广东省佛山市七校2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷（含答案）

高一数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．双曲线的虚轴长为（　　）
A.4 B.2 C.8 D.4
2．已知空间中三点A（2，1，1），B（1，1，2），C（m，1，3）共线，则m=（　　）
A.2 B.0
C.1 D.-1
3．圆与圆的位置关系为（　　）
A．外切 B.相交
C.内切 D.内含
4．若直线2x-4y+1=0与mx+2y+4=0互相垂直，则m=（　　）
A．-1 B.-4 C.4 D.1
5．已知随机事件A，B满足，则P（A∩B）=（　　）
A． B. C. D.
6．已知双曲线C：的两个焦点为，双曲线C上有一点P，若，则（　　）
A.10 B.2
C.2或10 D.14
7．一条沿直线传播的光线经过点P（-3，3），且在y轴上的截距为-3，然后被直线y=x-9反射，则反射光线所在直线的方程为（　　）
A．x+2y+9=0 B.x+2y+12=0
C.x-2y-16=0 D.x-2y-36=0
8．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，过点A的平面α分别与棱PB，PC，PD交于点E，F，G，若，则（　　）
A． B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．关于椭圆C：，下列选项正确的是（　　）
A．椭圆C的长轴长为
B.椭圆C的一个顶点为，0）
C.椭圆C的焦距为
D.椭圆C的离心率为
10．先后抛掷两枚质地均匀的骰子，则（　　）
A．事件“第一枚朝上的点数大于2”的概率是
B.事件“第一枚朝上的点数为偶数”与“第二枚朝上的点数为奇数”是相互独立的
C.事件“至少一枚朝上的点数为奇数”与“两枚朝上的点数都是偶数”是对立的
D.事件“至多一枚朝上的点数为奇数”与“两枚朝上的点数都是偶数”是互斥的
11．关于x的方程有唯一解，则b的取值可能是（　　）
A．-4 B.1
C.2 D.5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若方程表示双曲线，则m的取值范围是___________．
13．已知向量a=（9，8，5），b=（1，0，1），则向量a在向量b上的投影向量的模为___________．
14．曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小．已知椭圆C：上点处的曲率半径公式为R=．若椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值为，最小值为，则椭圆C的标准方程为___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．如图，在直三棱柱中，，E，F分别为BC的中点．
（1）求异面直线A1B与EF所成角的余弦值；
（2）求点到平面AEF的距离．
16．已知椭圆C经过两点
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知直线l与椭圆C交于M，N两点，且线段MN的中点为（-2，1），求直线l的方程．
17．甲、乙两人进行象棋比赛，约定先连胜2局者直接赢得比赛．假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响．
（1）求恰好比赛3局后甲获胜的概率；
（2）求甲在4局以内（包含4局）赢得比赛的概率.
18．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=2，AD=AP=4，平面PAB和平面PAD都垂直于平面ABCD，E，F分别为PA，AB的中点，直线AC与DF相交于O点．
（1）证明：PB∥平面DEF．
（2）判断OE与BD是否垂直．
（3）求平面DEF与平面PCD夹角的余弦值．
19．已知双曲线C：的离心率为，虚半轴长为
（1）求双曲线C的方程．
（2）过双曲线C上一点R作两条渐近线的垂线，垂足分别为G，H，证明：|RG| |RH|为定值．
（3）已知坐标原点为O，定点P（3，-2），M，N为双曲线C上两个不重合的动点，直线PM，PN分别与y轴交于点E，F，点Q在直线MN上，且．试问是否存在定点T，使得｜QT｜为定值？若存在，求出定点T的坐标和｜QT｜；若不存在，请说明理由．
1．A
因为，所以，所以虚轴长为．
2．B
因为三点共线，所以．因为，所以，得
3．D
由题意知两圆的圆心坐标分别为，两圆的半径分别为4，10．因为，所以两圆内含．
4．C
由题意知，所以
5．C
因为，所以．
6．A
因为，所以，故
7．B
入射光线所在直线的方程为，即，
由解得
即入射点的坐标为（2，-7）．
设关于直线对称的点为，
则解得即．
因为反射光线所在直线经过入射点和点，所以反射光线所在直线的斜率为，
所以反射光线所在直线的方程为，即
8．A
设，连接（图略），则．
因为四点共面，且不共线，所以
由空间向量基本定理得
解得
所以
9．BD
因为，所以椭圆的长轴长为，短轴端点为，故A错误，B正确；
因为，所以椭圆的焦距为4，离心率为，故C错误，D正确．
10．BC
事件“第一枚朝上的点数大于2”的概率是，所以A不正确；
事件“第一枚朝上的点数为偶数”与事件“第二枚朝上的点数为奇数”互不影响，所以B正确；
事件“两枚朝上的点数都是偶数”的对立事件为“两枚朝上的点数都是奇数或一个奇数一个偶数”，所以C正确；
事件“至多一枚朝上的点数为奇数”与“两枚朝上的点数都是偶数”可以同时发生，所以D不正确．
11．ABC
由题意可知关于的方程有唯一解，
即曲线（以原点为圆心，2为半径的圆的上半部分）与直线有唯一公共点．
当直线经过点（2，0）时，；
当直线经过点（-2，0）时，
若直线与曲线相切，则，得，
数形结合可知，的取值范围是．
12．（-2，3）
由，得，即的取值范围是（-2，3）．
13.7
因为向量，所以向量在向量上的投影向量，其模为．
14．
因为曲率半径越大，曲线在该点处的弯曲程度越小，所以椭圆在处的曲率半径最小，则，椭圆在处的曲率半径最大，则，所以，故椭圆的标准方程为
15．解：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，.
（1）因为，
所以
所以异面直线与所成角的余弦值为.
（2）设平面的法向量为．
因为，
所以
令，则.
因为，所以，
所以点到平面的距离为.13分
16．解：（1）设椭圆的方程为，
则
解得
所以椭圆的标准方程为
（2）易知直线的斜率存在，设直线的斜率为，
则
两式相减得，整理得.
因为线段的中点为（-2，1），所以，
所以直线的方程为，即
17．解：记“甲在第局获胜”为事件.
（1）记“恰好比赛3局后甲获胜”为事件，则.
因为，
所以恰好比赛3局后甲获胜的概率为.
（2）记“甲在4局以内（包含4局）赢得比赛”为事件，则.
因为
且，
所以
即甲在4局以内（包含4局）赢得比赛的概率为.
18．解：由题知，直线两两垂直，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，.
（1）证明：因为，
所以，所以
因为平面平面，所以平面．
（2）设．因为，
所以，得.
因为，
所以，故不与垂直.
（3）设平面的法向量为．
因为，
所以
令，得.
设平面的法向量为．
因为，
所以
令，得.
因为，所以平面与平面夹角的余弦值为.
19．（1）解：因为虚半轴长为，所以.
因为离心率为，所以.
因为，所以，
所以双曲线的方程为
（2）证明：双曲线的渐近线方程为，
双曲线上一点到渐近线的距离之积为.
因为，
所以，即为定值.
（3）解：显然直线的斜率存在，设直线的方程为．
由
整理得，
则.
直线的方程为，
令，则，得，同理得.
由，可得，
所以
整理得
当时，，
此时直线的方程为，过点，，与矛盾，舍去；
当时，直线的方程为，恒过定点．
设的中点为，则，
因为，所以，为定值，
故存在，使得为定值.