【备考2026】四川省成都市中考仿真数学试卷2（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
【备考2026】四川省成都市中考仿真数学试卷2
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
题号 一 二 三 总分
得分
一．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分）
1．（4分）的绝对值是（　　）
A．﹣10 B． C． D．10
2．（4分）如图，某几何体由8个完全相同的小正方体搭成，其箭头所指为主视方向，则该几何体的左视图是（　　）
A． B． C． D．
3．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．3a2﹣2a＝a
B．（2a+b）2＝4a2+b2
C．（﹣2ab2）3＝﹣6a3b6
D．（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2
4．（4分）在直角坐标系中，点P（2，4）关于原点对称的点Q的坐标为（　　）
A．（4，2） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣2，4） D．（2，﹣4）
5．（4分）徐州云龙山共九节，蜿蜒起伏，形似游龙，每节山的海拔如图所示．
其中，海拔为中位数的是（　　）
A．第五节山 B．第六节山 C．第八节山 D．第九节山
6．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　）
A．OA⊥OB B．∠BAC＝∠ACB C．OA＝OB D．AD＝AB
7．（4分）我国古代数学名著《九章算术》中有一题：“今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问家数、牛价各几何？”其意思为：今有人合伙买牛，每7家共出190钱，还差330钱；每9家共出270钱，又多了30钱．问家数、牛价各是多少？若设共有x户人家共同买牛，牛的价格为y钱，则可列方程组为（　　）
A．
B．.
C．.
D．
8．（4分）如图，在 ABCD中，∠A＝30°．利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BF，使BE＝BF；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠ABC内相交于点G；作射线BG交DC于点H．若，则BH的长为（　　）
A． B． C． D．2
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
9．（4分）若，则（a+b）2＝　 　 ．
10．（4分）方程的解是 　 　 ．
11．（4分）如图，已知中心线的两个半圆弧半径都为1000mm，两直管道的长度都为2000mm，求图中管道的展直长度（即图中虚线所表示的中心线的长度）为 　 　 ．
12．（4分）盒中有a枚黑棋和b枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别，从盒中随机取出1枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为　 　 ．
13．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（5，0），B（0，4），过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接PO，PA，则PO+PA的最小值为 　 　 ．
三．解答题（共5小题，满分48分）
14．（12分）（1）计算：；
（2）解不等式组：
15．（8分）夏季来临，防溺水安全教育又成了学校任务的重中之重．某校政教处对全校学生进行了防溺水安全教育会，为了解学生对防溺水知识的掌握情况，随机抽取了部分学生进行测试，测试成绩分成A，B，C，D四个等级，整理如下两个不完整的统计图表：
抽取学生的测试成绩分布表（百分制） 抽取学生的测试成绩扇形统计图
组别 成绩/分 频数
A 90≤x≤100 12
B 80≤x＜90 16
C 70≤x＜80 8
D x＜70 a
备注信息：①B组的成绩（单位：分）分别为：80，80，82，82，84，85，85，86，88，88，88，88，88，88，89，89；②本次抽取学生成绩的平均分为85.5分；③成绩在80分以上（含80）为优秀
小贴士：防溺水四不准：不准私自下水游泳；不准在无家长或教师带领的情况下游泳；不准到无安全设施、无救援人员的水域游泳；不准不熟悉水性的学生擅自下水施救.
