【备考2026】宁夏中考仿真数学试卷2（含解析）

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【备考2026】宁夏中考仿真数学试卷2
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
题号 一 二 三 总分
得分
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）下列是无理数的是（　　）
A． B．0.33 C．﹣1 D．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．x+x2＝x3 B． C．（3x）2＝6x2 D．﹣1﹣1＝0
3．（3分）如图，港口A与轮船B相距60海里，在港口A处描述轮船B的方位正确的是（　　）
A．北偏东50°的60海里处
B．北偏东40°的60海里处
C．南偏西50°的60海里处
D．南偏西40°的60海里处
4．（3分）为落实阳光体育活动，学校鼓励学生积极参加体育锻炼．已知某天五位同学体育锻炼的时间分别为（单位：小时）：1，1.5，1.4，2，1.5，这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．1.5，1.5 B．1.4，1.5 C．1.45，1.5 D．1，2
5．（3分）图1是用3个大小相同的小正方体搭成的几何体，要使其主视图、左视图如图2所示，则至少再放小正方体的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（3分）已知|x﹣1|＝1﹣x，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）一架新款无人机在无风时的飞行速度为x千米/小时，在飞行当天测得平均风速为36千米/小时，若无人机顺风飞行200千米所用时间与逆风飞行120千米所用时间相等（顺风速度＝无风速度+风速，逆风速度＝无风速度﹣风速），则可列分式方程是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图所示，在四边形ABCD中，AC＝DB，且AC⊥BD，点E、F分别为边AD、BC中点，连接EF．若EF＝4，则四边形ABCD的面积为（　　）
A． B．16 C．32 D．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．（3分）据统计，今年元宵节，汕头市小公园开埠区核心街区客流量就将近178000人次，178000用科学记数法表示应为 　 　 ．
10．（3分）不透明的袋中装有若干个质地均匀的红球和4个白球，摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.6左右，则袋中红球的个数为 　 　 ．
11．（3分）某市2022年元旦的最高气温为11℃，最低气温为﹣3℃，这一天的最高气温比最低气温高了 　 　 ℃．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1为函数y＝﹣x2+mxm2+m的图象，抛物线C2为函数y＝x2﹣2mx+m2﹣m的图象（m＞0），C1与x轴交于点A，B，C2与x轴交于点C，D，当CB＝BD时，m为 　 　 ．
13．（3分）将边长相等的正五边形和正方形按如图位置摆放，AB为正五边形和正方形的一条公共边，点C、D分别为正五边形和正方形的一个顶点，连接BC、BD，则∠CBD的度数为 　 　 °．
14．（3分）定义：在平面直角坐标系中，若m﹣n≠﹣2，称点（m，n）与点（n﹣2，m+2）互为友好点．若直线l上存在友好点，且与x轴，y轴围成的三角形的面积是3，则直线l的表达式为　 　 ．
15．（3分）对于关于x的整式ax2+bx+c，我们定义一种新运算《ax2+bx+c》，若整式的最高次项的系数为正，其结果等于本身，若整式的最高次项的系数为负，其结果就是在整式前添加一个负号．
例如：《2x2﹣3x+1》＝2x2﹣3x+1，《﹣x2+4x﹣5》＝﹣（﹣x2+4x﹣5）＝x2﹣4x+5，
《3x+2》＝3x+2，《﹣4x+1》＝﹣（﹣4x+1）＝4x﹣1．
现有A1＝2x2﹣1，A2＝x2+x，规定：A3＝《A2﹣A1》，A4＝《A3﹣A2》，…
An＝《An﹣1﹣An﹣2》（n≥3，n为整数）
下列说法正确的是　 　 （填序号）
①A1+A2+ +A8＝7x2﹣11x﹣9；
②若A2026＝9，则x＝4；
③当3≤k≤2025，满足Ak﹣1﹣Ak﹣2＝Ak的整数k有674个．
16．（3分）如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，点M，A，B在同一条直线上，经测量得到如下数据：AM＝5米，AB＝10米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为 　 　 米．（结果精确到0.1米，参考数据：1.73）
三．解答题（共10小题，满分72分）
