四川省雅安市名山区第三中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题
1．（2025高二上·名山期中）我校学生会招纳学生会干部，甲、乙两名同学分别从“纪检部”、“卫生部” 、“宣传部”三个部门中选取一个部门加入，则这两名同学加入同一个部门的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高二上·名山期中）在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是5或6”，事件C表示“向上的点数小于5”，则下列说法正确的是（ ）
A．A与B是对立事件 B．B与C是对立事件
C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件
3．（2025高二上·名山期中）已知向量，若与共线，则的值为（ ）
A．5 B．4 C． D．
4．（2025高二上·名山期中）已知点是空间直角坐标系中的一点，下列点的坐标与点M关于平面对称的点是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高二上·名山期中）已知的三个顶点分别为，则的面积是（ ）
A．5 B．10 C． D．20
6．（2025高二上·名山期中）在四棱锥中，底面是正方形，为中点，若，用表示，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025高二上·名山期中）如果直线与直线平行，则（ ）
A．0 B． C．0或1 D．0或
8．（2025高二上·名山期中）设点，，若点在线段上（含端点），则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
9．（2025高二上·名山期中）已知事件，且，则下列结论正确的是（ ）
A．如果，那么
B．如果与互斥，那么
C．如果与相互独立，那么
D．如果与相互独立，那么
10．（2025高二上·名山期中）关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面
B．已知两个向量，，且，则
C．若，且，，则
D．，，则在上的投影向量为
11．（2025高二上·名山期中）下列说法正确的有（ ）
A．直线的倾斜角为
B．点在同一条直线上
C．直线关于点对称的直线方程是
D．经过任意两个不同点的直线都可用方程表示
12．（2025高二上·名山期中）在如图所示的电路图中，开关，，正常工作的概率分别为，，，且是相互独立的，则灯亮的概率是
13．（2025高二上·名山期中）设直线则直线恒过定点 ；若过原点作直线的垂线，垂足为，则最大值为 .
14．（2025高二上·名山期中）直线关于直线对称的直线的方程是 .
15．（2025高二上·名山期中）如图所示，已知三角形的三个顶点为，求：
（1）边上的中线所在直线的方程；
（2）边上的高所在直线的方程；
（3）设分别是线段的中点，求直线所在直线的方程.
（注意：最后结果统一用一般式表示）
16．（2025高二上·名山期中）已知向量，，．
（1）当时，若向量与垂直，求实数和的值；
（2）若向量与向量，共面，求实数的值．
17．（2025高二上·名山期中）某高校承办了2025怒江傈僳“阔时”文化节志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.
（1）求的值；
（2）估计这100名候选者面试成绩的众数和分位数（分位数精确到0.1）；
（3）在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.
18．（2025高二上·名山期中）分别根据下列条件，求圆的方程：
（1）过点，，且圆心在直线上；
（2）过、、三点．
19．（2025高二上·名山期中）如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中，，．
（1）取线段PA中点M，连接BM，证明：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）线段PC上是否存在点E，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：甲同学从“纪检部”、“卫生部” 、“宣传部”三个部门中选取一个部门加入，有3中选法，同理乙同学 也有3中选法，则甲、乙选取一个部门加入的基本事件总数为，
其中两名同学加入同一个社团包含的基本事件个数，
则这两名同学加入同一个社团的概率是
故答案为：B.
【分析】由题意，先求甲、乙两名同学从三个部门中选取一个部门加入的基本事件总数，再求出这两名同学加入同一个社团包含的基本事件个数，利用古典概型概率公式求解即可．
2．【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：事件，事件，事件，
A、当向上的点数为3时，事件A与B同时不发生，故A错误；
B、事件B与C不能同时发生，且事件B与C必有一个发生，故B正确；
C、当向上的点数是2或4时，事件A与事件C同时发生，故C错误；
D、当向上的点数是6时，事件A与事件B能同时发生，故D错误.
故答案为：B．
【分析】由题意，先求事件A，B，C，再利用互斥事件和对立事件的概念逐项判断即可.
3．【答案】C
【知识点】空间向量平行的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，
若与共线， 则存在实数使得，即，
即，解得.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据空间向量共线的坐标列式计算即可.
