广西壮族自治区贵港市泽桂未来教共体2025-2026学年高二上学期11月期中教学质量联测数学试题
1．（2025高二上·港南期中）已知集合，则中的元素个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
【答案】C
【知识点】集合中元素的个数问题；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：易知圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
则直线与圆相交，有2个公共点，
故中的元素个数为2.
故答案为：C.
【分析】易知圆心和半经，利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系，求得交点个数，即可得中的元素个数.
2．（2025高二上·港南期中）某商场举办有奖促销活动，在抽奖盒中放有5张抽奖券，其中2张抽奖券有奖品，若小李从中一次性随机抽出2张抽奖券，则小李不能获得奖品的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：2张有奖品的抽奖券记为A、B，3张没有奖品的抽奖券记为a，b，c，
抽取2张奖券的所有可能为：，共10种，
其中不能获得奖品的情况：，共3种，
则小李不能获得奖品的概率.
故答案为：B.
【分析】2张有奖品的抽奖券记为A、B，3张没有奖品的抽奖券记为a，b，c，写出抽取2张的所有可能情况，再选出满足题意的可能情况，根据古典概型公式求解即可.
3．（2025高二上·港南期中）两条平行直线与间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：直线的方程化为，
则直线与间的距离为.
故答案为：D.
【分析】先化直线的方程化为，再利用两条平行直线的距离公式计算即可.
4．（2025高二上·港南期中）著名的原子核物理学之父欧内斯特·卢瑟福在一篇论文中描述了用粒子轰击0.00004cm厚的金箔时拍摄到的运动情况．在进行这个实验之前，卢瑟福希望粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分粒子从金箔上反弹．如图显示了卢瑟福实验中偏转的粒子遵循双曲线一支的路径，如果粒子的路径经过点，则该粒子路径的顶点与双曲线中心的距离为（ ）
A． B． C．10 D．11
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【解答】解：由题意可知：双曲线的一条渐近线方程为，即，
设双曲线的方程为，
因为粒子的路径经过点 ，所以，解得，
则该粒子路径的顶点与双曲线的中心的距离为．
故答案为：A.
【分析】由题可知：双曲线的一条渐近线方程为，求得，再根据粒子的路径经过点 ，代入求得，即可得粒子路径的顶点与双曲线中心的距离 .
5．（2025高二上·港南期中）已知曲线，设，曲线是焦点在坐标轴上的椭圆，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；椭圆的标准方程
【解析】【解答】解：若曲线是焦点在坐标轴上的椭圆，
则，解得：且，
则“”是“曲线是焦点在坐标轴上的椭圆”的必要不充分条件．
故答案为：B．
【分析】由曲线是焦点在坐标轴上的椭圆，列不等式组求得的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可．
6．（2025高二上·港南期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，可得，
因为，所以，
又因为，所以，所以，，
则.
故答案为：D.
【分析】由，结合同角三角函数基本关系商、平方和关系求得，再由两角和的正弦公式求解即可.
7．（2025高二上·港南期中）已知直线与双曲线交于A，B两点，点是弦AB的中点，则双曲线C的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设
因为点是弦AB的中点，所以，，，
又因为A，B两点在双曲线C上，所以，
两式作差可得，
则，即，
故双曲线C的渐近线方程是.
故答案为：D.
【分析】设，根据点是弦AB的中点，可得以，，，再根据点A，B在双曲线上，代入两式作差求得，即可得双曲线的渐近线方程.
8．（2025高二上·港南期中）已知点，若圆上存在点满足，则实数的最小值为（ ）
A．－3 B．－2 C．0 D．1
【答案】B
【知识点】轨迹方程；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：设点，易知，
因为，所以，即点M的轨迹为圆，
又因为点M在半径为1的圆上，圆心，
所以两圆有公共点，则，解得.
故答案为：B.
【分析】设点，利用平面向量的坐标运算、结合向量模的坐标表示求得点M的轨迹，又因为点M在圆C上，则两圆有交点，根据圆心距和半径的关系列不等式求解即可.
9．（2025高二上·港南期中）下列说法正确的是（ ）
A．已知一组数据的众数大于中位数
B．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1
C．甲乙丙三种个体按的比例分层抽样，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为18
D．数据的第70百分位数是21
【答案】B,C
【知识点】简单随机抽样；分层抽样方法；众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、易知数据的众数为3，中位数为，众数与中位数相等，故A错误；
B、根据简单随机抽样的定义知，个体被抽到的概率是，故B正确；
C、设样本容量为，由题知，解得，即样本容量为18，故C正确；
D、，则第70百分位数是23，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】求数据的众数和中位数即可判断A；根据随机抽样的概率的求法求概率即可判断B；利用分层抽样等比例性质求样本容量即可判断C；根据百分位数的求法求解即可判断D.