请根据以上信息回答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量为 　 　 ；a＝　 　 ，m＝　 　 ，n＝　 　 ；
（2）若全校有1200人参与测试，估计 　 　 人可达优秀水平；
（3）李磊说：“我的成绩是86分，比平均分高，所以我的成绩超过了一半的同学．”你认为他的说法正确吗？请说明理由．
16．（8分）随着人民生活水平的日益提高，许多农村的房屋普遍进行了改造，小明家改造时在门前安装了一个遮阳棚，如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为4米，与墙面AD的夹角∠BAD＝75.5°，靠墙端A离地高AD为3米，当太阳光线BC与地面DE的夹角为45°时，求阴影CD的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin75.5°≈0.97，cos75.5°≈0.25，tan75.5°≈3.87）
17．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，连接BC，BD，过点B作⊙O的切线，与∠BDC的平分线交于点E，DE与BC交于点F，交AB于点G，交⊙O于点M，连接BM．
（1）求证：BC＝BD；
（2）若tan∠BMD＝2，CD＝4，求线段BF的长．
18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l与反比例函数的图象交于点B（m，4），与x轴交于点A（1，0）．
（1）求直线l的函数关系式；
（2）直线y＝﹣x与反比例的图象交于点C，与直线l交于点D，连接BC，点M是直线l上一动点，当S△BCM＝3S△OAD时，求点M的坐标；
（3）在（2）条件下，过点D作DE⊥y轴于点E，点P是y轴上一点，且∠PDE＝∠ODA，请求出所有符合条件P点的坐标（选一种情况写出解答过程）．
四．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
19．（4分）已知有两个三角形全等，若其中一个三角形的三边长分别为3，5，7，另一个三角形的三边长分别为3，3m﹣2，m+2，则m＝　 　 ．
20．（4分）写出两根分别为1，3的一元二次方程是 　 　 ．
21．（4分）观察下列各数：0，3，8，15，24，…，按此规律写出第100个数是 　 　 ，第n个数是 　 　 ．
22．（4分）如图，在△ABC中，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM、PN、MN，则下列结论：①PM＝PN；②；③∠ABC＝∠AMN；④若∠ABC＝60°，则△PMN为等边三角形；⑤若∠ABC＝45°，则BNPC．其中结论正确的序号是 　 　 ．
23．（4分）已知点M（a，b）是抛物线y＝x2﹣4x+5上一动点．
（1）当点M到y轴的距离不大于1时，b的取值范围是 　 　 ；
（2）当点M到直线x＝m的距离不大于n（n＞0）时，b的取值范围是5≤b≤10，则m+n的值为 　 　 ．
五．解答题（共3小题，满分30分）
24．（8分）某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种课外书．购买1本甲种书和2本乙种书共需125元；购买2本甲种书和5本乙种书共需300元．
（1）求甲、乙两种书的单价；
（2）学校决定购买甲、乙两种书共50本，且两种书的总费用不超过2000元，那么该校最多可以购买多少本乙种书？
25．（10分）如图①，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足点D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图②，过点P作PF⊥CE，垂足为点F，当CF＝EF时，请求出m的值；
（3）如图③，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O′恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．
26．（12分）定义：两个相似等腰三角形，如果它们的底角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“关联等腰三角形”．如图，在△ABC与△AED中，BA＝BC，EA＝ED，且△ABC～AED，所以称△ABC与△AED为“关联等腰三角形”，设它们的顶角为α，连接EB，DC，则称为“关联比”．
下面是小颖探究“关联比”与α之间的关系的思维过程，请阅读后，解答下列问题：