17．（6分）错题是最好的素材，识错和辨错能有效的检测我们的知识漏洞，纠错和改错则能培养我们严谨高阶的学科素养．以下是亮亮同学在解不等式组的过程：
解不等式组．
解：由①得，x﹣2x﹣6＞2，由②得，2x+1＞﹣1，
∴﹣x＞8，∴2x＞﹣2，
∴x＞﹣8，∴x＞﹣1，
∴不等式组的解集为x＞﹣1．
辨认他的错误思路，请你即行即改，写出正确的解答过程．
18．（6分）先化简，再求值：，其中．
19．（6分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AB＝10，AC＝6．
（1）尺规作图：在图1中确定一点D，使其平分弧BC；
（2）在（1）的基础上，在图2中连接CD，求CD的长．
20．（6分）甲种铅笔每支0.2元，乙种铅笔每支0.5元，某人买了x支甲种铅笔、y支乙种铅笔，共花费7元．
（1）列出关于x、y的二元一次方程；
（2）如果乙种铅笔买了10支，那么甲种铅笔买了多少支？
21．（6分）如图，四边形ABCD为平行四边形，点E在BC延长线上，连结AE，且∠CAE＝∠D，AE＝5，BE＝8，求CE的长．
22．（6分）为了制订某市七、八、九年级男生校服的生产计划，有关部门准备对这三个年级抽取180名男生的身高做调查．现有三种调查方案：
①测量该市少年体校中这三个年级的180名男子篮球、排球队员的身高；
②查阅有关这三个年级180名男生身高的统计资料；
③在该市市区和郊县中学中各任选6所，从这12所中学的三个年级中分别用抽签的方法选出15名男生，然后测量他们的身高．
（1）为了达到估计该市中学七、八、九年级男生身高的目的，你认为采取上述哪种方案比较合理？
（2）下表中的数据是使用了某种合理的调查方法获得的：
年级人数/人身高/cm 七年级 八年级 九年级 总计（频数）
140～150 13 4 1 　 　
150～160 21 12 9 　 　
160～170 21 30 33 　 　
170～180 5 14 11 　 　
180～190 0 0 6 　 　
（注：每组数据中含最低值，不含最高值）
根据表中的数据填空格，并在图中绘制频数分布直方图；
（3）如果该市七、八、九年级的男生共有15万人，那么身高在160 170cm范围的男生估计有多少万．
23．（8分）观察如图中函数y和y的图象，请写出它们的异同点．
24．（8分）已知I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D，连接DC，DB．
（1）在图1中：①证明：DC＝DB；②判断△IBC外心的位置，并证明；
（2）如图2，若AB为△ABC的外接圆直径，取AB中点O，且OI⊥AD于点I，DE切圆O于点D，求tan∠ADE的值．
25．（10分）综合与实践
【问题提出】
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为斜边AB上一点，连接CD并延长到如E，使得DE＝DC，过点E作EF⊥AB于点F．则AC与EF的数量关系为 　 　 ．
【拓展应用】
如图2，在△ABC中，AC＝BC＝5k，AB＝8k，点D为AB边上一点，连接CD并延长到点E，使得，过点E作 EF⊥AB，交直线AB于点F．
（1）当点D，F位于点A异侧时，写出AC，AD，DF之间的数量关系，并说明理由；
（2）当点D，F位于点A同侧时，若AD＝6，DF＝1，请直接写出AC的长．
26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+kx﹣3与x轴交于点A（﹣3.0）和点B（1，0），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线对称轴上一个动点，求点P的坐标，使得PB+PC的值最小．
（3）设抛物线的顶点为D，则点D在△AOC的外接圆的　 　 （填“内部”或“外部”或“圆上”）
参考答案
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．【考点】无理数；算术平方根
【分析】根据无理数的定义解答即可．
解：是无理数；
4，0.33，﹣1是有理数．
故选：D．
【点评】本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
2．【考点】幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂；有理数的减法；合并同类项
【分析】分别根据合并同类项法则，负整数指数幂，幂的乘方、积的乘方运算法则以及有理数的减法运算法则计算判断即可．
解：分别根据合并同类项法则，负整数指数幂，幂的乘方、积的乘方运算法则以及有理数的减法运算法则计算判断如下：
A、x与x2不是同类项，不能合并，故原运算错误，不符合题意；
B、，运算正确，符合题意；
C、（3x）2＝9x2，故原运算错误，不符合题意；
D、﹣1﹣1＝﹣2，故原运算错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了合并同类项，负整数指数幂，幂的乘方、积的乘方运算以及有理数的减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．【考点】方向角
