【备考2026】四川省乐山市中考仿真数学试卷3（含解析）

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【备考2026】四川省乐山市中考仿真数学试卷3
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
题号 一 二 三 总分
得分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列运算中正确的是（　　）
A．3a+2b＝5ab B．5x2y﹣3xy2＝2xy
C．6a2b﹣6ab2＝0 D．2ab+3ba＝5ab
2．（3分）如图所示的几何体中属于柱体的是（　　）
A．①④ B．④⑥ C．①④⑥ D．③④⑥
3．（3分）若点M（3，﹣2）在函数y＝3x+b的图象上，则b的值为（　　）
A．﹣11 B．﹣8 C．﹣7 D．8
4．（3分）2023年第一季度，河北革命圣地西柏坡共接待游客1300000人次.1300000用科学记数法可表示为（　　）
A．13×105 B．1.3×10﹣6 C．1.3×106 D．0.13×104
5．（3分）某校为举办“庆中秋，迎国庆”活动，从全校1400名学生中随机调查了280名学生，其中有80名学生希望举办文艺演出．据此估计该校希望举办文艺演出的学生有（　　）
A．112名 B．400名 C．280名 D．80名
6．（3分）菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，H为AB中点，连接OH，若菱形ABCD的周长为32，则OH的长为（　　）
A．16 B．8 C．4 D．2
7．（3分）已知关于x的方程x2﹣mx+n＝0的两根为x1，x2，且x1＝x2＝n（n≠0），则m的值为（　　）
A．2 B．﹣2
C．±2 D．以上都不是
8．（3分）到目前为止，勾股定理的证明已超过400种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，即利用面积分割法证得．如图，已知△ABC≌△DCE，∠ACB＝90°，边ED和CD分别与AB交于点F和点G，连接CF．若△ABD的面积为7，且，则FD的值为（　　）
A． B．3 C． D．
9．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：
①abc＜0；
②a+b+c＜0；
③5a+4c＜0；
④4ac﹣b2＞0；
⑤若P（﹣5，y），Q（m，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，则实数m的取值范围是﹣5＜m＜3．
其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣4与x轴，y轴分别交于A，B两点，C，D是半径为2的⊙O上两动点，且，P为弦CD的中点，Q为线段AB的中点，当C，D两点在圆上运动时，PQ的最小值是（　　）
A． B．2 C．2 D．1
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知关于x的不等式（4﹣a）x＞2的解集为x，则a的取值范围是 　 　 ．
12．（3分）为了了解某班同学一个月的课外阅读量，任选班上30名同学进行调查，统计如下表，则这些同学一个月的课外阅读量的众数是 　 　 ．
阅读量（单位：本/月） 0 1 2 3 4 5
人数（单位：人） 4 10 8 4 3 1
13．（3分）已知∠MON＝70°，OA为∠MON所在平面内的一条射线，若OB平分∠AOM，OC平分∠AON，则∠BOC的度数为 　 　 ．
14．（3分） 　 　 ．
15．（3分）如图，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果BE：BC＝2：3，那么BF：BD＝　 　 ．
16．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（a，2025）和点B（2025，b），点A在反比例函数的图象G上．
（1）若点B在图象G的下方，a　 　 b（填写“＞”，“＝”或“＜”）；
（2）若点B也在图象G上，且图象G上点A，B之间的部分与线段OA，OB能够围成一个封闭区域M，M（不包括边界）中没有横纵坐标都是整数的点，则k的取值范围是　 　 ．
三．解答题（共10小题，满分102分）
17．（9分）计算：．
18．（9分）解方程组：
（1）；
（2）．
19．（9分）已知：如图AC与BD交于点O，且AB＝CD，AC＝BD．求证：OA＝OD．
