河北省衡水市武强中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题
1．（2025高二上·武强期中）直线的倾斜角为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】解：易知直线的斜率为，
设倾斜角为，，因为，所以，
又因为，所以.
故答案为：A.
【分析】易知直线的斜率，再根据斜率和倾斜角的关系求解即可.
2．（2025高二上·武强期中）设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：因为方程表示焦点在轴上的双曲线，
由题意，可得，
解得.
故答案为：B．
【分析】根据方程表示焦点在轴上的双曲线，从而列式计算得出实数m的取值范围.
3．（2025高二上·武强期中）如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】根据空间向量基本定理，从而用表示.
4．（2025高二上·武强期中）正方体的棱长为1，若点为的中点，，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：以为原点，分别以，，所在直线分别为x，y，z轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，
由，得，
由点为的中点，得，
则，，
所以，
则与所成角的余弦值为．
故答案为：A.
【分析】以为原点建立空间直角坐标系，再利用向量共线的坐标表示和数量积求向量夹角公式，从而得出与所成角的余弦值.
5．（2025高二上·武强期中）若圆上到直线距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由圆，得圆心为，半径为，
则圆心到直线的距离为，
因为圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个，
所以，
解得，
则r的取值范围是．
故答案为：B．
【分析】先确定圆心到直线的距离，再由题意得到，从而解绝对值表达式得出实数r的取值范围．
6．（2025高二上·武强期中）如图，在三棱台中，若平面，，，，为中点，则平面与平面的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：因为平面，且平面，
所以
又因为，
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，且为中点，
可得，
则，
设平面的法向量为，
则，
取，可得，所以，
由平面的一个法向量为，
设平面与平面所成的角为，
则.
故答案为：B.
【分析】根据题意，以为原点，建立空间直角坐标系，利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而分别求出平面和平面的法向量，再结合数量积求向量夹角公式，从而得出平面与平面的余弦值.
7．（2025高二上·武强期中）如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．-1
【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：依题意，表示点与定点确定直线的斜率，
令，得直线：，
观察图形知，当与半圆相切于第一象限时，最小，此时，
因此，解得，
所以的最小值为.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和目标式的几何意义，再结合直线与圆的位置关系求出的最小值.
8．（2025高二上·武强期中）已知椭圆和双曲线有相同的焦点是它们的一个公共点，且，若的离心率为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：如图：设椭圆：，双曲线：，
因为它们有相同的焦点，
所以.
不妨设点在第一象限，且，，
因为点在椭圆上，
所以.
又因为，
所以，
又因为在双曲线上，
所以.
则.
所以，双曲线的离心率为：.
故答案为：A.
【分析】根据椭圆的定义和双曲线的定义，再结合余弦定理和椭圆的离心率的计算公式、双曲线的离心率公式，从而得出双曲线的离心率.
9．（2025高二上·武强期中）下列说法正确的有（ ）
A．直线的倾斜角为
B．点在同一条直线上
C．直线关于点对称的直线方程是
D．经过任意两个不同点的直线都可用方程表示
【答案】B,C,D
【知识点】直线的倾斜角；三点共线；直线的两点式方程；与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】解：对于A，直线的斜率，
结合倾斜角的取值范围，知直线倾斜角为，故A错误；
对于B，因为，，
显然所在直线的斜率相同且有共同点，则三点共线，故B正确；
对于C，设直线上点，其关于点的对称点为，
所以，则，
所以，则，
所以直线关于点对称的直线方程是，故C正确；
对于D，因为方程为直线两点式方程的变形，
可以表示经过任意两不同点，的直线，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】先求直线的斜率，从而可得直线的倾斜角，则判断出选项A；利用两点求斜率公式，则可判断选项B；求出直线上的点关于点的对称点，从而确定对称点的横坐标和纵坐标的关系式，则判断出选项C；根据两点式方程的变形判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．（2025高二上·武强期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，则（ ）
A．
B．
C．异面直线与夹角的余弦值为
D．点到平面的距离为
【答案】A,C,D
【知识点】向量的模；异面直线所成的角；空间向量基本定理；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：因为平面平面，
所以，
在正方形中，有，
所以两两互相垂直，
以A为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
又因为，，所以为的中点，
则.