4．【答案】D
【知识点】空间中的点的坐标
【解析】【解答】解：设点M关于平面对称的点为，则的中点为，
即，解得，故.
故答案为：D.
【分析】设点M关于平面对称的点为，利用空间中点坐标公式列式求解即可.
5．【答案】B
【知识点】斜率的计算公式；用斜率判定两直线垂直；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：点，
易知直线的斜率，直线的斜率，
因为，所以，则是直角三角形，
又因为，
所以的面积.
故答案为：B.
【分析】利用斜率公式求得直线的斜率，利用斜率判断直线，再利用两点距离公式分别求出，代入的面积公式求解即可.
6．【答案】B
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：连接BD，
E为PD的中点，
所以
．
故答案为：B．
【分析】根据已知条件和中点的性质，再利用空间向量的加法、减法和数乘运算，从而用表示出.
7．【答案】D
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：因为直线与直线平行，
所以，
解得或，
当时，直线与直线平行，符合题意；
当时，直线与直线平行，符合题意，
综上可得，或.
故答案为：D.
【分析】根据一般式方程中两直线平行的条件，即两直线斜率相等、纵截距不相等，从而得到参数a的值，再代入检验结合已知条件，从而等差实数a的值.
8．【答案】A
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】解：如图所示：
令，则的取值范围等价于直线的斜率的取值范围，
点，，点是线段（含端点）上任一点，
易知，，即或，
则的取值范围是.
故答案为：A．
【分析】令，则的取值范围等价于直线的斜率的取值范围，利用斜率公式求的斜率，数形结合求出临界值，确定的取值范围即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：事件，且，
A、由，可得，，
则，，故A正确；
B、若与互斥，则是不可能事件，即，
由概率的加法公式可得：，故B正确；
C、若与相互独立，则与也相互独立，.
因为表示“A不发生且B不发生”，即，且与也相互独立，
所以，故C错误；
D、因与相互独立，所以，
由概率的加法公式，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据包含事件的定义求解即可判断A；根据互斥事件的定义及概率的加法公式求解即可判断B；根据相互独立事件的定义，结合概率的加法公式求解即可判断CD.
10．【答案】B,C
【知识点】共面向量定理；空间向量的线性运算的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示；空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：对A，若、、、四点共面，则存在、，使得，
即，
所以，，且，
因为对空间中任意一点，有，且，
故、、、四点不共面，A错；
对B，，，且，设，即，
则，解得，故，B对；
对C，若，且，，则，C对；
对D，若，，则在上的投影向量为，D错.
故答案为：BC
【分析】结合空间向量的共面判定、共线坐标表示、垂直坐标表示、投影向量定义，对每个选项逐一分析.
11．【答案】B,C,D
【知识点】直线的倾斜角；三点共线；直线的两点式方程；与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】解：对于A，直线的斜率，
结合倾斜角的取值范围，知直线倾斜角为，故A错误；
对于B，因为，，
显然所在直线的斜率相同且有共同点，则三点共线，故B正确；
对于C，设直线上点，其关于点的对称点为，
所以，则，
所以，则，
所以直线关于点对称的直线方程是，故C正确；
对于D，因为方程为直线两点式方程的变形，
可以表示经过任意两不同点，的直线，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】先求直线的斜率，从而可得直线的倾斜角，则判断出选项A；利用两点求斜率公式，则可判断选项B；求出直线上的点关于点的对称点，从而确定对称点的横坐标和纵坐标的关系式，则判断出选项C；根据两点式方程的变形判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：设“开关，，闭合”分别为事件，，，
则灯亮这一事件为，且，，相互独立，互斥，
所以
.
故答案为：.
【分析】灯亮则开关闭合且，至少有一个闭合，再结合对立事件求概率公式、独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出灯亮的概率.
13．【答案】；
【知识点】恒过定点的直线；轨迹方程；圆方程的综合应用
【解析】【解答】解：直线变形为，
令，解得，即直线恒过定点为；
由题意可得：，则点H的轨迹是以原点O和定点为直径端点的圆，
且圆心为，半径，
则表示圆上的点H与原点O距离的平方，即，
因为点H到原点O的距离最大值为圆心到原点O的距离加上半径r，
所以，
则的最大值为.
故答案为：；.
