【备考2026】四川省绵阳市中考仿真数学试卷1（含解新）
文档属性
| 名称 | 【备考2026】四川省绵阳市中考仿真数学试卷1（含解新） |
|
|
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 3.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-22 14:31:48 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
【备考2026】四川省绵阳市中考仿真数学试卷1
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
题号 一 二 三 总分
得分
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）27的立方根是（ ）
A．±3 B．3 C． D．27
2．（3分）蝴蝶标本可以近似地看作轴对称图形，如图，将一只蝴蝶标本放在平面直角坐标系中，若图中点A的坐标为（﹣9，6），则其关于y轴对称的点B的坐标为（ ）
A．（9，6） B．（6，9） C．（9，﹣6） D．（﹣6，9）
3．（3分）当x＝﹣1时，下列式子有意义的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图所示分别是三个几何体的表面展开图，这三个几何体分别是（ ）
A．正方体、五棱锥、圆柱 B．长方体、五棱锥、圆柱
C．长方体、五棱柱、圆柱 D．长方体、五棱锥、圆锥
5．（3分）如图，在扇形纸扇中，若∠AOB＝150°，OA＝24，则的长为（ ）
A．30π B．25π C．20π D．10π
6．（3分）某商场新购进一种服装，每套售价1000元，若将裤子降价10%，上衣涨价5%，调价后这套服装的单价比原来提高了2%，则调价前上衣的单价是（ ）
A．200元 B．480元 C．600元 D．800元
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，若DE＝8cm，DB＝10cm，则BC等于（ ）
A．14cm B．16cm C．18cm D．20cm
8．（3分）若关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞0 B．k≤0 C．k≠1且k≠0 D．k≤1且k≠0
9．（3分）如图，点M是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点（不包括边界），且AM⊥BM，P是FC上的一点，N是AF的中点，则PN+PM的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．2
10．（3分）小明同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数之和小于6的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．（3分）有n个依次排列的整式：第一项是a2（a是非零实数），第二项是a2+2a+1，用第二项减去第一项，所得之差记为b1，将b1加2记为b2，将第二项与b2相加作为第三项，将b2加2记为b3，将第三项与b3相加作为第四项，以此类推…；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论：①b2＝2a+3；②当a＝3时，第3项为16；③若第4项与第5项之和为41，则a＝1或a＝﹣8；④第（n﹣1）项为（a+n﹣2）2.以上结论正确的个数是（ ）
A．3 B．4 C．2 D．1
12．（3分）直角三角形ABC中，∠C＝90°，BD是AC边上的中线，若AC＝4，∠A＝2∠DBA，则AB的长为（ ）
A．5 B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．（4分）分解因式：x﹣2x2+x3＝ ．
14．（4分）2024年全国新生人口为9540000人，将9540000用科学记数法表示为 ．
15．（4分）已知n是常数，若﹣2x3y4和xn+1y4是同类项，则2n+2＝ ．
16．（4分）如图，点A，E，D，B在同一条直线上，EF∥DC，∠CDB＝45°，则∠AEF的度数是 ．
17．（4分）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销量，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价 元．
18．（4分）如图，Rt△ABC的内切圆（圆心为O）与各边分别相切于点D，E，F，连接OE．以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交AB，AC于M，N两点；分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P；作射线AP．有下列结论：①AP垂直平分EF；②∠AEF＝∠B；③AC+BC﹣AB＝2OE．其中正确结论的序号是 ．
三．解答题（共7小题，满分90分）
19．（16分）（1）计算：；
（2）先化简，再求值，其中x＝3．
20．（12分）某校拟派一名跳高运动员参加校际比赛，对甲、乙两名同学进行了8次跳高选拔比赛，他们的原始成绩（单位：cm）如下表：
学生/成绩/次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次
甲 169 165 168 169 172 173 169 167
乙 161 174 172 162 163 172 172 176
两名同学的8次跳高成绩数据分析如下表：
学生/成绩/名称 平均数（单位：cm） 中位数（单位：cm） 众数（单位：cm） 方差（单位：cm2）
甲 a b c 5.75
乙 169 172 172 31.25
根据图表信息回答下列问题：
（1）直接写出表格中a、b、c的值；
（2）这两名同学中，谁的成绩更为稳定；
（3）若预测跳高165就可能获得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，你认为应该选择哪名同学参赛？若预测跳高170方可夺得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，你认为应该选择哪名同学参赛？说明你的理由．
21．（12分）某公司购买了A、B两种型号的芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等．
（1）求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？
（2）若两种芯片共购买了100条，其购买的总费用不少于3140元，且B型的数量不高于A型数量的4倍，问一共有多少种购买方案，哪一种方案最省钱？
22．（12分）如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ．
（1）求证：EF＝EQ；
（2）求证：EF2＝BE2+DF2．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数yax﹣2a（a≠0）的图象与x轴、y轴分别交于点B，D，与反比例函数y（k＜0）的图象交于A，C两点．
（1）如图1，若点A的坐标为（﹣2，3），
①求一次函数和反比例函数的解析式；
②点P是直线AB下方反比例函数y图象上一点，当△PAB的面积为15时，求点P的坐标．
（2）若2，过点A作AN⊥x轴于点N，在反比例函数y（k≠0）上是否存在点M，使得△BNA∽△BAM，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
24．（12分）如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为⊙O上一点，DO⊥BE于点O，连接AD交BC于F，AC＝FC．
（1）求证：AC是⊙O的切线．
（2）若BF＝8，，求⊙O的半径．
（3）若∠ADB＝60°，BD＝2，则阴影部分的面积为 ．
25．（14分）如图1，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一交点坐标为A（﹣1，0）．