对于A，因为，故A正确；
对于B，因为，故B错误；
对于C，因为，
则直线与夹角的余弦值为，故C正确；
对于D，因为平面，所以，点到平面的距离为，
则点到平面的距离为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据已知条件构建合适的空间直角坐标系，再利用向量模长的坐标表示、线线角、点面距离的定义，则判断出选项B、选项C和选项D；由空间向量加减、数乘的几何意义，则用相关向量表示出，则判断出选项A，从而找出正确的选项.
11．（2025高二上·武强期中）已知，，是满足的动点的轨迹，是以，为焦点的椭圆，下列说法正确的是（ ）
A．与轴有2个公共点
B．若，有2个公共点在轴上，则的方程为
C．若为，的公共点，且，则的长轴长为
D．点到原点距离的最大值为
【答案】B,C,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：对于A，设，
由，得，
令，得，曲线与轴只有1个公共点，故A错误；
对于B，在中，令，得或，
设曲线的方程为，
则，，
所以曲线的方程为，故B正确；
对于C，若为，的公共点，且，
则，，
所以，故C正确；
对于D，由，
得，
所以，解得，
设，由，
得，
当，时取等号，
所以最大值为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】设，先由得代数式，令求解判断出选项A；令结合题中条件可求出曲线的方程，则判断出选项B；由题意结合勾股定理、和椭圆定义，从而求解判断出选项C；设，由的代数式转化得到，再结合的取值范围，则可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
12．（2025高二上·武强期中）若，则称为在基底下的坐标，若一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为 ．
【答案】
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：由已知条件可知，，
设向量在基底下的坐标为，
所以，
所以，得，，，
所以向量在基底下的坐标为.
故答案为：.
【分析】先根据坐标写成基底表示的形式，再利用空间向量基本定理结合待定系数法，从而列式求解得出向量在基底下的坐标.
13．（2025高二上·武强期中）已知，分别是椭圆的左 右焦点，点在椭圆上运动，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的定义
【解析】【解答】解：因为是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动，
由椭圆定义，可得.
所以
当且仅当时，等号成立，
则的最小值为.
故答案为：.
【分析】由椭圆定义得出，再结合“1”的转化法和基本表达式求最值的方法，从而得出的最小值.
14．（2025高二上·武强期中）已知是圆上的动点，点满足，记点的轨迹为，若圆与轨迹的公共弦所在直线的方程为，则 ．
【答案】
【知识点】相交弦所在直线的方程；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：设，
则.
所以，
则，
因为是圆上的动点，
所以.
则轨迹C的方程为.
所以圆与轨迹的公共弦所在直线的方程为，
化简得.
由题意，知，解得，
则.
故答案为：.
【分析】利用相关点法得出圆的轨迹方程，从而得到两圆的公共弦所在直线的方程，对照已知条件中公共弦所在直线方程，从而分别求出的值，进而得到的值.
15．（2025高二上·武强期中）在中，，直线AB的斜率为2，直线BC的方程为．
（1）求直线AB的方程；
（2）若，①求的高CD所在直线的方程；②求顶点C的坐标．
【答案】（1）解：由已知条件，得直线AB的方程为：，
则，
所以，直线AB的方程为．
（2）解：①解方程组，
解得，故．
因为，
由中点坐标公式得，
又因为高线CD的斜率为，
所以CD所在直线的方程为，即，
所以CD所在直线的方程为．
②由，
解得
则顶点C的坐标为．
【知识点】直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系；两条直线的交点坐标
【解析】【分析】（1）利用点斜式方程和转化法，从而得出直线AB的方程.