20．（10分）如图，在△ABC中，点O是AB边的中点，过点O作直线MN∥BC，∠ABC的平分线和外角∠ABD的平分线分别交MN于点E，F．
（1）求证：四边形AEBF是矩形；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝6cm，求四边形AEBF的面积．
21．（10分）为了提高垃圾分类的效率，某垃圾处理厂购买了甲、乙两种型号机器人，其中每台甲种型号机器人的售价比每台乙种型号机器人的售价多20万元．用480万元购买甲种型号机器人和用360万元购买乙种型号机器人的台数相同，求每台甲种型号机器人的售价．
22．（10分）为传播数学文化，激发学生学习兴趣，学校开展数学学科月活动，七年级开展了四个项目：A．阅读数学名著；B．讲述数学故事；C．制作数学模型；D．挑战数学游戏．要求七年级学生每人只能参加一项．为了解学生参加各项目情况，随机调查了部分学生，将调查结果制作成统计表和扇形统计图（如图）．
项目 A B C D
人数/人 5 15 a b
请根据图表信息解答下列问题：
（1）a＝　 　 ，b＝　 　 ；
（2）求扇形统计图中“B”项目所对应的扇形圆心角的度数；
（3）在月末的展示活动中，“C”项目中七（1）班有3人获得一等奖，七（2）班有2人获得一等奖，现从这5名学生中随机抽取2人代表七年级参加学校制作数学模型比赛，请用列表法或画树状图法求抽中的2名学生来自不同班级的概率．
23．（10分）如图，一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣4，﹣2），B（2，m）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）当x为何值时，y1＜y2，请直接写出x的取值范围．
24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的一点，CO平分∠BCD，CE⊥AD，垂足为点E，AB与CD相交于点F．
（1）求证：CE是⊙O的切线．
（2）当⊙O的半径为5，时，求AE的长．
25．（12分）大课间活动时，数学兴趣小组运用不同的方法探究校园内几个圆形花坛半径的大小，因受限于场地和工具，花坛半径不能直接测量，兴趣小组对不同花坛分别测量了一些数据（单位：米），根据所学知识计算花坛半径．相关花坛的图形及数据见下表，请完成下列问题．
名称 花坛Ⅰ 花坛Ⅱ 花坛Ⅲ 花坛Ⅳ
图形
条件 ∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3． AM＝BM，MN⊥AB，AB＝4，MN＝1． MN⊥AB，BM＝5AM＝MN＝1． MN⊥AB，MN＝n，AM＝2n，BM＝3n，n为正数．
说明：图中点A、B、C都在圆上，N在AB上，NM⊥AB，垂足为M．
（1）问题解决：
①花坛Ⅰ的半径为 　 　 米；（直接写出答案）
②计算花坛Ⅱ的半径；
③计算花坛Ⅲ的半径；
④请用含n的代数式表示花坛Ⅳ的半径．
（2）问题拓展：
兴趣小组在活动中遇到下面问题：如图，A、B、N在同一个圆上，N是上一动点，经测量∠ANB＝135°，NM⊥AB，垂足为M，MN＝2，则△ANB面积最小值为 　 　 米2．
26．（13分）抛物线y＝ax2+bx+c从左往右上升的这一侧是此抛物线递增的一侧．若一个四边形内不含抛物线y＝ax2+bx+c递增一侧的任意部分，则称该四边形是此抛物线的“非递增四边形”．
抛物线y＝x2﹣2mx+m（m≥2）的顶点为P，与y轴交于点A，与x轴交于点B（n，0）（n＞m）．过点A作与x轴平行的直线交抛物线于点M，将△OMB绕点O顺时针旋转90°，点M的对应点是M1，点B的对应点是B1．
（1）若点A的坐标为（0，2），求点B1的坐标；
（2）若m＜3，
①求点P与M1的距离；（用含m的式子表示）
②将抛物线y＝x2﹣2mx+m向右平移t（t＞0）个单位，记平移后的抛物线为抛物线T．证明：当t≥3﹣m时，以点M，P，M1，Q（2m，m2﹣2m）为顶点的四边形是抛物线T的“非递增四边形”．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【考点】合并同类项
【分析】根据整式的加减运算法则即可求出答案．
解：A、3a+2b≠5ab，故A错误；
B、5x2y﹣3xy2≠2xy，故B错误；
C、6a2b﹣6ab2≠0，故C错误；
D、2ab+3ba＝5ab，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算，本题属于基础题型．
2．【考点】认识立体图形
【分析】根据各个几何体形体特征，得出这些几何体的名称，进而进行分类即可．