（1）求B、C两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式；
（2）若点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA＝∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；
（3）如图2，P是线段BC上的一个动点（与B、C不重合），过点P作直线b∥x轴，交AC于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得△PQR为等腰直角三角形？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．【考点】立方根
【分析】根据立方根的定义即可求得答案．
解：∵33＝27，
∴27的立方根是3，
故选：B．
【点评】本题考查立方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
2．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标确定位置；轴对称图形
【分析】关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得答案．
解：∵点A的坐标为（﹣9，6），
∴其关于y轴对称的点B的坐标为（9，6）．
故选：A．
【点评】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标、坐标确定位置、轴对称图形，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键．
3．【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件判断即可．
解：A、当x＝﹣1时，分母x+1＝0，分式无意义，故此选项不符合题意；
B、当x＝﹣1时，分式有意义，故此选项符合题意；
C、当x＝﹣1时，被开方数是﹣2，无意义，故此选项不符合题意；
D、当x＝﹣1时，被开方数是﹣1，无意义，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握这两个知识点是解题的关键．
4．【考点】几何体的展开图
【分析】根据常见立体图形的展开图特点，结合展开图进行解答．
解：根据三个几何体的表面展开图，可知这三个几何体分别是长方体、五棱锥、圆柱．
故选：B．
【点评】本题考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的展开图特点是解决此类问题的关键．
5．【考点】弧长的计算
【分析】根据弧长的计算公式即可解决问题．
解：因为∠AOB＝150°，OA＝24，
所以的长为：．
故选：C．
【点评】本题主要考查了弧长的计算，熟知弧长的计算公式是解题的关键．
6．【考点】二元一次方程组的应用
【分析】设调价前上衣的单价是x元，裤子的单价是y元，根据“调价前每套售价1000元，若将裤子降价10%，上衣涨价5%，调价后这套服装的单价比原来提高了2%”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
解：设调价前上衣的单价是x元，裤子的单价是y元，
依题意，得：，
解得：，
即调价前上衣的单价是800元，
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7．【考点】角平分线的性质
【分析】由角平分线的性质等DC＝DE＝8cm，即可解决问题．
解：∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，
∴DC＝DE＝8cm，
∴BC＝DB+DC＝10+8＝18（cm），
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
8．【考点】根的判别式
【分析】根据根的判别式结合一元二次方程的定义即可求解．
解：由题意：Δ＝22﹣4k≥0且k≠0，
∴k≤1且k≠0，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义与根的判别式，解题关键是掌握当Δ≥0时，方程才有实数根．
9．【考点】正多边形和圆；轴对称﹣最短路线问题
【分析】如图，取EF，AB的中点J，K，连接PJ，JK，MK，JK交CF于点Q，则△FJQ是等边三角形，四边形FQKA是平行四边形．求出JK，MK，根据PJ+PM+MK≥JK＝3，推出PN+PM≥3﹣1＝2，可得结论．
解：如图，取EF，AB的中点J，K，连接PJ，JK，MK，JK交CF于点Q，则△FJQ是等边三角形，四边形FQKA是平行四边形．
∴JQ＝JF＝1，QK＝AF＝2，
∴JK＝JQ+QK＝1+2＝3，
∵FN＝AN＝1，FJ＝JE＝1，
∴FJ＝FN，
∵∠PFJ＝∠PFN＝60°，FP＝FP，
∴△PFJ≌△PFN（SAS），
∴PN＝PJ，
∵∠AMB＝90°，AK＝KB，
∴MKAB＝1，
∵PJ+PM+MK≥JK＝3，
∴PN+PM≥3﹣1＝2，
∴PN+PM的最小值为2．
故选：D．
【点评】本题考查正多边形与圆，轴对称最短问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题．
10．【考点】列表法与树状图法；概率公式
【分析】列表可得出所有等可能的结果以及掷得面朝上的点数之和小于6的结果，再利用概率公式可得答案．
解：列表如下：
1 2 3 4 5 6
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）
5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
共有36种等可能的结果，其中掷得面朝上的点数之和小于6的结果有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（4，1），共10种，
∴掷得面朝上的点数之和小于6的概率为．
故选：D．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法、概率公式是解答本题的关键．
11．【考点】规律型：数字的变化类
【分析】依次求出整式及b1，b2，b3，…，发现规律即可解决问题．
解：由题知，
，
b2＝b1+2＝2a+3，
b3＝b2+2＝2a+5，
…，
所以bn＝2a+2n﹣1（n为正整数）．
整式的第三项为：a2+2a+1+2a+3＝（a+2）2；
整式的第四项为：a2+4a+4+2a+5＝（a+3）2；
整式的第五项为：a2+6a+9+2a+7＝（a+4）2；
…，
所以整式的第n项为：（a+n﹣1）2．
因为b2＝2a+3，
故①正确．
当a＝3时，
（a+2）2＝52＝25，
故②错误．
由第4项与第5项之和为41得，
（a+3）2+（a+4）2＝41，
解得a＝1或﹣8．
故③正确．
由上面的发现可知，
整式的第（n﹣1）项为（a+n﹣1﹣1）2＝（a+n﹣2）2．
故④正确．
故选：A．
【点评】本题考查数字变化的规律，能根据题中规定的计算方式，依次求出整式及b1，b2，b3，…，是解题的关键．
12．【考点】勾股定理
【分析】解法一：由∠A＝2∠DBA构造△ADE，使得△ADE∽△DBE，于是延长BA至点E，使AE＝AD，连接DE，AB＝a，则BE＝a+2，利用相似三角形的性质得出BD2＝AD BE＝2（a+2），再由Rt△ABC，Rt△BCD，CD2+BC2＝BD2，利用双勾股定理求解即可．
解法二：以点D为圆心，AC为直径作圆，交AB于点F，连接DF，CF，易得AD＝CD＝DF＝2，由垂径定理得CF⊥AB，于是∠DAF＝∠DFA，结合已知∠A＝2∠DBA和三角形外角性质∠DFA＝∠DBA+∠FDB，可得DF＝BF＝2，
于是设AF＝x，则AB＝x+2，易证△AFC∽△ACB，利用相似三角形的性质得，以此列出方程求得AF的长，即可得出AB的长．
解：如图，延长BA至点E，使AE＝AD，连接DE，
∵BD是AC边上的中线，若AC＝4，
∴AD＝CDAC＝2，
设AB＝a，则BE＝a+2，
∵AE＝AD，
∴∠AED＝∠ADE，
∵∠BAD＝∠AED+∠ADE，∠BAD＝2∠DBA，
∴∠ADE＝∠DBA＝∠DEB，
∴△ADE∽△DBE，DE＝DB，
∴，即BD2＝AD BE＝2（a+2），