10．（2025高二上·港南期中）在正三棱柱中，各棱长均为1，D为BC的中点，则（ ）
A．
B．平面
C．
D．三棱柱外接球表面积为
【答案】A,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图所示：
A、正三棱柱， 易知平面，
因为平面，所以，又因为D为BC的中点，所以，
又因为平面，所以平面，
又因为平面，所以，故A正确；
B、假设平面，平面，则，因为，，平面，所以平面，又因为平面，
所以，与为等边三角形矛盾，故B错误；
C、因为的面积与的面积相等，且两三角形同在平面中，
故三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
即，
，，，故C错误；
D、设为的外心，为的外心，为的中点，
则与两底面垂直，因，，
故，即为三棱柱外接球的球心，
又，，故，
即外接球的半径，故外接球表面积，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据正三棱柱的特征结合线面垂直的判定定理以及点D为BC的中点，证得，，由线线垂直证明平面，再由线面垂直的性质证明即可判断A；假设平面，由此推出，结合条件证得平面，由此得到，产生矛盾，即可判断B；结合锥体体积公式推出，由此可求体积即可判断C；设为的外心，为的外心，为的中点，说明为三棱柱外接球球心，求出外接球的半径，即得外接球的表面积即可判断D.
11．（2025高二上·港南期中）记双曲线的左 右焦点分别为.若，以为圆心 4为半径的圆与的右支交于两点，点为上一点，满足，则（ ）
A．离心率 B．的面积为
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】双曲线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解： 双曲线 ，，则，解得，
即双曲线的方程为，
A、易知，则双曲线的离心率为，故A正确；
B、由双曲线定义可知：不妨令，，
因为，所以，即，
整理得到，所以的面积，故B错误；
C、易知圆的方程为，联立，
消得，解得（舍去）或，
代入，可得，
不妨令在第一象限，则，，显然.
由B可知与不重合，而在中，，故C正确；
D、，在中，
由余弦定理可得，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由题意求得双曲线的方程为，求离心率即可判断A；根据双曲线的定义，令，，结合条件可得，再求出的面积即可判断B；联立圆与双曲线的方程，直接求出的坐标，再利用三角形的性质求解即可判断C； ，在中，利用余弦定理求解即可判断D.
12．（2025高二上·港南期中）直线的倾斜角为 ．
【答案】
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：由题意，得，，
所以直线的倾斜角为.
故答案为：．
【分析】根据直线方程得出直线的斜率，再利用直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，从而得出直线的倾斜角．
13．（2025高二上·港南期中）如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是 .
【答案】
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设，，易知，
因为在双曲线上，所以，
又因为四边形为矩形，所以，
，，即，
则，，故离心率为．
故答案为：．
【分析】设，，易知，根据双曲线的定义，结合矩形的性质求得椭圆长轴长，再根据椭圆的离心率公式计算即可.
14．（2025高二上·港南期中）三棱锥中，点为的重心，点为的中点，过点的平面分别交于点，且，且，，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】空间向量基本定理；共面向量定理
【解析】【解答】解：如图所示：
因为点为的重心，所以，
又因为为的中点，所以，
则，
因为四点共面，所以，
因为，
所以
，当且仅当时取等号，
则的最小值为.
故答案为：．
【分析】利用重心和中点的性质，用表示，再根据，可得，由共面，可得，最后利用基本不等式求解即可.
15．（2025高二上·港南期中）已知直线.
（1）求经过点且与直线垂直的直线方程；
（2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距和为0的直线方程.
【答案】（1）解：易知直线的斜率为，
根据垂直关系可得所求直线的斜率为，
设所求直线方程为，
因为直线经过点，所以，解得，
则所求直线方程为，整理得；
（2）解：联立，解得，即直线与的交点为，
当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为，代入得，此时；
当直线的截距都不为0时，设直线方程为，
由题意可得：，解得，
此时直线方程为，
综上所述：所求直线方程为或．
【知识点】用斜率判定两直线垂直；直线的斜截式方程；直线的截距式方程；两条直线的交点坐标
【解析】【分析】（1）易知直线的斜率，利用垂直关系求得所求直线的斜率，设所求直线方程，利用待定系数法求解直线即可；
（2）联立直线方程求得两直线的交点，分直线是否经过原点讨论，再结合过原点直线方程和截距式直线方程求解即可.
