北京市顺义区第一中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试卷（PDF版，无答案）

2025北京顺义一中高三 12月月考
数 学
一、单选题（本大题共 10小题，共 40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
（1）已知集合A = { 2, 1,0,1,2,3}，集合 B ={ x | x 1 0}，则 A B =
（A） x 1 x 2 （B）{x|x > 1} （C）{2,3} （D）{1,2,3}
（2）在复平面内，复数 z1 =1 i， z2 = 2 + i，则 z1 z2 对应的点的坐标是
（A） (3, 2) （B） ( 1, 0) （C） (1, 3) （D）(3,-1)
（3）若 a b 0 ，则下列不等式成立的是
b a 1 1
（A） ab b2 2 2 （B） （C） （D） a b
a b a b
2
（4）在（x )4的展开式中，常数项为
x
（A） 6 （B） -6 （C）24 （D）-24
（5）已知 P(m,√3)为角α终边上一点,“m= 1”是“ α √sin = 3”的
2 2 2
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
x2 5
（6）已知双曲线C： y2
√
=1的离心率为 ，则双曲线C的渐近线方程为
a2 2
（A） = ± 1 （B）y=±2 （C） y=± （D）y=±√2
2
（7）中国古代数学著作《九章算术》中记载的“刍甍”(如图）是一种五面体，底面 ABCD 为矩形，
侧棱 EF//平面 ABCD,若有“刍甍”形状的几何体，且几何体数据如下：AB=4,AD=2,EF=2,且各

侧面与底面 ABCD 所成角均为 ，则该“刍甍”的体积
4
为
7
（A）
3
（B）8
10
（C）
3
32
（D）
3
（8）长度为 4 的线段 AB的两个端点分别在 x轴及 y轴上运动，则线段 AB的中点到直线3x-4y+20=0距离
的最大值为
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（A）1 （B）3 （C）4 （D）6

（9） 在 △ABC 中 ，AC=AB=2， A =120 ， D 为 △ABC 所 在 平 面 内的 动 点 ，且 A D =2 ， 则
→ →
| BD | + | AD |的最小值为
（A）2√3 （B）2√5 （C）1+ 3 （D） 10
(10)已知函数 f (x) =| ln | x || kx +1，给出下列四个结论：
① k 1，使得 f (x) 为偶函数；
② k 1，使得 f (x) 存在最小值；
③ k 1， f (x) 在（0，+ ）上单调递减；
④ k > 0，使得 f (x) 有三个零点；
其中正确的结论有
（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个
二、填空题（本大题共 5小题，共 25分）
1
11.函数 f (x) = + log2 x的定义域为_______.
x 1
2
12.抛物线 y = 4x的焦点 F 到其准线的距离为 ;抛物线上一点 M，且|MF|=7,则 M 点的横坐标为
_____________.
13.已知函数 π 1
π π
f(x)=sin(2x+φ)+cos2x,|φ|< 且f(0)= ，则 =__________,当 x [ , ]时，曲线 y = f (x) 与
2 2 6 3
直线 y = m恰有一个公共点，写出一个满足条件的 m值________.
14.已知等差数列 an 与等比数列 bn 的首项均为－3，且a a = 8b3 =1， 4 4 ，则数列 an 的通项公式为
_____________,数列 anbn 的最大值为____________.
15. 在平面内，到两个定点 A( a, 0) 和 B(a, 0) (a 0)的距离之积为常数 a 2 的点的轨迹是一条优美的曲线，
设点 P 在轨迹曲线 C 上，有以下结论：
①曲线 C 关于原点对称；
②当 a=1 时，P 点的横坐标不超过√ ； 2
3
③ △PAB的面积可以等于 2；
4
④点 P 到原点距离
|OP|≤√
．
2a
其中，所有正确结论的序号是 ____．
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三、解答题（本大题共 6小题，共 85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
(16)(本题 13 分）
如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD 是矩形， PD ⊥底面 ABCD，且
PD=AD=4，E是 PC的中点，平面 ABE与线段 PD交于点 F.
（1）求证： AB//FE；
（2）若 CF= √ ，求直线 BE与平面 BCF所成角的正弦值. 2 5
（17）（本题 13 分）

在△ABC中，bsin A = a sin( B) .
3
（Ⅰ）求 B；
（Ⅱ）若a=4√3，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一．个．作为已知，使得△ABC存．在．且．唯．一．
确定，求△ABC的面积．
条件①：△ABC的周长为8+4√3；
4
条件②： cos A = ；
5
条件③：b=6．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按
第一个解答计分．
（18）（本题 14 分）
某品牌汽车计划推出两款新型车，纯电动（EV)和插混电动版(PHEV),为了解某市将来市场情况，在该
市潜在消费群体中抽取 200 人进行购买意愿调查，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人）
低收入群体 中收入群体 高收入群体（收入>50 万
车型
（收入<20 万元/年） （收入 20 万元-50 万元/年） 元/年）
愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意
EV 50 20 40 40 30 20
PHEV 25 45 40 40 35 15
假设所有潜在消费者的购买意愿都是相互独立，用频率估计概率.
(1) 在该市汽车潜在消费者中随机抽取 1 人，估计其愿意购买纯电动版（EV)的概率 p;
(2) 从该市潜在消费者的中收入群体中随机抽取 2 人，在高收入群体中随机抽取 1 人，记 X 为 3 人中愿意
购买纯电动版（EV)汽车的人数，求 X 的分布列和数学期望；
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(3) 若该市 C 社区中汽车潜在消费者低收入群体、中收入群体、高收入群体的人数之比为 1：4：2，从该社
区随机抽取 1 人，其愿意购买纯电动版(EV)汽车的概率设为 试比较 p 和 的大小.
（19）(本题 15 分）
x2 y2 3
已知椭圆E : + =1(a b 0) 的上，下顶点分别为 A，B，且短轴长为 2，离心率为 .
a2 b2 2
（1）求椭圆 E的标准方程；
（2）设直线 y=-2 与 y 轴交于点 Q，点 M 为椭圆 E 上不同于顶点的一点,且直线 BM与直线 y=-2 交于点
P，AM 与直线 y=-2 交于点 N，判断是否存在点 M，使得 PAN = QMN ？若存在，求出点 M 的坐
标；若不存在，说明理由.
（20）（本题 15 分）
已知函数 f (x) = x2 + ln(x +1)．
（Ⅰ）求 f (x) 在(0,f(0))处的切线方程；
（Ⅱ）设g(x)=ex-cosx,证明：当 x>0 时，g(x)>0；
（Ⅲ）若 (ex + acos x) f (x)≥0恒成立，求实数 a的值．
（21）（本题 15 分）
项数为m (m≥ 2)的数列{an} 满足如下两个性质，则称{an} 为一个满足“绝对值 关联”的m阶数列：
m m m
① | a | a = m 1 (其中 a = a + a + + a )； i i i 1 2 m
i=1 i=1 i=1
② | a |≤ (i =1 , 2 , , m) ． i
2 2 2 2
（Ⅰ）判断数列 , , ,1 ,1是否为一个满足“绝对值 关联”的 5 阶数列？是否为一个满足“绝对
3 3 3 3
值1关联”的 5 阶数列？说明理由；
5
（Ⅱ）若数列{an}为一个满足“绝对值 关联”的 6 阶数列，证明： 的最小值为 ；
6
（Ⅲ）若数列{an}为一个满足“绝对值 关联”的 2k +1(k
*
N )阶数列，求 的最小值．
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