河南省郑州外国语学校2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷（含答案）

河南省郑州外国语学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题
一、单选题
1．已知点，，，且点在线段的垂直平分线上，则（ ）
A． B．2 C．8 D．
2．曲线与曲线一定成立的是（ ）
A．长轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相等 D．短轴长相等
3．已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
4．已知椭圆，直线（）与椭圆交于A，B两点，，分别为椭圆的左、右两个焦点，直线与椭圆交于另一个点D，则直线AD与BD的斜率乘积为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知圆与圆外切，切点为，且直线是圆与圆的一条公切线，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
6．如图，在平行六面体中，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．若圆经过，圆心在直线上，则圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线的上、下焦点分别为、，是的上支上的一点（不在轴上），与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．给出下列命题，其中正确的是（ ）
A．若空间向量，，且，则实数
B．若，则存在唯一的实数，使得
C．若空间向量，，则向量在向量上的投影向量是
D．点关于平面对称的点的坐标是
10．已知点，圆，则（ ）
A．点在直线上
B．点可能在圆上
C．圆上至少有2个点与点的距离为1
D．过点作圆的切线，则切点弦过点
11．已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
三、填空题
12．若点在曲线上，点在曲线上，定义.已知有两条直线分别为：，：，则 .
13．已知点在圆上，点为平面内一定点，点为与中垂线的交点，则从下面3个条件任选一个，将其所选序号和对应点的轨迹填入横线处 ．
①点在圆外；②点在圆内（除圆心外）；③点与圆心重合．
14．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为 ．
四、解答题
15．已知圆，直线.
(1)求证：直线恒过定点；
(2)直线被圆截得的弦何时最长？何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长.
16．已知直线与抛物线交于两点，.
(1)求；
(2)设抛物线的焦点为，过点且与垂直的直线与抛物线交于，求四边形的面积.
17．已知是圆的两条互相垂直的直径，若将圆绕沿顺时针方向旋转一周后得到球，点（异于点）是圆旋转过程中点所形成的轨迹上的一点．

(1)证明：；
(2)若，求二面角的正弦值．
18．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：，，分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴、y轴、z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作.
(1)若，，求的斜60°坐标；
(2)在平行六面体中，，，，如图，，，分别为与，，同方向的单位向量，以为基底建立“空间斜60°坐标系”.
①若，求向量的斜60°坐标；
②若，且，求.
19．已知是椭圆的右焦点，过作直线交椭圆于两点，其中在轴上方.当轴时，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设，
（i）求证：；
（ii）设点在椭圆上，点是的外接圆与椭圆的另一个交点（异于），若平分，且，求的值.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D B C B B A AC AD
题号 11
答案 BCD
1．C
根据，两点可求出线段的中点坐标及斜率，然后利用两直线垂直，从而求解.
【详解】由点，，可得线段的中点，
所以得：线段的斜率为，
所以得：线段垂直平分线的斜率为，解之得：.
故选：C.
2．B
根据椭圆的性质求出两个椭圆的a、b、c即可判断求解．
【详解】曲线表示焦点在x轴上的椭圆，
其中，
所以长轴长为，短轴长，焦距为，离心率，
因为，所以，
曲线表示焦点在x轴上的椭圆，
其中，，，
所以长轴长为，短轴长，焦距为，离心率
故长轴长不相等，焦距相等，离心率不相等，短轴长不相等，故ABD错，B对；
故选：B
3．D
讨论截距是否为0，设直线方程，结合点在直线上求参数，即可得.
【详解】当直线经过原点时，满足题意，设直线的方程为，代入得，
此时直线的方程；
当直线的截距都不为0时，设直线的方程为，
则有，解得，，此时直线的方程为.
综上，所求直线的方程为或.
故选：D.
4．B
利用两点连线斜率公式可表示出，根据在椭圆上，将两方程作差即可整理得到结果.
【详解】
直线过原点，可设，则，；
，，
，.
故选：B.
5．C
根据已知条件分析得到点与满足抛物线定义，确定与在抛物线上，且线段是抛物线的焦点弦，求出焦点弦的最小值通径即可求解.
【详解】根据题意点与满足：到定点的距离等于到直线的距离，
所以与在抛物线上，，线段是抛物线的焦点弦，
又抛物线的焦点弦最小值为抛物线的通径，所以的最小值为.
故选：C．
6．B
由图及空间向量加法可得，后由题意及模长公式可得答案.
【详解】设，因为六面体是平行六面体，
所以，因为，
代入计算可得：
，
故有：，所以，
所以，因为，所以.
故选：B
7．B
设圆的方程为：，结合条件列出方程组，求出半径即可求解.
【详解】设圆的方程为：，
所以，解得：，
所以圆的面积为；
故选：B
8．A
根据给定条件，利用切线长定理，结合双曲线的对称性可得，再建立不等关系求出离心率的范围.
【详解】设该内切圆在、上的切点分别为、，
由切线长定理可得，，，
又，，则，
即，解得，
由，即，得，所以．
故选：A.
9．AC
【详解】对于A，可知，即A正确；
对于B，显然时，恒成立，此时不唯一或者不存在，故B错误；
对于C，向量在向量上的投影向量，故C正确；
对于D，易知点关于平面对称的点的坐标是，故D错误.
故选：AC
10．AD
【详解】对A,点，代入直线方程得，故点在直线上．故A正确；
对B，圆心到直线的距离为（为圆的半径），故直线与圆相离，因此点不可能在圆上．故B错误；
对C，因为，所以圆上只有1个点与点的距离为1．故C错误；
对D,构造以线段为直径的圆，则线段为圆和圆的公共弦．
圆的直径式方程为，
整理得 ①．
圆方程化为一般式为，与①作差变形得的方程为．整理得，令解得即直线经过点．故D正确
故选：AD
11．BCD
求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.
【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；
，所以直线的方程为，
联立，可得，解得，故B正确；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为，，
联立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正确；
因为，，
所以，而，故D正确.
故选：BCD
12．
根据给定的定义，利用平行线间距离公式求解即得.
【详解】直线的方程化为：，显然，
所以.
故答案为：
13．①双曲线（或②椭圆或③圆）
先把圆化简得出标准方程，由①应用双曲线的定义判断可得轨迹；由②应用椭圆及圆的定义判断可得轨迹；
【详解】由题可得圆．
如图①，当点在圆外时，连接，则，有，
此时点的轨迹是以点为两焦点，实轴长为4的双曲线；
如图②，当点在圆内（除圆心外），连接，则，有，
此时点的轨迹是以两点为焦点，长轴长为4的椭圆；
当点与圆心重合，此时点为中点，
所以此时点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆．