（1）由直线可得斜率为
所以根据垂直关系可设所求直线方程为，
则依题意有，解得，
所以所求直线方程为，整理得；
（2）联立，解得，
即直线与的交点为，
当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为，
代入得，此时；
当直线的截距都不为0时，设直线方程为，
依题意，解得，
此时直线方程为，
综上所述：所求直线方程为或．
16．（2025高二上·港南期中）已知中，内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小：
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
因为，所以，
则，
又因为，所以，则，即，解得；
（2）解：，，，
由余弦定理可得，即，解得，
则的面积.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合三角形的内角和公式、两角和的正弦公式化简求角即可；
（2）由（1），结合，，利用余弦定理求得的值，再利用三角形的面积公式求解即可.
（1）由，根据正弦定理可得，
由，则，
可得，
由，即，则，即，
根据，解得.
（2）根据余弦定理可得，
由，，，则，解得，
所以的面积.
17．（2025高二上·港南期中）如图，矩形所在的平面，点是的中点，点是线段上的一个动点，且.
（1）若点是线段的中点，证明：；
（2）当三棱锥的体积是三棱锥的体积的2倍时，求平面和平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明 ：取的中点，连接、，
因为点是线段的中点，所以，
又因为四边形是矩形，所以①，
又因为平面，所以，
又因为，，所以平面，
所以，②，
由①②及，得平面，
故；
（2）解：因为矩形所在的平面，所以，，两两垂直，
以A为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
设点到平面的距离为，点到平面的距离为，
则三棱锥的体积，
三棱锥的体积，
由已知可得，即，
得，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，取，得，可得，
易得平面的一个法向量为，
则，
故平面和平面夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）取的中点，连接、，由矩形所在的平面可证明平面，再由点是线段的中点，则可证明平面，根据线面垂直的性质可证明；
（2）以A为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，设点到平面的距离为，点到平面的距离为，由体积关系得，利用向量法求二面角的余弦值即可.
（1）证明：取的中点，连接、，
点是线段的中点，
四边形是矩形，①.
平面，，
又，，平面，
，②
由①②及得平面，
（2）因为矩形所在的平面，所以，，两两垂直.
分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系.
则，，，，
设点到平面的距离为，点到平面的距离为，
则三棱锥的体积，
三棱锥的体积
由已知可得，即
得，，，
设平面的法向量为，
则，即，
得，取，得，所以，
易得平面的一个法向量为，
则，
所以平面和平面夹角的余弦值为.
18．（2025高二上·港南期中）已知圆经过点，且与圆相切于点.
（1）求圆的方程；
（2）过的直线与圆交于两点，点的坐标为.
①证明：；
②求外接圆圆心的轨迹方程.
【答案】（1）解：圆的标准方程为，圆心为，半径为，
则圆心在过与的直线上，即在直线上，
因为圆过和，所以设圆心，
则，解得，即圆心，半径易知为2，
故圆；
（2）①、证明：当直线斜率为0时，此时，
又因为，所以三点共线，此时可得，都为零度角；
当直线斜率不为0时，设，
联立，消元整理得，
由韦达定理可得，
则，
，
即，故；
②、当直线斜率为0时，不能构成三角形，
故直线斜率不为0，所以可设直线的方程为：，
由①知中点
则中垂线为：，化简得，
又因为是圆与的交点，所以，
所以中垂线：，
同理中垂线，
联立，可得：
，
故外接圆圆心得轨迹方程为.
【知识点】斜率的计算公式；圆的标准方程；直线与圆的位置关系；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）化圆一般方程为标准方程，求得圆心和半经，利用圆的几何性质定位圆心位置，再借助两点间距离来求参数，即可得圆的方程；
（2）①、分直线的斜率为0和不为0讨论，当斜率为0时，由三点共线，即可证明；当斜率不为0时，设，联立直线与圆方程，利用斜率证明两个角相等即可；
②、当直线斜率为0时，不能构成三角形，则直线的斜率不为0，设直线的方程为：，求中垂线的直线方程，再通过消参法来得到圆心轨迹方程.
