【备考2026】四川省泸州市中考仿真数学试卷1（含解新）
文档属性
| 名称 | 【备考2026】四川省泸州市中考仿真数学试卷1（含解新） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 3.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-22 14:10:37 | ||
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文档简介
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【备考2026】四川省泸州市中考仿真数学试卷1
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
题号 一 二 三 总分
得分
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）2024年代表着希望，自然，生机，则2024的相反数是（ ）
A．2024 B．﹣2024 C． D．
2．（3分）2024年3月18日，记者从国家管网西气东输郑州输气分公司获悉，2023年11月15日至2024年3月15日，西气东输共向河南供气36.35亿立方米，比去年同期增加4.02亿立方米，创历史新高．数据“36.35亿”用科学记数法表示为（ ）
A．36.35×108 B．3.635×108
C．3.635×109 D．0.3635×1010
3．（3分）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点E在AB的延长线上，当DF∥AB时，∠EDB的度数为（ ）
A．10° B．15° C．30° D．45°
4．（3分）在非物质文化遗产展区，小明看到如下发绣作品，其中作品主体图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a3）2＝a5 B．a﹣1
C．2a+a＝3a D．（a+1）2＝a2+1
6．（3分）某排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：180，184，188，190，192，196．现用一名身高为189cm的队员换下场上身高为196cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（ ）
A．平均数变小，方差变小
B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变小
D．平均数变大，方差变大
7．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠D＝50°，E，F分别为边AB和CD上的两个动点．当四边形AECF为矩形时，∠BCE的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
8．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOC＝110°，则∠ABC的度数为（ ）
A．125° B．120° C．115° D．110°
9．（3分）若是二元一次方程kx+y＝7的解，则k的值是（ ）
A．﹣5 B．﹣2 C．2 D．4
10．（3分）二次函数y＝x2+2x+m与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．m＜1且m≠0 B．m＜1 C．0＜m＜1 D．m＜0
11．（3分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AD、BC的中点，以点B为圆心、AB的长为半径画弧交线段EF于点G，直线AG交CD于点H，如果CH＝4，那么正方形的边长为（ ）
A．5 B． C． D．
12．（3分）定义新运算：对于任意实数a，b都有：a b＝a（a﹣b）+1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：2 5＝2×（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣5，那么不等式3 x＜13的解集为（ ）
A．x＜1 B．x＜﹣1 C．x＞1 D．x＞﹣1
二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
13．（3分）P（3，2m﹣1）在第一象限，则m的取值范围是 ．
14．（3分）为弘扬传统文化，某校举办了“诗词竞赛”活动，某班20名同学参加了此次竞赛，他们的得分情况如表所示，则全班20名同学竞赛得分的中位数是 ．
人数 2 7 7 4
成绩（分） 70 80 90 100
15．（3分）若m，n是一元二次方程x2﹣3x﹣2025＝0的两个实数根，则m2﹣3m+mn的值为 ．
16．（3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，⊙O经过A、B、C三点，且AD与⊙O相切于A点．若∠B＝58°，则的度数为 °．
三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE＝AF，连接BE，BF，BD．求证：∠DBF＝∠DBE．
19．（6分）计算：
（1）；
（2）．
四．解答题（共2小题，满分14分，每小题7分）
20．（7分）中国的人工智能（AI）领域近年来取得了显著的进展，并推动了AI技术在各行各业的普通应用．小城同学采用抽样调查的方式对七年级一班同学做了“我最常使用的AI软件”的问卷调并根据调查收集的数据，绘制了如下的统计图表．
七年级学生最常使用的“AI”软件统计表
AI软件 使用人数
Deepseek 18
Kimi 12
豆包 a
腾讯元宝 6
其他软件 4
（1）请写出七年级一班总人数 ，统计表中a＝ ；
（2）已知七年级有1200名同学，试估算最常使用“Deepseek”的同学有多少名？
（3）小城了解到：使用“Deepseek”和“Kimi”组合生成的ppt效果很好，堪称“王炸组合”现从“Deepseek”、“Kimi”、“豆包”、“腾讯元宝”这四款软件中挑出两款，请用列表或画树状图的方法求挑出的恰好是“Deepseek”和“Kimi”的概率．
21．（7分）某药店购进一批消毒液，计划每瓶标价20元，由于疫情得到有效控制，药店决定对这批消毒液全部降价销售，设每次降价百分率相同，经过连续两次降价后，每瓶售价为16.2元．
（1）求每次降价的百分率；
（2）若每瓶进价15元，两次降价后，至少要售出多少瓶，总利润才能不低于600元？
五．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）
22．（8分）如图，直线y＝x+2与反比例函数的图象交于点A，与y轴，x轴依次交于B，C两点，AB＝BC．
（1）求BC的长；
（2）求点A的坐标和k的值．
23．（8分）项目背景：近年来，我省不少地方积极推动新能源产业发展，不断优化能源结构，并将光伏技术与农业生产相融合，不仅提升了光伏发电效率，还为农作物创造了适宜的生长环境．某项目活动小组来到已采用光伏技术的农业基地，利用航模建的3D扫描仪采集光伏板的相关数据，并为光伏板的安装提供一些参考．
数据采集：如图是某光伏板安装调整完成后的示意图，AB为光伏板，CD为支撑杆，点C是AB上一点，CD与地面ND垂直．航模从光伏板前水平地面的点N处竖直上升，飞行至距离地面16m的点M处，此时测得点C处的俯角为43°，点D处的俯角为58°，图中各点均在同一竖直平面内．
问题解决：
（1）请根据上述数据，计算支撑杆CD的高度；（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
