【练习篇】专题13运用圆的面积解决问题二——2025-2026学年六年级上册期末备考复习讲练测（北师大版）

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专题13运用圆的面积解决问题二
1．如图所示，圆内有一个最大的正方形，已知正方形的面积为40平方厘米，求阴影部分的面积是多少平方厘米？
2．王大伯在自家院子里的墙角处用6.28米长的栅栏围了一个圆形的鸡舍（如图），鸡舍的面积是多少平方米？
3．一块长方形空地，长8米，宽6米，要在这块长方形空地里面修一个最大的圆形花坛。这个花坛的占地面积是多少平方米？
4．一个圆形花坛的周长是62.8米，扩建后半径增加了1.5米，扩建后这个花坛的面积增加了多少平方米？
5．公园里有一个正方形的养鱼池，量得养鱼池的周长是100米，养鱼池的中间有一个圆形小岛，半径是6米。这个养鱼池的水域面积是多少？
6．如图所示，公园的人工期上建了一个风车形的小岛，已知小岛中间是边长为20m的正方形，与这个正方形每一条边相连的都是圆心角为90°的扇形，整个小岛的面积是多少平方米？绕这个小岛走一圈是多少米？
7．用一根16.9米长的绳子绕一棵树，可以在一棵树的树干上绕10圈还多1.2米。这棵树的横截面积是多少平方米？（不计绳子的粗细）
8．公园中有一个半圆形的花坛（如右图所示），沿着花坛的一周围上篱笆，张红计算后认为篱笆长25.7米，半圆形花坛的占地面积是39.25平方米，你认为张红计算的结果正确吗？请写出你的思考过程。
9．如图是一个学校的操场跑道，两边是半圆形，中间是长方形，这个操场的周长是多少米？面积是多少平方米？
10．向水中扔一块石子，水面上会激起一圈圈圆形波纹。假如波纹以0.5米/秒的速度向周围扩散，向水中扔进石子10秒钟后，水面泛起波纹的最大面积是多少？
11．学校要修一段1米的鹅软石步道（如图），如果铺设这条步道每平方米需要小石子3千克，铺设这条步道一共需要多少千克小石子？
12．一片草地中央有个木屋，木屋古地是边长为6米的正方形（如下图阴影部分），A是木屋的一角，在A点有一木桩，用10米长的绳子把一头牛拴在木桩上，牛吃到草的最大面积是多少平方米？
13．三枚半径为1厘米的圆形硬币互相紧靠着平放在桌面上，让一枚硬币沿着它们的外轮廓滚过后回到原来的位置，那么与原A点重合的点是哪个点？硬币圆心运动轨迹的周长是多少厘米？
14．一个圆形蓄水池，它的周长是62.8米，蓄水池的占地面积是多少平方米？沿着圆形蓄水池的一周建一条宽2米的小路，小路的面积是多少平方米？
15．为了不断美化居住环境，阳光小区计划修建一个圆形喷水池，喷水池的周围是一条宽的小路供大家休闲，如图，求小路的面积。
16．玉泽湖公园有一个圆形的喷水池，直径是8米，绕这个喷水池走一圈需要走多少米？这个喷水池的占地面积是多少平方米？
17．优秀毕业生为母校捐资修建了一个配有塑胶跑道的运动场，如图。两头是半圆，中间是长75米，宽60米的长方形，这个运动场的占地面积是多少平方米？
18．张明和王楠从一个圆形场地的同一地点出发，沿着场地的边相背而行，4分钟后两人相遇，张明每分钟走72米，王楠每分钟走85米。这个圆形场地的面积是多少平方米？
19．为了奖励阿凡提的机智勇敢，国王给阿凡提一根长314米的绳子，让他用这根绳子圈一块圆形土地，圈出的土地奖给他。阿凡提最多能圈一块多少平方米的土地？
20．公园里有一片梯形草地（如图），梯形上底是20米，下底是30米，高是10米，园艺设计师想在这篇草地上设计一个面积最大的半圆形花圃，请你画出来，并求这个花圃的面积。
21．学校有一个边长为24米的正方形花圃，中间有一个圆形的盆景区，如图。
（2）在圆形盆景区内画一个圆心角为60°的扇形。
（3）如果要在这个扇形内铺草皮，铺草皮的面积是多少？
22．如图，一张可折叠的圆桌，直径是1.2米，折叠后便成了一个正方形。
（1）折叠后的桌面的面积是多少平方米？
（2）折叠部分的面积是多少平方米？周长是多少米？（得数保留两位小数）