（1）由变形得：，可知该圆心为，半径为，
所以圆心在过与的直线上，即在直线上，
有因为圆过和，所以设圆心，
则有，解得，
所以圆心，半径易知为2.
故圆
（2）①证明：（1）当直线斜率为0时，此时，
又因为，所以三点共线，此时可得，都为零度角；
（2）当直线斜率不为0时，设
联立得，则.
.
所以，故.
②当直线斜率为0时，不能构成三角形，
故直线斜率不为0，所以可设直线的方程为：
由①知中点所以中垂线：，
化简得又因为是圆与的交点，
所以，
所以中垂线：.
同理中垂线.
联立得：
故外接圆圆心得轨迹方程为.
19．（2025高二上·港南期中）已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求曲线的方程；
（2）若直线被曲线所截的弦长为，求的值；
（3）若点为曲线的右顶点，过点（不同于点）且斜率不为0的直线与曲线相交于两点（点在之间），若点为线段上的点，满足，且，求的值.
【答案】（1）解：由题意可得：，解得，
则曲线的方程为；
（2）解：设直线与曲线的两交点的坐标分别为，
联立，消元整理可得，
可得：，
则弦长为
，化简得，
即，得，故的值为；
（3）解：设，直线的方程为，
联立，消元整理可得，
由韦达定理可得，
设点，由，可得，
则，得，故，
又因为，则，可得，所以，可得，
解得或（舍），则.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，列关于的方程组，求出，即可得椭圆的方程；
（2）设直线与曲线的两交点的坐标分别为，联立直线与椭圆方程，消元整理，利用韦达定理以及弦长公式列等式求解即可；
（3） 设，直线的方程为， ，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理写出根与系数关系，再根据题给条件写出点坐标与的关系，得到关于的方程求解即可.
（1）根据题意可知，所以，
所以曲线的方程为.
（2）设直线与曲线的两交点的坐标分别为
联立，可得，
所以，
所以弦长为
，
化简得，
即，得，所以的值为.
（3）设，直线的方程为，
联立得，
所以，
设点，因为，可得，
则，得，故，
又因为，则，可得，
所以，可得，
得或（舍），所以.
1 / 1广西壮族自治区贵港市泽桂未来教共体2025-2026学年高二上学期11月期中教学质量联测数学试题
1．（2025高二上·港南期中）已知集合，则中的元素个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
2．（2025高二上·港南期中）某商场举办有奖促销活动，在抽奖盒中放有5张抽奖券，其中2张抽奖券有奖品，若小李从中一次性随机抽出2张抽奖券，则小李不能获得奖品的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高二上·港南期中）两条平行直线与间的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高二上·港南期中）著名的原子核物理学之父欧内斯特·卢瑟福在一篇论文中描述了用粒子轰击0.00004cm厚的金箔时拍摄到的运动情况．在进行这个实验之前，卢瑟福希望粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分粒子从金箔上反弹．如图显示了卢瑟福实验中偏转的粒子遵循双曲线一支的路径，如果粒子的路径经过点，则该粒子路径的顶点与双曲线中心的距离为（ ）
A． B． C．10 D．11
5．（2025高二上·港南期中）已知曲线，设，曲线是焦点在坐标轴上的椭圆，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2025高二上·港南期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高二上·港南期中）已知直线与双曲线交于A，B两点，点是弦AB的中点，则双曲线C的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高二上·港南期中）已知点，若圆上存在点满足，则实数的最小值为（ ）
A．－3 B．－2 C．0 D．1
9．（2025高二上·港南期中）下列说法正确的是（ ）
A．已知一组数据的众数大于中位数
B．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1
C．甲乙丙三种个体按的比例分层抽样，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为18
D．数据的第70百分位数是21
10．（2025高二上·港南期中）在正三棱柱中，各棱长均为1，D为BC的中点，则（ ）
A．
B．平面
C．
D．三棱柱外接球表面积为
11．（2025高二上·港南期中）记双曲线的左 右焦点分别为.若，以为圆心 4为半径的圆与的右支交于两点，点为上一点，满足，则（ ）
A．离心率 B．的面积为
C． D．
12．（2025高二上·港南期中）直线的倾斜角为 ．
13．（2025高二上·港南期中）如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是 .
14．（2025高二上·港南期中）三棱锥中，点为的重心，点为的中点，过点的平面分别交于点，且，且，，则的最小值为 ．
15．（2025高二上·港南期中）已知直线.
