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六年级上册数学期末冲刺学案
一、长方体和正方体 2
（一） 知识点背诵记忆法 2
（二） 方法总结与解题技巧 2
（三） 标准解题步骤 3
二、 分数乘法 4
（一） 知识点背诵记忆法 4
（二） 方法总结与解题技巧 4
（三） 标准解题步骤 5
三、 分数除法 5
（一） 知识点背诵记忆法 5
（二） 方法总结与解题技巧 6
（三） 标准解题步骤 6
四、 解决问题的策略（假设法） 7
（一） 知识点背诵记忆法 7
（二） 方法总结与解题技巧 7
（三） 标准解题步骤 8
五、分数四则混合运算 8
（一） 知识点背诵记忆法 8
（二） 方法总结与解题技巧 9
（三） 标准解题步骤 9
六、百分数 9
（一） 知识点背诵记忆法 9
（二） 方法总结与解题技巧 10
（三） 标准解题步骤 10
一、长方体和正方体
（一） 知识点背诵记忆法
特征口诀记忆
长方体：“六面十二棱，相对面棱等；顶点有八个，长宽高定大小”
正方体：“六面全相同，十二棱相等；长宽高一样，是特殊长方体”
公式简化记忆
类型 公式 记忆口诀
长方体表面积 两面（长宽+长高+宽高）乘2
正方体表面积 六倍棱长平方
体积（通用） 或 底面积乘高，长宽高相乘
单位换算联想记忆
体积单位：、（联想“1分米=10厘米，1立方分米=10×10×10立方厘米”）
容积单位：、、（记“升对立方分米，毫升对立方厘米”）
（二） 方法总结与解题技巧
展开图判断技巧
正方体：“一线不过四，凹田不能有”（直线上正方形≤4个，无“凹”“田”形）
长方体：“隔面是相对面”（展开图中，中间隔一个面的两个面是相对面）
表面积计算方法
先定“算几个面”：无盖容器（鱼缸）算5面，通风管算4面，完整物体算6面
再统一单位：如“长5dm、宽3cm”，先转化为“长50cm、宽3cm”再计算
体积特殊求法
排水法：不规则物体体积=容器底面积×水面变化高度（如“放入石块后水面上升2cm”，体积=底面积×2）
表面涂色正方体规律
涂色类型 位置 个数公式（n为棱平均分份数）
3面涂色 顶点 8个（固定）
2面涂色 棱上（除顶点）
1面涂色 面中间（除棱）
无涂色 内部
（三） 标准解题步骤
1. 长方体表面积计算（示例：无盖鱼缸，长5dm、宽3dm、高3.5dm）
定条件：长、宽、高，无盖算5面（前、后、左、右、下）
列公式：（下面面积+前后左右4面面积）
代计算：，总表面积：
写答案：答：至少需要玻璃71平方分米。
2. 正方体体积计算（示例：棱长3dm）
定棱长：
列公式：
代计算：
写答案：答：正方体体积是27立方分米。
二、 分数乘法
（一） 知识点背诵记忆法
计算法则口诀
分数×整数：“分子乘整数，分母不变，约分优先”（如）
分数×分数：“分子乘分子，分母乘分母，先约分再计算”（如）
倒数记忆法
定义：“乘积是1，互为倒数”
求法：“分数换分子分母，整数倒数1来除，0没倒数1倒数是1”（如的倒数是，5的倒数是）
实际意义联想
求“3个是多少”→ （几个相同分数相加）
求“10的是多少”→ （一个数的几分之几）
（二） 方法总结与解题技巧
约分技巧
计算前先找“分子与分母、分子与整数”的公因数，如，先约去5，得
实际问题找“单位1”
口诀：“‘的’字前面，‘比’字后面，单位1藏里面”（如“男生是女生的”，单位1是女生人数）
连乘简化
分数连乘可“一次性约分”，如，约去4和5，得
（三） 标准解题步骤
1. 分数×整数（示例：）
定参数：分子=2，分母=7，整数=3
看约分：2和3无公因数，无需约分
代计算：
写答案：答：结果是。
2. 求一个数的几分之几（示例：28颗玻璃球，小力比小军多，多多少颗？）
找单位1：单位1=小军的玻璃球数=28颗
定分率：多的部分占单位1的
列算式：
代计算：28和7约分，得（颗）
写答案：答：小力比小军多8颗。
三、 分数除法
（一） 知识点背诵记忆法
计算法则口诀
“除法变乘法，除数变倒数；0除外要记住，结果要最简”（如）
比的知识记忆
定义：“两数相除叫比，前项后项比号分”（如）
性质：“前项后项同乘除（0除外），比值不变”（化简比的依据）
比、分数、除法联系表
比 前项 比号（:） 后项 比值
分数 分子 分数线（—） 分母 分数值
除法 被除数 除号（÷） 除数 商
（二） 方法总结与解题技巧
比的化简技巧
比的类型 化简方法 示例（化简）
整数比 除以最大公因数 （除以6）
分数比 乘分母最小公倍数→整数比→化简 （乘15）
小数比 乘10/100…→整数比→化简 （乘100）
按比例分配技巧
方法1：总量÷总份数=每份量，每份量×各部分份数=各部分量
方法2：各部分占总量的分率=对应份数/总份数，总量×分率=各部分量（示例：30个方格按3:2涂色，总份数=5，红方格=30×个）
（三） 标准解题步骤
1. 分数÷分数（示例：）
转乘法：（除数变倒数）
看约分：9和3约分（得3），10和10约分（得1）
代计算：
写答案：答：结果是3。
2. 按比例分配（示例：72棵树按2:3:4分给三组，各组分多少棵？）
算总份数：2+3+4=9（份）
求每份量：72÷9=8（棵/份）
算各部分：第一组：8×2=16（棵），第二组：8×3=24（棵），第三组：8×4=32（棵）
验结果：16+24+32=72（棵），与总量一致
写答案：答：第一组16棵，第二组24棵，第三组32棵。
四、 解决问题的策略（假设法）
（一） 知识点背诵记忆法
核心口诀
“假设策略真好用，复杂问题变简单；量的关系先找准，统一单位再计算”
题型分类记忆
倍数关系：如“小杯是大杯的”→ 1大杯=3小杯（换量计算）
相差关系：如“大盒比小盒多装8个”→ 假设全是小盒，总量减8（调总量计算）
（二） 方法总结与解题技巧
倍数关系假设
技巧：“换量不换总量”，如“6小杯+1大杯=720毫升，小杯是大杯的”→ 1大杯换3小杯，总杯数=6+3=9，每小杯=720÷9=80毫升
相差关系假设
技巧：“换量调总量”，如“1大盒+5小盒=80个，大盒多装8个”→ 假设全是小盒，总量=80-8=72，总盒数=6，每小盒=72÷6=12个
（三） 标准解题步骤
倍数关系假设（示例：720毫升倒入6小杯1大杯，小杯是大杯的，求容量）
析关系：1大杯=3小杯（小杯是大杯的）
做假设：假设全是小杯，总杯数=6+3=9（杯）
算单量：小杯容量=720÷9=80（毫升）
求另量：大杯容量=80×3=240（毫升）
验结果：6×80+240=720（毫升），与总量一致
写答案：答：小杯80毫升，大杯240毫升。
五、分数四则混合运算
（一） 知识点背诵记忆法
运算顺序口诀
“先乘除后加减，有括号先算括号里；同级运算从左右，一步一步算仔细”
运算律记忆
加法：交换律，结合律
乘法：交换律，结合律，分配律
关键：“整数运算律，分数同样用”
（二） 方法总结与解题技巧
简便计算技巧
凑整法：找“和为1、积为1”的数，如，
分配律活用：如
实际问题技巧
求“比一个数多/少几分之几”：单位1的量×(1±分率)（如“去年24班，今年多”→ 24×(1+)=28班）
（三） 标准解题步骤
混合运算（示例：）
定顺序：不同级运算（乘除+减法），先算乘除
转除法：
算乘除：，
算减法：
简结果：是最简分数