23．第24届冬奥会2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行。下图是冬奥会短道速滑场地平面图：（单位：米）
（1）跑道周长是多少米？
（2）占地面积是多少平方米？
24．城市街心花园要靠墙新建一个由长方形和半圆形组成的花圃，种植新花卉。
（1）要沿花圃的一周修一圈栅栏，需要多长的栅栏？
（2）要给这个花圃铺上特殊的花土，铺花土的面积是多少平方米？
25．“科学绿化”，是遵循自然规律和经济规律、保护修复自然生态系统、建设绿水青山的内在要求。绿化，包括国土绿化、城市绿化、四旁绿化和道路绿化等。
材料一：“绿化”，能够有效降噪。噪音，会危害人体健康，而植物能够吸收和减少来自车辆和交通的噪音。据研究，绿化可以阻挡的噪音分贝数取决于多种因素，包括绿化带的宽度、树木的种类和密度，以及噪音的频率。比如：4米宽的绿篱，可以减弱噪音6分贝；40米宽的林带，可以降低噪音10—15分贝；公园中，成片的树木可以降低噪音26—43分贝；绿化的街道相比未绿化的街道，可以降低噪音8—10分贝。
材料二：“绿化”，能够美化环境。为了改善环境、增加城镇的人均绿地面积等需要，屋顶花园、屋顶绿化、屋顶养花逐步进入城市的建设规划、设计和建造范围。屋顶花园，不但降温隔热效果优良，而且能美化环境、净化空气、改善局部小气候，大大提高了城市的绿化覆盖率。某个大型商场在建造过程中，请专业人员将一方的露台，改造成了“空中花园”，并设计了一个周长为18.84米的圆形花坛，形成了—处独特而具有艺术气息的景观。
请认真阅读以上材料，并完成下面各题。
（1）如果汽车发出的噪音是70分贝，旁边的绿化设施可降噪。那么，旁边的绿化设施可能是什么情况？
（2）材料二中“空中花园”里的圆形花坛，占地面积多少平方米？
（3）除上述材料外，你觉得“绿化”还有哪些积极的意义？
参考答案
1．22.8平方厘米
【分析】根据题意可知，如图圆内正方形面积是40平方厘米，正方形面积＝圆的直径×圆的半径；直径＝2×半径；正方形面积＝2×半径2，由此可知，圆的半径2＝正方形面积÷2；圆的面积＝π×半径2；代入数据，求出圆的面积，再用圆的面积－正方形的面积，求出阴影部分面积，即可解答。
【详解】3.14×（40÷2）－40
＝3.14×20－40
＝62.8－40
＝22.8（平方厘米）
答：阴影部分的面积是22.8平方厘米。
【点睛】利用正方形面积公式，圆的公式进行解答，关键明确正方形的面积与圆的半径平方之间的关系。
2．12.56平方米
【分析】把扇形所在圆的周长看作单位“1”，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法求出该圆的周长，根据圆的周长公式：C＝2πr，那么r＝C÷π÷2，据此求出半径，再根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。
【详解】6.28÷
＝6.28×4
＝25.12（米）
25.12÷3.14÷2＝4（米）
3.14×42×
＝3.14×16×
＝12.56（平方米）
答：鸡舍的面积是12.56平方米。
【点睛】此题主要考查圆的周长公式、圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
3．28.26平方米
【分析】根据题意可知，在这块长方形空地里修一个最大的圆形花坛，这个花坛的直径等于长方形的宽，根据圆的面积公式：，把数据代入公式解答。
【详解】3.14×（6÷2）2
＝3.14×9
＝28.26（平方米）
答：这个花坛的占地面积是28.26平方米。
【点睛】此题主要考查圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
4．101.265平方米
【分析】根据圆的周长＝求出圆的直径，进而求出半径，再加上1.5求出扩建后的半径，然后根据圆的面积＝分别求出原来和扩建后的圆的面积，相减即可解答。
【详解】圆的半径：62.8÷3.14÷2
＝20÷2
＝10（米）
扩建后的半径：10＋1.5＝11.5（米）