（1）求经过点且与直线垂直的直线方程；
（2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距和为0的直线方程.
16．（2025高二上·港南期中）已知中，内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小：
（2）若，，求的面积．
17．（2025高二上·港南期中）如图，矩形所在的平面，点是的中点，点是线段上的一个动点，且.
（1）若点是线段的中点，证明：；
（2）当三棱锥的体积是三棱锥的体积的2倍时，求平面和平面夹角的余弦值.
18．（2025高二上·港南期中）已知圆经过点，且与圆相切于点.
（1）求圆的方程；
（2）过的直线与圆交于两点，点的坐标为.
①证明：；
②求外接圆圆心的轨迹方程.
19．（2025高二上·港南期中）已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求曲线的方程；
（2）若直线被曲线所截的弦长为，求的值；
（3）若点为曲线的右顶点，过点（不同于点）且斜率不为0的直线与曲线相交于两点（点在之间），若点为线段上的点，满足，且，求的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】集合中元素的个数问题；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：易知圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
则直线与圆相交，有2个公共点，
故中的元素个数为2.
故答案为：C.
【分析】易知圆心和半经，利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系，求得交点个数，即可得中的元素个数.
2．【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：2张有奖品的抽奖券记为A、B，3张没有奖品的抽奖券记为a，b，c，
抽取2张奖券的所有可能为：，共10种，
其中不能获得奖品的情况：，共3种，
则小李不能获得奖品的概率.
故答案为：B.
【分析】2张有奖品的抽奖券记为A、B，3张没有奖品的抽奖券记为a，b，c，写出抽取2张的所有可能情况，再选出满足题意的可能情况，根据古典概型公式求解即可.
3．【答案】D
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：直线的方程化为，
则直线与间的距离为.
故答案为：D.
【分析】先化直线的方程化为，再利用两条平行直线的距离公式计算即可.
4．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【解答】解：由题意可知：双曲线的一条渐近线方程为，即，
设双曲线的方程为，
因为粒子的路径经过点 ，所以，解得，
则该粒子路径的顶点与双曲线的中心的距离为．
故答案为：A.
【分析】由题可知：双曲线的一条渐近线方程为，求得，再根据粒子的路径经过点 ，代入求得，即可得粒子路径的顶点与双曲线中心的距离 .
5．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；椭圆的标准方程
【解析】【解答】解：若曲线是焦点在坐标轴上的椭圆，
则，解得：且，
则“”是“曲线是焦点在坐标轴上的椭圆”的必要不充分条件．
故答案为：B．
【分析】由曲线是焦点在坐标轴上的椭圆，列不等式组求得的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可．
6．【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，可得，
因为，所以，
又因为，所以，所以，，
则.
故答案为：D.
【分析】由，结合同角三角函数基本关系商、平方和关系求得，再由两角和的正弦公式求解即可.
7．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设
因为点是弦AB的中点，所以，，，
又因为A，B两点在双曲线C上，所以，
两式作差可得，
则，即，
故双曲线C的渐近线方程是.
故答案为：D.
【分析】设，根据点是弦AB的中点，可得以，，，再根据点A，B在双曲线上，代入两式作差求得，即可得双曲线的渐近线方程.
8．【答案】B
【知识点】轨迹方程；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：设点，易知，
因为，所以，即点M的轨迹为圆，
又因为点M在半径为1的圆上，圆心，
所以两圆有公共点，则，解得.
故答案为：B.
【分析】设点，利用平面向量的坐标运算、结合向量模的坐标表示求得点M的轨迹，又因为点M在圆C上，则两圆有交点，根据圆心距和半径的关系列不等式求解即可.
9．【答案】B,C
【知识点】简单随机抽样；分层抽样方法；众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、易知数据的众数为3，中位数为，众数与中位数相等，故A错误；
B、根据简单随机抽样的定义知，个体被抽到的概率是，故B正确；
C、设样本容量为，由题知，解得，即样本容量为18，故C正确；
D、，则第70百分位数是23，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】求数据的众数和中位数即可判断A；根据随机抽样的概率的求法求概率即可判断B；利用分层抽样等比例性质求样本容量即可判断C；根据百分位数的求法求解即可判断D.