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即42+BC2＝a2①，
在Rt△BCD中，CD2+BC2＝BD2，即22+BC2＝2（a+2）②，
①﹣②得42﹣22＝a2﹣2（a+2），
解得：a或（舍去）．
解法二：∵BD是AC边上的中线，若AC＝4，
∴AD＝CDAC＝2，
如图，以点D为圆心，AC为直径作圆，交AB于点F，连接DF，CF，
∴AD＝DF＝2，CF⊥AB，
∴∠DAF＝∠DFA，
∵∠CAB＝2∠DBA，∠DFA＝∠DBA+∠FDB，
∴∠DFA＝2∠DBA，
∴∠DBA＝∠FDB，
∴DF＝BF＝2，
设AF＝x，则AB＝x+2，
∵∠CAF＝∠BAC，∠AFC＝∠ACB＝90°，
∴△AFC∽△ACB，
∴，即，
解得：（舍去），，
∴AE，AB．
故选：B．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解一元二次方程、勾股定理，解题关键是根据易知已知条件∠BAD＝2∠DBA，联想到利用三角形外角性质构造等腰三角形，进而可利用相似三角形的性质解决问题．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】提公因式后利用完全平方公式因式分解即可．
解：原式＝x（1﹣2x+x2）
＝x（1﹣x）2，
故答案为：x（1﹣x）2．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
14．【考点】科学记数法—表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：9540000＝9.54×106．
故答案为：9.54×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
15．【考点】同类项
【分析】根据同类项的定义列出方程，再求解即可．
解：由同类项的定义可知n+1＝3，
解得n＝2，
∴2n+2＝2×2+2＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．
16．【考点】平行线的性质
【分析】根据两直线平行，同位角相等得出∠FED，进而利用邻补角解答即可．
解：∵EF∥DC，∠CDB＝45°，
∴∠FED＝45°，
∴∠AEF＝180°﹣45°＝135°，
故答案为：135°．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等得出∠FED解答．
17．【考点】一元二次方程的应用
【分析】设每箱降价x元，则每箱的销售利润为（12﹣x）元，平均每天可售出（100+20x）箱，利用总利润＝每箱的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
解：设每箱降价x元，则每箱的销售利润为（12﹣x）元，平均每天可售出（100+20x）箱，
根据题意得：（12﹣x）（100+20x）＝1440，
整理得：x2﹣7x+12＝0，
解得：x1＝3，x2＝4，
∴每箱应降价3或4元．
故答案为：3或4．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18．【考点】三角形的内切圆与内心；角平分线的性质；正方形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【分析】延长AP交EF于点H，连接OF，OD，根据尺规作图的过程可知AP平分∠BAC，再根据Rt△ABC的内切圆（圆心为O）与各边分别相切于点D，E，F，可得AF＝AE，BF＝BE，CD＝CE，由等腰三角形三线合一可判断①③；由直角三角形的性质可得∠AFE+∠FAH＝90°，∠B+∠BAC＝90°，结合∠BAC＝2∠FAH可判断②．
解：如图，连接OF，OD，延长AP交EF于点H，
由作图过程可知AP平分∠BAC，则∠BAC＝2∠FAH，
∵Rt△ABC的内切圆（圆心为O）与各边分别相切于点D，E，F，
∴AF＝AE，BF＝BE，CD＝CE，∠ODC＝∠OEC＝90°，
∴△AEF是等腰三角形，
∴AH垂直平分EF，即AP垂直平分EF，
故结论①正确，符合题意；
∵AF＝AE，BF＝BD，CD＝CE，
∴AC+BC﹣AB＝AE+CE+CD+BD﹣BF﹣AF＝CE+CD，
∵∠ODC＝∠OEC＝∠C＝90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∵CD＝CE，
∴四边形ODCE是正方形，
∴CE＝CD＝OE，
∴AC+BC﹣AB＝CE+CD＝2OE，
故结论③正确，符合题意；
∵∠AFE+∠FAH＝90°，∠B+∠BAC＝90°，∠BAC＝2∠FAH，
∴∠AEF≠∠B，
故结论②错误，不符合题意，
综上所述，正确的结论有①③．
故答案为：①③．
【点评】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的性质，正方形的判定与性质，切线的性质，切线长定理，解答本题的关键是熟练掌握切线长定理．
三．解答题（共7小题，满分90分）
19．【考点】分式的化简求值；零指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值
【分析】（1）根据平方差公式，尤三角函数、零指数幂的计算．
（2）先将括号内的式子通分，同时将括号外的除法转化为乘法，然后约分即可，再将x的值代入化简后的式子计算即可．
解：（1）原式＝4﹣3+21+4
＝4﹣31+4
＝4；
（2）原式
＝x﹣2，
当x＝3时，原式＝3﹣2＝1．
【点评】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则是解题关键．
20．【考点】方差；算术平均数；中位数；众数
【分析】（1）利用平均数、众数及中位数的定义分别求得a、b、c的值即可；
（2）方差越大，波动性越大，成绩越不稳定，反之也成立；
（3）比较一下甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛的成绩，看谁的成绩在1.65或1.65米以上的次数多，就选哪位运动员参赛；若预测跳高1.70m方可获得冠军，则看哪位运动员的成绩在1.70米以上的多即可．
解：（1）a（169+165+168+169+172+173+169+167）＝169；
b（169+169）＝169；
∵169出现了3次，最多，
∴c＝169，
（2）∵甲的方差小于乙的方差，
∴甲的成绩更稳定；
（3）应选择甲，理由如下：
若跳高1.65米就获得冠军，那么成绩在1.65或1.65米以上的次数甲多，则选择甲，
（3）应该选择乙，理由如下：
若1.70m才能获得冠军，那么成绩在1.70或1.70米以上的次数乙多，则选择乙．
【点评】本题考查平均数和方差的意义．平均数表示数据的平均水平；方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
21．【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的应用
【分析】（1）设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为（x﹣9）元/条，根据数量＝总价÷单价结合用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买A型芯片为m条，则购买B型芯片为（100﹣m）条，根据购买的总费用不少于3140元，且B型的数量不高于A型数量的4倍，列出一元一次不等式组，解得20≤m≤40，得一共有21种购买方案，再设总费用为y元，由题意得y＝﹣9m+3500，然后由一次函数的性质即可得出结论．
解：（1）设该公司购买的B型芯片的单价是x元，则A型芯片的单价是（x﹣9）元，
由题意得：，
解得：x＝35，
经检验，x＝35是原方程的解，且符合题意，
∴x﹣9＝26，
答：该公司购买的A型芯片的单价是26元，B型芯片的单价是35元；
（2）设购买A型芯片为m条，则购买B型芯片为（100﹣m）条，
由题意得：，
解得：20≤m≤40，
∵m为整数，
∴m＝20，21，22，23，24，…，40，
∴一共有21种购买方案，
设总费用为y元，
由题意得：y＝26m+35（100﹣m）＝﹣9m+3500，
∵﹣9＜0，