扩建前的面积：3.14×102＝314（平方米）
扩建后的面积：3.14×11.52＝3.14×132.25＝415.265（平方米）
415.265－314＝101.265（平方米）
答：扩建后这个花坛的面积增加了101.265平方米。
【点睛】此题主要考查学生对圆的周长和面积公式的理解与灵活应用。
5．511.96平方米
【分析】由题意知：用100÷4＝25米，得正方形鱼池的边长，再求得正方形鱼池的面积和圆形小岛的面积，用正方形面积减圆形的面积即得养鱼池的水域面积。据此解答。
【详解】正方形的边长：100÷4＝25（米）
正方形鱼池面积：25×25＝625（平方米）
圆形小岛的面积：6×6×3.14
＝36×3.14
＝113.04（平方米）
水域面积：625－113.04＝511.96（平方米）
答：这个养鱼池的水域面积是511.96平方米。
【点睛】考查了正方形和圆的面积的运用，用正方形面积减圆的面积是解答本题的关键。
6．1656平方米；205.6米
【分析】整个小岛的面积＝正方形的面积＋以正方形的边长为半径的圆的面积，根据正方形面积＝边长×边长，圆的面积公式：S＝πr ，代入数据即可求出这个小岛的面积；绕这个小岛走一圈的长度是4个圆弧的长度（也就是一个圆的周长）加上圆的4条半径，由此求解即可。
【详解】20×20＋3.14×202
＝400＋1256
＝1656（平方米）
2×3.14×20＋4×20
＝125.6＋80
＝205.6（米）
答：整个小岛的面积是1656平方米，绕这个小岛走一圈是205.6米。
【点睛】解答此题的关键是弄清楚，这个图形由哪些图形组成，利用规则图形的面积和以及周长和，即可得解。
7．0.19625平方米
【分析】用16.9－1.2先求出这根绳子绕这棵树10圈的长是多少，再用（16.9－1.2）÷10求出一圈的长度，然后根据圆的周长公式：C＝2πr，求出树的半径，再根据圆面积公式：S＝πr2求出圆的面积。
【详解】（16.9－1.2）÷10
＝15.7÷10
＝1.57（米）
1.57÷3.14÷2＝0.25（米）
3.14×0.252
＝3.14×0.0625
＝0.19625（平方米）
答：这棵树的横截面积是0.19625平方米。
8．正确
【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，求出直径是10米的圆的周长，再除以2，求出圆的周长的一半，再加上直径的长度，即可求出这个半圆形花坛的周长，也就是用篱笆的长度，再进行比较即可；
根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，求出圆的面积，再除以2，即可求出半圆形花坛的面积，再进行比较即可。
【详解】3.14×10÷2＋10
＝31.4÷2＋10
＝15.7＋10
＝25.7（米）
25.7米＝25.7米，篱笆长度的计算结果正确。
3.14×（10÷2）2÷2
＝3.14×52÷2
＝3.14×25÷2
＝78.5÷2
＝39.25（平方米）
39.25平方米＝39.25平方米，面积计算结果正确。
张红的计算结果对正确。
答：张红的计算结果正确。
9．317米；5962.5平方米
【分析】观察图形可知，操场跑道两端的两个半圆可以组合成一个直径为50米圆。
这个操场的周长＝圆的周长＋2条80米的直道，根据圆的周长公式C＝πd，代入数据计算，求出这个操场的周长。
这个操场的面积＝圆的面积＋长方形的面积，根据圆的面积公式S＝πr2，长方形的面积公式S＝ab，代入数据计算，求出这个操场的面积。
【详解】操场的周长：
3.14×50＋80×2
＝157＋160
＝317（米）
操场的面积：
3.14×（50÷2）2＋80×50
＝3.14×252＋4000
＝3.14×625＋4000
＝1962.5＋4000
＝5962.5（平方米）
答：这个操场的周长是317米，面积是5962.5平方米。
10．78.5平方米
【分析】将扩散速度乘10秒，求出圆形波纹的半径。圆面积＝πr2，将数据代入公式，求出水面泛起波纹的最大面积。