10．【答案】A,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图所示：
A、正三棱柱， 易知平面，
因为平面，所以，又因为D为BC的中点，所以，
又因为平面，所以平面，
又因为平面，所以，故A正确；
B、假设平面，平面，则，因为，，平面，所以平面，又因为平面，
所以，与为等边三角形矛盾，故B错误；
C、因为的面积与的面积相等，且两三角形同在平面中，
故三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
即，
，，，故C错误；
D、设为的外心，为的外心，为的中点，
则与两底面垂直，因，，
故，即为三棱柱外接球的球心，
又，，故，
即外接球的半径，故外接球表面积，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据正三棱柱的特征结合线面垂直的判定定理以及点D为BC的中点，证得，，由线线垂直证明平面，再由线面垂直的性质证明即可判断A；假设平面，由此推出，结合条件证得平面，由此得到，产生矛盾，即可判断B；结合锥体体积公式推出，由此可求体积即可判断C；设为的外心，为的外心，为的中点，说明为三棱柱外接球球心，求出外接球的半径，即得外接球的表面积即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】双曲线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解： 双曲线 ，，则，解得，
即双曲线的方程为，
A、易知，则双曲线的离心率为，故A正确；
B、由双曲线定义可知：不妨令，，
因为，所以，即，
整理得到，所以的面积，故B错误；
C、易知圆的方程为，联立，
消得，解得（舍去）或，
代入，可得，
不妨令在第一象限，则，，显然.
由B可知与不重合，而在中，，故C正确；
D、，在中，
由余弦定理可得，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由题意求得双曲线的方程为，求离心率即可判断A；根据双曲线的定义，令，，结合条件可得，再求出的面积即可判断B；联立圆与双曲线的方程，直接求出的坐标，再利用三角形的性质求解即可判断C； ，在中，利用余弦定理求解即可判断D.
12．【答案】
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：由题意，得，，
所以直线的倾斜角为.
故答案为：．
【分析】根据直线方程得出直线的斜率，再利用直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，从而得出直线的倾斜角．
13．【答案】
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设，，易知，
因为在双曲线上，所以，
又因为四边形为矩形，所以，
，，即，
则，，故离心率为．
故答案为：．
【分析】设，，易知，根据双曲线的定义，结合矩形的性质求得椭圆长轴长，再根据椭圆的离心率公式计算即可.
14．【答案】
【知识点】空间向量基本定理；共面向量定理
【解析】【解答】解：如图所示：
因为点为的重心，所以，
又因为为的中点，所以，
则，
因为四点共面，所以，
因为，
所以
，当且仅当时取等号，
则的最小值为.
故答案为：．
【分析】利用重心和中点的性质，用表示，再根据，可得，由共面，可得，最后利用基本不等式求解即可.
15．【答案】（1）解：易知直线的斜率为，
根据垂直关系可得所求直线的斜率为，
设所求直线方程为，
因为直线经过点，所以，解得，
则所求直线方程为，整理得；
（2）解：联立，解得，即直线与的交点为，
当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为，代入得，此时；
当直线的截距都不为0时，设直线方程为，
由题意可得：，解得，
此时直线方程为，
综上所述：所求直线方程为或．
【知识点】用斜率判定两直线垂直；直线的斜截式方程；直线的截距式方程；两条直线的交点坐标
【解析】【分析】（1）易知直线的斜率，利用垂直关系求得所求直线的斜率，设所求直线方程，利用待定系数法求解直线即可；
（2）联立直线方程求得两直线的交点，分直线是否经过原点讨论，再结合过原点直线方程和截距式直线方程求解即可.
（1）由直线可得斜率为
所以根据垂直关系可设所求直线方程为，
则依题意有，解得，
所以所求直线方程为，整理得；
（2）联立，解得，
即直线与的交点为，
当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为，
代入得，此时；
当直线的截距都不为0时，设直线方程为，
依题意，解得，
此时直线方程为，
综上所述：所求直线方程为或．
16．【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
因为，所以，
则，
又因为，所以，则，即，解得；
（2）解：，，，
由余弦定理可得，即，解得，
则的面积.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合三角形的内角和公式、两角和的正弦公式化简求角即可；
（2）由（1），结合，，利用余弦定理求得的值，再利用三角形的面积公式求解即可.
（1）由，根据正弦定理可得，
由，则，
可得，
由，即，则，即，
根据，解得.
（2）根据余弦定理可得，
由，，，则，解得，
所以的面积.