（1）当△ABC与△AED为“关联等腰三角形”，且α＝90°时，
①在图2中，若点E落在AB上，则“关联比”　 　 ；
②在图3中，探究△ABE与△ACD的关系，并求出“关联比”的值．
（2）如图4，当△ABC与△AED为“关联等腰三角形”，且α＝120°，
①“关联比”　 　 ．
②AB＝2时，将△ABC绕点A顺时针旋转60°，线段BC扫过的面积是 　 　 ．
[迁移运用]
（3）如图5，△ABC与△AED为“关联等腰三角形”．若∠ABC＝∠AED＝90°，AC＝4，点P为AC边上一点，且PA＝1，点E为PB上一动点，当点E自点B运动至点P时，点D所经过的路径长为 　 　 ．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分）
1．【考点】绝对值
【分析】根据绝对值的性质进行解题即可．
解：||．
故选：B．
【点评】本题考查绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．
2．【考点】简单组合体的三视图
【分析】根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案．
解：左面看，一共有三列，小正方形的个数分别为2、1、2．
故选：C．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，掌握从左面看得到的图形是左视图是解题关键．
3．【考点】平方差公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式
【分析】利用合并同类项法则，完全平方公式，平方差公式，积的乘方运算法则判断即可．
解：A、3a2与2a不是同类项，不能合并，故错误，不符合题意；
B、（2a+b）2＝4a2+4ab+b2≠4a2+b2，故错误，不符合题意；
C、（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6≠﹣6a3b6，故错误，不符合题意；
D、（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2，故正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查合并同类项，完全平方公式，平方差公式，积的乘方运算与幂的乘方运算，掌握运算法则是解决此题的关键．
4．【考点】关于原点对称的点的坐标
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
解：点P（2，4）关于原点对称的点Q的坐标是（﹣2，﹣4），
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
5．【考点】中位数
【分析】排序后找到位于中间位置的数即可．
解：观察折线图发现：排序后位于中间位置的数为131.8m．
故选：C．
【点评】本题考查了中位数的知识，解题的关键是了解中位数的概念，难度较小．
6．【考点】矩形的性质
【分析】由矩形的性质分析每个选项，从而可得答案．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，∠ADC＝90°，AD＝BC，AD∥BC，OA，OB，
∴OA⊥OB，∠BAC＝∠ACB不一定成立，OA＝OB，一定成立，AB＝AD一定不成立，
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
7．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识
【分析】根据“今有人合伙买牛，每7家共出190钱，还差330钱；每9家共出270钱，又多了30钱”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
解：∵每7家共出190钱，还差330钱，
∴y﹣190330；
∵每9家共出270钱，又多了30钱，
∴270y＝30．
∴根据题意可列出方程组．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；平行四边形的性质
【分析】利用基本作图可判断BH平分∠ABC，则∠ABH＝∠CBH，再根据平行四边形的性质得AB∥CD，∠C＝∠A＝30°，BC＝AD＝22，则可证明∠CHB＝∠CBH，所以BC＝HC＝22，过B点作BM⊥CD于M点，如图，利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出BM1，CM＝3，然后利用勾股定理计算BH的长．