解：这些几何体的名称：①四棱锥，②球，③圆柱体，④四棱柱，⑤圆锥体，⑥三棱柱，
因此柱体有：③圆柱体，④四棱柱，⑥三棱柱，
故选：D．
【点评】本题考查认识立体图形，掌握几何体的形体特征是正确解答的前提．
3．【考点】一次函数图象上点的坐标特征
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出﹣2＝3×3+b，解之即可求出b的值．
解：∵点M（3，﹣2）在函数y＝3x+b的图象上，
∴﹣2＝3×3+b，
解得：b＝﹣11，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b”是解题的关键．
4．【考点】科学记数法—表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：1300000＝1.3×106．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．【考点】用样本估计总体
【分析】总人数乘以样本中希望举办文艺演出的学生人数所占比例即可．
解：估计该校希望举办文艺演出的学生有1400400（名），
故选：B．
【点评】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
6．【考点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理
【分析】先根据菱形的性质可得OB＝OD，AD＝8，再根据三角形中位线定理即可得．
解：∵菱形ABCD的周长为32，
∴OB＝OD，AD＝32÷4＝8，
∵H为AB中点，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
7．【考点】根与系数的关系
【分析】根据根与系数的关系得x1+x2＝m＝2n，x1x2＝n＝n2，求出n＝1或0（舍去），即可得m的值．
解：∵关于x的方程x2﹣mx+n＝0的两根为x1，x2，且x1＝x2＝n（n≠0），
∴x1+x2＝m＝2n，x1x2＝n＝n2，
∴n＝1或0（舍去），
∴m＝2n＝2．
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2是解题的关键．
8．【考点】勾股定理的证明；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；全等三角形的性质
【分析】根据全等三角形的性质得到∠DEC＝∠ACB＝90°，设EF＝x，CE＝3x，得到BC＝CE＝3x，根据相似三角形的性质得到AEx，求得AC＝DEx+3xx，根据勾股定理得到ABx，根据全等三角形的性质得到∠CAB＝∠CDE，∠AFE＝∠DFG，根据三角形的面积公式得到CGx，根据相似三角形的性质得到DGx，根据三角形的面积列方程即可得到结论．
解：∵△ABC≌△DCE，∠ACB＝90°，
∴∠DEC＝∠ACB＝90°，
∵，
∴设EF＝x，CE＝3x，
∴BC＝CE＝3x，
∵∠DEC+∠ACB＝180°，
∴DE∥BC，
∴△AEF∽△ACB，
∴，
∴AEx，
∴AC＝DEx+3xx，
∴DF＝DE﹣EFx，
∴ABx，
∵△ABC≌△DCE，
∴∠CAB＝∠CDE，∠AFE＝∠DFG，
∴∠DGF＝∠AED＝90°，
∵S△ACB BCAB CG，
∴x 3xx CG，
∴CGx，
∵DF∥BC，
∴△DFG∽△CBG，
∴，
∴，
∴DGx，
∵△ABD的面积为7，
∴AB DGx x＝7，
∴x（负值舍去），
∴FDx．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理的证明，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握各知识点是解题的关键．
9．【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【分析】根据函数图象的开口方向、对称轴、图象与y轴的交点即可判断①；根据抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点为（1，0）可判断②；根据点A（﹣3，0）得到c＝﹣3a即可判断③；根据图象与x轴有两个交点，Δ＞0即可判断④；根据二次函数的对称性和增减性即可判断⑤．
解：由图可知a＞0，c＜0，
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴x1，
∴b＝2a＞0；
①abc＜0，正确；
∵A（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣1，