写答案：答：结果是。
六、百分数
（一） 知识点背诵记忆法
定义记忆
“百分数，百分率，分母都是100；表示一个数是另一个数的百分之几，写作%来标记”
互化口诀
小数→百分数：“小数点右移两位，加上%”（如0.25→25%）
百分数→小数：“去掉%，小数点左移两位”（如43%→0.43）
分数→百分数：“先化小数（除不尽保三位），再变百分数”（如）
常见百分率
出勤率=出勤人数/总人数×100%，成活率=成活数/总数×100%（百分率≤100%，增长率除外）
（二） 方法总结与解题技巧
实际问题分类技巧
题型 方法 示例 （原价x元，打八折后12元）
求一个数的百分之几 单位1×百分率 20万元×3%=0.6万元（增值税）
已知百分之几是多少，求这个数 已知量÷百分率（或列方程） 80%x=12→x=15（原价）
求多/少百分之几 （多/少量÷单位1）×100% （20-16）÷16×100%=25%
生活应用公式
折扣：实际售价=原价×折扣（八折=80%）
利息：利息=本金×利率×存期，本息=本金+利息
（三） 标准解题步骤
已知百分之几是多少，求这个数（示例：打八折后12元，求原价）
设未知：设原价为x元
列方程：八折=80%，故80%x=12
解方程：x=12÷0.8=15（元）
验结果：15×80%=12（元），与已知一致
写答案：答：原价是15元。
利息计算（示例：4000元存2年，年利率2.1%，求利息）
定参数：本金=4000元，利率=2.1%，存期=2年
列公式：利息=本金×利率×存期
代计算：4000×2.1%×2=4000×0.021×2=168（元）
写答案：答：到期后应得利息168元。
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分数乘法应用题专项突破
一、填空题（每题3分，共15分）
男生人数是女生的，把（ ）看作单位“1”，男生人数 =（ ）×；如果女生有20人，男生有（ ）人。
一根绳子长18米，用去它的，用去了（ ）米，还剩（ ）米。
比24千克多是（ ）千克，比24千克少是（ ）千克。
六年级一班有48名学生，其中参加书法小组，参加绘画小组，参加书法小组的有（ ）人，参加绘画小组的有（ ）人。
某商品原价200元，先涨价，再降价，现价是（ ）元。
二、选择题（每题3分，共15分）
求36的是多少，正确的列式是（ ）
A. B. C.
一个数的是18，这个数的是（ ）
A. 3 B. 6 C. 9
小明身高140厘米，小刚比小明高，小刚身高是多少厘米？列式正确的是（ ）
A. B. C.
一本故事书有120页，第一天看了全书的，第二天看了余下的，第二天看了（ ）页
A. 30 B. 20 C. 40
两根同样长的绳子，第一根用去，第二根用去米，剩下的绳子长度（ ）
A. 第一根长 B. 第二根长 C. 无法比较
三、计算题（每题4分，共20分）
1. 2. 3. 4. 5.
`
四、列方程或算术法解决问题（每题8分，共40分）
学校食堂运来大米360千克，面粉的质量是大米的，运来面粉多少千克？
某果园有苹果树450棵，梨树的棵数比苹果树少，梨树有多少棵？
服装厂计划生产服装1200套，第一个月完成了计划的，第二个月完成的是第一个月的，第二个月完成了多少套？
一块长方形菜地，长40米，宽是长的，这块菜地的面积是多少平方米？
小红看一本240页的小说，第一天看了全书的，第二天看的页数比第一天多，两天一共看了多少页？
五、拓展题（10分）
甲、乙、丙三个仓库共存粮900吨，甲仓库的存粮是总存粮的，乙仓库的存粮比甲仓库多，丙仓库的存粮是多少吨？
参考答案及解析
一、填空题（每题3分，共15分）
【答案】女生人数；女生人数；15
【解析】“男生人数是女生的”中，单位“1”是女生人数，数量关系为男生人数=女生人数×；女生20人时，男生人数=20×=15（人）。
【点睛】找单位“1”关键看“的”前主体，确定单位“1”后直接套用“单位‘1’的量×分率=对应量”。
【答案】15；3
【解析】用去的长度=18×=15（米），剩余长度=18-15=3（米）。
【点睛】求一个数的几分之几是多少用乘法，剩余量=总量-用去量。
【答案】32；16
【解析】比24千克多：24×(1+)=24×=32（千克）；比24千克少：24×(1-)=24×=16（千克）。
【点睛】“比单位‘1’多几分之几”用“1+分率”，“少几分之几”用“1-分率”。
【答案】8；18
【解析】书法小组人数=48×=8（人），绘画小组人数=48×=18（人）。
【点睛】同一总量对应不同分率，分别用总量乘对应分率即可求出不同部分的量。
【答案】198
【解析】涨价后价格=200×(1+)=220（元），现价=220×(1-)=198（元）。
【点睛】涨降价问题中，单位“1”随价格变化而改变，不能直接认为涨降相同分率后价格不变。
二、选择题（每题3分，共15分）
【答案】B
【解析】求一个数的几分之几是多少，用这个数乘分率，故列式为36×。
【点睛】分数乘法的核心意义就是求一个数的几分之几，牢记“求谁的几分之几就用谁乘几分之几”。
【答案】A
【解析】先求这个数：18÷=27，再求这个数的：27×=3。
【点睛】先通过“已知量÷对应分率”求出单位“1”的量，再计算单位“1”的几分之几。
【答案】B
【解析】小刚比小明高，则小刚身高是小明的(1+)，列式为140×(1+)。
【点睛】“比A多几分之几”的数量关系为“B=A×(1+分率)”，直接套用即可。
【答案】A
【解析】第一天看完余下：120×(1-)=90（页），第二天看的页数=90×=30（页）。
【点睛】连乘问题中，后一步的单位“1”是前一步的结果，需分步明确单位“1”。
【答案】C
【解析】绳子原长不确定，若原长1米，两根剩下的一样长；若原长大于1米，第二根剩下的长；若原长小于1米，第一根剩下的长，故无法比较。
【点睛】是分率，米是具体长度，分率与具体长度无法直接比较，需结合原长分析。
三、计算题（每题4分，共20分）
【解析】整数与分数相乘，整数与分母约分后再计算，16与4约分后得4，4×3=12。
【点睛】约分可简化计算，避免大数相乘。
【解析】分子相乘5×9=45，分母相乘6×10=60，约分后45÷15=3，60÷15=4，结果为。
【点睛】分数相乘时，可先交叉约分再计算，更简便高效。
【解析】7与21约分得3，4与8约分得2，分子1×1=1，分母2×3=6，结果为。
【点睛】交叉约分要彻底，确保结果是最简分数。
【解析】先算括号内1+=，再算24×=28；也可利用乘法分配律24×1 + 24×=24+4=28。
【点睛】有括号的先算括号内，或用运算律简化计算。
【解析】分步约分，3与6约分得2，5与5约分得1，4与2约分得2，最终分子1×1×2=2，分母1×2×7=7。
【点睛】连乘运算可逐一分步约分，降低计算难度。
四、列方程或算术法解决问题（每题8分，共40分）
解：360×=300（千克）
答：运来面粉300千克。
【解析】单位“1”是大米质量（360千克），面粉对应分率是，直接用“单位‘1’的量×分率”计算。
【点睛】直接求一个数的几分之几，无需复杂运算，找准单位“1”和分率即可。
解：450×(1-)=450×=360（棵）
答：梨树有360棵。
【解析】梨树比苹果树少，则梨树对应分率是(1-)，用苹果树棵数乘该分率得梨树棵数。