解：由作法得BH平分∠ABC，
∴∠ABH＝∠CBH，∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，∠C＝∠A＝30°，BC＝AD＝22，
∴∠CHB＝∠CBH，
∴BC＝HC＝22，
过B点作BM⊥CD于M点，如图，
在Rt△BCM中，∵∠C＝30°，
∴BMBC（22）1，
∴CMBM（1）＝3，
∴HM＝CH﹣CM＝22﹣（3）1，
在Rt△BMH中，BH2．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行四边形的性质．
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
9．【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方
【分析】根据题意可知，据此即可求得答案．
解：根据题意可得
，
解得，
将代入（a+b）2，
得（a+b）2＝（﹣3+2）2＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查算术平方根的非负性，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
10．【考点】解分式方程
【分析】解分式方程得结论．
解：去分母，得3x＝9，
∴x＝3．
经检验，x＝3是原方程的解．
故答案为：x＝3．
【点评】本题主要考查了解分式方程，掌握分式方程的解法是解决本题的关键．
11．【考点】弧长的计算
【分析】先计算出扇形的弧长再加上直管道的长度即可．
解：图中管道的展直长度＝24000＝2000π+4000（mm）．
故答案为：（2000π+4000）mm．
【点评】主要考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式为：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r）是关键．
12．【考点】概率公式；分式的值
【分析】结合概率公式可得，则a＝2b，进而可得．
解：∵从盒中随机取出1枚棋子，它是黑棋的概率是，
∴，
∴a＝2b，
∴．
故答案为：1．
【点评】本题考查概率公式、分式的值，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
13．【考点】轴对称﹣最短路线问题；坐标与图形性质
【分析】作点O关于l的对称点O'，连接PO'，AO'，证出PO+PA的最小值为AO'的长，求出OA，OO'，再求出AO'的长即可．
解：作点O关于l的对称点O'，连接PO'，AO'，
则PO'＝PO，
∴PO+PA＝PO'+PA≥AO'，
∴PO+PA的最小值为AO'的长，
∵A（5，0），B（0，4），
∴OA＝5，OB＝4，
∴OO'＝8，
在Rt△O'AO中，
由勾股定理，得AO'，
∴PO+PA的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，解答中涉及轴对称的性质，坐标与图形的性质，两点之间线段最短，勾股定理，能够得到PO+PA的最小值为AO'的长是解题的关键．
三．解答题（共5小题，满分48分）
14．【考点】解一元一次不等式组；特殊角的三角函数值；实数的运算；零指数幂
【分析】（1）先去绝对值符号、计算零指数幂、算术平方根、代入三角函数值，再计算即可；
（2）分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集．
解：（1）原式＝21+22
＝212
＝1；
（2）由2x＜3x+2得x＞﹣2，
由（1﹣x）得：x≤1，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤1．
【点评】本题考查的是实数的运算与解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15．【考点】扇形统计图；用样本估计总体；统计表
【分析】（1）根据B组的频数和所占的百分比即可求出样本容量，用总人数减去其它组的频数即可求出a的值，用A组的频数除以总人数即可求出m的值，用360°乘以C组所占的百分比即可求出n的值；
（2）利用总人数1200乘以对应的百分比即可；
（3）根据中位数的定义求解即可．
解：（1）样本容量为 16÷40%＝40，
a＝40﹣12﹣16﹣8＝4，
∵m%100%＝30%，n°＝360°72°，
∴m＝30，n＝72；
故答案为：40，4，30，72；
（2）估计可达优秀水平有；