∴y随m的增大而减小，
∴当m＝40时，y的值最小，
此时100﹣m＝60，
答：一共有21种购买方案，购买A型芯片40条，B型芯片60条最省钱．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组和一次函数关系式．
22．【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【分析】（1）直接利用旋转的性质得出△AQE≌△AFE（SAS），进而得出∠AEQ＝∠AEF，即可得出答案；
（2）利用（1）中所求，再结合勾股定理得出答案．
证明：（1）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，
∴QB＝DF，AQ＝AF，∠BAQ＝∠DAF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠BAE＝45°，
∴∠QAE＝45°，
∴∠QAE＝∠FAE，
在△AQE和△AFE中
，
∴△AQE≌△AFE（SAS）．
∴EF＝EQ；
（2）由（1）得△AQE≌△AFE，
∴QE＝EF，
由旋转的性质，得∠ABQ＝∠ADF，
∠ADF+∠ABD＝90°，
则∠QBE＝∠ABQ+∠ABD＝90°，
在Rt△QBE中，
QB2+BE2＝QE2，
又∵QB＝DF，
∴EF2＝BE2+DF2．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，正确得出△AQE≌△AFE（SAS）是解题关键．
23．【考点】反比例函数综合题
【分析】（1）①运用待定系数法将点A（﹣2，3）分别代入一次函数和反比例函数解析式中即可求得答案；
②在直线AB下方y轴上取点E（0，t），使S△EAB＝S△ADE+S△BDE＝15，则E（0，﹣3），过点E平行AB的直线解析式为yx﹣3，联立方程组即可求得答案；
（2）分两种情况：当a＜0时，当a＞0时，分别讨论即可．
解：（1）①∵一次函数yax﹣2a（a≠0）的图象经过点A（﹣2，3），
∴3＝﹣a﹣2a，
解得：a＝﹣1，
∴一次函数的解析式为yx+2，
∵反比例函数y（k＜0）的图象经过点A（﹣2，3），
∴3，
∴k＝﹣6，
∴反比例函数的解析式y；
②如图，在y轴上取点E（0，t），
在yx+2中，当x＝0时，y＝2，
∴D（0，2），
∴DE＝2﹣t，
当y＝0时，x+2＝0，
解得：x＝4，
∴B（4，0），
由题意得：S△EAB＝S△ADE+S△BDE＝15，
∴2×（2﹣t）4×（2﹣t）＝15，
解得：t＝﹣3，
∴E（0，﹣3），
∴过点E平行AB的直线解析式为yx﹣3，
联立得：，
解得：，，
∴点P的坐标为（﹣3，）或（﹣3，）．
（2）在yax﹣2a中，当x＝0时，y＝﹣2a，
∴D（0，﹣2a），
当y＝0时，0ax﹣2a，
解得：x＝4，
∴B（4，0），
当a＜0时，如图，过点A作AF∥x轴，过点B作BF∥y轴交AF于F，过点M作MG⊥AF于G，
若△BNA∽△BAM，则，
∵AN∥OD，
∴△BDO∽△BAN，
∴，
∵2，
∴，
∴，
∴BN＝6，AN＝﹣3a，
∴ON＝BN﹣OB＝2，
∴A（﹣2，﹣3a），
∴k＝6a，
∴y，
经过点A垂直AB的直线AM的解析式为yx﹣3a，
联立得，
解得：（舍去），，
∴M（a2，），
则MG3a，AF＝6，AN＝﹣3a，
∵∠AGM＝∠F＝∠BAM＝90°，
∴∠AMG+∠MAG＝∠MAG+∠BAF＝90°，
∴∠AMG＝∠BAF，
∴△AMG∽△BAF，
∴，
∵，
∴，
∴a，
∴存在点M，使得△BNA∽△BAM，此时，M（﹣1，2）；
当a＞0时，如图，
∵∠ABM＞∠NBA，
∴△BNA∽△BAM不成立；
综上，存在点M，使得△BNA∽△BAM，点M的坐标为（﹣1，2）．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的图象和性质，三角形面积，相似三角形的判定和性质等，添加辅助线构造相似三角形是解题关键．
24．【考点】圆的综合题
【分析】（1）连接OA，根据等腰三角形 到现在得到∠OAD＝∠ODA，∠CAF＝∠CFA，求得∠CAF+∠OAD＝90°，根据垂直的定义得到OA⊥AC，于是得到AC是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，得到BO＝DO＝r，根据勾股定理即可得到结论；
（3）根据勾股定理得到OB＝OD，即⊙O的半径为，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
（1）证明：连接OA，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AC＝CF，
∴∠CAF＝∠CFA，
∵OD⊥BE，
∴∠DOB＝∠DOF＝90°，
∴∠OFD+∠ODA＝90°，
∵∠OAD＝∠ODA，∠CAF＝∠CFA，∠OFD＝∠CFA，
∴∠CAF+∠OAD＝90°，
∴OA⊥AC即AC是⊙O的切线．
（2）解：设⊙O的半径为r，
∴BO＝DO＝r，
∵BF＝8，
∴OF＝8﹣r，
∵∠DOF＝90°，
在Rt△ODF中，由勾股定理得OF2+OD2＝DF2，
∵，
∴（8﹣r）2+r2＝（2）2，
解得：r＝6或r＝2（不符合题意舍），
故⊙O的半径为6．
（3）解：∵BO＝DO，BD＝2，∠DOB＝90°，
在Rt△BOD，由勾股定理得BO2+OD2＝BD2，
解得OB＝OD，
即⊙O的半径为，
∵∠ADB＝60°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝120°，
∴∠AOC＝180°﹣∠AOB＝60°，
∵OA⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
在Rt△OAC中，tan∠AOC＝tan60°．
∵OA，
∴ACOA，
∴S△OACOA AC，S扇形AOE，
∴阴影部分的面积＝S△OAC﹣S扇形AOE，
故答案为：．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查知识点为：切线的判定、圆的性质、勾股定理、解直角三角形，扇形的面积公式．证明切线的辅助线，一般为连接圆心和切点，在证明垂直．求阴影部分面积，思路是用我们已知得几何图形面积来表示阴影部分面积．熟练掌握切线的判定、圆的性质、勾股定理、解直角三角形，扇形的面积公式，是解决本题的关键．
25．【考点】二次函数综合题
【分析】（1）根据直线解析式令y＝0求解得到点B的坐标，令x＝0得到点C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）利用∠DBA＝∠CAO，求出直线BD的表达式，即可求解；
（3）根据抛物线解析式求出点A的坐标，然后求出直线AC的解析式，再根据点P的横坐标求出点P的纵坐标，再求出点Q的横坐标，然后求出PQ的长，再根据等腰直角三角形的性质分PQ是斜边和底边两种情况讨论求解即可．
解：（1）在yx+2中，令y＝0，得x+2＝0，解得x＝3，
令x＝0，得y＝2，
∴B（3，0），C（0，2），
设抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，2），
∴，解得：，
∴抛物线解析式为：yx2x+2；
（2）由点A、C的坐标得，tan∠CAO2＝tan∠DBA，
则直线BD的表达式为：y＝±2（x﹣3），
联立上式和抛物线的表达式得：±2（x﹣3）x2x+2，
解得：x＝2或﹣4或3（舍去），
则点D（2，2）或（﹣4，﹣14）；
（3）存在，理由：
令y＝0，则yx2x+2＝0，
整理得，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴点A（﹣1，0），
则直线AC的解析式为y＝2x+2，
∵点P的横坐标为m，
∴点P的纵坐标为m+2，
∴点Q的纵坐标为m+2，
代入直线AC得，2x+2m+2，
解得xm，
∴PQ＝m﹣（m）m，
①当PQ是等腰直角△PQR的直角边时，
则mm+2，
解得m＝1，
∴QR是直角边时，点R1（，0），
PQ是直角边时，点R2（1，0），
②PQ是等腰直角△PQR的斜边时，
则mm+2，
解得m，
∴PQ＝m2，
OR＝mPQ，
∴点R3（，0），
综上所述，x轴上存在点R（，0）或（1，0）或（，0），使得△PQR为等腰直角三角形．