【点睛】“比单位‘1’少几分之几”，先求对应分率（1-分率），再用乘法计算。
解：1200××=400×=600（套）
答：第二个月完成了600套。
【解析】先以计划产量为单位“1”求第一个月产量，再以第一个月产量为单位“1”求第二个月产量，分率递进用连乘。
【点睛】连乘应用题需明确每一步的单位“1”，前一步结果是后一步的单位“1”。
解：宽：40×=30（米），面积：40×30=1200（平方米）
答：这块菜地的面积是1200平方米。
【解析】先根据长与宽的分率关系求出宽，再用长方形面积公式（长×宽）计算面积。
【点睛】分数乘法与几何公式结合时，先通过分率求出未知边长，再代入公式。
解：第一天看的页数：240×=30（页）
第二天看的页数：30×(1+)=30×=40（页）
两天一共看的页数：30+40=70（页）
答：两天一共看了70页。
【解析】先求第一天看的页数（单位“1”是全书页数），再求第二天看的页数（单位“1”是第一天看的页数），最后求和。
【点睛】同一题目中单位“1”可能变化，需分步计算，避免混淆单位“1”。
五、拓展题（10分）
解：甲仓库存粮：900×=300（吨）
乙仓库存粮：300×(1+)=300×=360（吨）
丙仓库存粮：900-300-360=240（吨）
答：丙仓库的存粮是240吨。
【解析】先以总存粮为单位“1”求甲仓库存粮，再以甲仓库存粮为单位“1”求乙仓库存粮，最后用总存粮减去甲、乙仓库存粮得丙仓库存粮。
【点睛】多量共存问题，先通过分数乘法求出已知量，再用总量减已知量得未知量，逻辑上从整体到部分。
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分数乘法应用题专项突破
一、填空题（每题3分，共15分）
男生人数是女生的，把（ ）看作单位“1”，男生人数 =（ ）×；如果女生有20人，男生有（ ）人。
一根绳子长18米，用去它的，用去了（ ）米，还剩（ ）米。
比24千克多是（ ）千克，比24千克少是（ ）千克。
六年级一班有48名学生，其中参加书法小组，参加绘画小组，参加书法小组的有（ ）人，参加绘画小组的有（ ）人。
某商品原价200元，先涨价，再降价，现价是（ ）元。
二、选择题（每题3分，共15分）
求36的是多少，正确的列式是（ ）
A. B. C.
一个数的是18，这个数的是（ ）
A. 3 B. 6 C. 9
小明身高140厘米，小刚比小明高，小刚身高是多少厘米？列式正确的是（ ）
A. B. C.
一本故事书有120页，第一天看了全书的，第二天看了余下的，第二天看了（ ）页
A. 30 B. 20 C. 40
两根同样长的绳子，第一根用去，第二根用去米，剩下的绳子长度（ ）
A. 第一根长 B. 第二根长 C. 无法比较
三、计算题（每题4分，共20分）
1. 2. 3. 4. 5.
`
四、列方程或算术法解决问题（每题8分，共40分）
学校食堂运来大米360千克，面粉的质量是大米的，运来面粉多少千克？
某果园有苹果树450棵，梨树的棵数比苹果树少，梨树有多少棵？
服装厂计划生产服装1200套，第一个月完成了计划的，第二个月完成的是第一个月的，第二个月完成了多少套？
一块长方形菜地，长40米，宽是长的，这块菜地的面积是多少平方米？
小红看一本240页的小说，第一天看了全书的，第二天看的页数比第一天多，两天一共看了多少页？
五、拓展题（10分）
甲、乙、丙三个仓库共存粮900吨，甲仓库的存粮是总存粮的，乙仓库的存粮比甲仓库多，丙仓库的存粮是多少吨？
参考答案及解析
一、填空题（每题3分，共15分）
【答案】女生人数；女生人数；15
【解析】“男生人数是女生的”中，单位“1”是女生人数，数量关系为男生人数=女生人数×；女生20人时，男生人数=20×=15（人）。
【点睛】找单位“1”关键看“的”前主体，确定单位“1”后直接套用“单位‘1’的量×分率=对应量”。
【答案】15；3
【解析】用去的长度=18×=15（米），剩余长度=18-15=3（米）。
【点睛】求一个数的几分之几是多少用乘法，剩余量=总量-用去量。
【答案】32；16
【解析】比24千克多：24×(1+)=24×=32（千克）；比24千克少：24×(1-)=24×=16（千克）。
【点睛】“比单位‘1’多几分之几”用“1+分率”，“少几分之几”用“1-分率”。
【答案】8；18
【解析】书法小组人数=48×=8（人），绘画小组人数=48×=18（人）。
【点睛】同一总量对应不同分率，分别用总量乘对应分率即可求出不同部分的量。
【答案】198
【解析】涨价后价格=200×(1+)=220（元），现价=220×(1-)=198（元）。
【点睛】涨降价问题中，单位“1”随价格变化而改变，不能直接认为涨降相同分率后价格不变。
二、选择题（每题3分，共15分）
【答案】B
【解析】求一个数的几分之几是多少，用这个数乘分率，故列式为36×。
【点睛】分数乘法的核心意义就是求一个数的几分之几，牢记“求谁的几分之几就用谁乘几分之几”。
【答案】A
【解析】先求这个数：18÷=27，再求这个数的：27×=3。
【点睛】先通过“已知量÷对应分率”求出单位“1”的量，再计算单位“1”的几分之几。
【答案】B
【解析】小刚比小明高，则小刚身高是小明的(1+)，列式为140×(1+)。
【点睛】“比A多几分之几”的数量关系为“B=A×(1+分率)”，直接套用即可。
【答案】A
【解析】第一天看完余下：120×(1-)=90（页），第二天看的页数=90×=30（页）。
【点睛】连乘问题中，后一步的单位“1”是前一步的结果，需分步明确单位“1”。
【答案】C
【解析】绳子原长不确定，若原长1米，两根剩下的一样长；若原长大于1米，第二根剩下的长；若原长小于1米，第一根剩下的长，故无法比较。
【点睛】是分率，米是具体长度，分率与具体长度无法直接比较，需结合原长分析。
三、计算题（每题4分，共20分）
【解析】整数与分数相乘，整数与分母约分后再计算，16与4约分后得4，4×3=12。
【点睛】约分可简化计算，避免大数相乘。
【解析】分子相乘5×9=45，分母相乘6×10=60，约分后45÷15=3，60÷15=4，结果为。
【点睛】分数相乘时，可先交叉约分再计算，更简便高效。
【解析】7与21约分得3，4与8约分得2，分子1×1=1，分母2×3=6，结果为。
【点睛】交叉约分要彻底，确保结果是最简分数。
【解析】先算括号内1+=，再算24×=28；也可利用乘法分配律24×1 + 24×=24+4=28。
【点睛】有括号的先算括号内，或用运算律简化计算。
【解析】分步约分，3与6约分得2，5与5约分得1，4与2约分得2，最终分子1×1×2=2，分母1×2×7=7。
【点睛】连乘运算可逐一分步约分，降低计算难度。
四、列方程或算术法解决问题（每题8分，共40分）
解：360×=300（千克）
答：运来面粉300千克。
【解析】单位“1”是大米质量（360千克），面粉对应分率是，直接用“单位‘1’的量×分率”计算。
【点睛】直接求一个数的几分之几，无需复杂运算，找准单位“1”和分率即可。
解：450×(1-)=450×=360（棵）
答：梨树有360棵。
【解析】梨树比苹果树少，则梨树对应分率是(1-)，用苹果树棵数乘该分率得梨树棵数。