17．【答案】（1）证明 ：取的中点，连接、，
因为点是线段的中点，所以，
又因为四边形是矩形，所以①，
又因为平面，所以，
又因为，，所以平面，
所以，②，
由①②及，得平面，
故；
（2）解：因为矩形所在的平面，所以，，两两垂直，
以A为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
设点到平面的距离为，点到平面的距离为，
则三棱锥的体积，
三棱锥的体积，
由已知可得，即，
得，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，取，得，可得，
易得平面的一个法向量为，
则，
故平面和平面夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）取的中点，连接、，由矩形所在的平面可证明平面，再由点是线段的中点，则可证明平面，根据线面垂直的性质可证明；
（2）以A为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，设点到平面的距离为，点到平面的距离为，由体积关系得，利用向量法求二面角的余弦值即可.
（1）证明：取的中点，连接、，
点是线段的中点，
四边形是矩形，①.
平面，，
又，，平面，
，②
由①②及得平面，
（2）因为矩形所在的平面，所以，，两两垂直.
分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系.
则，，，，
设点到平面的距离为，点到平面的距离为，
则三棱锥的体积，
三棱锥的体积
由已知可得，即
得，，，
设平面的法向量为，
则，即，
得，取，得，所以，
易得平面的一个法向量为，
则，
所以平面和平面夹角的余弦值为.
18．【答案】（1）解：圆的标准方程为，圆心为，半径为，
则圆心在过与的直线上，即在直线上，
因为圆过和，所以设圆心，
则，解得，即圆心，半径易知为2，
故圆；
（2）①、证明：当直线斜率为0时，此时，
又因为，所以三点共线，此时可得，都为零度角；
当直线斜率不为0时，设，
联立，消元整理得，
由韦达定理可得，
则，
，
即，故；
②、当直线斜率为0时，不能构成三角形，
故直线斜率不为0，所以可设直线的方程为：，
由①知中点
则中垂线为：，化简得，
又因为是圆与的交点，所以，
所以中垂线：，
同理中垂线，
联立，可得：
，
故外接圆圆心得轨迹方程为.
【知识点】斜率的计算公式；圆的标准方程；直线与圆的位置关系；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）化圆一般方程为标准方程，求得圆心和半经，利用圆的几何性质定位圆心位置，再借助两点间距离来求参数，即可得圆的方程；
（2）①、分直线的斜率为0和不为0讨论，当斜率为0时，由三点共线，即可证明；当斜率不为0时，设，联立直线与圆方程，利用斜率证明两个角相等即可；
②、当直线斜率为0时，不能构成三角形，则直线的斜率不为0，设直线的方程为：，求中垂线的直线方程，再通过消参法来得到圆心轨迹方程.
（1）由变形得：，可知该圆心为，半径为，
所以圆心在过与的直线上，即在直线上，
有因为圆过和，所以设圆心，
则有，解得，
所以圆心，半径易知为2.
故圆
（2）①证明：（1）当直线斜率为0时，此时，
又因为，所以三点共线，此时可得，都为零度角；
（2）当直线斜率不为0时，设
联立得，则.
.
所以，故.
②当直线斜率为0时，不能构成三角形，
故直线斜率不为0，所以可设直线的方程为：
由①知中点所以中垂线：，
化简得又因为是圆与的交点，
所以，
所以中垂线：.
同理中垂线.
联立得：
故外接圆圆心得轨迹方程为.
19．【答案】（1）解：由题意可得：，解得，
则曲线的方程为；
（2）解：设直线与曲线的两交点的坐标分别为，
联立，消元整理可得，
可得：，
则弦长为
，化简得，
即，得，故的值为；
（3）解：设，直线的方程为，
联立，消元整理可得，
由韦达定理可得，
设点，由，可得，
则，得，故，
又因为，则，可得，所以，可得，
解得或（舍），则.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，列关于的方程组，求出，即可得椭圆的方程；
（2）设直线与曲线的两交点的坐标分别为，联立直线与椭圆方程，消元整理，利用韦达定理以及弦长公式列等式求解即可；
（3） 设，直线的方程为， ，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理写出根与系数关系，再根据题给条件写出点坐标与的关系，得到关于的方程求解即可.
（1）根据题意可知，所以，
所以曲线的方程为.
（2）设直线与曲线的两交点的坐标分别为
联立，可得，
所以，
所以弦长为
，
化简得，
即，得，所以的值为.
（3）设，直线的方程为，
联立得，
所以，
设点，因为，可得，
则，得，故，
又因为，则，可得，
所以，可得，
得或（舍），所以.
1 / 1