【分析】根据AC∥BE，∠ABE＝40°DE∠CAB＝40°，进而得∠DAB＝50°，再根据方向角的定义得轮船在港口A南偏西50°的60海里处，由此即可得出答案．
解：如图所示：
∵AC∥BE，∠ABE＝40°，
∴∠CAB＝∠ABE＝40°，
∵∠CAD＝90°，
∴∠DAB＝∠CAD﹣∠CAB＝50°，
∴轮船在港口A南偏西50°的60海里处．
故选：C．
【点评】此题主要考查了方向角的定义，准确识图，熟练掌握方向角的定义是解决问题的关键．
4．【考点】众数；中位数
【分析】根据中位数和众数的定义分别求解即可．
解：根据中位数和众数的定义可知：中位数为第3位：1.5，
1.5出现2次，出现的次数最多，则众数为1.5，
故选：A．
【点评】本题主要考查了中位数和众数的定义，熟练掌握以上知识点是关键．
5．【考点】由三视图判断几何体
【分析】在俯视图标出小正方形的个数，即可得出答案．
解：由主视图和左视图可确定所需正方体个数最少时俯视图为：
则组成该几何体所需小正方体的个数最少是2个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体，根据主视图和左视图画出所需正方体个数最少的俯视图是关键．
6．【考点】在数轴上表示不等式的解集；绝对值
【分析】根据0和负数的绝对值是它的相反数，可得x≤0，然后在数轴上表示即可．
解：∵|x﹣1|＝1﹣x，
∴x≤1，
则x的取值范围在数轴上表示正确的是．
故选：D．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，掌握绝对值的性质是解答本题的关键．
7．【考点】由实际问题抽象出分式方程
【分析】根据“无人机顺风飞行200千米所用时间与逆风飞行120千米所用时间相等（顺风速度＝无风速度+风速，逆风速度＝无风速度﹣风速），”列出方程即可．
解：∵无人机在无风时的飞行速度为x千米/小时，在飞行当天测得平均风速为36千米/小时，
∴顺风速度＝（x+36）千米/小时，逆风速度＝（x﹣36）千米/小时，
∴可列方程为：，
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，用到的知识点为：顺风速度＝无风时的速度+风速；逆风速度＝无风时的速度﹣风速．
8．【考点】三角形中位线定理；三角形的面积
【分析】作AB的中心于点G，连接EG，FG；根据中位线的性质，得，；根据AC＝DB，且AC⊥BD，得EG＝FG，∠EGF＝90°，根据四边形的面积，即可．
解：作AB的中点G，连接EG，FG，
∵点E、F分别为边AD、BC中点，
∴，，
∵AC＝DB，且AC⊥BD，
∴EG＝FG，∠EGF＝90°，
∴△EGF是等腰直角三角形，
∵EF＝4，
∴EG2+FG2＝EF2，
解得：，
∴，
∵四边形ABCD的面积：．
故选：B．
【点评】本题考查三角形中位线，等腰直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是掌握三角形中位线的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理的运用．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．【考点】科学记数法—表示较大的数
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
解：178000＝1.78×105．
故答案为：1.78×105．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
10．【考点】利用频率估计概率
【分析】用白球的个数除以摸到白球频率得出球的总个数，继而得出答案．
解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.6左右，
则摸到红球的概率为0.6，摸到白球的概率为0.4，
∴袋子中球的总数为：4÷0.4＝10（个），
∴红球的个数为：10﹣4＝6（个）．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
11．【考点】正数和负数
【分析】用最高气温减去最低气温进行计算即可．
解：11﹣（﹣3）＝14℃；
故答案为：14．
【点评】本题考查正数和负数，正确记忆相关知识点是解题关键．
12．【考点】抛物线与x轴的交点
【分析】将抛物线C2化为顶点式得到CD的中点为（m，0），即B（m，0），再代入抛物线C1即可求解．
解：，
∴CD的中点为（m，0），
∵CB＝BD时，B为CD的中点，
∴B（m，0），
由题意可得：，
解得m＝4或m＝0（舍）．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质、解一元二次方程，核心素养表现为抽象能力、运算能力和推理能力，正确进行计算是解题关键．．
13．【考点】多边形内角与外角