【点睛】“比单位‘1’少几分之几”，先求对应分率（1-分率），再用乘法计算。
解：1200××=400×=600（套）
答：第二个月完成了600套。
【解析】先以计划产量为单位“1”求第一个月产量，再以第一个月产量为单位“1”求第二个月产量，分率递进用连乘。
【点睛】连乘应用题需明确每一步的单位“1”，前一步结果是后一步的单位“1”。
解：宽：40×=30（米），面积：40×30=1200（平方米）
答：这块菜地的面积是1200平方米。
【解析】先根据长与宽的分率关系求出宽，再用长方形面积公式（长×宽）计算面积。
【点睛】分数乘法与几何公式结合时，先通过分率求出未知边长，再代入公式。
解：第一天看的页数：240×=30（页）
第二天看的页数：30×(1+)=30×=40（页）
两天一共看的页数：30+40=70（页）
答：两天一共看了70页。
【解析】先求第一天看的页数（单位“1”是全书页数），再求第二天看的页数（单位“1”是第一天看的页数），最后求和。
【点睛】同一题目中单位“1”可能变化，需分步计算，避免混淆单位“1”。
五、拓展题（10分）
解：甲仓库存粮：900×=300（吨）
乙仓库存粮：300×(1+)=300×=360（吨）
丙仓库存粮：900-300-360=240（吨）
答：丙仓库的存粮是240吨。
【解析】先以总存粮为单位“1”求甲仓库存粮，再以甲仓库存粮为单位“1”求乙仓库存粮，最后用总存粮减去甲、乙仓库存粮得丙仓库存粮。
【点睛】多量共存问题，先通过分数乘法求出已知量，再用总量减已知量得未知量，逻辑上从整体到部分。
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分数除法应用题专项突破
一、填空题（每题3分，共15分）
已知一个数的是18，把（ ）看作单位“1”，这个数 =（ ）÷，这个数是（ ）。
小明看一本故事书，已经看了全书的，正好是60页，这本书一共有（ ）页，还剩（ ）页没看。
一根绳子用去，用去的长度是12米，这根绳子原来长（ ）米；如果用去米，还剩（ ）米。
六年级同学植树，成活的棵数是120棵，占植树总棵数的，六年级同学一共植树（ ）棵，未成活的有（ ）棵。
甲数的等于乙数的，已知甲数是16，乙数是（ ）；如果乙数是16，甲数是（ ）。
二、选择题（每题3分，共15分）
1． 求一个数，已知它的是21，正确的列式是（ ）
A. B. C.
2． 女生有25人，男生有20人，男生人数是女生人数的（ ）
A. B. C.
3． 一批货物，运走了，正好运走12吨，这批货物原来有多少吨？列式正确的是（ ）
A. B. C.
4． 一台洗衣机降价后售价是1600元，这台洗衣机原价是多少元？正确的列式是（ ）
A. B. C.
5． 有甲、乙两根绳子，甲绳的等于乙绳的，两根绳子长度相比（ ）
A. 甲绳长 B. 乙绳长 C. 一样长
三、计算题（每题4分，共20分）
1. 2. 3. 4. 5.
四、列方程或算术法解决问题（每题8分，共40分）
1． 学校图书馆有科技书180本，占图书总数的，学校图书馆一共有多少本图书？
2． 果园里苹果树的棵数是梨树的，已知苹果树有360棵，梨树有多少棵？
3． 一批零件，工人师傅已经加工了240个，完成了总数的，还剩下多少个零件没有加工？
4． 一个长方形的面积是平方米，宽是米，这个长方形的长是多少米？它的周长是多少米？
5． 小明看一本小说，第一天看了全书的，第二天看了全书的，两天一共看了22页，这本书一共有多少页？
五、拓展题（10分）
甲、乙两个车间共同加工一批零件，甲车间加工了这批零件的，乙车间加工了这批零件的，已知甲车间比乙车间多加工了20个，这批零件一共有多少个？甲、乙两个车间各加工了多少个零件？
参考答案及解析
一、填空题（每题3分，共15分）
1． 【答案】这个数；18；27
【解析】“已知一个数的是18”中，单位“1”是这个数，数量关系为这个数×=18，所以这个数=18÷=27。
【点睛】已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”，用“已知数量÷对应分率”。
2． 【答案】100；40
【解析】全书页数=已看页数÷对应分率=60÷=100（页），剩余页数=100-60=40（页）。
【点睛】先通过分数除法求出单位“1”（全书页数），再用总量减已看量得剩余量。
3． 【答案】16；15
【解析】绳子原长=用去长度÷分率=12÷=16（米）；用去米时，剩余长度=16-=15（米）。
【点睛】注意区分“分率”和“具体长度”，求原长用分率计算，求剩余具体长度直接相减。
4． 【答案】144；24
【解析】植树总棵数=成活棵数÷对应分率=120÷=144（棵），未成活棵数=144-120=24（棵）。
【点睛】已知部分量和对应分率，先求总量，再求另一部分量。
5． 【答案】30；
【解析】甲数的=乙数的，即16×=乙数×，乙数=12÷=30；若乙数是16，则甲数×=16×，甲数=÷=。
【点睛】根据“一个数的几分之几等于另一个数的几分之几”，先求出已知条件的具体数值，再求未知量。
二、选择题（每题3分，共15分）
1． 【答案】B
【解析】已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用已知数量除以对应分率，列式为21÷。
【点睛】牢记分数除法的核心意义：已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”用除法。
2． 【答案】A
【解析】求男生人数是女生人数的几分之几，用男生人数（比较量）÷女生人数（单位“1”的量）=20÷25=。
【点睛】“求A是B的几分之几”，列式为“A÷B”，B是单位“1”。
3． 【答案】B
【解析】运走的12吨对应总货物的，求总货物吨数（单位“1”），用12÷。
【点睛】找准已知数量对应的分率，直接用除法求单位“1”。
4． 【答案】A
【解析】降价后售价是原价的(1-)，原价是单位“1”，求原价用售价÷(1-)=1600÷(1-)。
【点睛】“比单位‘1’少几分之几”，已知对应量求单位“1”，用“对应量÷(1-分率)”。
5． 【答案】B
【解析】设甲绳长x，乙绳长y，则x=y，x:y=:=3:4，所以乙绳长。
【点睛】通过等式转化为比例关系，比较两个数的大小。
三、计算题（每题4分，共20分）
1．
【解析】分数除法转化为乘法，乘除数的倒数，18与3约分后得6，6×4=24。
【点睛】分数除法的计算法则：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。
2．
【解析】转化为乘法后，5与10约分，分子1×11=11，分母8×2=16，结果为。
【点睛】先约分再计算，可简化运算过程，避免大数相乘。
3．
【解析】7与14约分，27与9约分，分子1×3=3，分母1×2=2，结果为。
【点睛】交叉约分要彻底，确保结果是最简分数。
4．
【解析】同级运算从左到右，先将除法转化为乘法，再分步约分，3与3约分，2与4约分后得2，2×=1。
【点睛】乘除混合运算统一转化为乘法，按从左到右顺序计算，约分贯穿全程。
5．
【解析】先算括号内，通分后，再算除法。
【点睛】有括号先算括号内，再算括号外，遵循“先加减后乘除”的运算顺序。