【点评】本题是二次函数综合题，主要涉及到解直角三角形、一次函数的性质、等腰直角三角形的性质，分类求解是解题的关键
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
【备考2026】四川省绵阳市中考仿真数学试卷1
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
题号 一 二 三 总分
得分
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）27的立方根是（ ）
A．±3 B．3 C． D．27
2．（3分）蝴蝶标本可以近似地看作轴对称图形，如图，将一只蝴蝶标本放在平面直角坐标系中，若图中点A的坐标为（﹣9，6），则其关于y轴对称的点B的坐标为（ ）
A．（9，6） B．（6，9） C．（9，﹣6） D．（﹣6，9）
3．（3分）当x＝﹣1时，下列式子有意义的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图所示分别是三个几何体的表面展开图，这三个几何体分别是（ ）
A．正方体、五棱锥、圆柱 B．长方体、五棱锥、圆柱
C．长方体、五棱柱、圆柱 D．长方体、五棱锥、圆锥
5．（3分）如图，在扇形纸扇中，若∠AOB＝150°，OA＝24，则的长为（ ）
A．30π B．25π C．20π D．10π
6．（3分）某商场新购进一种服装，每套售价1000元，若将裤子降价10%，上衣涨价5%，调价后这套服装的单价比原来提高了2%，则调价前上衣的单价是（ ）
A．200元 B．480元 C．600元 D．800元
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，若DE＝8cm，DB＝10cm，则BC等于（ ）
A．14cm B．16cm C．18cm D．20cm
8．（3分）若关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞0 B．k≤0 C．k≠1且k≠0 D．k≤1且k≠0
9．（3分）如图，点M是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点（不包括边界），且AM⊥BM，P是FC上的一点，N是AF的中点，则PN+PM的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．2
10．（3分）小明同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数之和小于6的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．（3分）有n个依次排列的整式：第一项是a2（a是非零实数），第二项是a2+2a+1，用第二项减去第一项，所得之差记为b1，将b1加2记为b2，将第二项与b2相加作为第三项，将b2加2记为b3，将第三项与b3相加作为第四项，以此类推…；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论：①b2＝2a+3；②当a＝3时，第3项为16；③若第4项与第5项之和为41，则a＝1或a＝﹣8；④第（n﹣1）项为（a+n﹣2）2.以上结论正确的个数是（ ）
A．3 B．4 C．2 D．1
12．（3分）直角三角形ABC中，∠C＝90°，BD是AC边上的中线，若AC＝4，∠A＝2∠DBA，则AB的长为（ ）
A．5 B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．（4分）分解因式：x﹣2x2+x3＝ ．
14．（4分）2024年全国新生人口为9540000人，将9540000用科学记数法表示为 ．
15．（4分）已知n是常数，若﹣2x3y4和xn+1y4是同类项，则2n+2＝ ．
16．（4分）如图，点A，E，D，B在同一条直线上，EF∥DC，∠CDB＝45°，则∠AEF的度数是 ．
17．（4分）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销量，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价 元．
18．（4分）如图，Rt△ABC的内切圆（圆心为O）与各边分别相切于点D，E，F，连接OE．以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交AB，AC于M，N两点；分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P；作射线AP．有下列结论：①AP垂直平分EF；②∠AEF＝∠B；③AC+BC﹣AB＝2OE．其中正确结论的序号是 ．
三．解答题（共7小题，满分90分）
19．（16分）（1）计算：；
（2）先化简，再求值，其中x＝3．
20．（12分）某校拟派一名跳高运动员参加校际比赛，对甲、乙两名同学进行了8次跳高选拔比赛，他们的原始成绩（单位：cm）如下表：
学生/成绩/次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次
甲 169 165 168 169 172 173 169 167
乙 161 174 172 162 163 172 172 176
两名同学的8次跳高成绩数据分析如下表：
学生/成绩/名称 平均数（单位：cm） 中位数（单位：cm） 众数（单位：cm） 方差（单位：cm2）
甲 a b c 5.75
乙 169 172 172 31.25
根据图表信息回答下列问题：
（1）直接写出表格中a、b、c的值；
（2）这两名同学中，谁的成绩更为稳定；
（3）若预测跳高165就可能获得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，你认为应该选择哪名同学参赛？若预测跳高170方可夺得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，你认为应该选择哪名同学参赛？说明你的理由．
21．（12分）某公司购买了A、B两种型号的芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等．
（1）求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？
（2）若两种芯片共购买了100条，其购买的总费用不少于3140元，且B型的数量不高于A型数量的4倍，问一共有多少种购买方案，哪一种方案最省钱？
22．（12分）如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ．
（1）求证：EF＝EQ；
（2）求证：EF2＝BE2+DF2．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数yax﹣2a（a≠0）的图象与x轴、y轴分别交于点B，D，与反比例函数y（k＜0）的图象交于A，C两点．
（1）如图1，若点A的坐标为（﹣2，3），
①求一次函数和反比例函数的解析式；
②点P是直线AB下方反比例函数y图象上一点，当△PAB的面积为15时，求点P的坐标．
（2）若2，过点A作AN⊥x轴于点N，在反比例函数y（k≠0）上是否存在点M，使得△BNA∽△BAM，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
24．（12分）如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为⊙O上一点，DO⊥BE于点O，连接AD交BC于F，AC＝FC．
（1）求证：AC是⊙O的切线．
（2）若BF＝8，，求⊙O的半径．
（3）若∠ADB＝60°，BD＝2，则阴影部分的面积为 ．
25．（14分）如图1，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一交点坐标为A（﹣1，0）．
（1）求B、C两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式；
（2）若点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA＝∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；