故答案为：①双曲线.
14．2.
通过向量关系得到和，得到，结合双曲线的渐近线可得从而由可求离心率.
【详解】如图，

由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有，
又OA与OB都是渐近线，得又，得．又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为．
15．(1)证明见解析
(2)当过圆心时弦长最长；当的方程为时最短；；最短弦长为
【详解】（1）直线的方程可化为
联立，解得
故直线恒过定点
（2）当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长
设，当直线时，直线被圆截得的弦长最短
则直线的斜率为
由得直线的斜率为，解得
此时的方程为，即
圆心到直线的距离为
∴最短弦长
故当过圆心时弦长最长；当的方程为时最短；；最短弦长为
16．(1)2
(2)32
（1）联立和抛物线方程，可得根与系数关系式，利用弦长公式即可求得答案；
（2）求出直线的方程，联立抛物线方程可得根与系数关系式，求出，根据四边形面积的计算可得答案.
【详解】（1）设，
由，可得，
易得，所以，
则，
即，因为，所以.
（2）由题意可得抛物线的焦点为，直线的方程为.
联立，化简可得，则，

设，则，
则，
因为，所以.
17．(1)证明见解析
(2)
（1）利用和证得平面，最后利用线面垂直性质即可得证.
（2）建立空间直角坐标系，结合即可得到相关点的坐标，最后算出平面和平面的法向量，再利用公式即可得到二面角的正弦值.
【详解】（1）（1）如图，连接，

由题意易得为的中点，，所以，
又因为平面，所以平面，
因为平面，所以．
（2）以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，过点作平面，建立如图所示的空间直角坐标系，

由已知可得，因为，所以是等边三角形，
则，
所以．
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，所以平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，则，
所以，故二面角的正弦值为．
18．(1)
(2)①；②2
（1）通过“空间斜60°坐标系”的定义，化简为，，再计算的斜60°坐标.
（2）设分别为与同方向的单位向量，则，，，①中，通过平行六面体得到，从而得到求向量的斜坐标；②中，通过平行六面体得到，由，得到，并结合题目中的，从而计算出值，并得到的值.
【详解】（1），
的斜坐标为．
（2）设分别为与同方向的单位向量，
则，，
①
；
②由题，
由，知，
由，
，
，解得，
则．
19．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）.
（1）根据即可求解椭圆标准方程；
（2）（i）设与的斜率分别为，将问题转化为证明即可；
（ii）设满足，化简可得：，因为直线和直线的交点为，则点都在以为直径的圆上，因为都在以为直径的圆上，故，所以是的角平分线，则，利用三角形面积公式化简即可求解.
【详解】（1）由题知，，又，解得.
故椭圆的方程为.
（2）（i）记，由题意知.
设直线的方程为，代入椭圆得：.
则有，①
设与的斜率分别为，则
所以.
（ii）设满足，则
②
将代入②，并化简得
，③
将（2）中①代入③得：，
即.
又因为直线和直线的交点为.
故满足的点都在以为直径的圆上.
因为都在以为直径的圆上，
故，所以是的角平分线.
则，
所以，
即.
所以，解得，
所以.