（2）①联立直线AB的方程与直线BC的方程得出点B的坐标，由可知点为的中点，从而求出点D的坐标，再求出高线CD的斜率，则利用点斜式方程得出的高CD所在直线的方程.
②联立直线BC的方程与直线CD的方程得出点C的坐标.
（1）由已知得直线AB的方程为：，即．
故直线AB的方程为．
（2）①解方程组，解得，故．
又，由中点坐标公式得，又高线CD的斜率为，
故CD所在直线的方程为，即，
所以CD所在直线的方程为．
②由，解得
故顶点C的坐标为．
16．（2025高二上·武强期中）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点．
（1）求双曲线的方程；
（2）若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：.
【答案】（1）解：因为双曲线与双曲线的渐近线相同，
则可设：，又双曲线过，
所以，
则，
所以，
则双曲线的方程为.
（2）证明：设，因为，
所以左焦点，
则直线，
所以，
则，
所以，
则，
所以.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意，可设双曲线：，再代入点得到双曲线的标准方程.
（2）设，联立直线方程和双曲线方程，再利用韦达定理可得，再通过两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而证出.
（1）因为双曲线与双曲线的渐近线相同，
所以可设：，又双曲线过，
所以，则，即，
所以双曲线的方程为.
（2）证明：设，
又，所以左焦点，则，
，
，
，
则，
所以.
17．（2025高二上·武强期中）已知椭圆的离心率为，短轴长为．
（1）求的方程；
（2）过点的直线与交于两点，为坐标原点，，若，求．
【答案】（1）解：因为短轴长为，
所以，
又因为离心率为，
由且，
则，
所以椭圆方程为：．
（2）解：如图，由题意，直线的斜率存在，
则设直线，即，令，
由可得．
则，
所以，且，
则，
又因为点到直线距离，点到直线距离，
则
，
所以，
则，
解得，
则．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由已知条件结合短轴长的公式、椭圆的离心率公式和椭圆中a，b，c三者的关系式，从而列方程组求出，c的值，进而得出椭圆C的标准方程.
（2）设直线，由和三角形的面积公式，从而求出的值，再根据弦长公式得出的值.
（1）因为短轴长为，故．
又离心率为，由且，
故，
故椭圆方程为：．
（2）如图，由题设直线的斜率存在，故设直线，
即，令，
由可得．
故，即，
且，
则．
又点到直线距离，点到直线距离，
故
，
故，
即，解得，
故．
18．（2025高二上·武强期中）在四棱锥中，，，且PD，AD，BD两两垂直，．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：连接与交于点E，连接，
因为，，
所以，
又因为，
所以，
则，
因为平面，平面，
所以平面．
（2）解：由PD，AD，BD两两垂直，
以DA，DB，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，
因为，，
所以，
则．
由已知条件，得，
则，．
由已知条件，得，
设平面BDM的一个法向量为，
则，，
所以，
取，则，，
所以，
设点C到平面MBD的距离为h，
则．
（3）解：由（2）得，．
设平面PBC的法向量为，
则，，
故，
取，则，，
可得
则，
所以平面PBC与平面MBD夹角的余弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理结合已知条件，从而证出平面.
（2）先建系，再利用点到面的距离的空间向量方法，从而得出点到平面的距离.
（3）利用（2）结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面PBC的法向量，再利用数量积求向量夹角公式，从而得出平面与平面夹角的余弦值．
（1）连接与交于点E，连接．
因为，，所以．
又，故，所以．
又平面，平面，所以平面．
（2）由已知PD，AD，BD两两垂直，以DA，DB，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则，，又，，
所以，故．
由已知得，
故，．
由已知得．
设平面BDM的一个法向量为，则，，
即，取，则，，故．
设点C到平面MBD的距离为h，则．
（3）由（2）得，．
设平面PBC的法向量为，则，，
故，取，则，，
可得
故，
所以平面PBC与平面MBD夹角的余弦值为．
19．（2025高二上·武强期中）设，，，圆Q过A，B，D三个点.