（2）通过计算得到的支撑杆的高度和实际高度有一定的误差，请你为该小组提出一条减小误差的合理化建议．
六．解答题（共2小题，满分24分，每小题12分）
24．（12分）【问题提出】
（1）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），点B的坐标是（4，3）．在x轴上找一点C，使得AC+BC的值最小．补全图形，并求出点C的坐标．
【问题解决】
（2）如图2，在校园规划中，校门在坐标原点O（0，0）位置，教学楼A在（0，6）位置，操场B在（6，0）位置，图书馆C在OA的中点位置．为了方便师生通行，要修建一条从O过BC的垂直道路OD（即OD⊥BC），点D在AB上，请求出点D的坐标，以便确定道路的终点位置．
25．（12分）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线相交于A，B两点，其中点A（3，4），B（0，1）．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）过点B作BC∥x轴交抛物线于点C．连接AC，在抛物线上是否存在点P使tan∠BCPtan∠ACB．若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题意补全图形，并解答）
（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到y1＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点E为原抛物线对称轴上的一点，F是平面直角坐标系内的一点，当以点B，D，E，F为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标．
参考答案
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．【考点】相反数
【分析】符号不同，并且绝对值相等的两个数互为相反数，据此即可求得答案．
解：2024的相反数是﹣2024，
故选：B．
【点评】本题考查相反数，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．【考点】科学记数法—表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：36.35亿＝3635000000＝3.635×109．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．【考点】平行线的性质
【分析】根据一副直角三角板的性质得出∠ABC＝45°，∠EDF＝30°，再根据两直线平行，内错角相等得出∠FDB＝∠ABC＝45°，即可求出∠EDB的度数．
解：由题意得，∠ABC＝45°，∠EDF＝30°，
∵DF∥AB，
∴∠FDB＝∠ABC＝45°，
∴∠EDB＝∠FDB﹣∠EDF＝45°﹣30°＝15°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，一副直角三角板的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
4．【考点】轴对称图形
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A，C，D选项中的图案都能不找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图案能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
5．【考点】完全平方公式；负整数指数幂；合并同类项；幂的乘方与积的乘方
【分析】利用幂的乘方法则，负整数指数幂，合并同类项法则，完全平方公式逐项判断即可．
解：（a3）2＝a6，则A不符合题意；
a﹣1，则B不符合题意；
2a+a＝3a，则C符合题意；
（a+1）2＝a2+2a+1，则D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
6．【考点】方差；算术平均数
【分析】根据平均数的定义和方差的意义求解即可．
解：由题意知，用一名身高为189cm的队员换下场上身高为196cm的队员，数据的总和减小，
所以平均数减小；
比较可知，用189替换196后，数据更加集中，
所以方差减小，
故选：A．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数的定义和方差的意义．
7．【考点】矩形的性质；菱形的性质
【分析】由菱形的性质得到∠B＝∠D＝50°，由矩形的性质得到∠AEC＝90°，求出∠BEC＝90°，由直角三角形的性质求出∠BCE＝90°﹣∠B＝40°．
解∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D＝50°，
∵四边形AECF为矩形，
∴∠AEC＝90°，
∴∠BEC＝180°﹣90°＝90°，
∴∠BCE＝90°﹣∠B＝40°，
故选：A．
【点评】本题考查菱形的性质，矩形的性质，关键是由菱形的性质得到∠B＝∠D＝50°，由矩形的性质得到∠AEC＝90°．
8．【考点】圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【分析】根据圆周角定理求出∠D，再根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
解：∵∠AOC＝110°，
∴∠D∠AOC110°＝55°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠D＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣55°＝125°，
故选：A．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
9．【考点】二元一次方程的解
【分析】根据二元一次方程的解的定义把代入二元一次方程kx+y＝7中即可求出k的值．
解：把代入二元一次方程kx+y＝7中，得2k﹣1＝7，
解得k＝4，
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．
10．【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点
【分析】根据题意得到Δ＝4﹣4m＞0，即可求解．
解：∵二次函数y＝x2+2x+m与x轴有两个不同的交点，
∴Δ＝22﹣4×1×m＝4﹣4m＞0，
∴m＜1，
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，一元二次方程根的判别式，掌握相关知识是解题的关键．
11．【考点】正方形的性质
【分析】过点G作GK⊥AB于点K，设BG的中点为P，连接PK，CG过点H作HQ⊥CG于点Q，证明四边形ABFE，四边形AKGE是矩形，则GK＝AEABBG，根据直角三角形斜边中线性质得PK＝PG＝PBBG，则PK＝PG＝GK，由此得△PGK是等边三角形，进而得∠PGK＝60°，∠KBG＝30°，∠GBC＝60°，继而得△BCG是等边三角形，由此得∠GCH＝30°，则HQCH＝2，CQ，再求出∠QGH＝45°得△GQH是等腰直角三角形，则GQ＝HQ＝2，进而得CG，由此即可得出正方形的边长．
解：过点G作GK⊥AB于点K，设BG的中点为P，连接PK，CG过点H作HQ⊥CG于点Q，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，AD∥BC，
∵点E，F是边AD，BC的中点，