【分析】将直线变形为，令，求得直线恒过定点坐标； 由题意可得：， 即点H的轨迹是以原点O和定点为直径端点的圆，求出圆心和半径，根据表示圆上的点H与原点O距离的平方，结合点与圆的位置关系分析求解即可.
14．【答案】
【知识点】两条直线的交点坐标；与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】解：设两直线的交点为A，联立，求得，即，
设直线的方程为，易知直线过点，
则直线上的点到直线与的距离相等，即，解得或（舍去），
故直线的方程是.
故答案为：.
【分析】设两直线的交点为A，联立方程组求得直线与的交点坐标，易知直线过点，设直线的方程为，利用直线上的点到直线与的距离相等，列式计算即可.
15．【答案】（1）解：由已知条件，得的中点，则.
解法一：因为边上的中线的两点式方程为，
所以，边上的中线所在直线的方程为.
解法二：因为边上的中线的斜率为，
所以，中线的方程为：，
则边上的中线所在直线的方程为.
（2）解：因为，又因为，
所以，
则，
所以，直线的方程为，即.
（3）解：由已知条件，得的中点，则，
因为分别是线段的中点，
所以，
则，
又因为，
所以，
则直线所在直线的方程为：，即.
【知识点】直线的点斜式方程；直线的两点式方程；直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【分析】（1）先利用中点坐标公式求出的中点，再利用两种方法求解.
方法一：根据两点式方程和转化的方法，则得出边上的中线所在直线的方程.
方法二：利用两点求斜率公式和点斜式方程以及转化法，从而得出边上的中线所在直线的方程.
（2）先利用两点求斜率公式求出直线的斜率，再根据可得的值，再利用点斜式方程得出边上的高所在直线的方程.
（3）先利用中点坐标公式求出的中点，再根据题意得出的值，再利用点斜式方程和转化法，从而得出直线所在直线的方程。
（1）由已知得的中点，即，
解法一：边上的中线的两点式方程为，即；
解法二：边上的中线的斜率为，
所以中线的方程为：，即.
（2）因为，
又，则，所以，
则直线的方程为，即.
（3）由已知得的中点，即，
因为分别是线段的中点，所以，即，
又，所以，
则直线所在直线的方程为：，即.
16．【答案】（1）解：当时，，解得，即，且，
因为向量与垂直，，即，解得，
故实数和的值分别为和；
（2）解： 若向量与向量，共面， 则存在有序实数对，使得，
则，即，
解得，则实数的值为．
【知识点】共面向量定理；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）当时，利用向量模长的坐标表示求得的值，再根据向量线性运算，结合向量垂直的坐标表示列式求解即可；
（2）由题意可得：存在有序实数对，使得，利用向量坐标表示列方程组求解即可.
（1）因为，所以，解得：，所以
且，
因为向量与垂直，
所以．可得，
即，解得：
所以实数和的值分别为和．
（2）因为向量与向量，共面，所以设，
所以，
所以，所以，所以实数的值为．
17．【答案】（1）解：由图可知：第三、四、五组的频率之和为0.7，则，解得，
则前两组的频率之和为，即，解得；
（2）解：根据频率直方图可知：众数为；
前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，
所以分位数在第三组，且为；
（3）解：第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，
第五组志愿者人数为1，设为，
这5人中选出2人，样本空间为，共有10种情况，
其中选出的两人来自不同组的有，共4种情况，
则选出的两人来自不同组的概率为．
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）由图可知：第三、四、五组的频率之和，列式求得a，再根据所有频率之和为1可得；
（2）根据频率分布直方图中众数，百分位数和中位数的计算方法求解即可；
（3）利用分层抽样得出第四、第五两组志愿者抽取的人数，再利用列举法，结合古典概型的概率公式求解即可．
（1）因为第三、四、五组的频率之和为0.7，
所以，解得，
所以前两组的频率之和为，即，所以.
（2）根据频率直方图可知，众数为；
前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，
所以分位数在第三组，且为．
（3）第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，
故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，第五组志愿者人数为1，设为，
这5人中选出2人，所有情况有
，共有10种情况，
其中选出的两人来自不同组的有，共4种情况，
故选出的两人来自不同组的概率为．
18．【答案】（1）解：设圆心坐标为，
因为圆过点，，所以，
则，解得，
即圆心坐标为，圆的半径，
故圆的方程为；
（2）解：设圆的方程为，
由题意可得，解得，
故所求圆的方程为.