故答案为：840；
（3）不正确，
理由：样本数据为40个，将数据从高到低进行排列，第20、21个数据分别为88，86，
这组数据的中位数是 ，
因为李磊的成绩是86分，低于中位数87，所以说法错误．
【点评】本题考查了统计表和扇形统计图的综合运用．读懂统计图表，从中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了中位数，利用样本估计总体．
16．【考点】解直角三角形的应用；平行投影
【分析】过B作BT⊥AD于点T，BK⊥DE于点K，在Rt△ABT中，求出AT，BT，得到DK＝BT，BK＝DT＝AD﹣AT，根据∠BCK＝45°，得到CK，根据CD＝DK﹣CK计算即可．
解：如图，过B作BT⊥AD于点T，BK⊥DE于点K，
在Rt△ABT中，
sin∠BAT，cos∠BAT，
∴BT＝AB sin∠BAT＝4×sin75.5°≈3.9（米），AT＝AB cos∠BAT＝4×cos75.5°≈1.0（米），
∵∠BTD＝∠D＝∠CKB＝90°，
∴四边形BTDK是矩形，
∴DK＝BT＝3.9米，BK＝DT＝AD﹣AT＝3﹣1＝2（米），
在Rt△BKC中，∠BCK＝45°，
∴CK＝BK＝2米，
∴CD＝DK﹣CK＝3.9﹣2＝1.9（米），
答：阴影CD的长约为1.9米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度．
17．【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的性质
【分析】（1）由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，根据垂径定理得AB垂直平分CD，则BC＝BD；
（2）由切线的性质得BE⊥AB，则CD⊥AB，所以BE∥CD，则∠E＝∠CDE，而∠BDE＝∠CDE，所以∠E＝∠BDE，则BE＝BD，再求出CN＝DNCD＝2，由∠BNC＝90°，∠C＝∠BMD，得tanC＝tan∠BMD＝2，则BN＝2CN＝4，所以BE＝BC6，由△BEF∽△CDF得，则BFBC．
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，
∴AB垂直平分CD，
∴BC＝BD．
（2）解：∵AB是⊙O的直径，BE与⊙O相切于点B，
∴BE⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴BE∥CD，
∴∠E＝∠CDE，
∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE＝∠CDE，
∴∠E＝∠BDE，
∴BE＝BD，
∵CD＝4，
∴CN＝DNCD＝2，
∵∠BNC＝90°，∠C＝∠BMD，
∴tanC＝tan∠BMD＝2，
∴BN＝2CN＝22＝4，
∴BC6，
∴BE＝BC＝6，
∵△BEF∽△CDF，
∴，
∴BFBCBC6，
∴BF的长是．
【点评】此题重点考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，证明BE∥CD是解题的关键．
18．【考点】反比例函数综合题
【分析】（1）先求得点B的坐标，再运用待定系数法即可求得答案；
（2）通过联立方程组求得点C、D的坐标，设M（m，﹣2m+2），过点C作CF∥y轴，交直线l于点F，分两种情况：当点M在直线CF的右侧时，当点M在直线CF的左侧时，分别求得S△OAD和S△BCM，再根据题意列方程求解即可；
（3）设P（0，n），过点A作AH⊥CD于点H，可得AH＝OH，OD＝2，DH，DE＝2，PE＝|﹣2﹣n|，再证得△DPE∽△DAH，利用相似三角形性质列方程求解即可．
解：（1）∵反比例函数的图象经过点B（m，4），
∴4，
解得：m＝﹣1，
∴B（﹣1，4），
设直线l的函数关系式为y＝kx+b，把A（1，0），B（﹣1，4）代入，
得：，
解得：，
∴直线l的函数关系式为y＝﹣2x+2；
（2）由得：﹣x，
解得：x＝±2，
∵x＜0，
∴x＝﹣2，y＝2，
∴点C的坐标为（﹣2，2）．
由得：，
∴D（2，﹣2）．
∴S△OADOA |yD|1×2＝1，
设M（m，﹣2m+2），过点C作CF∥y轴，交直线l于点F，如图，
则F（﹣2，6），
∴CF＝6﹣2＝4，
当点M在直线CF的右侧时，
则S△BCM＝S△CFM﹣S△CBFCF×（xM﹣xC）CF×（xB﹣xC）4×（m+2）4×（﹣1+2）＝2m+2，
∵S△BCM＝3S△OAD，
∴2m+2＝3，
解得：m，
∴M（，1）；
当点M在直线CF的左侧时，
则S△BCM＝S△CFM+S△CBF