∴AEADAB，BFBC，
∴AE＝BF，
∵AD∥BC，
∴四边形ABFE是平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∴∠AEF＝90°，
∵GK⊥AB，
∴∠BAD＝∠AEF＝∠GKA＝∠GKB＝90°，
∴四边形AKGE是矩形，
∴GK＝AEAB，
由尺规作图可知：BG＝AB，
∴GKBG，
在Rt△BKG中，点P是BG的中点，
∴PK＝PG＝PBBG，
∴PK＝PG＝GK，
∴△PGK是等边三角形，
∴∠PGK＝60°，
在Rt△BKG中，∠KBG＝90°﹣∠PGK＝30°，
∴∠GBC＝∠ABC﹣∠KBG＝90°﹣30°＝60°，
又∵BG＝AB＝BC，
∴△BCG是等边三角形，
∴∠BCG＝∠BGC＝60°，BC＝CG，
∴∠GCH＝∠BCD﹣∠BCG＝30°，
∵HQ⊥CG，
∴∠CQH＝∠GQH＝90°，
在Rt△CHQ中，∠GCH＝30°，CH＝4，
∴HQCH＝2，
由勾股定理得：CQ，
在△ABG中，AB＝BG，∠KBG＝30°，
∴∠BGA（180°﹣∠KBG）＝75°，
∴∠AGC＝∠BGA+∠BGC＝75°+60°＝135°，
∴∠QGH＝180°﹣∠AGC＝45°，
∴△GQH是等腰直角三角形，
∴GQ＝HQ＝2，
∴CG＝CQ+GQ，
∴BC＝CG，
∴正方形的边长为．
故选：B．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，理解正方形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，灵活运用含有30°角的直角三角形的性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键．
12．【考点】解一元一次不等式；实数的运算
【分析】根据运算的定义列出不等式，然后解不等式求得不等式的解集即可．
解：∵3 x＜13，
∴3（3﹣x）+1＜13，
解得：x＞﹣1．
故选：D．
【点评】此题考查一元一次不等式解集的求法，理解运算的方法，改为不等式是解决问题的关键．
二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
13．【考点】解一元一次不等式；点的坐标
【分析】根据在第一象限内的点的横纵坐标均为正数列式求值即可．
解：由题意得，2m﹣1＞0，
解得，
故答案为：．
【点评】本题考查了点的坐标及解一元一次不等式，解题的关键是根据点所处的位置列出有关m的一元一次不等式．
14．【考点】中位数
【分析】根据中位数的定义解答即可．
解：把这20名同学的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是90、90，
所以全班20名同学的成绩的中位数是90．
故答案为：90．
【点评】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
15．【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解
【分析】根据题意，得到：mn＝﹣2025，m2﹣3m＝2025，利用整体代入法，进行求解即可．
解：由条件可得m2﹣3m＝2025，
∴原式＝2025+（﹣2025）
＝0；
故答案为：0．
【点评】本题考查一元二次方程的解，根与系数之间的关系，熟练掌握以上知识点是关键．
16．【考点】切线的性质；梯形；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【分析】作直径AM交BC于N，由切线的性质得到直径MA⊥AD，由AD∥BC，推出AM⊥BC，由垂径定理得到，求出∠BAN＝90°﹣∠B＝32°，由圆周角定理得到的度数＝2×32°＝64°，即可得到的度数＝2×64°＝128°．
解：作直径AM交BC于N，
∵AD与⊙O相切于A点，
∴直径MA⊥AD，
∵AD∥BC，
∴AM⊥BC，
∴，
∵∠ANB＝90°，∠B＝58°，
∴∠BAN＝90°﹣∠B＝32°，
∴的度数＝2×32°＝64°，
∴的度数＝2×64°＝128°．
【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，关键是由圆周角定理求出的度数，由垂径定理得到．
三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）
17．【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值
【分析】利用二次根式的性质，立方根的定义，特殊角的三角函数值，零指数幂的意义计算即可．
解：原式
．
【点评】本题考查了实数的运算，掌握二次根式的性质，立方根的定义，特殊角的三角函数值，零指数幂的意义是解题的关键．
18．【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质
【分析】根据菱形的性质可得AB＝BC，∠A＝∠C，∠DBA＝∠DBC，再证明△ABF≌△CBE，根据全等三角形的性质即可求证．
证明：点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE＝AF，
∴AB＝BC，∠A＝∠C，∠DBA＝∠DBC，
在△ABF和△CBE中，
，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴∠ABF＝∠CBE，
∴∠DBF＝∠DBE．
【点评】此题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握菱形的四条边都相等．
19．【考点】分式的混合运算
【分析】（1）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；
（2）先计算分式的除法，再算加减，即可解答．
解：（1）
；
（2）
．
【点评】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
四．解答题（共2小题，满分14分，每小题7分）
20．【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；统计表；扇形统计图；概率公式
【分析】（1）用腾讯元宝的使用人数除以扇形统计图中腾讯元宝的百分比可得七年级一班总人数，再用七年级一班总人数乘以扇形统计图中豆包的百分比可得a的值；
（2）根据用样本估计总体，用1200乘以样本中Deepseek的使用人数所占的百分比，即可得出答案；
（3）列表可得出共有12种等可能的结果，其中挑出的恰好是“Deepseek”和“Kimi”的结果有2种，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）七年级一班总人数为6÷12%＝50（人），
∴a＝50×20%＝10，
故答案为：50人，10；
（2）1200432（名），
答：最常使用“Deepseek”的同学约有432名；
（3）将“Deepseek”、“Kimi”、“豆包”、“腾讯元宝”这四款软件分别记为A，B，C，D，
列表如下：
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
共有12种等可能的结果，其中挑出的恰好是“Deepseek”和“Kimi”的结果有2种，即（A，B），（B，A），
∴挑出的恰好是“Deepseek”和“Kimi”的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体、统计表、扇形统计图、概率公式，能够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体、概率公式是解题的关键．