根据抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
∴当x＝1时，y＝0，
∴a+b+c＝0，
∴②错误；
③y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），
∴9a﹣3b+c＝0，
∴3a+c＝0，即c＝﹣3a，
∴a﹣b﹣2c＝a﹣2a+6a＝5a＞0，故③正确；
因为抛物线与x轴有两个交点，所以Δ＞0，
即b2﹣4ac＞0，故④错误；
P（﹣5，y1），Q（m，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，
∴x＝﹣1是对称轴，
∴与P点y值相等的点为（3，y1），
∵y1＞y2，
∴﹣5＜m＜3，故⑤正确．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象及性质，能够从函数图象获取信息，结合函数解析式进行求解是关键．
10．【考点】点与圆的位置关系；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；三角形三边关系；勾股定理；三角形中位线定理；垂径定理
【分析】连接OP，利用垂径定理和勾股定理求得OP，则点P在以点O为圆心，为半径的圆上运动，连接OQ，交小⊙O于点F，则QF为PQ的最小值，OF＝OP；利用一次函数的图象与性质求得AB，利用直角三角形的斜边上的中线的性质求得OQ，结论可求．
解：连接OP，如图，
∵P为弦CD的中点，
∴OP⊥CD，DP＝CP，
∴OP，
∵C，D是半径为2的⊙O上两动点，
∴点P在以点O为圆心，为半径的圆上运动，
连接OQ，交小⊙O于点F，则QF为PQ的最小值，OF＝OP．
∵直线y＝﹣x﹣4与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴A（﹣4，0），B（0，﹣4），
∴OA＝4，OB＝4，
∵∠AOB＝90°，
∴AB＝4，
∵Q为线段AB的中点，
∴OQ，
∴QF＝OQ﹣OF．
∴PQ的最小值是．
故选：A．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，垂径定理，点的轨迹，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，斜边上的中线的性质，一次函数的图象与性质，点的坐标的特征，熟练掌握上述性质是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．【考点】解一元一次不等式
【分析】将4﹣a＞0和4﹣a＜0分别进行讨论，看是否与解集一样，再进行解题即可．
解：由题可知，
当4﹣a＞0时，解集为x，不符合题意；
当4﹣a＜0时，解集为x，不符合题意；
故4﹣a＜0，
即a＞4．
故答案为：a＞4．
【点评】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键．
12．【考点】众数
【分析】根据众数的定义确定答案即可．
解：阅读量为1本的有10人，
所以众数为1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了众数的定义，解题的关键是了解众数是出现次数最多的数，难度不大．
13．【考点】角平分线的定义
【分析】分两种情况讨论如下：①当射线OA在∠MON外时，设∠AOC＝α，则∠AON＝2α，∠AOM＝2α+70°，进而得∠AOB＝α+35°，然后根据∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC可得出∠BOC的度数；②当OA在∠MON内时，设∠AOC＝α，则∠AON＝2α，∠AOM＝70°﹣2α，进而得∠AOB＝35°﹣α，然后根据∠BOC＝∠AOB+∠AOC可得∠BOC的度数，综上所述即可得出答案．
解：分两种情况讨论如下：
①当射线OA在∠MON外时，如图1所示：
设∠AOC＝α，
∵OC平分∠AON，
∴∠AON＝2α，
∴∠AOM＝∠AON+∠MON＝2α+70°，
∵OB平分∠AOM，
∴∠AOB∠AOM（2α+70°）＝α+35°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝α+35°﹣α＝35°；
②当OA在∠MON内时，如图2所示：
设∠AOC＝α，
∵OC平分∠AON，
∴∠AON＝2α，
∴∠AOM＝∠MON﹣∠AON＝70°﹣2α，
∵OB平分∠AOM，
∴∠AOB∠AOM（70°﹣2α）＝35°﹣α，
∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝35°﹣α+α＝35°．
综上所述：∠BOC的度数为35°．
故答案为：35°．
【点评】此题主要考查了角平分线的定义，理解题意，熟练掌握角平分线的定义是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．
14．【考点】幂的乘方与积的乘方
【分析】把原式化为，利用积的乘方的逆运算再计算即可．
解：原式
＝12024×（﹣3）
＝1×（﹣3）
＝﹣3．
【点评】本题考查的是幂的乘方与积的乘方，熟练掌握积的乘方的逆运算是解题的关键．
15．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【分析】利用平行四边形的性质及平行线分线段成比例求得答案即可．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，BE：BC＝2：3，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△BEF∽△ADF，
∴，
∵BD＝BF+FD，
∴BF：BD＝2：5，
故答案为：2：5．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．
16．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】（1）可求解析式为：y，当x＝2025时，ya，而B（2025，b）在图象G的下方，故b＜a；
（2）显然k＝2025a＝2025b，则a＝b，当a＜0，即k＜0，此时点A在第二象限，点B在第四象限，此时点A，B之间的部分与线段OA，OB不能够围成一个封闭区域M，故不符合题意，舍；当a＞0，即k＞0，此时A，B在第一象限，可得点（1，1）是临界点，据此将（1，1）代入求出k，进行分析即可．
解：（1）∵点A（a，2025）在反比例函数的图象G上，
∴k＝2025a，
∴点（2025，a）在反比例函数的图象G上，
∵点B在图象G的下方，则a＞b，
故答案为：＞；
（2）∵点A（a，2025）和点B（2025，b）在反比例函数的图象G上，
∴k＝2025a＝2025b，
∴a＝b，
当a＜0，即k＜0，
此时点A在第二象限，点B在第四象限，
此时点A，B之间的部分与线段OA，OB不能够围成一个封闭区域M，
故不符合题意，舍；
当a＞0，即k＞0，
此时A，B在第一象限，图象G上点A，B之间的部分与线段OA，OB能够围成一个封闭区域M，M（不包括边界）中没有横纵坐标都是整数的点，
∴点（1，1）是临界点，
设经过（1，1）的正比例函数为y＝mx，
则代入得：m＝1，
∴经过（1，1）的正比例函数为y＝x，
而直线y＝x上有无数个整点，线段OA，OB关于直线y＝x对称，
如图所示，此时整点不唯一：
当反比例函数图象经过点（1，1）时，如图，此时符合题意，
将（1，1）代入y得：k＝1，
当k＜1，符合题意，
∴0＜k≤1，
故答案为：0＜k≤1．
【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，正确理解题意是解题的关键．
三．解答题（共10小题，满分102分）
17．【考点】实数的运算；零指数幂
【分析】先计算乘方，零指数幂，再去绝对值，最后计算加减法即可．
解：原式＝1﹣4+1+2
＝0．
【点评】本题主要考查了实数的运算，零指数幂．熟练掌握以上知识点是关键．
18．【考点】解二元一次方程组
【分析】（1）利用代入消元法进行计算，即可解答；
（2）利用加减消元法进行计算，即可解答．
解：（1），
把①代入②得：2（y+5）﹣y＝8，
解得：y＝﹣2，
把y＝﹣2代入①得：x＝﹣2+5＝3，
∴原方程组的解为：；
（2），
①×2得：6x﹣10y＝20③，
②×3得：6x+9y＝﹣18④，
③﹣④得：﹣19y＝38，
解得：y＝﹣2，
把y＝﹣2代入①得：3x+10＝10，
解得：x＝0，
∴原方程组的解为：．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19．【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】先依据“SSS”判定△ABD和△DCA全等，从而得∠BDA＝∠CAD，再根据等腰三角形的判定可得出结论．
证明：在△ABD和△DCA中，
，
∴△ABD≌△DCA（SSS），
∴∠BDA＝∠CAD，
即∠ODA＝∠OAD，
∴OA＝OD．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定是解决问题的关键．