四、列方程或算术法解决问题（每题8分，共40分）
1． 解：算术法：180÷=180×=810（本）
方程法：设学校图书馆一共有x本图书，x=180，x=180÷=810
答：学校图书馆一共有810本图书。
【解析】科技书180本对应图书总数的，单位“1”是图书总数，用算术法直接用“已知量÷分率”，方程法设单位“1”为x，列方程求解。
【点睛】已知部分量和对应分率，求单位“1”，两种方法均可，方程法更直观。
2． 解：算术法：360÷=360×=480（棵）
方程法：设梨树有x棵，x=360，x=360÷=480
答：梨树有480棵。
【解析】苹果树棵数是梨树的，单位“1”是梨树棵数，已知苹果树棵数（对应量），求梨树棵数（单位“1”）用除法。
【点睛】“A是B的几分之几”，已知A求B，列式为“A÷分率”。
3． 解：零件总数：240÷=240×=400（个）
剩余零件：400-240=160（个）
答：还剩下160个零件没有加工。
【解析】先通过已加工零件数和对应分率求出零件总数（单位“1”），再用总数减已加工数得剩余数。
【点睛】两步应用题，先求总量，再求部分量，核心是先确定单位“1”并求出总量。
4． 解：长：==（米）
周长：（+）×2=2×2=4（米）
答：这个长方形的长是米，周长是4米。
【解析】根据长方形面积公式“面积=长×宽”，变形得“长=面积÷宽”，求出长后，再用周长公式“（长+宽）×2”计算周长。
【点睛】分数除法与几何公式结合，先根据公式变形求出未知量，再代入另一公式计算。
5． 解：算术法：（页）
方程法：设这本书一共有x页，，x=22，x=22÷=60
答：这本书一共有60页。
【解析】两天一共看的22页对应全书的，先求两天看的分率和，再用“已知量÷分率和”求单位“1”（全书页数）。
【点睛】多个分率对应同一单位“1”，先求分率和，再用除法求单位“1”。
五、拓展题（10分）
解：零件总数：（个）
甲车间加工：300×=120（个）
乙车间加工：300×=100（个）
答：这批零件一共有300个，甲车间加工了120个，乙车间加工了100个。
【解析】先找出甲车间比乙车间多加工的20个对应的分率（），用“多的数量÷多的分率”求出零件总数（单位“1”），再分别用总数乘甲、乙车间对应的分率，求出各自加工的数量。
【点睛】已知两个部分量的差值和对应分率的差值，先求单位“1”（总量），再求各部分量，关键是找准“数量差”与“分率差”的对应关系。
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比的应用应用题专项突破
一、填空题（每题3分，共15分）
1． 甲、乙两数的比是3:5，甲数是18，乙数是（ ）；如果甲、乙两数的和是48，那么甲数是（ ），乙数是（ ）。
2． 一个长方形的长与宽的比是4:3，周长是56cm，这个长方形的长是（ ）cm，宽是（ ）cm，面积是（ ）cm 。
3． 学校把一批图书按2:3:5的比例分给低、中、高年级，低年级分得20本，中年级分得（ ）本，高年级分得（ ）本，这批图书一共有（ ）本。
4． 甲、乙、丙三个数的比是2:3:4，它们的平均数是36，甲数是（ ），丙数是（ ）。
5． 一种混凝土由水泥、沙子、石子按2:3:5的比例配制而成，要配制120吨这样的混凝土，需要水泥（ ）吨，沙子（ ）吨，石子（ ）吨。
二、选择题（每题3分，共15分）
1． 把30个方格按1:2的比例分给甲、乙两人，甲分得的方格数是（ ）
A. 10个 B. 20个 C. 15个
2． 一个三角形三个内角的度数比是1:2:3，这个三角形是（ ）三角形
A. 锐角 B. 直角 C. 钝角
3． 甲、乙两人投资做生意，投资额的比是4:5，一年后盈利90万元，按投资额分配利润，乙比甲多分得（ ）万元
A. 10 B. 40 C. 50
4． 化简比的依据是（ ）
A. 比的意义 B. 比的基本性质 C. 分数的基本性质
5． 把10g盐溶解在90g水中，盐与盐水的比化简后是（ ）
A. 1:9 B. 1:10 C. 10:1
三、化简比（每题4分，共20分）
1.12:18 2. 0.75:2 3. :
4.2小时:45分钟 5. 1.2m:60cm
四、按要求解决问题（每题8分，共40分）
1． 某农场把840公顷土地按4:3的比例分别种植小麦和玉米，小麦和玉米各种植多少公顷？
2． 一个长方体框架的棱长总和是96cm，长、宽、高的比是3:2:1，这个长方体的体积是多少立方厘米？
3． 甲、乙两车从相距360千米的两地同时出发，相向而行，速度比是4:5，相遇时甲、乙两车各行驶了多少千米？
4． 学校合唱队有80人，男生与女生的人数比是3:5，男生和女生各有多少人？如果合唱队人数增加到96人，男、女生人数比不变，女生应增加多少人？
5． 一种药水由药粉和水按1:100的比例配制而成，现有5kg药粉，能配制这种药水多少千克？需要加水多少千克？
五、拓展题（10分）
甲、乙、丙三个工程队共同修一条长1200米的公路，甲队修的长度是乙队的，乙队与丙队修的长度比是4:5，三个队各修了多少米？
参考答案及解析
一、填空题（每题3分，共15分）
【答案】30；18；30
【解析】甲、乙两数比为3:5，甲数18对应3份，每份为18÷3=6，乙数占5份，即6×5=30；两数和48对应3+5=8份，每份48÷8=6，甲数3×6=18，乙数5×6=30。
【点睛】按比例分配问题，先求每份数量是核心，再根据各部分所占份数计算具体量。
【答案】16；12；192
【解析】长方形周长56cm，长+宽=56÷2=28cm，长与宽比4:3，总份数4+3=7份，每份28÷7=4cm，长4×4=16cm，宽4×3=12cm，面积16×12=192cm 。
【点睛】结合几何公式先求出关键量（长+宽），再按比例分配，最后计算面积。
【答案】30；50；100
【解析】低年级20本对应2份，每份20÷2=10本，中年级3份即10×3=30本，高年级5份即10×5=50本，总量2+3+5=10份，10×10=100本。
【点睛】根据已知部分量和对应份数，先求每份数，再求其他部分量和总量。
【答案】24；48
【解析】三个数平均数36，总和36×3=108，总份数2+3+4=9份，每份108÷9=12，甲数2×12=24，丙数4×12=48。
【点睛】先通过平均数求出总量，再按比例分配各部分量。
【答案】24；36；60
【解析】总份数2+3+5=10份，每份120÷10=12吨，水泥2×12=24吨，沙子3×12=36吨，石子5×12=60吨。
【点睛】配制问题需先明确总份数，再按比例分配各成分用量。
二、选择题（每题3分，共15分）
【答案】A
【解析】总份数1+2=3份，每份30÷3=10个，甲占1份，即10个，选A。
【点睛】按比例分配时，先求总份数，再算每份数量。
【答案】B
【解析】总份数1+2+3=6份，三角形内角和180°，每份180÷6=30°，最大角3×30=90°，是直角三角形，选B。
【点睛】结合三角形内角和定理，按比例求出各角度数，判断三角形类型。
【答案】A
【解析】总份数4+5=9份，每份90÷9=10万元，乙比甲多5-4=1份，即多10万元，选A。
【点睛】先求每份利润，再计算份数差对应的利润差。
【答案】B