【分析】先根据正方形的性质得到∠ABD＝45°，再求出∠BAC＝108°，进而求出∠ABC＝36°，据此可得答案．
解：由正方形的性质可得∠ABD＝45°，
由正五边形的性质可得，AC＝AB，
∴，
∴∠CBD＝∠ABC+∠ABD＝81°，
故答案为：81．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，等边对等角，正五边形内角和定理，掌握多边形内角和公式是关键．
14．【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【分析】先根据“友好点”得定义找出友好点坐标之间关系，设出直线上一点及其友好点，得出直线得斜率，再结合直线与坐标轴围成三角形面积求出直线表达式．
设点（m，n）在直线上，其友好点（n﹣2，m+2）也在直线l上，
∴根据过两点（x1，y1），（x2，y2）直线得斜率公式k1，
∴可设直线l的表达式为y＝﹣x+b，
当x＝0时，y＝b，即直线l与y轴交点为（0，b），
当y＝0时，0＝﹣x+b，解得x＝b，即直线l与x轴交点为（b，0），
∴S|x|×|y||b|×|b|＝3，
∴b，
∴直线得表达式y＝﹣x，或y＝﹣x．
故答案为：y＝﹣x，或y＝﹣x．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握该知识点是解题的关键．
15．【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算
【分析】运用新运算法则和整数运算法则得出规律，即可判断结论①；观察规律可知：A4＝A7＝A10＝ ＝A3k+1＝2x+1，其中k≥1，k为正整数，根据题意列方程求解即可判断结论②；当3≤k≤2025时，观察得：A6，A9，A12， ，A3×674，满足Ak﹣1﹣Ak﹣2＝Ak，即当k＝3m（m≥2）时，Ak＝Ak﹣1﹣Ak﹣2的最高次项的系数为正；则6≤3m≤2025，即可判断结论③．
解：①由题意得：A1＝2x2﹣1，
A2＝x2+x，
A3＝《A2﹣A1》＝《﹣x2+x+1》＝﹣（﹣x2+x+1）＝x2﹣x﹣1，
A4＝《A3﹣A2》＝《（x2﹣x﹣1）﹣（x2+x）》＝《﹣2x﹣1》＝2x+1，
A5＝《A4﹣A3》＝《（2x+1）﹣（x2﹣x﹣1）》＝《﹣x2+3x+2》＝x2﹣3x﹣2，
A6＝《A5﹣A4》＝《（x2﹣3x﹣2）﹣（2x+1）》＝《x2﹣5x﹣3》＝x2﹣5x﹣3，
A7＝《A6﹣A5》＝《（x2﹣5x﹣3）﹣（x2﹣3x﹣2）》＝《﹣2x﹣1》＝2x+1，
A8＝《A7﹣A6》＝《（2x+1）﹣（x2﹣5x﹣3）》＝《﹣x2+7x+4》＝x2﹣7x﹣4，
A9＝《A8﹣A7》＝《（x2﹣7x﹣4）﹣（2x+1）》＝《x2﹣9x﹣5》＝x2﹣9x﹣5，
A10＝《A9﹣A8》＝《（x2﹣9x﹣5）﹣（x2﹣7x﹣4）》＝《﹣2x﹣1》＝2x+1，
A11＝《A10﹣A9》＝《（2x+1）﹣（x2﹣9x﹣5）》＝《﹣x2+11x+6》＝x2﹣11x﹣6，
A12＝《A11﹣A10》＝《（x2﹣11x﹣6）﹣（2x+1）》＝《x2﹣13x﹣7》＝x2﹣13x﹣7，
，
∴A1+A2+ +A8＝（2x2﹣1）+（x2+x）+（x2﹣x﹣1）+（2x+1）+（x2﹣3x﹣2）+（x2﹣5x﹣3）+（2x+1）+（x2﹣7x﹣4）＝7x2﹣11x﹣9；
故①正确；
②观察规律可知：A4＝A7＝A10＝ ＝A3k+1＝2x+1，其中k≥1，k为正整数，
∵2026＝3×675+1，
∴A2026＝2x+1＝9，
解得：x＝4，
故②正确；
③当3≤k≤2025时，观察得：A6，A9，A12， ，A3×674，满足Ak﹣1﹣Ak﹣2＝Ak，即当k＝3m（m≥2）时，Ak＝Ak﹣1﹣Ak﹣2的最高次项的系数为正；
∴6≤3m≤2025，
∴2≤m≤675，
∵675﹣2+1＝674，
∴正整数m的个数有674个，即满足Ak﹣1﹣Ak﹣2＝Ak的整数k有674个，故③正确；
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了整式的运算，读懂题意，总结规律是解本题的关键．
16．【考点】解直角三角形的应用
【分析】根据题意可得：CM⊥MB，然后分别在Rt△ADM和Rt△CMB中，利用锐角三角函数的定义求出DM和CM的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答．
解：由题意得：CM⊥MB，
在Rt△ADM中，AM＝5米，∠MAD＝45°，
∴DM＝AM tan45°＝5（米），
∵AB＝10米，
∴MB＝AM+AB＝15（米），
在Rt△CMB中，∠CBM＝30°，
∴CM＝BM tan30°＝155（米），
∴CD＝CM﹣DM＝55≈3.7（米），
∴警示牌的高CD约为3.7米，
故答案为：3.7．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
三．解答题（共10小题，满分72分）
17．【考点】解一元一次不等式组
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