【详解】0.5×10＝5（米）
3.14×52＝78.5（平方米）
答：水面泛起波纹的最大面积是78.5平方米。
11．103.62千克
【分析】通过平移可知，求这条鹅软石步道的面积相当于求一个圆环的面积，小圆的直径是10米，半径是（10÷2）米，大圆的半径是（10÷2＋1）米，然后根据圆环的面积公式：S＝π（R2－r2），代入数据求出鹅软石步道的面积，最后乘3即可求出铺设这条步道一共需要多少千克小石子。
【详解】10÷2＝5（米）
5＋1＝6（米）
3.14×（62－52）
＝3.14×（36－25）
＝3.14×11
＝34.54（平方米）
34.54×3＝103.62（千克）
答：铺设这条步道一共需要103.62千克小石子。
12．260.62平方米
【分析】观察图形可知，牛吃草的面积分为三部分，两部分是等于半径是（10－6）米的圆的面的，一部分半径是10米的圆的面积的；根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。
【详解】3.14×（10－6）2××2＋3.14×102×
＝3.14×42××2＋3.14×100×
＝3.14×16××2＋314×
＝50.24××2＋235.5
＝12.56×2＋235.5
＝25.12＋235.5
＝260.62（平方米）
答：牛吃到草的最大面积是260.62平方米。
【点睛】本题考查圆的面积公式的应用，关键是明确这条牛吃到草的面积分为三部分。
13．A点；6厘米
【分析】根据题意画图帮助理解：
圆心的运动轨迹如图解所示，再根据动圆自转圈数等于圆心运动轨迹除以动圆周长可求出硬币自转的圈数，然后判断和A点重合的点。
【详解】由图可得：
硬币刚好转动了三周，所以硬币回到原来的位置后与A点重合的点仍然是A点。
运动轨迹是3个半径为2厘米的半圆，故圆心运动轨迹的周长为：
×2×2×3
＝×2×3
＝2×3
＝6（厘米）
答：与原A点重合的点是A点，硬币圆心运动轨迹的周长是6厘米。
【点睛】本题考查了圆的特征和运动轨迹，要求学生具有较强的空间想象能力，能够通过画出轨迹来把复杂的问题转变成简单的计算问题。
14．蓄水池面积：314平方米；小路面积：138.16平方米
【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×2×半径，半径＝周长÷π÷2，求出圆的半径，再根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，求出圆形蓄水池的面积；沿着圆形蓄水池的一周建一条2米的小路，求小路的面积，就是求圆环的面积，大圆的半径＝蓄水池的半径＋2米，再用大圆的面积减去蓄水池的面积，即可解答。
【详解】蓄水池半径：62.8÷3.14÷2
＝20÷2
＝10（米）
蓄水池面积：3.14×102
＝3.14×100
＝314（平方米）
小路面积：3.14×（10＋2）2－314
＝3.14×122－314
＝3.14×144－314
＝452.16－314
＝138.16（平方米）
答：蓄水池的占地面积是314平方米；小路的面积是138.16平方米。
【点睛】本题考查圆的周长公式的应用，圆的面积公式的应用，以及圆环的面积公式的应用，关键是熟记公式，灵活运用。
15．25.905平方米
【分析】观察图形可知，小路的面积也就是圆环的面积，圆环面积S＝π（R2－r2），其中r＝2m，R＝（2＋1.5）m，代入数据计算即可。
【详解】2＋1.5＝3.5（米）
3.14×（3.52－22）
＝3.14×8.25
＝25.905（平方米）
答：小路的面积是25.905平方米。
【点睛】此题考查了圆环的面积计算，牢记公式，分别找出两个半径的长度是解题关键。
16．25.12米；50.24平方米
【分析】根据题意，求绕这个喷水池走一圈需要走多少米，就是求这个圆形的喷水池的周长；根据圆的周长公式：π×直径；代入数据即可；求这个喷水池的占地面积就是求这个圆形喷水池的面积，根据圆的面积公式：π×半径2，代入数据，即可解答。