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程
【解析】【分析】（1）由题意，设圆心坐标为，根据，求得，即可求得圆心和半径，得到圆的方程；
（2）设圆方程为，代入、、三点求解即可.
（1）圆心在直线上，设圆心坐标为，
圆过点，，则有
即，解得，
可得圆心坐标为，圆的半径，
所以圆的方程为.
（2）设过、、三点的圆的方程为，
则有，解得，
故所求圆的方程为.
19．【答案】（1）证明：在四棱锥中，取中点，连接，如图所示：
因为为的中点，且，，所以，，
又因为四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：取的中点，连接，，因为为等边三角形，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
由，得四边形是平行四边形，
于是，而，则，直线两两垂直，
以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，
设平面的法向量为，
则，取，可得，
平面的一个法向量为，
则，
设二面角的平面角为，
由图知为锐角，则，
故二面角的余弦值为：；
（3）解：令，
，，
设平面的法向量为，
则，
取，可得，
易知平面的法向量为，
因为平面平面，所以，
在，解得，
故存在点E，使得平面平面，此时．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究平面与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取中点，连接，证出四边形为平行四边形，利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）取的中点，连接，，推出直线两两垂直，以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及平面的一个法向量，利用空间向量法求解即可；
（3）令，求出平面的法向量，再根据两平面垂直得，列式求解即可．
（1）在四棱锥中，取中点，连接，
由为的中点，且，，得，，
则四边形为平行四边形，，而平面，平面，
所以平面．
（2）取的中点，连接，，由为等边三角形，得，
而平面平面，平面平面，平面，
则平面，由，得四边形是平行四边形，
于是，而，则，直线两两垂直，
以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，
设平面的法向量为，则，
取，得，
平面的一个法向量为，
则，
设二面角的平面角为，由图知为锐角，
则，
故二面角的余弦值为：．
（3）令，
，，
设平面的法向量为，则，
取，得，平面的法向量为，
由平面平面，得，
得，
得，
故存在点E，使得平面平面，此时．
1 / 1四川省雅安市名山区第三中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题
1．（2025高二上·名山期中）我校学生会招纳学生会干部，甲、乙两名同学分别从“纪检部”、“卫生部” 、“宣传部”三个部门中选取一个部门加入，则这两名同学加入同一个部门的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：甲同学从“纪检部”、“卫生部” 、“宣传部”三个部门中选取一个部门加入，有3中选法，同理乙同学 也有3中选法，则甲、乙选取一个部门加入的基本事件总数为，
其中两名同学加入同一个社团包含的基本事件个数，
则这两名同学加入同一个社团的概率是
故答案为：B.
【分析】由题意，先求甲、乙两名同学从三个部门中选取一个部门加入的基本事件总数，再求出这两名同学加入同一个社团包含的基本事件个数，利用古典概型概率公式求解即可．
2．（2025高二上·名山期中）在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是5或6”，事件C表示“向上的点数小于5”，则下列说法正确的是（ ）
A．A与B是对立事件 B．B与C是对立事件
C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件
【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：事件，事件，事件，
A、当向上的点数为3时，事件A与B同时不发生，故A错误；
B、事件B与C不能同时发生，且事件B与C必有一个发生，故B正确；
C、当向上的点数是2或4时，事件A与事件C同时发生，故C错误；
D、当向上的点数是6时，事件A与事件B能同时发生，故D错误.
故答案为：B．
【分析】由题意，先求事件A，B，C，再利用互斥事件和对立事件的概念逐项判断即可.
3．（2025高二上·名山期中）已知向量，若与共线，则的值为（ ）
A．5 B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量平行的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，
若与共线， 则存在实数使得，即，
即，解得.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据空间向量共线的坐标列式计算即可.
4．（2025高二上·名山期中）已知点是空间直角坐标系中的一点，下列点的坐标与点M关于平面对称的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】空间中的点的坐标
【解析】【解答】解：设点M关于平面对称的点为，则的中点为，
即，解得，故.
故答案为：D.
【分析】设点M关于平面对称的点为，利用空间中点坐标公式列式求解即可.