21．【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用
【分析】（1）设每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣每次降价的百分率）2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设售出y瓶，利用总利润＝每瓶的销售利润×销售数量，结合总利润不低于600元，可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
解：（1）设每次降价的百分率为x，
根据题意得：20（1﹣x）2＝16.2，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去）．
答：每次降价的百分率为10%；
（2）设售出y瓶，
根据题意得：（16.2﹣15）y≥600，
解得：y≥500，
∴y的最小值为500．
答：至少要售出500瓶，总利润才能不低于600元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
五．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）
22．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）根据直线y＝x+2与x轴、y轴交于B、C两点求出两点坐标B（0，2）、C（﹣2，0），利用勾股定理求出BC长度．
（2）过点A作x轴垂线与x轴交于D点（图见解答）得到△BCO∽△ACD，利用相似性质BC：AC＝OC：DC＝BO：AD和AB＝BC可求出点A坐标为（2，4），又点A在反比例函数图象上，则k＝8．
解：（1）∵直线y＝x+2与y轴、x轴分别交由B、C两点．
∴B（0，2），C（﹣2，0）．
∴BO＝2，OC＝2．
由勾股定理得：
BC．
（2）如图：过点A作AD⊥x轴与x轴交于点D．
∴BO∥AD．
∴△BCO∽△ACD．
∴．
∵AB＝BC．
∴CO＝DO＝2，AD＝2BO＝4．
∴点A坐标为（2，4）．
∵点A在反比例函数图象上．
∴k＝2×4＝8．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数图象交点知识，解题中应用勾股定理和三角形相似知识．
23．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【分析】（1）过点M作ME⊥MN交DC的延长线于点E，则四边形MNDE是矩形，进而得出ME＝10m，在Rt△MEC中，求得EC＝9.3m，进而根据CD＝DE﹣EC，即可求解；
（2）根据可多次测量，取测量数据的平均值可减小误差，答案不唯一．
（1）解：如图，过点M作ME⊥MN交DC的延长线于点E，则四边形MNDE是矩形，
根据题意可得∠MDN＝58°，
∴DE＝MN＝DN tan∠MDN＝16m，
∴（m），
在Rt△MEC中，∠EMC＝43°，
∴，
∴EC＝EM tan∠EMC≈10×0.93＝9.3（m），
∴CD＝DE﹣EC＝16﹣9.3＝6.7（m），
答：支撑杆CD的高度为6.7m；
（2）通过计算得到的支撑杆的高度和实际高度有一定的误差，可多次测量，取测量数据的平均值（合理即可）．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键．
六．解答题（共2小题，满分24分，每小题12分）
24．【考点】三角形综合题
【分析】（1）利用“饮马问题”的对称法，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B与x轴的交点即为点C，之后可利用三角形面积关系来确定点C的坐标；
（2）过点A作AF⊥OA交OD延长线于点F，过点D作DE⊥y轴于点E，利用全等三角形得出△OBC≌△AOF（SAS），进一步依据S△AOF＝S△ODE+S梯形DEAF得出，以此得出AE、OE，即可确定点D的坐标．
解：（1）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B与x轴的交点即为点C，如图所示；
设C（x，0），
∵A（0，2），B（4，3），
∴A'（0，﹣2），
∴，，
，
∵S△A′OB＝S△A′OC+S△BOC，
∴，解得，
∴；
（2）如图，过点A作AF⊥OA交OD延长线于点F，过点D作DE⊥y轴于点E，
∵A（0，6），B（6，0），
∴OA＝OB＝6，
∴∠BAO＝∠ADE＝45°，
∴DE＝AE，
∵OD⊥BC，
∴∠OBC+∠BOD＝90°，
∵∠AOD+∠BOD＝90°，
∴∠OBC＝∠AOD，
∵∠COB＝∠FAO，OB＝OA，
∴△OBC≌△AOF（SAS），
∴OC＝AF，
∵C是OA的中点，
∴，
∴AF＝3，
∵S△AOF＝S△ODE+S梯形DEAF
，
又∵，
∴，
∴DE＝2，
∴AE＝2，
∴OE＝AO﹣AE＝4，
∴点D的坐标为（2，4）．
【点评】本题考查最短路径﹣将军饮马以及全等三角形的性质与判定，熟练掌握“饮马问题”的对称法以及全等三角形的判定方法和利用三角形面积法求解是解题的关键．
25．【考点】二次函数综合题
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）过点A作AQ⊥BC于Q，设直线CP交y轴于点M，由题意得tan∠BCPtan∠ACB，由tan∠BCP，可得BMBC4＝2，即|yM﹣1|＝2，得出M1（0，3），M2（0，﹣1），利用待定系数法可得：直线CM1的解析式为yx+3，直线CM2的解析式为yx﹣1，分别与抛物线联立求解即可；
（3）先求得平移后的抛物线解析式为y′＝﹣x2+5，联立求得D（1，4），由题意设E（2，t），F（m，n），又B（0，1），根据菱形的性质分三种情况：当BD、EF为对角线时，当BE、DF为对角线时，当BF、DE为对角线时，分别根据对角线互相平分，邻边相等建立方程组求解即可．
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，4），B（0，1），
∴，
解得：，
∴该抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+4x+1；
（2）存在．理由如下：
∵BC∥x轴，且B（0，1），
∴点C的纵坐标为1，
∴1＝﹣x2+4x+1，
解得：x1＝0（舍去），x2＝4，
∴C（4，1），
过点A作AQ⊥BC于Q，设直线CP交y轴于点M，如图，
在Rt△ACQ中，∵A（3，4），
∴Q（3，1），
∵tan∠BCPtan∠ACB，
∴tan∠BCP，
∵BC＝4，∠CBM＝90°，
∴tan∠BCP，
∴BMBC4＝2，
∴|yM﹣1|＝2，
∴yM＝3或﹣1，
∴M1（0，3），M2（0，﹣1），
∴直线CM1的解析式为yx+3，直线CM2的解析式为yx﹣1，
由，解得，（舍去），
由，解得，（舍去），
∴P1（，），P2（，），
综上所述，满足条件的点P的坐标为P1（，），P2（，）；
（3）∵y＝﹣x2+4x+1＝﹣（x﹣2）2+5，
∴原抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，5），
∵将该抛物线向左平移2个单位长度得到新抛物线y′，
∴y′＝﹣x2+5，
联立得，
解得：，
∴D（1，4），
又B（0，1），
设E（2，t），F（m，n），
当BD、EF为对角线时，
则，
解得：，
∴F（﹣1，3）；
当BE、DF为对角线时，
则，
解得：或，
∴F（1，4）与点D重合，不符合题意，舍去，或F（1，﹣2）；
当BF、DE为对角线时，
则，
解得：或，
∴F（3，4）或F（3，4）；