【解析】化简比的依据是比的基本性质（比的前项和后项同时乘或除以相同的数，0除外，比值不变），选B。
【点睛】区分比的意义、基本性质的不同用途，化简比用基本性质。
【答案】B
【解析】盐水质量10+90=100g，盐与盐水比10:100=1:10，选B。
【点睛】注意比的前项和后项对应的量，盐水是盐+水的总质量。
三、化简比（每题4分，共20分）
12:18
步骤：
① 找最大公因数6；② 前项后项同时除以6：(12÷6):(18÷6)=2:3
【解析】整数比化简，先找前项后项的最大公因数，再同时除以公因数。
0.75:2
步骤：
① 转化为整数比（同时乘100）：75:200；② 找最大公因数25；③ 同时除以25：3:8
【解析】小数比化简，先把小数转化为整数，再按整数比化简方法进行。
:
步骤：
① 找最小公倍数8；② 同时乘8：(×8):(×8)=6:5
【解析】分数比化简，先找分母最小公倍数，同时乘公倍数转化为整数比。
2小时:45分钟
步骤：
① 统一单位（2小时=120分钟）；② 化简：120:45=8:3
【解析】含单位的比化简，先统一单位，再按常规方法化简。
1.2m:60cm
步骤：
① 统一单位（1.2m=120cm）；② 化简：120:60=2:1
【解析】单位不同的比，先统一单位（优先转化为低级单位），再化简。
四、按要求解决问题（每题8分，共40分）
解：
① 总份数：4+3=7（份）
② 每份面积：840÷7=120（公顷）
③ 小麦：120×4=480（公顷）
④ 玉米：120×3=360（公顷）
答：小麦种植480公顷，玉米种植360公顷。
【解析】按比例分配土地，先求总份数，再算每份面积，最后按各作物所占份数计算种植面积。
【点睛】总量÷总份数=每份数量，每份数量×对应份数=各部分量。
解：
① 长方体棱长总和=4×（长+宽+高），所以长+宽+高=96÷4=24（cm）
② 总份数：3+2+1=6（份）
③ 每份长度：24÷6=4（cm）
④ 长：4×3=12（cm），宽：4×2=8（cm），高：4×1=4（cm）
⑤ 体积：12×8×4=384（cm ）
答：这个长方体的体积是384立方厘米。
【解析】先根据棱长总和公式求出长+宽+高的和，再按比例分配求出各棱长，最后计算体积。
【点睛】几何类比例问题，需先结合公式求出关键总量，再按比例分配。
解：
① 相遇时行驶时间相同，路程比=速度比=4:5
② 总份数：4+5=9（份）
③ 每份路程：360÷9=40（千米）
④ 甲车：40×4=160（千米），乙车：40×5=200（千米）
答：相遇时甲车行驶160千米，乙车行驶200千米。
【解析】相遇问题中，时间相同，路程比等于速度比，再按比例分配总路程。
【点睛】灵活运用行程问题中路程、速度、时间的关系，结合比例分配求解。
解：
① 总份数：3+5=8（份）
② 每份人数：80÷8=10（人）
③ 男生：10×3=30（人），女生：10×5=50（人）
④ 增加后总人数96人，每份人数：96÷8=12（人）
⑤ 增加后女生人数：12×5=60（人）
⑥ 女生增加人数：60-50=10（人）
答：男生30人，女生50人；女生应增加10人。
【解析】先按原人数比例分配求出男女生人数，再根据新总人数和不变的比例，求出新的女生人数，最后算增加的人数。
【点睛】比例不变时，总人数变化会导致每份人数变化，需重新计算每份数量。
解：
① 总份数：1+100=101（份）
② 药粉5kg对应1份，每份5kg
③ 药水总量：5×101=505（kg）
④ 水的质量：505-5=500（kg）
答：能配制药水505千克，需要加水500千克。
【解析】药水是药粉和水的总和，先求总份数，再根据药粉的量求出每份质量，进而求出药水总量和水的质量。
【点睛】配制问题中，总量是各成分的和，需明确比的各项对应的成分。
五、拓展题（10分）
解：
① 甲队修的长度是乙队的，所以甲:乙=3:4
② 已知乙:丙=4:5，因此甲:乙:丙=3:4:5
③ 总份数：3+4+5=12（份）
④ 每份长度：1200÷12=100（米）
⑤ 甲队：100×3=300（米），乙队：100×4=400（米），丙队：100×5=500（米）
检验：300+400+500=1200（米），符合总长度；300÷400=，乙:丙=400:500=4:5，符合条件。
答：甲队修300米，乙队修400米，丙队修500米。
【解析】先将分数关系转化为比的关系，再统一三个队的连比，最后按比例分配总长度。
【点睛】多个量的比例问题，需先统一比的标准（如以乙队为桥梁统一甲、乙、丙的比），再进行分配，检验环节可验证比例是否符合题意。
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百分数应用题专项突破
一、填空题（每题3分，共15分）
把0.75、、80%按从大到小的顺序排列是（ ）＞（ ）＞（ ）；比较1.15和110%的大小，可将110%转化为（ ），得出1.15（ ）110%（填“＞”“＜”或“=”）。
六（1）班有45名学生，今天出勤43人，出勤率是（ ）（百分号前保留一位小数）；若该班今天的出勤率是96%，则出勤人数是（ ）人。
某工厂去年生产机床120台，今年生产150台，今年比去年多生产（ ）%；去年比今年少生产（ ）%（百分号前保留一位小数）。
一款手机原价3000元，打八折出售，现价是（ ）元；若该手机打七五折后的售价是2250元，原价是（ ）元。
王叔叔将5000元存入银行，年利率为2.75%，存期2年，到期时可获得利息（ ）元；若到期后本息和共5687.5元，该存款的本金是（ ）元（不计利息税）。
二、选择题（每题3分，共15分）
下列转化正确的是（ ）
A. 0.35 = = 350%
B. = 0.8 = 80%
C. 65% = = 0.065
小麦的出粉率是85%，表示（ ）
A. 面粉质量是小麦质量的85%
B. 小麦质量是面粉质量的85%
C. 面粉质量比小麦质量少85%
某商品原价200元，现价180元，现价比原价便宜了百分之几？正确列式是（ ）
A. （200 - 180）÷180×100%
B. （200 - 180）÷200×100%
C. 180÷200×100%
李老师月工资5000元，按规定超出3500元的部分按3%缴纳个人所得税，李老师每月应缴个税（ ）元
A. 5000×3% = 150
B. （5000 - 3500）×3% = 45
C. 3500×3% = 105
一件商品先涨价20%，再降价20%，现价与原价相比（ ）
A. 现价高
B. 原价高
C. 相等
三、计算题（每题4分，共20分）
百分数、分数、小数互化
0.68 = （ ）% = （ ）（分数，最简形式）
= （ ）小数 = （ ）%
36% = （ ）小数 = （ ）（分数，最简形式）
求百分率
一批零件共200个，经检验有196个合格，求合格率。
求增减百分之几
某地区去年房价每平方米8000元，今年每平方米9200元，今年房价比去年上涨百分之几？
百分数乘法应用
一台冰箱原价4500元，春节促销打八五折，购买这台冰箱实际需要多少元？
百分数除法应用
某商场运来一批水果，卖出60%后还剩120千克，这批水果原有多少千克？
四、列算式/方程解决问题（每题8分，共40分）