【详解】3.14×8＝25.12（平方米）
3.14×（8÷2）2
＝3.14×16
＝50.24（平方米）
答：绕这个喷水池走一圈需要走25.12米；这个喷水池的占地面积是50.24平方米。
【点睛】利用圆的周长公式、圆的面积公式进行解答，关键是熟记公式。
17．7326平方米
【分析】运动场的占地面积＝半径为（60÷2）米的圆的面积＋长为75米、宽为60米的长方形的面积，根据圆的面积公式：S＝πr ，长方形面积＝长×宽，代入数据求解即可。
【详解】3.14×（60÷2） ＋75×60
＝2826＋4500
＝7326（平方米）
答：这个运动场的占地面积是7326平方米。
【点睛】本题主要考查组合图形的面积，关键把组合图形转化为规则图形，利用规则图形的面积公式做题。
18．31400平方米
【分析】根据题意，张明和王楠是相背而行，求出张明行走的路程与王楠行走的距离的和，就是这个圆形场地的周长，根据圆的周长公式：π×2×半径，求出这个圆形场地的半径，再根据圆的面积公式：π×半径2，求出圆的面积。
【详解】半径：（72＋85）×4÷3.14÷2
＝157×4÷3.14÷2
＝628÷3.14÷2
＝200÷2
＝100（米）
面积：3.14×（100）2
＝3.14×10000
＝31400（平方米）
答：这个圆形场地的面积是31400平方米。
【点睛】本题考查圆的周长公式和面积公式的应用，以及距离、时间、速度三者的关系。
19．7850平方米
【分析】在周长相等的长方形、正方形和圆中，圆的面积最大；根据圆的周长公式：周长＝π×2×半径；半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出圆的半径，再根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。
【详解】3.14×（314÷3.14÷2）2
＝3.14×（100÷2）2
＝3.14×502
＝3.14×2500
＝7850（平方米）
答：阿凡提最多能圈一块7850平方米的土地。
【点睛】解答本题的关键明确，周长相等的长方形、正方形和圆，圆的面积最大。
20．图见详解：157平方米
【分析】在梯形里画最大的半圆，半圆的半径与梯形的高相等，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可求出半径的面积。
【详解】如图：
3.14×102÷2
＝3.14×100÷2
＝314÷2
＝157（平方米）
答：这个花圃的面积是157平方米。
【点睛】解答本题的关键是理解半圆最大半径与梯形各边的关系。
21．（1）（2）见详解
（3）75.36平方米
【分析】（1）观察图形可知，正方形的边长＝圆的直径，则以正方形与圆的左右两个交点为端点画出线段，就是圆的直径，直径的中点就是圆心。
（2）先在圆内画出一条半径，以这条半径为角的一条边，用量角器画出60°的角，两条半径和一段弧围成的图形就是扇形。
（3）圆的半径＝24÷2＝12（米），扇形的面积＝πr2×，据此代入数据计算。
【详解】
（1）（2）
（3）3.14×122×
＝3.14×144×
＝75.36（平方米）
答：铺草皮的面积是75.36平方米。
【点睛】本题考查了圆的认识、扇形的画法、扇形的面积计算。掌握扇形的概念和面积计算公式是解题的关键。
22．（1）0.72平方米
（2）面积：0.41平方米；周长：3.77米
【分析】（1）折叠后的桌面是一个正方形，把正方形看作两个一样的等腰直角三角形，三角形的底是圆的直径，高是圆的半径，根据三角形面积＝底×高÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，就是正方形的面积；
（2）先根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积，再用圆的面积减去正方形的面积，就是折叠部分的面积；再根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，即可解答。