CF×（xC﹣xM）CF×（xB﹣xC）
4×（﹣2﹣m）4×（﹣1+2）
＝﹣2m﹣2，
∵S△BCM＝3S△OAD，
∴﹣2m﹣2＝3，
解得：m，
∴M（，7）；
综上所述，点M的坐标为（，1）或（，7）；
（3）设P（0，n），如图，过点A作AH⊥CD于点H，
则∠AHO＝∠AHD＝90°，
∵直线CD的解析式为y＝﹣x，
∴∠AOD＝45°，
∴△OAH是等腰直角三角形，
∴AH＝OHOA，
∵OD2，
∴DH＝OD﹣OH＝2，
∵DE⊥y轴，
∴E（0，﹣2），∠DEP＝90°，
∴DE＝2，PE＝|﹣2﹣n|，
∵∠DEP＝∠DHA＝90°，∠PDE＝∠ODA，
∴△DPE∽△DAH，
∴，即，
解得：n或，
∴所有符合条件P点的坐标为（0，）或（0，）．
【点评】本题是反比例函数和一次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握反比例函数的性质，三角形相似的性质是解题的关键．
四．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
19．【考点】全等三角形的性质
【分析】根据全等三角形的对应边相等得3m﹣2＝5，m+2＝7或3m﹣2＝7，m+2＝5，求得符合题意的m值为3，于是得到问题的答案．
解：∵两个三角形全等，
∴这两个三角形的对应边相等，
∵其中一个三角形的三边长分别为3，5，7，另一个三角形的三边长分别为3，3m﹣2，m+2，
∴3m﹣2＝5，m+2＝7或3m﹣2＝7，m+2＝5，
当3m﹣2＝5，m+2＝7时，则m且m＝5，显然不存在这样的m值，不符合题意；
当3m﹣2＝7，m+2＝5时，
解得m＝3，
故答案为：3．
【点评】此题重点考查全等三角形的性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，根据全等三角形的对应边相等正确地列出方程是解题的关键．
20．【考点】根与系数的关系
【分析】先设该方程为：x2+ax+b＝0，然后根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根和与两根积，从而求出a，b，代入所设方程即可．
解：设该方程为：x2+ax+b＝0，
∵方程两根为1，3，
∴1+3＝﹣a，1×3＝b，
∴a＝﹣4，b＝3，
∴该方程为：x2﹣4x+3＝0，
故答案为：x2﹣4x+3＝0（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了一元二次方程，解题关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．
21．【考点】规律型：数字的变化类
【分析】根据规律：每一个数字都是位置数字平方与1的差，进行解答便可．
解：由0＝12﹣1，
3＝22﹣1，
8＝32﹣1，
15＝42﹣1，
…
因此第n个数是n2﹣1，
第100个数是：1002﹣1＝9999，
故答案为：9999，n2﹣1．
【点评】本题考查了探索规律的问题，解决此类问题要从数字中间找出一般规律（符号或数），进一步去运用规律解答．
22．【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①正确；先证明△ABM∽△ACN，再根据相似三角形的对应边成比例可判断②正确；根据相似三角形的判定和性质定理得到③正确，如果△PMN为等边三角形，求得∠MPN＝60°，推出△CPM是等边三角形，得到△ABC是等边三角形，而△ABC不一定是等边三角形，故④错误；当∠ABC＝45°时，∠BCN＝45°，由P为BC边的中点，得出BNPBPC，判断⑤正确．
解：①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，
∴PMBC，PNBC，
∴PM＝PN，故①正确；
②在△ABM与△ACN中，
∵∠A＝∠A，∠AMB＝∠ANC＝90°，
∴△ABM∽△ACN，
∴，
∴，②正确；
③∵，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AMN，
∴∠ABC＝∠AMN，③正确；
④∵∠ABC＝60°，
∴∠BPN＝60°，
如果△PMN为等边三角形，
∴∠MPN＝60°，
∴∠CPM＝60°，
∴△CPM是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
则△ABC是等边三角形，
而△ABC不一定是等边三角形，故④错误；
⑤当∠ABC＝45°时，∵CN⊥AB于点N，
∴∠BNC＝90°，∠BCN＝45°，
∴BN＝CN，