（1）求圆Q的方程；
（2）设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围；
（3）设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点.
【答案】（1）解：由题意，可得圆心Q为线段的垂直平分线和线段垂直平分线的交点，
，直线的中点为，
所以线段的垂直平分线的方程为，
即
因为线段的垂直平分线的方程为，
联立方程组，
解得，
所以圆心为，半径为，
则圆的方程为.
（2）解：设，因为，
所以，
化简得，
所以，
则点在以为圆心，为半径的圆上，
依题意，该圆与圆有两个交点，则两圆相交，
又因为，
所以，
解得.
（3）证明：设直线的方程为，
由，
得，
所以，
则
所以，
则直线方程为，
令，解得，
则直线过定点．
【知识点】圆的标准方程；轨迹方程；圆与圆的位置关系及其判定；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）利用圆过三个点得出线段、线段的垂直平分线方程，再联立两直线方程求出交点坐标，即为圆心，再求出圆的半径，从而得到圆的标准方程.
（2）设，根据得到，则可得点在以为圆心，为半径的圆上，依题意可知圆与圆相交，再由圆心距与半径和差的关系得到不等式组，解不等式组得出实数的取值范围.
（3）设直线的方程为，联立直线方程与圆的方程，从而消元列出韦达定理，再由直线的斜率公式求出，从而证出直线l恒过定点.
（1）由题意可得，圆心Q为线段的垂直平分线和线段垂直平分线的交点，
，直线的中点为，
所以线段的垂直平分线的方程为，即
又线段的垂直平分线的方程为，
联立方程组，解得，所以圆心为，半径为，
所以圆的方程为.
（2）设，因为，
所以，
化简得，所以．
则点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该圆与圆有两个交点，即两圆相交.
又，
则，解得.
（3）设直线的方程为，
由得，，
所以，
所以，
所以，所以直线方程为，令，解得，即直线过定点．
1 / 1河北省衡水市武强中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题
1．（2025高二上·武强期中）直线的倾斜角为（ ）．
A． B． C． D．
2．（2025高二上·武强期中）设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高二上·武强期中）如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025高二上·武强期中）正方体的棱长为1，若点为的中点，，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高二上·武强期中）若圆上到直线距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高二上·武强期中）如图，在三棱台中，若平面，，，，为中点，则平面与平面的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高二上·武强期中）如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．-1
8．（2025高二上·武强期中）已知椭圆和双曲线有相同的焦点是它们的一个公共点，且，若的离心率为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高二上·武强期中）下列说法正确的有（ ）
A．直线的倾斜角为
B．点在同一条直线上
C．直线关于点对称的直线方程是
D．经过任意两个不同点的直线都可用方程表示
10．（2025高二上·武强期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，则（ ）
A．
B．
C．异面直线与夹角的余弦值为
D．点到平面的距离为
11．（2025高二上·武强期中）已知，，是满足的动点的轨迹，是以，为焦点的椭圆，下列说法正确的是（ ）
A．与轴有2个公共点
B．若，有2个公共点在轴上，则的方程为
C．若为，的公共点，且，则的长轴长为
D．点到原点距离的最大值为
12．（2025高二上·武强期中）若，则称为在基底下的坐标，若一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为 ．
13．（2025高二上·武强期中）已知，分别是椭圆的左 右焦点，点在椭圆上运动，则的最小值为 .
14．（2025高二上·武强期中）已知是圆上的动点，点满足，记点的轨迹为，若圆与轨迹的公共弦所在直线的方程为，则 ．
15．（2025高二上·武强期中）在中，，直线AB的斜率为2，直线BC的方程为．
（1）求直线AB的方程；
（2）若，①求的高CD所在直线的方程；②求顶点C的坐标．
16．（2025高二上·武强期中）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点．
（1）求双曲线的方程；
（2）若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：.