20．【考点】矩形的判定与性质
【分析】（1）由已知MN∥BC得到两对内错角相等，再由BE、BF分别平分∠ABC和∠ABD，根据等量代换可推出∠OEB＝∠OBE，∠OFB＝∠OBF，分别根据等角对等边得出的EO＝BO＝FO，点O是AB的中点，则由EO＝BO＝FO＝AO，根据对角线互相平分且相等的四边形为矩形得证；
（2）由已知和（1）得到的结论，可得∠AEB＝90°，根据股定理求出边即可．
（1）证明：∵MN∥BC，
∴∠OEB＝∠CBE，∠OFB＝∠DBF，
∵BE平分∠ABC，BF平分∠ABD，
∴∠OBE＝∠EBC，∠OBF＝∠DBF，
∴∠OEB＝∠OBE，∠OFB＝∠OBF，
∴EO＝BO，FO＝BO
∴EO＝FO＝BO．
∵点O是AB的中点，
∴AO＝BO，
∴四边形AEBF是平行四边形，
∵EO＝BO＝FO＝AO，
∴AB＝EF，
∴四边形AEBF是矩形；
（2）解：由（1）知，四边形AEBF是矩形，∠AEB＝90°，
又∵BE为∠ABC的平分线，
∴∠OBE＝∠EBC∠ABC＝30°，
∴AEAB＝3，
∴BE3，
∴四边形AEBF的面积AE BE＝3×39．
【点评】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质与判定、矩形的判定；熟练掌握平行线的性质和矩形判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．
21．【考点】分式方程的应用
【分析】设每台甲种型号机器人的售价为x万元，则每台乙种型号机器人的售价为（x﹣20）万元，利用数量＝总价÷单价，结合用480万元购买甲种型号机器人和用360万元购买乙种型号机器人的台数相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
解：设每台甲种型号机器人的售价为x万元，则每台乙种型号机器人的售价为（x﹣20）万元，
根据题意得：，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是所列方程的解，且符合题意．
答：每台甲种型号机器人的售价为80万元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22．【考点】列表法与树状图法；统计表；扇形统计图
【分析】（1）先求出调查的学生总数，将调查的学生总数乘以20%即可求出b的值，将调查的学生总数减去其他三个项目的人数即可求出a的值；
（2）将“B”项目所在调查人数的比例乘以360°即可求出所对应的扇形圆心角的度数；
（3）用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出抽中的2名学生来自不同班级的结果，再利用概率公式求出即可．
解：（1）∵调查的学生总数为：5÷10%＝50（人），
∴b＝50×20%＝10，
a＝50﹣（5+15+10）＝20，
故答案为：20，10；
（2）∵108°，
∴扇形统计图中“B”项目所对应的扇形圆心角的度数为108°；
（3）将七（1）的三人用A，B，C表示，七（2）的两人用D，E表示，列表如下：
A B C D E
A （B，A） （C，A） （D，A） （E，A）
B （A，B） （C，B） （D，B） （E，B）
C （A，C） （B，C） （D，C） （E，C）
D （A，D） （B，D） （C，D） （E，D）
E （A，E） （B，E） （C，E） （D，E）
∵共有20种等可能的结果，其中抽中的2名学生来自不同班级有12种可能的结果，
∴P（抽中的2名学生来自不同班级）．
【点评】本题考查统计表，扇形统计图，列表法和树状图法求等可能事件的概率，能从统计图表中获取有用信息，掌握列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
23．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）依据题意，由反比例函数 的图象经过点A（﹣4，﹣2），从而k2＝（﹣4）×（﹣2）＝8，可得反比例函数的表达式，又反比例函数的图象经过点B（2，m），从而求出m，可得B，再由A、B结合待定系数法可得一次函数的表达式；
（2）依据题意，由当y1＜y2时，自变量的取值即为一次函数图象在反比例函数图象下方对应的自变量取值范围，再结合A（﹣4，﹣2），B（2，4），即可判断得解．
解：（1）由题意，∵反比例函数 的图象经过点A（﹣4，﹣2），
∴k2＝（﹣4）×（﹣2）＝8．
∴反比例函数的表达式为：．
又∵反比例函数 的图象经过点B（2，m），