综上所述，点F的坐标为（﹣1，3）或（1，﹣2）或（3，4）或（3，4）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，抛物线的平移，解直角三角形的应用，菱形性质，第（3）问要分类讨论，避免漏解
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【备考2026】四川省泸州市中考仿真数学试卷1
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
题号 一 二 三 总分
得分
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）2024年代表着希望，自然，生机，则2024的相反数是（ ）
A．2024 B．﹣2024 C． D．
2．（3分）2024年3月18日，记者从国家管网西气东输郑州输气分公司获悉，2023年11月15日至2024年3月15日，西气东输共向河南供气36.35亿立方米，比去年同期增加4.02亿立方米，创历史新高．数据“36.35亿”用科学记数法表示为（ ）
A．36.35×108 B．3.635×108
C．3.635×109 D．0.3635×1010
3．（3分）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点E在AB的延长线上，当DF∥AB时，∠EDB的度数为（ ）
A．10° B．15° C．30° D．45°
4．（3分）在非物质文化遗产展区，小明看到如下发绣作品，其中作品主体图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a3）2＝a5 B．a﹣1
C．2a+a＝3a D．（a+1）2＝a2+1
6．（3分）某排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：180，184，188，190，192，196．现用一名身高为189cm的队员换下场上身高为196cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（ ）
A．平均数变小，方差变小
B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变小
D．平均数变大，方差变大
7．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠D＝50°，E，F分别为边AB和CD上的两个动点．当四边形AECF为矩形时，∠BCE的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
8．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOC＝110°，则∠ABC的度数为（ ）
A．125° B．120° C．115° D．110°
9．（3分）若是二元一次方程kx+y＝7的解，则k的值是（ ）
A．﹣5 B．﹣2 C．2 D．4
10．（3分）二次函数y＝x2+2x+m与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．m＜1且m≠0 B．m＜1 C．0＜m＜1 D．m＜0
11．（3分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AD、BC的中点，以点B为圆心、AB的长为半径画弧交线段EF于点G，直线AG交CD于点H，如果CH＝4，那么正方形的边长为（ ）
A．5 B． C． D．
12．（3分）定义新运算：对于任意实数a，b都有：a b＝a（a﹣b）+1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：2 5＝2×（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣5，那么不等式3 x＜13的解集为（ ）
A．x＜1 B．x＜﹣1 C．x＞1 D．x＞﹣1
二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
13．（3分）P（3，2m﹣1）在第一象限，则m的取值范围是 ．
14．（3分）为弘扬传统文化，某校举办了“诗词竞赛”活动，某班20名同学参加了此次竞赛，他们的得分情况如表所示，则全班20名同学竞赛得分的中位数是 ．
人数 2 7 7 4
成绩（分） 70 80 90 100
15．（3分）若m，n是一元二次方程x2﹣3x﹣2025＝0的两个实数根，则m2﹣3m+mn的值为 ．
16．（3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，⊙O经过A、B、C三点，且AD与⊙O相切于A点．若∠B＝58°，则的度数为 °．
三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE＝AF，连接BE，BF，BD．求证：∠DBF＝∠DBE．
19．（6分）计算：
（1）；
（2）．
四．解答题（共2小题，满分14分，每小题7分）
20．（7分）中国的人工智能（AI）领域近年来取得了显著的进展，并推动了AI技术在各行各业的普通应用．小城同学采用抽样调查的方式对七年级一班同学做了“我最常使用的AI软件”的问卷调并根据调查收集的数据，绘制了如下的统计图表．
七年级学生最常使用的“AI”软件统计表
AI软件 使用人数
Deepseek 18
Kimi 12
豆包 a
腾讯元宝 6
其他软件 4
（1）请写出七年级一班总人数 ，统计表中a＝ ；
（2）已知七年级有1200名同学，试估算最常使用“Deepseek”的同学有多少名？
（3）小城了解到：使用“Deepseek”和“Kimi”组合生成的ppt效果很好，堪称“王炸组合”现从“Deepseek”、“Kimi”、“豆包”、“腾讯元宝”这四款软件中挑出两款，请用列表或画树状图的方法求挑出的恰好是“Deepseek”和“Kimi”的概率．
21．（7分）某药店购进一批消毒液，计划每瓶标价20元，由于疫情得到有效控制，药店决定对这批消毒液全部降价销售，设每次降价百分率相同，经过连续两次降价后，每瓶售价为16.2元．
（1）求每次降价的百分率；
（2）若每瓶进价15元，两次降价后，至少要售出多少瓶，总利润才能不低于600元？
五．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）
22．（8分）如图，直线y＝x+2与反比例函数的图象交于点A，与y轴，x轴依次交于B，C两点，AB＝BC．
（1）求BC的长；
（2）求点A的坐标和k的值．
23．（8分）项目背景：近年来，我省不少地方积极推动新能源产业发展，不断优化能源结构，并将光伏技术与农业生产相融合，不仅提升了光伏发电效率，还为农作物创造了适宜的生长环境．某项目活动小组来到已采用光伏技术的农业基地，利用航模建的3D扫描仪采集光伏板的相关数据，并为光伏板的安装提供一些参考．
数据采集：如图是某光伏板安装调整完成后的示意图，AB为光伏板，CD为支撑杆，点C是AB上一点，CD与地面ND垂直．航模从光伏板前水平地面的点N处竖直上升，飞行至距离地面16m的点M处，此时测得点C处的俯角为43°，点D处的俯角为58°，图中各点均在同一竖直平面内．
问题解决：
（1）请根据上述数据，计算支撑杆CD的高度；（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
（2）通过计算得到的支撑杆的高度和实际高度有一定的误差，请你为该小组提出一条减小误差的合理化建议．
六．解答题（共2小题，满分24分，每小题12分）
24．（12分）【问题提出】