（3）如图2，P是线段BC上的一个动点（与B、C不重合），过点P作直线b∥x轴，交AC于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得△PQR为等腰直角三角形？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．【考点】立方根
【分析】根据立方根的定义即可求得答案．
解：∵33＝27，
∴27的立方根是3，
故选：B．
【点评】本题考查立方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
2．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标确定位置；轴对称图形
【分析】关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得答案．
解：∵点A的坐标为（﹣9，6），
∴其关于y轴对称的点B的坐标为（9，6）．
故选：A．
【点评】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标、坐标确定位置、轴对称图形，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键．
3．【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件判断即可．
解：A、当x＝﹣1时，分母x+1＝0，分式无意义，故此选项不符合题意；
B、当x＝﹣1时，分式有意义，故此选项符合题意；
C、当x＝﹣1时，被开方数是﹣2，无意义，故此选项不符合题意；
D、当x＝﹣1时，被开方数是﹣1，无意义，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握这两个知识点是解题的关键．
4．【考点】几何体的展开图
【分析】根据常见立体图形的展开图特点，结合展开图进行解答．
解：根据三个几何体的表面展开图，可知这三个几何体分别是长方体、五棱锥、圆柱．
故选：B．
【点评】本题考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的展开图特点是解决此类问题的关键．
5．【考点】弧长的计算
【分析】根据弧长的计算公式即可解决问题．
解：因为∠AOB＝150°，OA＝24，
所以的长为：．
故选：C．
【点评】本题主要考查了弧长的计算，熟知弧长的计算公式是解题的关键．
6．【考点】二元一次方程组的应用
【分析】设调价前上衣的单价是x元，裤子的单价是y元，根据“调价前每套售价1000元，若将裤子降价10%，上衣涨价5%，调价后这套服装的单价比原来提高了2%”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
解：设调价前上衣的单价是x元，裤子的单价是y元，
依题意，得：，
解得：，
即调价前上衣的单价是800元，
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7．【考点】角平分线的性质
【分析】由角平分线的性质等DC＝DE＝8cm，即可解决问题．
解：∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，
∴DC＝DE＝8cm，
∴BC＝DB+DC＝10+8＝18（cm），
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
8．【考点】根的判别式
【分析】根据根的判别式结合一元二次方程的定义即可求解．
解：由题意：Δ＝22﹣4k≥0且k≠0，
∴k≤1且k≠0，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义与根的判别式，解题关键是掌握当Δ≥0时，方程才有实数根．
9．【考点】正多边形和圆；轴对称﹣最短路线问题
【分析】如图，取EF，AB的中点J，K，连接PJ，JK，MK，JK交CF于点Q，则△FJQ是等边三角形，四边形FQKA是平行四边形．求出JK，MK，根据PJ+PM+MK≥JK＝3，推出PN+PM≥3﹣1＝2，可得结论．
解：如图，取EF，AB的中点J，K，连接PJ，JK，MK，JK交CF于点Q，则△FJQ是等边三角形，四边形FQKA是平行四边形．
∴JQ＝JF＝1，QK＝AF＝2，
∴JK＝JQ+QK＝1+2＝3，
∵FN＝AN＝1，FJ＝JE＝1，
∴FJ＝FN，
∵∠PFJ＝∠PFN＝60°，FP＝FP，
∴△PFJ≌△PFN（SAS），
∴PN＝PJ，
∵∠AMB＝90°，AK＝KB，
∴MKAB＝1，
∵PJ+PM+MK≥JK＝3，
∴PN+PM≥3﹣1＝2，
∴PN+PM的最小值为2．
故选：D．
【点评】本题考查正多边形与圆，轴对称最短问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题．
10．【考点】列表法与树状图法；概率公式
【分析】列表可得出所有等可能的结果以及掷得面朝上的点数之和小于6的结果，再利用概率公式可得答案．
解：列表如下：
1 2 3 4 5 6
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）
5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
共有36种等可能的结果，其中掷得面朝上的点数之和小于6的结果有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（4，1），共10种，
∴掷得面朝上的点数之和小于6的概率为．
故选：D．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法、概率公式是解答本题的关键．
11．【考点】规律型：数字的变化类
【分析】依次求出整式及b1，b2，b3，…，发现规律即可解决问题．
解：由题知，
，
b2＝b1+2＝2a+3，
b3＝b2+2＝2a+5，
…，
所以bn＝2a+2n﹣1（n为正整数）．
整式的第三项为：a2+2a+1+2a+3＝（a+2）2；
整式的第四项为：a2+4a+4+2a+5＝（a+3）2；
整式的第五项为：a2+6a+9+2a+7＝（a+4）2；
…，
所以整式的第n项为：（a+n﹣1）2．
因为b2＝2a+3，
故①正确．
当a＝3时，
（a+2）2＝52＝25，
故②错误．
由第4项与第5项之和为41得，
（a+3）2+（a+4）2＝41，
解得a＝1或﹣8．
故③正确．
由上面的发现可知，
整式的第（n﹣1）项为（a+n﹣1﹣1）2＝（a+n﹣2）2．
故④正确．
故选：A．
【点评】本题考查数字变化的规律，能根据题中规定的计算方式，依次求出整式及b1，b2，b3，…，是解题的关键．
12．【考点】勾股定理
【分析】解法一：由∠A＝2∠DBA构造△ADE，使得△ADE∽△DBE，于是延长BA至点E，使AE＝AD，连接DE，AB＝a，则BE＝a+2，利用相似三角形的性质得出BD2＝AD BE＝2（a+2），再由Rt△ABC，Rt△BCD，CD2+BC2＝BD2，利用双勾股定理求解即可．
解法二：以点D为圆心，AC为直径作圆，交AB于点F，连接DF，CF，易得AD＝CD＝DF＝2，由垂径定理得CF⊥AB，于是∠DAF＝∠DFA，结合已知∠A＝2∠DBA和三角形外角性质∠DFA＝∠DBA+∠FDB，可得DF＝BF＝2，
于是设AF＝x，则AB＝x+2，易证△AFC∽△ACB，利用相似三角形的性质得，以此列出方程求得AF的长，即可得出AB的长．
解：如图，延长BA至点E，使AE＝AD，连接DE，
∵BD是AC边上的中线，若AC＝4，
∴AD＝CDAC＝2，
设AB＝a，则BE＝a+2，
∵AE＝AD，
∴∠AED＝∠ADE，
∵∠BAD＝∠AED+∠ADE，∠BAD＝2∠DBA，
∴∠ADE＝∠DBA＝∠DEB，
∴△ADE∽△DBE，DE＝DB，
∴，即BD2＝AD BE＝2（a+2），
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即42+BC2＝a2①，
在Rt△BCD中，CD2+BC2＝BD2，即22+BC2＝2（a+2）②，
①﹣②得42﹣22＝a2﹣2（a+2），