5．（2025高二上·名山期中）已知的三个顶点分别为，则的面积是（ ）
A．5 B．10 C． D．20
【答案】B
【知识点】斜率的计算公式；用斜率判定两直线垂直；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：点，
易知直线的斜率，直线的斜率，
因为，所以，则是直角三角形，
又因为，
所以的面积.
故答案为：B.
【分析】利用斜率公式求得直线的斜率，利用斜率判断直线，再利用两点距离公式分别求出，代入的面积公式求解即可.
6．（2025高二上·名山期中）在四棱锥中，底面是正方形，为中点，若，用表示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：连接BD，
E为PD的中点，
所以
．
故答案为：B．
【分析】根据已知条件和中点的性质，再利用空间向量的加法、减法和数乘运算，从而用表示出.
7．（2025高二上·名山期中）如果直线与直线平行，则（ ）
A．0 B． C．0或1 D．0或
【答案】D
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：因为直线与直线平行，
所以，
解得或，
当时，直线与直线平行，符合题意；
当时，直线与直线平行，符合题意，
综上可得，或.
故答案为：D.
【分析】根据一般式方程中两直线平行的条件，即两直线斜率相等、纵截距不相等，从而得到参数a的值，再代入检验结合已知条件，从而等差实数a的值.
8．（2025高二上·名山期中）设点，，若点在线段上（含端点），则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
【答案】A
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】解：如图所示：
令，则的取值范围等价于直线的斜率的取值范围，
点，，点是线段（含端点）上任一点，
易知，，即或，
则的取值范围是.
故答案为：A．
【分析】令，则的取值范围等价于直线的斜率的取值范围，利用斜率公式求的斜率，数形结合求出临界值，确定的取值范围即可.
9．（2025高二上·名山期中）已知事件，且，则下列结论正确的是（ ）
A．如果，那么
B．如果与互斥，那么
C．如果与相互独立，那么
D．如果与相互独立，那么
【答案】A,B,D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：事件，且，
A、由，可得，，
则，，故A正确；
B、若与互斥，则是不可能事件，即，
由概率的加法公式可得：，故B正确；
C、若与相互独立，则与也相互独立，.
因为表示“A不发生且B不发生”，即，且与也相互独立，
所以，故C错误；
D、因与相互独立，所以，
由概率的加法公式，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据包含事件的定义求解即可判断A；根据互斥事件的定义及概率的加法公式求解即可判断B；根据相互独立事件的定义，结合概率的加法公式求解即可判断CD.
10．（2025高二上·名山期中）关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面
B．已知两个向量，，且，则
C．若，且，，则
D．，，则在上的投影向量为
【答案】B,C
【知识点】共面向量定理；空间向量的线性运算的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示；空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：对A，若、、、四点共面，则存在、，使得，
即，
所以，，且，
因为对空间中任意一点，有，且，
故、、、四点不共面，A错；
对B，，，且，设，即，
则，解得，故，B对；
对C，若，且，，则，C对；
对D，若，，则在上的投影向量为，D错.
故答案为：BC
【分析】结合空间向量的共面判定、共线坐标表示、垂直坐标表示、投影向量定义，对每个选项逐一分析.
11．（2025高二上·名山期中）下列说法正确的有（ ）
A．直线的倾斜角为
B．点在同一条直线上
C．直线关于点对称的直线方程是
D．经过任意两个不同点的直线都可用方程表示
【答案】B,C,D
【知识点】直线的倾斜角；三点共线；直线的两点式方程；与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】解：对于A，直线的斜率，
结合倾斜角的取值范围，知直线倾斜角为，故A错误；
对于B，因为，，
显然所在直线的斜率相同且有共同点，则三点共线，故B正确；
对于C，设直线上点，其关于点的对称点为，
所以，则，
所以，则，
所以直线关于点对称的直线方程是，故C正确；
对于D，因为方程为直线两点式方程的变形，
可以表示经过任意两不同点，的直线，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】先求直线的斜率，从而可得直线的倾斜角，则判断出选项A；利用两点求斜率公式，则可判断选项B；求出直线上的点关于点的对称点，从而确定对称点的横坐标和纵坐标的关系式，则判断出选项C；根据两点式方程的变形判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．（2025高二上·名山期中）在如图所示的电路图中，开关，，正常工作的概率分别为，，，且是相互独立的，则灯亮的概率是
【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：设“开关，，闭合”分别为事件，，，
则灯亮这一事件为，且，，相互独立，互斥，
所以
.