∵P为BC边的中点，
∴PN⊥BC，△BPN为等腰直角三角形
∴BNPBPC，故⑤正确．
故答案为：①②③⑤．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等边三角形、等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，仔细分析图形并熟练掌握性质是解题的关键．
23．【考点】二次函数图象上点的坐标特征；解一元一次不等式
【分析】（1）由解析式得到抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，求得点到y轴的距离为1时的函数值，即可根据二次函数的性质求得符合题意的b的取值；
（2）由点M到直线x＝m的距离不大于n（n＞0）即可得到|a﹣m|≤n，解得m﹣n≤a≤m+n，根据b的取值范围是5≤b≤10得到﹣1≤a≤0或4≤a≤5，即可求得m+n的值为0或5．
解：（1）∵y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，1），
∴函数有最小值1，
∵点M（a，b）是抛物线y＝x2﹣4x+5上，且点M到y轴的距离不大于1，
∴﹣1≤a≤1，
∵x＝﹣1时，y＝10；x＝1时，y＝2，
∴2≤b≤10．
故答案为：2≤b≤10；
（2）当y＝5时，则x2﹣4x+5＝5，解得x＝0或x＝4；
当y＝10时，则x2﹣4x+5＝10，解得x＝5或x＝﹣1；
∵b的取值范围是5≤b≤10，
∴﹣1≤a≤0或4≤a≤5，
∵点M到直线x＝m的距离不大于n（n＞0），
∴|a﹣m|≤n，
∴a﹣m≤n或a﹣m≥﹣n，
∴m﹣n≤a≤m+n，
∴m+n的值为0或5．
故答案为：0或5．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
五．解答题（共3小题，满分30分）
24．【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用
【分析】（1）设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，根据“购买1本甲种书和2本乙种书共需125元；购买2本甲种书和5本乙种书共需300元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该校购买m本乙种书，则购买（50﹣m）本甲种书，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过2000元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
解：（1）设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种书的单价是25元，乙种书的单价是50元；
（2）设该校购买m本乙种书，则购买（50﹣m）本甲种书，
根据题意得：25（50﹣m）+50m≤2000，
解得：m≤30，
∴m的最大值为30．
答：该校最多可以购买30本乙种书．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25．【考点】二次函数综合题
【分析】（1）用待定系数法进行解答即可；
（2）用待定系数法求出直线BC的解析式，由△BOC∽△PFE的性质用m表示EF，过点E作EH⊥y轴于点H，由△CEH∽△CBO的性质用m表示CE，再根据CF＝EF列出m的方程可求得m的值；
（3）设Q（2，t），抛物线的对称轴交x轴于点H，交CP边于点G，则GQ＝3﹣t，CG＝2，∠CGQ＝90°，分三种情况：①当点O'恰好落在该矩形对角线OP所在的直线上时，②当点O'恰好落在该矩形对角线CD上时，③当点O'恰好落在该矩形对角线DC的延长线上时，分别画出图形，利用对称的性质，锐角三角函数，勾股定理，相似三角形判定与性质等分析可解得答案．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：yx+3；
（2）∵抛物线yx+3与x轴交于点C，
∴C（0，3），
设BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为：yx+3，
∵点P的横坐标为m，
∴P（m，m+3），E（m，m+3），
∴PE，
∵PF⊥CE，PD⊥x轴，
∴∠EPF+∠PEF＝∠EBD+∠BED＝90°，
∵∠PEF＝∠BED，
∴∠EPF＝∠EBD，
∵∠BOC＝∠PFE＝90°，
∴△BOC∽△PFE，
∴，
在Rt△BOC中，BC，
∴EF，