17．（2025高二上·武强期中）已知椭圆的离心率为，短轴长为．
（1）求的方程；
（2）过点的直线与交于两点，为坐标原点，，若，求．
18．（2025高二上·武强期中）在四棱锥中，，，且PD，AD，BD两两垂直，．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）求平面与平面夹角的余弦值．
19．（2025高二上·武强期中）设，，，圆Q过A，B，D三个点.
（1）求圆Q的方程；
（2）设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围；
（3）设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】解：易知直线的斜率为，
设倾斜角为，，因为，所以，
又因为，所以.
故答案为：A.
【分析】易知直线的斜率，再根据斜率和倾斜角的关系求解即可.
2．【答案】B
【知识点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：因为方程表示焦点在轴上的双曲线，
由题意，可得，
解得.
故答案为：B．
【分析】根据方程表示焦点在轴上的双曲线，从而列式计算得出实数m的取值范围.
3．【答案】A
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】根据空间向量基本定理，从而用表示.
4．【答案】A
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：以为原点，分别以，，所在直线分别为x，y，z轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，
由，得，
由点为的中点，得，
则，，
所以，
则与所成角的余弦值为．
故答案为：A.
【分析】以为原点建立空间直角坐标系，再利用向量共线的坐标表示和数量积求向量夹角公式，从而得出与所成角的余弦值.
5．【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由圆，得圆心为，半径为，
则圆心到直线的距离为，
因为圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个，
所以，
解得，
则r的取值范围是．
故答案为：B．
【分析】先确定圆心到直线的距离，再由题意得到，从而解绝对值表达式得出实数r的取值范围．
6．【答案】B
【知识点】用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：因为平面，且平面，
所以
又因为，
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，且为中点，
可得，
则，
设平面的法向量为，
则，
取，可得，所以，
由平面的一个法向量为，
设平面与平面所成的角为，
则.
故答案为：B.
【分析】根据题意，以为原点，建立空间直角坐标系，利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而分别求出平面和平面的法向量，再结合数量积求向量夹角公式，从而得出平面与平面的余弦值.
7．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：依题意，表示点与定点确定直线的斜率，
令，得直线：，
观察图形知，当与半圆相切于第一象限时，最小，此时，
因此，解得，
所以的最小值为.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和目标式的几何意义，再结合直线与圆的位置关系求出的最小值.
8．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：如图：设椭圆：，双曲线：，
因为它们有相同的焦点，
所以.
不妨设点在第一象限，且，，
因为点在椭圆上，
所以.
又因为，
所以，
又因为在双曲线上，
所以.
则.
所以，双曲线的离心率为：.
故答案为：A.
【分析】根据椭圆的定义和双曲线的定义，再结合余弦定理和椭圆的离心率的计算公式、双曲线的离心率公式，从而得出双曲线的离心率.
9．【答案】B,C,D
【知识点】直线的倾斜角；三点共线；直线的两点式方程；与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】解：对于A，直线的斜率，
结合倾斜角的取值范围，知直线倾斜角为，故A错误；
对于B，因为，，
显然所在直线的斜率相同且有共同点，则三点共线，故B正确；
对于C，设直线上点，其关于点的对称点为，
所以，则，
所以，则，
所以直线关于点对称的直线方程是，故C正确；
对于D，因为方程为直线两点式方程的变形，
可以表示经过任意两不同点，的直线，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】先求直线的斜率，从而可得直线的倾斜角，则判断出选项A；利用两点求斜率公式，则可判断选项B；求出直线上的点关于点的对称点，从而确定对称点的横坐标和纵坐标的关系式，则判断出选项C；根据两点式方程的变形判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】A,C,D
【知识点】向量的模；异面直线所成的角；空间向量基本定理；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：因为平面平面，
所以，
在正方形中，有，
所以两两互相垂直，
以A为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
又因为，，所以为的中点，
则.