（1）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），点B的坐标是（4，3）．在x轴上找一点C，使得AC+BC的值最小．补全图形，并求出点C的坐标．
【问题解决】
（2）如图2，在校园规划中，校门在坐标原点O（0，0）位置，教学楼A在（0，6）位置，操场B在（6，0）位置，图书馆C在OA的中点位置．为了方便师生通行，要修建一条从O过BC的垂直道路OD（即OD⊥BC），点D在AB上，请求出点D的坐标，以便确定道路的终点位置．
25．（12分）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线相交于A，B两点，其中点A（3，4），B（0，1）．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）过点B作BC∥x轴交抛物线于点C．连接AC，在抛物线上是否存在点P使tan∠BCPtan∠ACB．若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题意补全图形，并解答）
（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到y1＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点E为原抛物线对称轴上的一点，F是平面直角坐标系内的一点，当以点B，D，E，F为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标．
参考答案
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．【考点】相反数
【分析】符号不同，并且绝对值相等的两个数互为相反数，据此即可求得答案．
解：2024的相反数是﹣2024，
故选：B．
【点评】本题考查相反数，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．【考点】科学记数法—表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：36.35亿＝3635000000＝3.635×109．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．【考点】平行线的性质
【分析】根据一副直角三角板的性质得出∠ABC＝45°，∠EDF＝30°，再根据两直线平行，内错角相等得出∠FDB＝∠ABC＝45°，即可求出∠EDB的度数．
解：由题意得，∠ABC＝45°，∠EDF＝30°，
∵DF∥AB，
∴∠FDB＝∠ABC＝45°，
∴∠EDB＝∠FDB﹣∠EDF＝45°﹣30°＝15°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，一副直角三角板的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
4．【考点】轴对称图形
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A，C，D选项中的图案都能不找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图案能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
5．【考点】完全平方公式；负整数指数幂；合并同类项；幂的乘方与积的乘方
【分析】利用幂的乘方法则，负整数指数幂，合并同类项法则，完全平方公式逐项判断即可．
解：（a3）2＝a6，则A不符合题意；
a﹣1，则B不符合题意；
2a+a＝3a，则C符合题意；
（a+1）2＝a2+2a+1，则D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
6．【考点】方差；算术平均数
【分析】根据平均数的定义和方差的意义求解即可．
解：由题意知，用一名身高为189cm的队员换下场上身高为196cm的队员，数据的总和减小，
所以平均数减小；
比较可知，用189替换196后，数据更加集中，
所以方差减小，
故选：A．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数的定义和方差的意义．
7．【考点】矩形的性质；菱形的性质
【分析】由菱形的性质得到∠B＝∠D＝50°，由矩形的性质得到∠AEC＝90°，求出∠BEC＝90°，由直角三角形的性质求出∠BCE＝90°﹣∠B＝40°．
解∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D＝50°，
∵四边形AECF为矩形，
∴∠AEC＝90°，
∴∠BEC＝180°﹣90°＝90°，
∴∠BCE＝90°﹣∠B＝40°，
故选：A．
【点评】本题考查菱形的性质，矩形的性质，关键是由菱形的性质得到∠B＝∠D＝50°，由矩形的性质得到∠AEC＝90°．
8．【考点】圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【分析】根据圆周角定理求出∠D，再根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
解：∵∠AOC＝110°，
∴∠D∠AOC110°＝55°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠D＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣55°＝125°，
故选：A．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
9．【考点】二元一次方程的解
【分析】根据二元一次方程的解的定义把代入二元一次方程kx+y＝7中即可求出k的值．
解：把代入二元一次方程kx+y＝7中，得2k﹣1＝7，
解得k＝4，
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．
10．【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点
【分析】根据题意得到Δ＝4﹣4m＞0，即可求解．
解：∵二次函数y＝x2+2x+m与x轴有两个不同的交点，
∴Δ＝22﹣4×1×m＝4﹣4m＞0，
∴m＜1，
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，一元二次方程根的判别式，掌握相关知识是解题的关键．
11．【考点】正方形的性质
【分析】过点G作GK⊥AB于点K，设BG的中点为P，连接PK，CG过点H作HQ⊥CG于点Q，证明四边形ABFE，四边形AKGE是矩形，则GK＝AEABBG，根据直角三角形斜边中线性质得PK＝PG＝PBBG，则PK＝PG＝GK，由此得△PGK是等边三角形，进而得∠PGK＝60°，∠KBG＝30°，∠GBC＝60°，继而得△BCG是等边三角形，由此得∠GCH＝30°，则HQCH＝2，CQ，再求出∠QGH＝45°得△GQH是等腰直角三角形，则GQ＝HQ＝2，进而得CG，由此即可得出正方形的边长．
解：过点G作GK⊥AB于点K，设BG的中点为P，连接PK，CG过点H作HQ⊥CG于点Q，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，AD∥BC，
∵点E，F是边AD，BC的中点，
∴AEADAB，BFBC，
∴AE＝BF，
∵AD∥BC，
∴四边形ABFE是平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∴∠AEF＝90°，
∵GK⊥AB，
∴∠BAD＝∠AEF＝∠GKA＝∠GKB＝90°，
∴四边形AKGE是矩形，
∴GK＝AEAB，