解得：a或（舍去）．
解法二：∵BD是AC边上的中线，若AC＝4，
∴AD＝CDAC＝2，
如图，以点D为圆心，AC为直径作圆，交AB于点F，连接DF，CF，
∴AD＝DF＝2，CF⊥AB，
∴∠DAF＝∠DFA，
∵∠CAB＝2∠DBA，∠DFA＝∠DBA+∠FDB，
∴∠DFA＝2∠DBA，
∴∠DBA＝∠FDB，
∴DF＝BF＝2，
设AF＝x，则AB＝x+2，
∵∠CAF＝∠BAC，∠AFC＝∠ACB＝90°，
∴△AFC∽△ACB，
∴，即，
解得：（舍去），，
∴AE，AB．
故选：B．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解一元二次方程、勾股定理，解题关键是根据易知已知条件∠BAD＝2∠DBA，联想到利用三角形外角性质构造等腰三角形，进而可利用相似三角形的性质解决问题．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】提公因式后利用完全平方公式因式分解即可．
解：原式＝x（1﹣2x+x2）
＝x（1﹣x）2，
故答案为：x（1﹣x）2．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
14．【考点】科学记数法—表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：9540000＝9.54×106．
故答案为：9.54×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
15．【考点】同类项
【分析】根据同类项的定义列出方程，再求解即可．
解：由同类项的定义可知n+1＝3，
解得n＝2，
∴2n+2＝2×2+2＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．
16．【考点】平行线的性质
【分析】根据两直线平行，同位角相等得出∠FED，进而利用邻补角解答即可．
解：∵EF∥DC，∠CDB＝45°，
∴∠FED＝45°，
∴∠AEF＝180°﹣45°＝135°，
故答案为：135°．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等得出∠FED解答．
17．【考点】一元二次方程的应用
【分析】设每箱降价x元，则每箱的销售利润为（12﹣x）元，平均每天可售出（100+20x）箱，利用总利润＝每箱的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
解：设每箱降价x元，则每箱的销售利润为（12﹣x）元，平均每天可售出（100+20x）箱，
根据题意得：（12﹣x）（100+20x）＝1440，
整理得：x2﹣7x+12＝0，
解得：x1＝3，x2＝4，
∴每箱应降价3或4元．
故答案为：3或4．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18．【考点】三角形的内切圆与内心；角平分线的性质；正方形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【分析】延长AP交EF于点H，连接OF，OD，根据尺规作图的过程可知AP平分∠BAC，再根据Rt△ABC的内切圆（圆心为O）与各边分别相切于点D，E，F，可得AF＝AE，BF＝BE，CD＝CE，由等腰三角形三线合一可判断①③；由直角三角形的性质可得∠AFE+∠FAH＝90°，∠B+∠BAC＝90°，结合∠BAC＝2∠FAH可判断②．
解：如图，连接OF，OD，延长AP交EF于点H，
由作图过程可知AP平分∠BAC，则∠BAC＝2∠FAH，
∵Rt△ABC的内切圆（圆心为O）与各边分别相切于点D，E，F，
∴AF＝AE，BF＝BE，CD＝CE，∠ODC＝∠OEC＝90°，
∴△AEF是等腰三角形，
∴AH垂直平分EF，即AP垂直平分EF，
故结论①正确，符合题意；
∵AF＝AE，BF＝BD，CD＝CE，
∴AC+BC﹣AB＝AE+CE+CD+BD﹣BF﹣AF＝CE+CD，
∵∠ODC＝∠OEC＝∠C＝90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∵CD＝CE，
∴四边形ODCE是正方形，
∴CE＝CD＝OE，
∴AC+BC﹣AB＝CE+CD＝2OE，
故结论③正确，符合题意；
∵∠AFE+∠FAH＝90°，∠B+∠BAC＝90°，∠BAC＝2∠FAH，
∴∠AEF≠∠B，
故结论②错误，不符合题意，
综上所述，正确的结论有①③．
故答案为：①③．
【点评】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的性质，正方形的判定与性质，切线的性质，切线长定理，解答本题的关键是熟练掌握切线长定理．
三．解答题（共7小题，满分90分）
19．【考点】分式的化简求值；零指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值
【分析】（1）根据平方差公式，尤三角函数、零指数幂的计算．
（2）先将括号内的式子通分，同时将括号外的除法转化为乘法，然后约分即可，再将x的值代入化简后的式子计算即可．
解：（1）原式＝4﹣3+21+4
＝4﹣31+4
＝4；
（2）原式
＝x﹣2，
当x＝3时，原式＝3﹣2＝1．
【点评】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则是解题关键．
20．【考点】方差；算术平均数；中位数；众数
【分析】（1）利用平均数、众数及中位数的定义分别求得a、b、c的值即可；
（2）方差越大，波动性越大，成绩越不稳定，反之也成立；
（3）比较一下甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛的成绩，看谁的成绩在1.65或1.65米以上的次数多，就选哪位运动员参赛；若预测跳高1.70m方可获得冠军，则看哪位运动员的成绩在1.70米以上的多即可．
解：（1）a（169+165+168+169+172+173+169+167）＝169；
b（169+169）＝169；
∵169出现了3次，最多，
∴c＝169，
（2）∵甲的方差小于乙的方差，
∴甲的成绩更稳定；
（3）应选择甲，理由如下：
若跳高1.65米就获得冠军，那么成绩在1.65或1.65米以上的次数甲多，则选择甲，
（3）应该选择乙，理由如下：
若1.70m才能获得冠军，那么成绩在1.70或1.70米以上的次数乙多，则选择乙．
【点评】本题考查平均数和方差的意义．平均数表示数据的平均水平；方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
21．【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的应用
【分析】（1）设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为（x﹣9）元/条，根据数量＝总价÷单价结合用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买A型芯片为m条，则购买B型芯片为（100﹣m）条，根据购买的总费用不少于3140元，且B型的数量不高于A型数量的4倍，列出一元一次不等式组，解得20≤m≤40，得一共有21种购买方案，再设总费用为y元，由题意得y＝﹣9m+3500，然后由一次函数的性质即可得出结论．
解：（1）设该公司购买的B型芯片的单价是x元，则A型芯片的单价是（x﹣9）元，
由题意得：，
解得：x＝35，
经检验，x＝35是原方程的解，且符合题意，
∴x﹣9＝26，
答：该公司购买的A型芯片的单价是26元，B型芯片的单价是35元；
（2）设购买A型芯片为m条，则购买B型芯片为（100﹣m）条，
由题意得：，
解得：20≤m≤40，
∵m为整数，
∴m＝20，21，22，23，24，…，40，
∴一共有21种购买方案，
设总费用为y元，
由题意得：y＝26m+35（100﹣m）＝﹣9m+3500，
∵﹣9＜0，
∴y随m的增大而减小，
∴当m＝40时，y的值最小，
此时100﹣m＝60，
答：一共有21种购买方案，购买A型芯片40条，B型芯片60条最省钱．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组和一次函数关系式．