故答案为：.
【分析】灯亮则开关闭合且，至少有一个闭合，再结合对立事件求概率公式、独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出灯亮的概率.
13．（2025高二上·名山期中）设直线则直线恒过定点 ；若过原点作直线的垂线，垂足为，则最大值为 .
【答案】；
【知识点】恒过定点的直线；轨迹方程；圆方程的综合应用
【解析】【解答】解：直线变形为，
令，解得，即直线恒过定点为；
由题意可得：，则点H的轨迹是以原点O和定点为直径端点的圆，
且圆心为，半径，
则表示圆上的点H与原点O距离的平方，即，
因为点H到原点O的距离最大值为圆心到原点O的距离加上半径r，
所以，
则的最大值为.
故答案为：；.
【分析】将直线变形为，令，求得直线恒过定点坐标； 由题意可得：， 即点H的轨迹是以原点O和定点为直径端点的圆，求出圆心和半径，根据表示圆上的点H与原点O距离的平方，结合点与圆的位置关系分析求解即可.
14．（2025高二上·名山期中）直线关于直线对称的直线的方程是 .
【答案】
【知识点】两条直线的交点坐标；与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】解：设两直线的交点为A，联立，求得，即，
设直线的方程为，易知直线过点，
则直线上的点到直线与的距离相等，即，解得或（舍去），
故直线的方程是.
故答案为：.
【分析】设两直线的交点为A，联立方程组求得直线与的交点坐标，易知直线过点，设直线的方程为，利用直线上的点到直线与的距离相等，列式计算即可.
15．（2025高二上·名山期中）如图所示，已知三角形的三个顶点为，求：
（1）边上的中线所在直线的方程；
（2）边上的高所在直线的方程；
（3）设分别是线段的中点，求直线所在直线的方程.
（注意：最后结果统一用一般式表示）
【答案】（1）解：由已知条件，得的中点，则.
解法一：因为边上的中线的两点式方程为，
所以，边上的中线所在直线的方程为.
解法二：因为边上的中线的斜率为，
所以，中线的方程为：，
则边上的中线所在直线的方程为.
（2）解：因为，又因为，
所以，
则，
所以，直线的方程为，即.
（3）解：由已知条件，得的中点，则，
因为分别是线段的中点，
所以，
则，
又因为，
所以，
则直线所在直线的方程为：，即.
【知识点】直线的点斜式方程；直线的两点式方程；直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【分析】（1）先利用中点坐标公式求出的中点，再利用两种方法求解.
方法一：根据两点式方程和转化的方法，则得出边上的中线所在直线的方程.
方法二：利用两点求斜率公式和点斜式方程以及转化法，从而得出边上的中线所在直线的方程.
（2）先利用两点求斜率公式求出直线的斜率，再根据可得的值，再利用点斜式方程得出边上的高所在直线的方程.
（3）先利用中点坐标公式求出的中点，再根据题意得出的值，再利用点斜式方程和转化法，从而得出直线所在直线的方程。
（1）由已知得的中点，即，
解法一：边上的中线的两点式方程为，即；
解法二：边上的中线的斜率为，
所以中线的方程为：，即.
（2）因为，
又，则，所以，
则直线的方程为，即.
（3）由已知得的中点，即，
因为分别是线段的中点，所以，即，
又，所以，
则直线所在直线的方程为：，即.
16．（2025高二上·名山期中）已知向量，，．
（1）当时，若向量与垂直，求实数和的值；
（2）若向量与向量，共面，求实数的值．
【答案】（1）解：当时，，解得，即，且，
因为向量与垂直，，即，解得，
故实数和的值分别为和；
（2）解： 若向量与向量，共面， 则存在有序实数对，使得，
则，即，
解得，则实数的值为．
【知识点】共面向量定理；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）当时，利用向量模长的坐标表示求得的值，再根据向量线性运算，结合向量垂直的坐标表示列式求解即可；
（2）由题意可得：存在有序实数对，使得，利用向量坐标表示列方程组求解即可.