解：亮亮同学的解答过程不正确，
正确过程如下：由①得：x﹣2x+6＞2，
﹣x＞﹣4，
x＜4；
由②得2x+1＞﹣3，
2x＞﹣4，
x＞﹣2；
∴不等式组的解集为﹣2＜x＜4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．【考点】分式的化简求值
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
解：原式

，
当x时，原式2．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
19．【考点】作图—复杂作图；圆周角定理
【分析】（1）作∠CAB的平分线交弧BC于点D即可；
（2）连接BD，OD，根据垂径定理得CE＝BE，然后利用勾股定理即可解决问题．
解：（1）如图1，点D即为所求；
（2）如图2，连接BD，OD，BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝10，AC＝6，
∴BC8，
由（1）知：，
∴CD＝BD，
∵OD是⊙O的半径，
∴OD⊥BC，BE＝CEBC＝4，
∵AB＝10，
∴OB＝OD＝5，
∴OE3，
∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2，
∴BD2，
∴CD＝2．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．
20．【考点】二元一次方程的应用
【分析】（1）利用总价＝单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程；
（2）代入y＝10，求出x的值即可得出结论．
解：（1）根据题意得：0.2x+0.5y＝7；
（2）当y＝10时，0.2x+0.5×10＝7，
解得：x＝10．
答：甲种铅笔买了10支．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
21．【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【分析】由平行四边形的性质得∠B＝∠D，因为∠CAE＝∠D，所以∠B＝∠CAE，而∠E＝∠E，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABE∽△CAE，根据相似三角形的性质即可求得答案．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵∠CAE＝∠D，
∴∠B＝∠CAE，
∵∠E＝∠E，
∴△ABE∽△CAE，
∴，
∵AE＝5，BE＝8，
∴CE，
∴CE的长是．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出∠B＝∠CAE，进而证明△ABE∽△CAE是解题的关键．
22．【考点】频数（率）分布直方图；统计表；全面调查与抽样调查；用样本估计总体
【分析】（1）选择有代表性的样本较为合理；
（2）根据各个年级的各组频数即可计算各组的总数；
（3）根据表格计算样本中符合条件的频率，进一步计算总体符合条件的人数即可．
解：（1）第③种方案比较合理．方案③采用了随机抽样的方法．随机样本比较具有代表性，可以被用来估计总体，因此第③种方案比较合理；
（2）140～150：13+4+1＝18（人），
150～160：21+12+9＝42（人），
160～170：21+30+33＝84（人），
170～180：5+14+11＝30（人），
180～190：0+0+6＝6（人），
绘制频数分布直方图如下：
，
故答案为：18；42；84；30；6；
（3）某市中学七、八、九年级身高在160cm～170cm范围内的男生人数估计有：157（万人）．
【点评】本题考查频数的计算、根据样本估计总体以及动手绘制直方图的能力．注意抽取的样本必须具有代表性．
23．【考点】反比例函数的图象
【分析】根据函数图象即可得到结论．
解：函数y和y的图象的相同点：函数y和y的图象的形状和大小相同；
不同点：函数y的图象在二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大；函数y的图象在一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小；
【点评】本题考查了反比例函数的图象，是基础知识要熟练掌握．
24．【考点】三角形的内切圆与内心；解直角三角形；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的性质
【分析】（1）①根据内心的性质以及圆周角定理，即可得出结论；
②根据三角形内心的性质，等腰三角形的性质和判定，得出DC＝DI＝DB即可；
（2）根据锐角三角函数的定义，切线的性质，圆周角定理以及直角三角形的边角关系进行计算即可．
（1）证明：①∵I是△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，即∠CAD＝∠BAD，