对于A，因为，故A正确；
对于B，因为，故B错误；
对于C，因为，
则直线与夹角的余弦值为，故C正确；
对于D，因为平面，所以，点到平面的距离为，
则点到平面的距离为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据已知条件构建合适的空间直角坐标系，再利用向量模长的坐标表示、线线角、点面距离的定义，则判断出选项B、选项C和选项D；由空间向量加减、数乘的几何意义，则用相关向量表示出，则判断出选项A，从而找出正确的选项.
11．【答案】B,C,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：对于A，设，
由，得，
令，得，曲线与轴只有1个公共点，故A错误；
对于B，在中，令，得或，
设曲线的方程为，
则，，
所以曲线的方程为，故B正确；
对于C，若为，的公共点，且，
则，，
所以，故C正确；
对于D，由，
得，
所以，解得，
设，由，
得，
当，时取等号，
所以最大值为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】设，先由得代数式，令求解判断出选项A；令结合题中条件可求出曲线的方程，则判断出选项B；由题意结合勾股定理、和椭圆定义，从而求解判断出选项C；设，由的代数式转化得到，再结合的取值范围，则可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：由已知条件可知，，
设向量在基底下的坐标为，
所以，
所以，得，，，
所以向量在基底下的坐标为.
故答案为：.
【分析】先根据坐标写成基底表示的形式，再利用空间向量基本定理结合待定系数法，从而列式求解得出向量在基底下的坐标.
13．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的定义
【解析】【解答】解：因为是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动，
由椭圆定义，可得.
所以
当且仅当时，等号成立，
则的最小值为.
故答案为：.
【分析】由椭圆定义得出，再结合“1”的转化法和基本表达式求最值的方法，从而得出的最小值.
14．【答案】
【知识点】相交弦所在直线的方程；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：设，
则.
所以，
则，
因为是圆上的动点，
所以.
则轨迹C的方程为.
所以圆与轨迹的公共弦所在直线的方程为，
化简得.
由题意，知，解得，
则.
故答案为：.
【分析】利用相关点法得出圆的轨迹方程，从而得到两圆的公共弦所在直线的方程，对照已知条件中公共弦所在直线方程，从而分别求出的值，进而得到的值.
15．【答案】（1）解：由已知条件，得直线AB的方程为：，
则，
所以，直线AB的方程为．
（2）解：①解方程组，
解得，故．
因为，
由中点坐标公式得，
又因为高线CD的斜率为，
所以CD所在直线的方程为，即，
所以CD所在直线的方程为．
②由，
解得
则顶点C的坐标为．
【知识点】直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系；两条直线的交点坐标
【解析】【分析】（1）利用点斜式方程和转化法，从而得出直线AB的方程.
（2）①联立直线AB的方程与直线BC的方程得出点B的坐标，由可知点为的中点，从而求出点D的坐标，再求出高线CD的斜率，则利用点斜式方程得出的高CD所在直线的方程.
②联立直线BC的方程与直线CD的方程得出点C的坐标.
（1）由已知得直线AB的方程为：，即．
故直线AB的方程为．
（2）①解方程组，解得，故．
又，由中点坐标公式得，又高线CD的斜率为，
故CD所在直线的方程为，即，
所以CD所在直线的方程为．
②由，解得
故顶点C的坐标为．
16．【答案】（1）解：因为双曲线与双曲线的渐近线相同，
则可设：，又双曲线过，
所以，
则，
所以，
则双曲线的方程为.
（2）证明：设，因为，
所以左焦点，
则直线，
所以，
则，
所以，
则，
所以.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意，可设双曲线：，再代入点得到双曲线的标准方程.
（2）设，联立直线方程和双曲线方程，再利用韦达定理可得，再通过两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而证出.
（1）因为双曲线与双曲线的渐近线相同，
所以可设：，又双曲线过，
所以，则，即，
所以双曲线的方程为.
（2）证明：设，
又，所以左焦点，则，
，
，
，
则，
所以.