【详解】（1）1.2×（1.2÷2）÷2×2
＝1.2×0.6÷2×2
＝0.72÷2×2
＝0.36×2
＝0.72（平方米）
答：折叠后的桌面的面积是0.72平方米。
（2）3.14×（1.2÷2）2－0.72
＝3.14×0.62－0.72
＝3.14×0.36－0.72
＝1.1304－0.72
＝0.4104
≈0.41（平方米）
3.14×1.2＝3.768≈3.77（米）
答：折叠部分的面积是0.41平方米，周长是3.77米。
【点睛】无法运用正方形的面积公式求面积时，把正方形分解成两个相等的三角形，找到三角形的底、高与圆的关系，那么正方形的面积就转移到2个三角形的面积上；
观察组合图形，找到要求的面积与哪些图形的面积有关，然后根据面积公式求解。
23．（1）107.94米
（2）662.56平方米
【分析】（1）观察图形可知，跑道周长＝一个半径是8米的圆的周长＋长是28.85米，宽是8×2米的长方形的两条长；根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，即可解答。
（2）占的面积＝半径是8米圆的面积＋长是28.85，宽是8×2米的长方形面积；根据圆的面积公式：面积＝π×半径2；长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可解答。
【详解】（1）3.14×8×2＋28.85×2
＝25.12×2＋57.7
＝50.24＋57.7
＝107.94（米）
答：跑的周长是107.94米。
（2）3.14×82＋28.85×（8×2）
＝3.14×64＋28.85×16
＝200.96＋461.6
＝662.56（平方米）
答：占的面积是662.56平方米。
【点睛】利用圆的周长公式，圆的面积公式以及长方形面积公式进行解答，关键明确两端合起来就是一个圆。
24．（1）51.4平方米
（2）357平方米
【分析】（1）求需要多长的栅栏，就是求圆的直径是20米的周长的一半与长方形的两条宽的和，根据圆的周长公式：π×直径，代入数据，即可解答；
（2）求铺花土的面积，就是求长是20米，宽是10米的长方形面积加上直径是20米的圆的面积的一半，根据长方形面积公式：长×宽；圆的面积公式：π×半径2，代入数据，即可解答。
【详解】（1）3.14×20÷2＋10×2
＝62.8÷2＋20
＝31.4＋20
＝51.4（平方米）
答：需要51.4米的栅栏。
（2）20×10＋3.14×（20÷2）2÷2
＝200＋3.14×100÷2
＝200＋314÷2
＝200＋157
＝357（平方米）
答：铺花土的面积357平方米。
【点睛】本题的解题关键是根据圆的周长公式，面积公式以及长方形面积公式进行解答。
25．（1）40米宽的林带
（2）28.26平方米
（3）见详解
【分析】（1）汽车噪音70分贝，降噪，则降噪量为70×＝14分贝。结合材料一“40米宽的林带，可以降低噪音10—15分贝”，可知旁边的绿化设施可能是40米宽的林带。
（2）圆形花坛周长为18.84米，圆的周长公式为C＝2πr（π取3.14，r为半径），则r＝C÷2÷π，即18.84÷2÷3.14＝3（米）；圆的面积公式为S＝πr2，把半径3米代入公式计算即可。
（3）“绿化”的其他积极意义除降噪、美化环境外，绿化还具有的意义是：净化空气，植物可吸收二氧化碳、有害气体，释放氧气；调节气候，增加空气湿度，缓解热岛效应；保持水土，防止土壤侵蚀，维护生态平衡；提供生物栖息地，为动植物提供生存空间，保护生物多样性。
【详解】（1）70×＝14（分贝）
10＜14＜15
答：旁边的绿化设施可能是40米宽的林带。
（2）18.84÷2÷3.14＝3（米）
3.14×32
＝3.14×9
＝28.26（平方米）
答：圆形花坛占地面积是28.26平方米。
（3）答：绿化还有净化空气、调节气候和保持水土等积极意义。（答案不唯一）
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