∴DC＝DB；
②D为△外心，证明如下：
∵I是△ABC的内心，
∴BI平分∠CBA，
即∠CBI＝∠ABI，
∵∠DBC＝∠DAC
∴∠DBI＝∠CBI+∠DBC＝∠ABI+∠DAC＝∠ABI+∠BAD＝∠DIB，
∴DI＝DB，
∴DC＝DI＝DB，
∴D为△外心；
（2）解：连接OD
∵AB为△ABC 的外接圆直径，O为AB中点，
∴O为△ABC的外接圆圆心，
∵DE切圆O于点D，
∴∠ODE＝90°，
即∠ODA+∠ADE＝90°，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AB为△ABC 的外接圆直径，
∴∠OAD+∠OBD＝∠ADB＝90°，
∴∠ADE＝∠OBD，
∵OI⊥AD，OD＝OA，
∴DI＝IA，
∵由（1）得 DI＝DB，
∴AD＝2DB，
∴tan∠ADE＝tan ．
【点评】本题考查三角形的内切圆，切线的性质，直角三角形的边角关系以及三角形的外接圆，掌握三角形的内心，外心的性质，切线的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
25．【考点】三角形综合题
【分析】【问题提出】过点C作CG⊥AB于G，先证明△EDF≌△CDG，得到EF＝CG，然后等腰三角形的性质和含30度直角三角形的性质，即可求出答案；
【拓展应用】（1）过点C作CH⊥AB于H，与（1）同理，证明△EDF≌△CDH，然后证明△ACH是等腰直角三角形，即可得到结论；
（2）过点C作CG⊥AB于G，与（1）同理，得△EDF≌△CDG，然后得到△ACG是等腰直角三角形，利用勾股定理解直角三角形，即可求出答案．
解：【问题提出】过点C作CG⊥AB于G，如图1，
∵EF⊥AB，
∴∠EFD＝∠CGD＝90°，
∵∠EDF＝∠CDG，DE＝CD，
∴△EDF≌△CDG（AAS），
∴EF＝CG；
在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴CGAC，
∴EFAC；
故答案为：EFAC；
【拓展应用】（1）5AD+10DF＝4AC，
理由：过点C作CH⊥AB于H，如图2，
∵EF⊥AB，
∴∠F＝∠AHC＝90°，
∵∠EDF＝∠CDH，
∴△EDF∽△CDH，
∴，
∵，
∴DFDH，
∴AH＝AD+DH＝AD+2DF＝4k，
∵AC＝5k
∴，
∴5AD+10DF＝4AC；
（2）如图3，过点C作CG⊥AB于G，
与①同理可证，△EDF∽△CDG，
∴DG＝2DF＝2，
∵AD＝6，
当点F在点A、D之间时，有
∴AG＝2+6＝8，
∵AC＝BC，
∴AGAB＝4k＝8，
∴k＝2，
∴AC＝5k＝10；
当点D在点A、F之间时，如图4：
∴AG＝AD﹣DG＝6﹣2＝4，
∵AC＝BC，
∴AGAB＝4k＝4，
∴k＝1，
∴AC＝5k＝5；
综合上述，线段AC的长为10或5．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，正确得到三角形全等．
26．【考点】二次函数综合题
【分析】（1）根据函数图象经过的两点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
（2）先求出对称轴，得出点A（﹣3，0），B（1，0）关于对称轴对称，连接AC交对称轴于点P，连接BP，此时PB+PC的值最小，即为AC的长求出即可．
（3）根据AO＝CO＝3，∠AOC＝90°，得出△AOC的外接圆直径是AC，圆心Q是AC中点，求出圆心和半径，求出点D到圆心的距离，与半径比较即可．
解：（1）将点A（﹣3，0），B（1，0）代入解析式得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）∵抛物线y＝x2+2x﹣3＝（x﹣1）2+4的对称轴为直线x＝﹣1，
∴点A（﹣3，0），B（1，0）关于对称轴对称，
∴连接AC交对称轴于点P，连接BP，此时PB+PC的值最小，
设直线AB的解析式为y＝k′x﹣3，
由A（﹣3，0）得0＝﹣3k′﹣3，解得：k′＝﹣1，
∴直线AB：y＝﹣x﹣3，
∴P（﹣1，﹣2），
∵AP＝BP，
∴PB+PC＝AP+PC的最小值是AC，
∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴AC＝3，
∴PB+PC的最小值为．
（3）∵AO＝CO＝3，∠AOC＝90°，
∴，半径，
根据题意点D坐标是（﹣1，﹣4），
∴DQ，
∵，
∴点D在△AOC的外接圆的外部，
故答案为：外部．
【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、轴对称求最短路径、圆周角定理以及点与圆的位置关系、圆周角定理、三角形外接圆、勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及利用轴对称性质求出最短路线的长
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