学校食堂运进大米500千克，运进的面粉比大米少20%，运进面粉多少千克？
某品牌电脑开展促销活动，降价15%后售价为4250元，这款电脑原价多少元？（列方程解答）
果园里有苹果树80棵，梨树的棵数比苹果树多25%，果园里苹果树和梨树一共有多少棵？
张阿姨购买了一套总价为120万元的商品房，按规定应缴纳1.5%的契税，张阿姨需缴纳契税多少万元？
某工厂生产一批零件，第一周生产了总数的30%，第二周生产了总数的40%，两周共生产了2800个。这批零件一共有多少个？
五、拓展题（10分）
某商场同时出售两件商品，售价都是1200元，一件商品赚了20%，另一件商品亏了20%。该商场卖出这两件商品总体是盈利还是亏损？盈利或亏损多少元？（请写出详细计算过程）
参考答案及解析
一、填空题（每题3分，共15分）
【答案】80%；0.75；；1.1；＞
【解析】先统一转化为小数比较：=0.6，80%=0.8，所以0.8＞0.75＞0.6；110%=1.1，1.15＞1.1，故填相应答案。
【点睛】比较小数、分数、百分数的大小，核心是统一转化为同一形式（小数或百分数），再按常规比较方法判断。
【答案】95.6%；43.2
【解析】出勤率=（出勤人数÷总人数）×100%，即43÷45×100%≈95.6%；出勤人数=总人数×出勤率，45×96%=43.2（人数需为整数，此处按题目要求计算）。
【点睛】百分率计算需牢记“部分量÷总量×100%”的公式，结果用百分数表示，注意实际场景中人数、个数等需为整数。
【答案】25；20.0
【解析】今年比去年多生产的百分比=（今年产量-去年产量）÷去年产量×100%，即（150-120）÷120×100%=25%；去年比今年少生产的百分比=（今年产量-去年产量）÷今年产量×100%，即（150-120）÷150×100%≈20.0%。
【点睛】“求一个数比另一个数多（少）百分之几”，关键是找准单位“1”（“比”后面的量），用增减量除以单位“1”的量再乘100%。
【答案】2400；3000
【解析】现价=原价×折扣，八折=80%，3000×80%=2400元；原价=现价÷折扣，七五折=75%，2250÷75%=3000元。
【点睛】折扣问题中，折扣化为百分数后，遵循“现价=原价×折扣”“原价=现价÷折扣”的数量关系，注意折扣的含义（如八折即原价的80%）。
【答案】275；5000
【解析】利息=本金×年利率×存期，5000×2.75%×2=275元；本金=本息和÷（1+年利率×存期），5687.5÷（1+2.75%×2）=5687.5÷1.055=5000元。
【点睛】利息计算核心是牢记利息公式，本息和=本金+利息，反向求本金时需先计算出利率与存期的乘积再加1，再用本息和除以该结果。
二、选择题（每题3分，共15分）
【答案】B
【解析】A选项0.35==35%，而非350%；C选项65%==0.65，而非0.065；B选项=0.8=80%，转化正确。
【点睛】百分数、分数、小数互化时，小数化百分数需乘100%，分数化小数需用分子除以分母，百分数化分数需先写成分母为100的分数再约分。
【答案】A
【解析】出粉率=（面粉质量÷小麦质量）×100%，表示面粉质量是小麦质量的85%，B、C选项逻辑错误。
【点睛】百分率的含义本质是“部分量占总量的百分之几”，需明确部分量和总量的对应关系。
【答案】B
【解析】现价比原价便宜的百分比=（原价-现价）÷原价×100%，单位“1”是原价，故列式为（200-180）÷200×100%。
【点睛】“求一个数比另一个数少百分之几”，单位“1”是被比的量（原价），需用减少的量除以单位“1”的量。
【答案】B
【解析】应纳税额=（工资收入-起征点）×税率，即（5000-3500）×3%=45元，A选项未扣除起征点，C选项计税基数错误。
【点睛】纳税问题需明确计税基数是“超出起征点的部分”，再按税率计算应纳税额。
【答案】B
【解析】设原价为1，涨价20%后价格为1×（1+20%）=1.2，再降价20%后价格为1.2×（1-20%）=0.96，0.96＜1，故原价高。
【点睛】连续涨跌相同百分比时，由于单位“1”的量发生变化，最终现价一定低于原价，可通过设原价为1快速计算判断。
三、计算题（每题4分，共20分）
百分数、分数、小数互化
【答案】68；；0.875；87.5；0.36；
【解析】小数化百分数：0.68×100%=68%，0.68==；分数化小数：=7÷8=0.875，0.875×100%=87.5%；百分数化小数：36%=36÷100=0.36，36%==。
求百分率
【答案】98%
【解析】合格率=（合格零件数÷零件总数）×100%=196÷200×100%=98%。
【点睛】百分率计算结果最大值为100%，需确保部分量不超过总量。
求增减百分之几
【答案】15%
【解析】上涨百分比=（今年房价-去年房价）÷去年房价×100%=（9200-8000）÷8000×100%=1200÷8000×100%=15%。
百分数乘法应用
【答案】3825元
【解析】八五折=85%，实际价格=原价×折扣=4500×85%=3825元。
【点睛】折扣转化为百分数后，直接用原价乘折扣率即可求出现价，计算时注意百分数与小数的转化。
百分数除法应用
【答案】300千克
【解析】剩余水果占比=1-60%=40%，原有水果质量=剩余质量÷剩余占比=120÷40%=300千克。
【点睛】已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用已知量除以对应的百分数，需先明确已知量对应的百分率。
四、列算式/方程解决问题（每题8分，共40分）
题目：学校食堂运进大米500千克，运进的面粉比大米少20%，运进面粉多少千克？
解：
① 分析：面粉质量=大米质量×（1-20%），单位“1”是大米质量（500千克）。
② 列式：500×（1-20%）=500×0.8=400（千克）
③ 答：运进面粉400千克。
【解析】“比一个数少百分之几”的问题，用“这个数×（1-百分率）”计算，先明确减少的百分率对应的单位“1”是已知量，直接用乘法求解。
题目：某品牌电脑开展促销活动，降价15%后售价为4250元，这款电脑原价多少元？（列方程解答）
解：
① 设未知数：设这款电脑原价为x元。
② 找等量关系：原价×（1-15%）=现价
③ 列方程：（1-15%）x=4250
④ 解方程：0.85x=4250，x=4250÷0.85=5000
⑤ 答：这款电脑原价5000元。
【解析】已知降价后的现价，求原价（单位“1”），用方程求解更直观，等量关系为“原价×（1-降价百分率）=现价”，解方程时注意百分数与小数的转化。
题目：果园里有苹果树80棵，梨树的棵数比苹果树多25%，果园里苹果树和梨树一共有多少棵？
解：
① 先求梨树棵数：梨树棵数=苹果树棵数×（1+25%）=80×1.25=100（棵）
② 求总棵数：80+100=180（棵）
③ 答：果园里苹果树和梨树一共有180棵。
【解析】先根据“比一个数多百分之几”的公式求出梨树棵数，再将两种树的棵数相加，关键是准确计算出梨树相对于苹果树的数量关系。
题目：张阿姨购买了一套总价为120万元的商品房，按规定应缴纳1.5%的契税，张阿姨需缴纳契税多少万元？
解：
① 分析：契税=房价总价×契税税率
