为，求实数a的取值范围；
(2)当时，为定义域为的奇函数，且时，，
①求的解析式
②若关于x的方程恒有两个不同的实数根，求t的取值范围.
7．（23-24高一上·四川凉山·期末）已知
(1)当是奇函数时，解决以下两个问题：
①求k的值；
②若关于x的不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围；
(2)当是偶函数时，设，那么当n为何值时，函数有零点．
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