由尺规作图可知：BG＝AB，
∴GKBG，
在Rt△BKG中，点P是BG的中点，
∴PK＝PG＝PBBG，
∴PK＝PG＝GK，
∴△PGK是等边三角形，
∴∠PGK＝60°，
在Rt△BKG中，∠KBG＝90°﹣∠PGK＝30°，
∴∠GBC＝∠ABC﹣∠KBG＝90°﹣30°＝60°，
又∵BG＝AB＝BC，
∴△BCG是等边三角形，
∴∠BCG＝∠BGC＝60°，BC＝CG，
∴∠GCH＝∠BCD﹣∠BCG＝30°，
∵HQ⊥CG，
∴∠CQH＝∠GQH＝90°，
在Rt△CHQ中，∠GCH＝30°，CH＝4，
∴HQCH＝2，
由勾股定理得：CQ，
在△ABG中，AB＝BG，∠KBG＝30°，
∴∠BGA（180°﹣∠KBG）＝75°，
∴∠AGC＝∠BGA+∠BGC＝75°+60°＝135°，
∴∠QGH＝180°﹣∠AGC＝45°，
∴△GQH是等腰直角三角形，
∴GQ＝HQ＝2，
∴CG＝CQ+GQ，
∴BC＝CG，
∴正方形的边长为．
故选：B．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，理解正方形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，灵活运用含有30°角的直角三角形的性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键．
12．【考点】解一元一次不等式；实数的运算
【分析】根据运算的定义列出不等式，然后解不等式求得不等式的解集即可．
解：∵3 x＜13，
∴3（3﹣x）+1＜13，
解得：x＞﹣1．
故选：D．
【点评】此题考查一元一次不等式解集的求法，理解运算的方法，改为不等式是解决问题的关键．
二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
13．【考点】解一元一次不等式；点的坐标
【分析】根据在第一象限内的点的横纵坐标均为正数列式求值即可．
解：由题意得，2m﹣1＞0，
解得，
故答案为：．
【点评】本题考查了点的坐标及解一元一次不等式，解题的关键是根据点所处的位置列出有关m的一元一次不等式．
14．【考点】中位数
【分析】根据中位数的定义解答即可．
解：把这20名同学的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是90、90，
所以全班20名同学的成绩的中位数是90．
故答案为：90．
【点评】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
15．【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解
【分析】根据题意，得到：mn＝﹣2025，m2﹣3m＝2025，利用整体代入法，进行求解即可．
解：由条件可得m2﹣3m＝2025，
∴原式＝2025+（﹣2025）
＝0；
故答案为：0．
【点评】本题考查一元二次方程的解，根与系数之间的关系，熟练掌握以上知识点是关键．
16．【考点】切线的性质；梯形；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【分析】作直径AM交BC于N，由切线的性质得到直径MA⊥AD，由AD∥BC，推出AM⊥BC，由垂径定理得到，求出∠BAN＝90°﹣∠B＝32°，由圆周角定理得到的度数＝2×32°＝64°，即可得到的度数＝2×64°＝128°．
解：作直径AM交BC于N，
∵AD与⊙O相切于A点，
∴直径MA⊥AD，
∵AD∥BC，
∴AM⊥BC，
∴，
∵∠ANB＝90°，∠B＝58°，
∴∠BAN＝90°﹣∠B＝32°，
∴的度数＝2×32°＝64°，
∴的度数＝2×64°＝128°．
【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，关键是由圆周角定理求出的度数，由垂径定理得到．
三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）
17．【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值
【分析】利用二次根式的性质，立方根的定义，特殊角的三角函数值，零指数幂的意义计算即可．
解：原式
．
【点评】本题考查了实数的运算，掌握二次根式的性质，立方根的定义，特殊角的三角函数值，零指数幂的意义是解题的关键．
18．【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质
【分析】根据菱形的性质可得AB＝BC，∠A＝∠C，∠DBA＝∠DBC，再证明△ABF≌△CBE，根据全等三角形的性质即可求证．
证明：点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE＝AF，
∴AB＝BC，∠A＝∠C，∠DBA＝∠DBC，
在△ABF和△CBE中，
，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴∠ABF＝∠CBE，
∴∠DBF＝∠DBE．
【点评】此题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握菱形的四条边都相等．
19．【考点】分式的混合运算
【分析】（1）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；
（2）先计算分式的除法，再算加减，即可解答．
解：（1）
；
（2）
．
【点评】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
四．解答题（共2小题，满分14分，每小题7分）
20．【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；统计表；扇形统计图；概率公式
【分析】（1）用腾讯元宝的使用人数除以扇形统计图中腾讯元宝的百分比可得七年级一班总人数，再用七年级一班总人数乘以扇形统计图中豆包的百分比可得a的值；
（2）根据用样本估计总体，用1200乘以样本中Deepseek的使用人数所占的百分比，即可得出答案；
（3）列表可得出共有12种等可能的结果，其中挑出的恰好是“Deepseek”和“Kimi”的结果有2种，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）七年级一班总人数为6÷12%＝50（人），
∴a＝50×20%＝10，
故答案为：50人，10；
（2）1200432（名），
答：最常使用“Deepseek”的同学约有432名；
（3）将“Deepseek”、“Kimi”、“豆包”、“腾讯元宝”这四款软件分别记为A，B，C，D，
列表如下：
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
共有12种等可能的结果，其中挑出的恰好是“Deepseek”和“Kimi”的结果有2种，即（A，B），（B，A），
∴挑出的恰好是“Deepseek”和“Kimi”的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体、统计表、扇形统计图、概率公式，能够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体、概率公式是解题的关键．
21．【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用