∴．
∴B（2，4）．
又∵一次函数 y1＝k1x+b（k1≠0）的图象经过点A（﹣4，﹣2），B（2，4），
，
∴．
∴一次函数的表达式为：y1＝x+2．
（2）由题意，∵当y1＜y2时，自变量的取值即为一次函数图象在反比例函数图象下方对应的自变量取值范围，
又A（﹣4，﹣2），B（2，4），
∴x＜﹣4或0＜x＜2．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
24．【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【分析】（1）根据角平分线的定义，等腰三角形的性质，圆周角定理以及切线的判定方法进行解答即可；
（2）由圆周角定理，相似三角形的判定和性质，直角三角形的边角关系进行计算即可．
（1）证明：∵CO平分∠BCD，
∴∠OCD＝∠OCB，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵∠AOC＝∠OBC+∠OCB＝2∠B，∠DAB＝∠DCB＝2∠OCB＝2∠B，
∴∠AOC＝∠DAB，
∴OC∥DE，
∵CE⊥AD，
∴CE⊥OC，
∵OC是半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：∵OC⊥CE，
∴∠OCE＝90°，
即∠OCA+∠ACE＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B+∠CAB＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠OCA，
∴∠ACE＝∠B，
∵∠E＝∠ACB＝90°，
∴△ACE∽△ABC，
∴sinB，
∵AB＝5×2＝10，
∴AC＝6，AE．
【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，角平分线以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的判定和性质，圆周角定理，角平分线以及相似三角形的判定和性质是正确解答的关键．
25．【考点】圆的综合题
【分析】（1）①根据圆周角为90°所对的弦为直径，再根据勾股定理即可作答；
②根据垂径定理得米，根据勾股定理进行列式作答即可；
③如图，可设花坛半径为r米，连接AN和BQ，可证△AMN和△BMQ均为等腰直角三角形，则得AB＝NQ，根据垂径定理得CO＝MD＝CM＝2米，CB＝3米，由勾股定理得米；
④本题可构造网格（如图）得等腰直角三角形BNF，则∠BNF＝45°，所以∠ANB＝135°，∠E＝45°，则∠AOB＝90°．根据勾股定理进行列式AO2+BO2＝AB2＝（AM+BM）2，求得米，即可作答．
（2）记该圆的圆心为点O，连接AO，BO，NO，MO，且NO交AB于点D，依题意，，即△ANB面积最小值，AB取最小值，因为，当点N，M，O三点共线时，NO＝DO+MN，此时半径最小，AD＝OD＝（r﹣2）米，根据勾股定理进行列式r2＝（r﹣2）2+（r﹣2）2，即可作答．
解：（1）①连接CB，如图1，
∵∠BAC＝90°，
∴CB是直径，CB的中点为圆心O，
故米，
∴半径为2.5米；
故答案为：2.5；
②设半径为r米，记圆心为O，连接AO，OM，如图2所示：
∵MN⊥AB，AM＝BM，
∴ON⊥AB，米，
在Rt△AOM，AO2＝AM2+OM2，
即r2＝4+（r﹣1）2，
解得r＝2.5；
③延长NM交⊙O于点Q，连接QB，过点O分别作OD⊥NQ，作OC⊥AB，连接OB，AN，如图3所示：
∵MN⊥AB，AM＝MN＝1米，
∴△ANM是等腰三角形，
∵，
∴∠MQB＝∠NAM＝45°，
∵MN⊥AB，延长NM交⊙O于点Q，
∴∠QMB＝90°，
则△BQM是等腰三角形，
∴QM＝BM＝5米，
∵OC⊥AB，OD⊥NQ，
∴四边形DMCO是矩形，OC＝DM，
则米，米，
∵AM＝MN＝1米，
∴OC＝DM＝3﹣1＝2（米），
则米；
④依题意，MN⊥AB，MN＝n米，AM＝2n米，BM＝3n米，n为正数．
可构造网格（如图），过点B作BF⊥AN的延长线上，
根据小正方形网格（边长为n）特征，
则米，
易得等腰直角三角形BNF，如图4：
即∠BNF＝45°，
∴∠ANB＝135°，
记该圆心为点O，以劣弧AB所对的圆周角为∠E，如图5所示：
则∠E＝180°﹣∠ANB＝45°，
则∠AOB＝90°．
在Rt△AOB中，AO2+BO2＝AB2＝（AM+BM）2，
解得米．
故半径为米；
（2）记该圆的圆心为点O，连接AO，BO，NO，MO，且NO交AB于点D，如图6，
∵MN⊥AB，MN＝2米，
∴，