22．【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【分析】（1）直接利用旋转的性质得出△AQE≌△AFE（SAS），进而得出∠AEQ＝∠AEF，即可得出答案；
（2）利用（1）中所求，再结合勾股定理得出答案．
证明：（1）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，
∴QB＝DF，AQ＝AF，∠BAQ＝∠DAF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠BAE＝45°，
∴∠QAE＝45°，
∴∠QAE＝∠FAE，
在△AQE和△AFE中
，
∴△AQE≌△AFE（SAS）．
∴EF＝EQ；
（2）由（1）得△AQE≌△AFE，
∴QE＝EF，
由旋转的性质，得∠ABQ＝∠ADF，
∠ADF+∠ABD＝90°，
则∠QBE＝∠ABQ+∠ABD＝90°，
在Rt△QBE中，
QB2+BE2＝QE2，
又∵QB＝DF，
∴EF2＝BE2+DF2．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，正确得出△AQE≌△AFE（SAS）是解题关键．
23．【考点】反比例函数综合题
【分析】（1）①运用待定系数法将点A（﹣2，3）分别代入一次函数和反比例函数解析式中即可求得答案；
②在直线AB下方y轴上取点E（0，t），使S△EAB＝S△ADE+S△BDE＝15，则E（0，﹣3），过点E平行AB的直线解析式为yx﹣3，联立方程组即可求得答案；
（2）分两种情况：当a＜0时，当a＞0时，分别讨论即可．
解：（1）①∵一次函数yax﹣2a（a≠0）的图象经过点A（﹣2，3），
∴3＝﹣a﹣2a，
解得：a＝﹣1，
∴一次函数的解析式为yx+2，
∵反比例函数y（k＜0）的图象经过点A（﹣2，3），
∴3，
∴k＝﹣6，
∴反比例函数的解析式y；
②如图，在y轴上取点E（0，t），
在yx+2中，当x＝0时，y＝2，
∴D（0，2），
∴DE＝2﹣t，
当y＝0时，x+2＝0，
解得：x＝4，
∴B（4，0），
由题意得：S△EAB＝S△ADE+S△BDE＝15，
∴2×（2﹣t）4×（2﹣t）＝15，
解得：t＝﹣3，
∴E（0，﹣3），
∴过点E平行AB的直线解析式为yx﹣3，
联立得：，
解得：，，
∴点P的坐标为（﹣3，）或（﹣3，）．
（2）在yax﹣2a中，当x＝0时，y＝﹣2a，
∴D（0，﹣2a），
当y＝0时，0ax﹣2a，
解得：x＝4，
∴B（4，0），
当a＜0时，如图，过点A作AF∥x轴，过点B作BF∥y轴交AF于F，过点M作MG⊥AF于G，
若△BNA∽△BAM，则，
∵AN∥OD，
∴△BDO∽△BAN，
∴，
∵2，
∴，
∴，
∴BN＝6，AN＝﹣3a，
∴ON＝BN﹣OB＝2，
∴A（﹣2，﹣3a），
∴k＝6a，
∴y，
经过点A垂直AB的直线AM的解析式为yx﹣3a，
联立得，
解得：（舍去），，
∴M（a2，），
则MG3a，AF＝6，AN＝﹣3a，
∵∠AGM＝∠F＝∠BAM＝90°，
∴∠AMG+∠MAG＝∠MAG+∠BAF＝90°，
∴∠AMG＝∠BAF，
∴△AMG∽△BAF，
∴，
∵，
∴，
∴a，
∴存在点M，使得△BNA∽△BAM，此时，M（﹣1，2）；
当a＞0时，如图，
∵∠ABM＞∠NBA，
∴△BNA∽△BAM不成立；
综上，存在点M，使得△BNA∽△BAM，点M的坐标为（﹣1，2）．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的图象和性质，三角形面积，相似三角形的判定和性质等，添加辅助线构造相似三角形是解题关键．
24．【考点】圆的综合题
【分析】（1）连接OA，根据等腰三角形 到现在得到∠OAD＝∠ODA，∠CAF＝∠CFA，求得∠CAF+∠OAD＝90°，根据垂直的定义得到OA⊥AC，于是得到AC是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，得到BO＝DO＝r，根据勾股定理即可得到结论；
（3）根据勾股定理得到OB＝OD，即⊙O的半径为，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
（1）证明：连接OA，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AC＝CF，
∴∠CAF＝∠CFA，
∵OD⊥BE，
∴∠DOB＝∠DOF＝90°，
∴∠OFD+∠ODA＝90°，
∵∠OAD＝∠ODA，∠CAF＝∠CFA，∠OFD＝∠CFA，
∴∠CAF+∠OAD＝90°，
∴OA⊥AC即AC是⊙O的切线．
（2）解：设⊙O的半径为r，
∴BO＝DO＝r，
∵BF＝8，
∴OF＝8﹣r，
∵∠DOF＝90°，
在Rt△ODF中，由勾股定理得OF2+OD2＝DF2，
∵，
∴（8﹣r）2+r2＝（2）2，
解得：r＝6或r＝2（不符合题意舍），
故⊙O的半径为6．
（3）解：∵BO＝DO，BD＝2，∠DOB＝90°，
在Rt△BOD，由勾股定理得BO2+OD2＝BD2，
解得OB＝OD，
即⊙O的半径为，
∵∠ADB＝60°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝120°，
∴∠AOC＝180°﹣∠AOB＝60°，
∵OA⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
在Rt△OAC中，tan∠AOC＝tan60°．
∵OA，
∴ACOA，
∴S△OACOA AC，S扇形AOE，
∴阴影部分的面积＝S△OAC﹣S扇形AOE，
故答案为：．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查知识点为：切线的判定、圆的性质、勾股定理、解直角三角形，扇形的面积公式．证明切线的辅助线，一般为连接圆心和切点，在证明垂直．求阴影部分面积，思路是用我们已知得几何图形面积来表示阴影部分面积．熟练掌握切线的判定、圆的性质、勾股定理、解直角三角形，扇形的面积公式，是解决本题的关键．
25．【考点】二次函数综合题
【分析】（1）根据直线解析式令y＝0求解得到点B的坐标，令x＝0得到点C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）利用∠DBA＝∠CAO，求出直线BD的表达式，即可求解；
（3）根据抛物线解析式求出点A的坐标，然后求出直线AC的解析式，再根据点P的横坐标求出点P的纵坐标，再求出点Q的横坐标，然后求出PQ的长，再根据等腰直角三角形的性质分PQ是斜边和底边两种情况讨论求解即可．
解：（1）在yx+2中，令y＝0，得x+2＝0，解得x＝3，
令x＝0，得y＝2，
∴B（3，0），C（0，2），
设抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，2），
∴，解得：，
∴抛物线解析式为：yx2x+2；
（2）由点A、C的坐标得，tan∠CAO2＝tan∠DBA，
则直线BD的表达式为：y＝±2（x﹣3），
联立上式和抛物线的表达式得：±2（x﹣3）x2x+2，
解得：x＝2或﹣4或3（舍去），
则点D（2，2）或（﹣4，﹣14）；
（3）存在，理由：
令y＝0，则yx2x+2＝0，
整理得，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴点A（﹣1，0），
则直线AC的解析式为y＝2x+2，
∵点P的横坐标为m，
∴点P的纵坐标为m+2，
∴点Q的纵坐标为m+2，
代入直线AC得，2x+2m+2，
解得xm，
∴PQ＝m﹣（m）m，
①当PQ是等腰直角△PQR的直角边时，
则mm+2，
解得m＝1，
∴QR是直角边时，点R1（，0），
PQ是直角边时，点R2（1，0），
②PQ是等腰直角△PQR的斜边时，
则mm+2，
解得m，
∴PQ＝m2，
OR＝mPQ，
∴点R3（，0），
综上所述，x轴上存在点R（，0）或（1，0）或（，0），使得△PQR为等腰直角三角形．
【点评】本题是二次函数综合题，主要涉及到解直角三角形、一次函数的性质、等腰直角三角形的性质，分类求解是解题的关键
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
同课章节目录