17．【答案】（1）解：因为短轴长为，
所以，
又因为离心率为，
由且，
则，
所以椭圆方程为：．
（2）解：如图，由题意，直线的斜率存在，
则设直线，即，令，
由可得．
则，
所以，且，
则，
又因为点到直线距离，点到直线距离，
则
，
所以，
则，
解得，
则．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由已知条件结合短轴长的公式、椭圆的离心率公式和椭圆中a，b，c三者的关系式，从而列方程组求出，c的值，进而得出椭圆C的标准方程.
（2）设直线，由和三角形的面积公式，从而求出的值，再根据弦长公式得出的值.
（1）因为短轴长为，故．
又离心率为，由且，
故，
故椭圆方程为：．
（2）如图，由题设直线的斜率存在，故设直线，
即，令，
由可得．
故，即，
且，
则．
又点到直线距离，点到直线距离，
故
，
故，
即，解得，
故．
18．【答案】（1）证明：连接与交于点E，连接，
因为，，
所以，
又因为，
所以，
则，
因为平面，平面，
所以平面．
（2）解：由PD，AD，BD两两垂直，
以DA，DB，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，
因为，，
所以，
则．
由已知条件，得，
则，．
由已知条件，得，
设平面BDM的一个法向量为，
则，，
所以，
取，则，，
所以，
设点C到平面MBD的距离为h，
则．
（3）解：由（2）得，．
设平面PBC的法向量为，
则，，
故，
取，则，，
可得
则，
所以平面PBC与平面MBD夹角的余弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理结合已知条件，从而证出平面.
（2）先建系，再利用点到面的距离的空间向量方法，从而得出点到平面的距离.
（3）利用（2）结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面PBC的法向量，再利用数量积求向量夹角公式，从而得出平面与平面夹角的余弦值．
（1）连接与交于点E，连接．
因为，，所以．
又，故，所以．
又平面，平面，所以平面．
（2）由已知PD，AD，BD两两垂直，以DA，DB，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则，，又，，
所以，故．
由已知得，
故，．
由已知得．
设平面BDM的一个法向量为，则，，
即，取，则，，故．
设点C到平面MBD的距离为h，则．
（3）由（2）得，．
设平面PBC的法向量为，则，，
故，取，则，，
可得
故，
所以平面PBC与平面MBD夹角的余弦值为．
19．【答案】（1）解：由题意，可得圆心Q为线段的垂直平分线和线段垂直平分线的交点，
，直线的中点为，
所以线段的垂直平分线的方程为，
即
因为线段的垂直平分线的方程为，
联立方程组，
解得，
所以圆心为，半径为，
则圆的方程为.
（2）解：设，因为，
所以，
化简得，
所以，
则点在以为圆心，为半径的圆上，
依题意，该圆与圆有两个交点，则两圆相交，
又因为，
所以，
解得.
（3）证明：设直线的方程为，
由，
得，
所以，
则
所以，
则直线方程为，
令，解得，
则直线过定点．
【知识点】圆的标准方程；轨迹方程；圆与圆的位置关系及其判定；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）利用圆过三个点得出线段、线段的垂直平分线方程，再联立两直线方程求出交点坐标，即为圆心，再求出圆的半径，从而得到圆的标准方程.
（2）设，根据得到，则可得点在以为圆心，为半径的圆上，依题意可知圆与圆相交，再由圆心距与半径和差的关系得到不等式组，解不等式组得出实数的取值范围.
（3）设直线的方程为，联立直线方程与圆的方程，从而消元列出韦达定理，再由直线的斜率公式求出，从而证出直线l恒过定点.
（1）由题意可得，圆心Q为线段的垂直平分线和线段垂直平分线的交点，
，直线的中点为，
所以线段的垂直平分线的方程为，即
又线段的垂直平分线的方程为，
联立方程组，解得，所以圆心为，半径为，
所以圆的方程为.
（2）设，因为，
所以，
化简得，所以．
则点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该圆与圆有两个交点，即两圆相交.
又，
则，解得.
（3）设直线的方程为，
由得，，
所以，
所以，
所以，所以直线方程为，令，解得，即直线过定点．
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