过点E作EH⊥y轴于点H，则得矩形ODEH，
∴EH＝OD＝m，
∵EH∥x轴，
∴△CEH∽△CBO，
∴，即，
∴CEm，
∵CF＝EF，
∴CE＝2EF，
∴，
解得：m＝0或m＝1，
∵0＜m＜6，
∴m＝1；
（3）∵抛物线 ，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
∵点Q在抛物线的对称轴上，
∴设Q（2，t），
设抛物线的对称轴交x轴于点H，交CP边于点G，则GQ＝3﹣t，CG＝2，∠CGQ＝90°，
①当点O'恰好落在该矩形对角线OP所在的直线上时，如图，则CQ垂直平分OO'，即CQ⊥OP，
∴∠COP+∠OCQ＝90°，
又∵四边形OCPD是矩形，
∴CP＝OD＝4，OC＝3，∠OCP＝90°，
∴∠PCQ+∠OCQ＝90°，
∴∠PCQ＝∠COP，
∴tan∠PCQ＝tan∠COP，
∴tan∠PCQ，即，
解得：t，
∴Q（2，）；
②当点O'恰好落在该矩形对角线CD上时，如图，连接CD交GH于点K，
∵点O与点O′关于直线CO对称，
∴CQ垂直平分OO'，
∴∠OCQ＝∠DCQ，
∵GH∥OC，
∴∠CQG＝∠OCQ．
∴∠DCQ＝∠CQG，
∴CK＝KQ，
∵C，P关于对称轴对称，即点G是CP的中点，
∵GH∥OC∥PD，
∴点K是CD的中点，
∴K（2，），
∴GK，
∴CKKQ，
∵K（2，），Q（2，t），
∴KQt，
∴t，
解得t＝﹣1，
∴Q（2，﹣1）；
③当点O'恰好落在该矩形对角线DC的延长线上时，如图，过点O'作O′K⊥y轴于点K，连接OO′交直线CQ于点M，
∵点O与点O'关于直线CQ对称，
∴CQ垂直平分OO'，∠OCM＝∠O'CM，∠OMC＝∠O'MC＝90°，O′C＝OC＝3，
∵∠O'KC＝∠DOC＝90°，∠O'CK＝∠DCO，
∴ΔO'CK∽△DCO，
∴，即，
∴O'K，CK，
∴OK＝OC+CK＝3，
∴O'（，），
∵点M是OO'的中点，
∴，
由C（0，3），M（，）得直线CM的解析式为 ，
当x＝2时，，
∴Q（2，4）．
综上所述，点Q的坐标为 或（2，﹣1）或（2，4）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
26．【考点】相似形综合题
【分析】（1）①由等腰直角三角形的性质得∠BAC＝∠EAD＝45°，，∠AED＝∠CBA＝90°，则DE∥CB，若点E落在AB上，则点D落在AC上，即可得出结论；
②证得△ACD∽△ABE，得即可；
（2）①证得△ACD∽△ABE，即可得出结论；
②由等腰三角形的性质和扇形面积公式求解即可；
（3）证得△ABE∽△ACD，则∠ACD＝∠ABE，得出即点D所经过的路径是线段CD，即可解决问题．
解：（1）①∵△ABC与△AED为等腰直角三角形，
∴∠BAC＝∠EAD＝45°，，∠AED＝∠CBA＝90°，
∴DE∥CB，
若点E落在AB上，则点D落在AC上，
∴，
故答案为：；
②∵△ABC与△AED为等腰直角三角形，
∴∠BAC＝∠EAD＝45°，，∠AED＝∠CBA＝90°，
∴∠BAC﹣∠CAE＝∠EAD﹣∠EAC，
∴∠BAE＝∠CAD，
∴△ABE∽△ACD，
∴；
（2）①如图4，过点E作EF⊥AD于点F，
则∠AFE＝90°，
∵AE＝DE，∠AED＝α＝120°，
∴∠EAD＝∠EDA＝30°，AF＝DF，
∴AE＝2EF，AFEF，
∴AD＝2AF＝2EF，
∴，
同理：∠BAC＝30°，，
∴∠EAD+∠CAE＝∠BAC+∠CAE，
即∠CAD＝∠BAE，
∴△CAD∽△BAE，
∴，
故答案为：；
②如图4﹣1，由①可知，，
∴ACAB＝2，
由旋转的性质得：∠BAB'＝∠CAC'＝60°，△ABC≌△AB'C'，
∴线段BC扫过的面积
＝△ABC的面积+扇形CAC'的面积﹣（△AB'C'的面积+扇形BAB'的面积）
＝扇形CAC'的面积﹣扇形BAB'的面积
，
故答案为：；
（3）如图6同（2）得：△CAD∽△BAE，
∴∠ACD＝∠ABE，
∴点D所经过的路径是线段CD，
此时CP＝AC﹣AP＝4﹣1＝3，PD＝AP＝1，∠CPD＝90°，
∴CD，
∴当点E自点B运动至点P时，点D所经过的路径长为，
故答案为：．
【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、新定义的理解与应用、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、旋转的性质、扇形面积公式等知识，本题综合性强，理解新定义，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)