要使△ANB面积最小值，
即AB取最小值，
∵∠ANB＝135°，
∴∠AOB＝2×（180°﹣135°）＝90°，
则△AOB是等腰直角三角形，
∴，
设半径为r米，
则NO≤MO+MN，
当点N，M，O三点共线时，即点D1与点M重合，如图7所示：
则NO＝D1O+MN＝ND1+D1N，此时半径最小，
∵△AOB是等腰直角三角形，
则∠OAB＝45°，
∴AD1＝OD1＝（r﹣2）米，
那么AO2，
∴r2＝（r﹣2）2+（r﹣2）2，
解得，（舍去），
∵，
则米，
∴△ANB面积最小值为米2，
故答案为：．
【点评】本题考查了圆综合，涉及垂径定理、圆周角定理，内接四边形性质，勾股定理，三角形三边关系等，综合性强，难度大，要求学生具有较强的作辅助线的能力，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
26．【考点】二次函数综合题
【分析】（1）求出点B的坐标，可得结论；
（2）①证明△AOM≌△CM1O（AAS），推出CM1＝AO＝m，OC＝AM＝2m，由点M1在第四象限，可得M1（m，﹣2m），即可解决问题；
②首先判断出四边形PM1QM是平行四边形，且边M1Q在边MP的下方，求出直线M1Q的解析式为y＝mx﹣m2﹣2m，分两种情形：当t＝3﹣m时，当t＞3﹣m时，分别证明即可．
（1）解：抛物线y＝x2﹣2mx+m（m≥2）经过点A（0，2），
∴m＝2，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+2，
令y＝0，则x2﹣4x+2＝0，
解得，x＝2±，
∵抛物线与x轴交于点B（n，0）（n＞m），
∴n＝2，
∴B（2，0），
∵将△OMB绕点O顺时针旋转90°，点B的对应点是B1．
∴OB＝OB1且点B1在y轴的负半轴上，
∴B1（0，﹣2）；
（2）①解：由y＝x2﹣2mx+m＝（x﹣m）2+m﹣m2，
∵AM∥x轴且点M在抛物线上，
∴yA＝yM，
∴点A，M关于直线x＝m对称，
∴M（2m，m），
∴AO＝m，AM＝2m，
过点M1作M1C⊥y轴于点C，
∵将△OMB绕点O顺时针旋转90°，点M的对应点是M1，
∴∠MOM1＝90°，OM＝OM1，
∵∠OCM1＝90°，∠OAM＝90°，
∴∠AOM+∠AMO＝90°，∠COM1+∠AOM＝90°，
∴∠AMO＝∠COM1，
∴△AOM≌△CM1O（AAS），
∴CM1＝AO＝m，OC＝AM＝2m，
∵点M1在第四象限，
∴M1（m，﹣2m），
∵点P与点M1的横坐标相等，
∴PM1＝|yP|＝|（m﹣m2）﹣（﹣2m）|＝|3m﹣m2|，
∵2≤m＜3，
∴3m﹣m2＝m（3﹣m）＞0
∴P与M1之间的距离为3m﹣m2；
②证明：∵Q（2m，m2﹣2m），M（2m，m），M1（m，﹣2m），P（m，m﹣m2），
∴yM﹣y1＝m﹣（m2﹣2m）＝3m﹣m2＝m（3﹣m）＞0，
∴点M在点Q的上方，
∴PM1∥MQ∥y轴，PM1＝MQ＝3m﹣m2，
∴四边形PM1QM是平行四边形，且边M1Q在边MP的下方，
设直线M1Q的解析式为y＝kx+d，
则有，
解得，
∴直线M1Q的解析式为y＝mx﹣m2﹣2m，
当t＝3﹣m时，抛物线记为T1，解析式y＝（x﹣3）2+m﹣m2，此时顶点为（3，m﹣m2），
将x＝3代入y＝mx﹣m2﹣2m中，得y＝m﹣m2，
∴抛物线T1的顶点在直线M1Q上，
∵抛物线T1在x＜3时，从左到右下降；x＞3时，从左到右上升，
∴要证明四边形MPM1Q是抛物线T1的“非递增四边形”．只需要证明当3＜x＜2m时，抛物线T1不在四边形MPM1Q内，
∵mx﹣m2﹣2m﹣[（x﹣3）2+m﹣m2]＝（x﹣3）（m+3﹣x），m＜3，
∴2m＜m+3，
∵3＜x＜2m，
∴（x﹣3）（m+3﹣x）＞0，
∴当t＝3﹣m时，抛物线T1始终在M1Q的下方，因此四边形MPM1Q是抛物线T1的“非递增四边形”．
当t＞3﹣m时，设H（x1，y1），其中p＞0，过点H作x轴的垂线交抛物线T1于点G（x1，y2），则H1（x1﹣p，y1），G（x1，y2）都在抛物线T1的上升部分，即x1﹣p＞3，x1＞3，
∵对于抛物线T1，当x＞3时，y随x的增大而增大，
又∵x1﹣p＜x1，
∴y1＜y2，
∴当x＞3﹣m时，抛物线T的上升部分，始终在抛物线T1的上升部分的下方，则始终在线段M1Q的下方，
综上所述，当t≥3﹣m时，四边形MPM1Q是抛物线T的“非递增四边形”．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题
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