【分析】（1）设每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣每次降价的百分率）2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设售出y瓶，利用总利润＝每瓶的销售利润×销售数量，结合总利润不低于600元，可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
解：（1）设每次降价的百分率为x，
根据题意得：20（1﹣x）2＝16.2，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去）．
答：每次降价的百分率为10%；
（2）设售出y瓶，
根据题意得：（16.2﹣15）y≥600，
解得：y≥500，
∴y的最小值为500．
答：至少要售出500瓶，总利润才能不低于600元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
五．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）
22．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）根据直线y＝x+2与x轴、y轴交于B、C两点求出两点坐标B（0，2）、C（﹣2，0），利用勾股定理求出BC长度．
（2）过点A作x轴垂线与x轴交于D点（图见解答）得到△BCO∽△ACD，利用相似性质BC：AC＝OC：DC＝BO：AD和AB＝BC可求出点A坐标为（2，4），又点A在反比例函数图象上，则k＝8．
解：（1）∵直线y＝x+2与y轴、x轴分别交由B、C两点．
∴B（0，2），C（﹣2，0）．
∴BO＝2，OC＝2．
由勾股定理得：
BC．
（2）如图：过点A作AD⊥x轴与x轴交于点D．
∴BO∥AD．
∴△BCO∽△ACD．
∴．
∵AB＝BC．
∴CO＝DO＝2，AD＝2BO＝4．
∴点A坐标为（2，4）．
∵点A在反比例函数图象上．
∴k＝2×4＝8．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数图象交点知识，解题中应用勾股定理和三角形相似知识．
23．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【分析】（1）过点M作ME⊥MN交DC的延长线于点E，则四边形MNDE是矩形，进而得出ME＝10m，在Rt△MEC中，求得EC＝9.3m，进而根据CD＝DE﹣EC，即可求解；
（2）根据可多次测量，取测量数据的平均值可减小误差，答案不唯一．
（1）解：如图，过点M作ME⊥MN交DC的延长线于点E，则四边形MNDE是矩形，
根据题意可得∠MDN＝58°，
∴DE＝MN＝DN tan∠MDN＝16m，
∴（m），
在Rt△MEC中，∠EMC＝43°，
∴，
∴EC＝EM tan∠EMC≈10×0.93＝9.3（m），
∴CD＝DE﹣EC＝16﹣9.3＝6.7（m），
答：支撑杆CD的高度为6.7m；
（2）通过计算得到的支撑杆的高度和实际高度有一定的误差，可多次测量，取测量数据的平均值（合理即可）．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键．
六．解答题（共2小题，满分24分，每小题12分）
24．【考点】三角形综合题
【分析】（1）利用“饮马问题”的对称法，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B与x轴的交点即为点C，之后可利用三角形面积关系来确定点C的坐标；
（2）过点A作AF⊥OA交OD延长线于点F，过点D作DE⊥y轴于点E，利用全等三角形得出△OBC≌△AOF（SAS），进一步依据S△AOF＝S△ODE+S梯形DEAF得出，以此得出AE、OE，即可确定点D的坐标．
解：（1）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B与x轴的交点即为点C，如图所示；
设C（x，0），
∵A（0，2），B（4，3），
∴A'（0，﹣2），
∴，，
，
∵S△A′OB＝S△A′OC+S△BOC，
∴，解得，
∴；
（2）如图，过点A作AF⊥OA交OD延长线于点F，过点D作DE⊥y轴于点E，
∵A（0，6），B（6，0），
∴OA＝OB＝6，
∴∠BAO＝∠ADE＝45°，
∴DE＝AE，
∵OD⊥BC，
∴∠OBC+∠BOD＝90°，
∵∠AOD+∠BOD＝90°，
∴∠OBC＝∠AOD，
∵∠COB＝∠FAO，OB＝OA，
∴△OBC≌△AOF（SAS），
∴OC＝AF，
∵C是OA的中点，
∴，
∴AF＝3，
∵S△AOF＝S△ODE+S梯形DEAF
，
又∵，
∴，
∴DE＝2，
∴AE＝2，
∴OE＝AO﹣AE＝4，
∴点D的坐标为（2，4）．
【点评】本题考查最短路径﹣将军饮马以及全等三角形的性质与判定，熟练掌握“饮马问题”的对称法以及全等三角形的判定方法和利用三角形面积法求解是解题的关键．
25．【考点】二次函数综合题
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）过点A作AQ⊥BC于Q，设直线CP交y轴于点M，由题意得tan∠BCPtan∠ACB，由tan∠BCP，可得BMBC4＝2，即|yM﹣1|＝2，得出M1（0，3），M2（0，﹣1），利用待定系数法可得：直线CM1的解析式为yx+3，直线CM2的解析式为yx﹣1，分别与抛物线联立求解即可；
（3）先求得平移后的抛物线解析式为y′＝﹣x2+5，联立求得D（1，4），由题意设E（2，t），F（m，n），又B（0，1），根据菱形的性质分三种情况：当BD、EF为对角线时，当BE、DF为对角线时，当BF、DE为对角线时，分别根据对角线互相平分，邻边相等建立方程组求解即可．
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，4），B（0，1），
∴，
解得：，
∴该抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+4x+1；
（2）存在．理由如下：
∵BC∥x轴，且B（0，1），
∴点C的纵坐标为1，
∴1＝﹣x2+4x+1，
解得：x1＝0（舍去），x2＝4，
∴C（4，1），
过点A作AQ⊥BC于Q，设直线CP交y轴于点M，如图，
在Rt△ACQ中，∵A（3，4），
∴Q（3，1），
∵tan∠BCPtan∠ACB，
∴tan∠BCP，
∵BC＝4，∠CBM＝90°，
∴tan∠BCP，
∴BMBC4＝2，
∴|yM﹣1|＝2，
∴yM＝3或﹣1，
∴M1（0，3），M2（0，﹣1），
∴直线CM1的解析式为yx+3，直线CM2的解析式为yx﹣1，
由，解得，（舍去），
由，解得，（舍去），
∴P1（，），P2（，），
综上所述，满足条件的点P的坐标为P1（，），P2（，）；
（3）∵y＝﹣x2+4x+1＝﹣（x﹣2）2+5，
∴原抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，5），
∵将该抛物线向左平移2个单位长度得到新抛物线y′，
∴y′＝﹣x2+5，
联立得，
解得：，
∴D（1，4），
又B（0，1），
设E（2，t），F（m，n），
当BD、EF为对角线时，
则，
解得：，
∴F（﹣1，3）；
当BE、DF为对角线时，
则，
解得：或，
∴F（1，4）与点D重合，不符合题意，舍去，或F（1，﹣2）；
当BF、DE为对角线时，
则，
解得：或，
∴F（3，4）或F（3，4）；
综上所述，点F的坐标为（﹣1，3）或（1，﹣2）或（3，4）或（3，4）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，抛物线的平移，解直角三角形的应用，菱形性质，第（3）问要分类讨论，避免漏解
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