（1）因为，所以，解得：，所以
且，
因为向量与垂直，
所以．可得，
即，解得：
所以实数和的值分别为和．
（2）因为向量与向量，共面，所以设，
所以，
所以，所以，所以实数的值为．
17．（2025高二上·名山期中）某高校承办了2025怒江傈僳“阔时”文化节志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.
（1）求的值；
（2）估计这100名候选者面试成绩的众数和分位数（分位数精确到0.1）；
（3）在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.
【答案】（1）解：由图可知：第三、四、五组的频率之和为0.7，则，解得，
则前两组的频率之和为，即，解得；
（2）解：根据频率直方图可知：众数为；
前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，
所以分位数在第三组，且为；
（3）解：第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，
第五组志愿者人数为1，设为，
这5人中选出2人，样本空间为，共有10种情况，
其中选出的两人来自不同组的有，共4种情况，
则选出的两人来自不同组的概率为．
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）由图可知：第三、四、五组的频率之和，列式求得a，再根据所有频率之和为1可得；
（2）根据频率分布直方图中众数，百分位数和中位数的计算方法求解即可；
（3）利用分层抽样得出第四、第五两组志愿者抽取的人数，再利用列举法，结合古典概型的概率公式求解即可．
（1）因为第三、四、五组的频率之和为0.7，
所以，解得，
所以前两组的频率之和为，即，所以.
（2）根据频率直方图可知，众数为；
前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，
所以分位数在第三组，且为．
（3）第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，
故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，第五组志愿者人数为1，设为，
这5人中选出2人，所有情况有
，共有10种情况，
其中选出的两人来自不同组的有，共4种情况，
故选出的两人来自不同组的概率为．
18．（2025高二上·名山期中）分别根据下列条件，求圆的方程：
（1）过点，，且圆心在直线上；
（2）过、、三点．
【答案】（1）解：设圆心坐标为，
因为圆过点，，所以，
则，解得，
即圆心坐标为，圆的半径，
故圆的方程为；
（2）解：设圆的方程为，
由题意可得，解得，
故所求圆的方程为.
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程
【解析】【分析】（1）由题意，设圆心坐标为，根据，求得，即可求得圆心和半径，得到圆的方程；
（2）设圆方程为，代入、、三点求解即可.
（1）圆心在直线上，设圆心坐标为，
圆过点，，则有
即，解得，
可得圆心坐标为，圆的半径，
所以圆的方程为.
（2）设过、、三点的圆的方程为，
则有，解得，
故所求圆的方程为.
19．（2025高二上·名山期中）如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中，，．
（1）取线段PA中点M，连接BM，证明：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）线段PC上是否存在点E，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：在四棱锥中，取中点，连接，如图所示：
因为为的中点，且，，所以，，
又因为四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：取的中点，连接，，因为为等边三角形，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
由，得四边形是平行四边形，
于是，而，则，直线两两垂直，
以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，
设平面的法向量为，
则，取，可得，
平面的一个法向量为，
则，
设二面角的平面角为，
由图知为锐角，则，
故二面角的余弦值为：；
（3）解：令，
，，
设平面的法向量为，
则，
取，可得，
易知平面的法向量为，
因为平面平面，所以，
在，解得，
故存在点E，使得平面平面，此时．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究平面与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取中点，连接，证出四边形为平行四边形，利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）取的中点，连接，，推出直线两两垂直，以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及平面的一个法向量，利用空间向量法求解即可；
（3）令，求出平面的法向量，再根据两平面垂直得，列式求解即可．
（1）在四棱锥中，取中点，连接，
由为的中点，且，，得，，
则四边形为平行四边形，，而平面，平面，
所以平面．
（2）取的中点，连接，，由为等边三角形，得，
而平面平面，平面平面，平面，
则平面，由，得四边形是平行四边形，
于是，而，则，直线两两垂直，
以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，
设平面的法向量为，则，
取，得，
平面的一个法向量为，
则，
设二面角的平面角为，由图知为锐角，
则，
故二面角的余弦值为：．
（3）令，
，，
设平面的法向量为，则，
取，得，平面的法向量为，
由平面平面，得，
得，
得，
故存在点E，使得平面平面，此时．
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