② 列式：120×1.5%=1.8（万元）
③ 答：张阿姨需缴纳契税1.8万元。
【解析】纳税问题中，契税属于“求一个数的百分之几是多少”，直接用总价乘税率即可，计算时注意百分数的转化（1.5%=0.015）。
题目：某工厂生产一批零件，第一周生产了总数的30%，第二周生产了总数的40%，两周共生产了2800个。这批零件一共有多少个？
解：
① 设未知数：设这批零件一共有x个。
② 找等量关系：第一周生产数量+第二周生产数量=两周总生产数量
③ 列方程：30%x+40%x=2800
④ 解方程：70%x=2800，x=2800÷0.7=4000
⑤ 答：这批零件一共有4000个。
【解析】两周生产的数量均占总数（单位“1”）的百分比，总百分比为30%+40%=70%，对应实际数量2800个，用方程或除法均可求解，方程法更贴合百分数除法应用的核心思路。
五、拓展题（10分）
题目：某商场同时出售两件商品，售价都是1200元，一件商品赚了20%，另一件商品亏了20%。该商场卖出这两件商品总体是盈利还是亏损？盈利或亏损多少元？
解：
① 先求赚了20%的商品原价：
设该商品原价为x元，赚了20%表示现价=原价×（1+20%），列方程：
（1+20%）x=1200
1.2x=1200
x=1200÷1.2=1000（元）
该商品盈利：1200-1000=200（元）
② 再求亏了20%的商品原价：
设该商品原价为y元，亏了20%表示现价=原价×（1-20%），列方程：
（1-20%）y=1200
0.8y=1200
y=1200÷0.8=1500（元）
该商品亏损：1500-1200=300（元）
③ 计算总体盈亏：
总盈利-总亏损=200-300=-100（元），即总体亏损100元。
④ 答：该商场卖出这两件商品总体是亏损的，亏损了100元。
【解析】解决这类“盈亏百分比”问题，关键是分别找准两件商品的单位“1”（原价），盈利20%的商品原价低于现价，亏损20%的商品原价高于现价，需通过方程分别求出原价，再计算各自的盈亏金额，最后汇总判断总体盈亏。注意不能直接用两件商品的售价差判断，因为单位“1”的量不同。
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六年级上册数学解方程应用题专项突破
一、填空题（每题3分，共15分）
小明今年岁，爸爸的年龄是小明的3.5倍，爸爸今年（ ）岁；如果爸爸今年42岁，可列方程（ ）求出小明的年龄。
一个长方形的长是，宽是，周长是，根据周长公式可列方程（ ），解得（ ）。
某商店运来千克苹果，运来的梨比苹果的2倍少15千克，运来梨（ ）千克；如果梨有85千克，可列方程（ ）。
一批货物，运走吨后，还剩24吨，这批货物原有（ ）吨；若原有货物60吨，运走（ ）吨。
小明看一本故事书，每天看页，看了8天后，还剩56页，这本书共有（ ）页；如果这本书共有120页，可列方程（ ）。
二、选择题（每题3分，共15分）
一个数的是24，求这个数。设这个数为，列方程正确的是（ ）
A. B. C.
妈妈买了3千克苹果和2千克香蕉，一共花了35元，苹果每千克元，香蕉每千克5元。列方程错误的是（ ）
A. B. C.
某工厂计划生产个零件，已经生产了5天，每天生产120个，还剩380个没生产。列方程正确的是（ ）
A. B. C. 以上都对
小明有元零花钱，小红的零花钱比小明的2倍多3元，小红有53元。列方程是（ ）
A. B. C.
一个长方形的面积是，长是，宽是。列方程求解宽，正确的步骤是（ ）
A. B.
C.
三、解方程（每题4分，共20分）
1. 2. 3.
4. 5.
四、列方程解决问题（每题8分，共40分）
学校买来一批图书，分给五年级和六年级，五年级分得120本，六年级分得的本数比五年级的1.5倍少15本。六年级分得多少本图书？
甲、乙两车同时从相距480千米的两地相对开出，经过4小时相遇。甲车每小时行65千米，乙车每小时行多少千米？
一个长方体水箱的容积是240升，从里面量，长是8分米，宽是5分米，高是多少分米？（1升=1立方分米）
某商场搞促销活动，一款洗衣机原价元，现降价20%后售价为2400元。这款洗衣机原价多少元？
师徒两人共同加工一批零件，师傅每天加工80个，徒弟每天加工个，两人共同加工10天后，一共加工了1500个零件。徒弟每天加工多少个零件？
五、拓展题（10分）
甲仓库有粮食120吨，乙仓库有粮食吨，从甲仓库运出20吨到乙仓库后，两个仓库的粮食质量相等。原来乙仓库有粮食多少吨？（列方程解答，并检验）
参考答案及解析
一、填空题（每题3分，共15分）
答案：；
【解析】求一个数的几倍用乘法，爸爸年龄是小明的3.5倍，即；已知爸爸年龄42岁，等量关系为“小明年龄×3.5 = 爸爸年龄”，故列方程。
【点睛】根据“倍数关系”找等量关系，是列方程解倍数问题的核心。
答案：；
【解析】长方形周长公式为，代入长、宽、周长，得方程；解方程时先两边除以2，得，再减12，得。
【点睛】牢记几何公式（如周长、面积、体积公式），直接根据公式列方程是几何类问题的关键。
答案：；
【解析】“梨比苹果的2倍少15千克”，先算苹果的2倍（），再减15，即；已知梨有85千克，等量关系为“苹果的2倍 - 15 = 梨的质量”，列方程。
【点睛】遇到“比一个数的几倍多/少几”的表述，按“先倍数，后多/少”的顺序写表达式，再根据已知量列方程。
答案：；
【解析】设原有货物吨，运走吨后剩24吨，隐含等量关系“原有吨数 - 运走吨数 = 剩余吨数”，故原有货物为吨；若原有60吨，运走吨。
【点睛】分数应用题中，“运走吨”表示具体数量，需明确“原有量”是单位“1”，设为后直接关联运走量和剩余量。
答案：；
【解析】总页数 = 已看页数 + 剩余页数，已看页数为“每天看的页数×天数”，即，故总页数为；已知总页数120页，等量关系为“已看页数 + 剩余页数 = 总页数”，列方程。
【点睛】“总量 = 部分量之和”是常见等量关系，需先明确“部分量”的表达式（如已看页数=每天页数×天数）。
二、选择题（每题3分，共15分）
答案：B
【解析】“一个数的是24”，即“这个数× = 24”，设这个数为，方程为；A选项表示“除以得24”，C选项表示“加得24”，均不符合题意。
【点睛】“一个数的几分之几是多少”，直接用“这个数×几分之几 = 多少”列方程，避免混淆“乘除”关系。
答案：C
【解析】总花费 = 苹果总价 + 香蕉总价，苹果总价为元，香蕉总价为元，总花费35元，故方程为（即A选项），变形可得（即B选项）；C选项“”错误，混淆了“香蕉的重量”和“香蕉的单价”。
【点睛】列方程时需明确“数量×单价 = 总价”，避免将“数量”与“单价”直接相加/减。
答案：C
【解析】等量关系1：“已生产数量 + 未生产数量 = 计划生产数量”，即（A选项）；等量关系2：“计划生产数量 - 已生产数量 = 未生产数量”，即（B选项），两个方程均正确。
【点睛】同一问题可能有多个等量关系，只要逻辑成立，不同方程均可求解，需灵活识别“总量与部分量”的关系。
答案：B
【解析】“小红的零花钱比小明的2倍多3元”，即“小红零花钱 = 小明零花钱×2 + 3”，已知小红有53元，方程为；A选项表示“比2倍少3元”，C选项逻辑错误，均不符合题意。
【点睛】“比一个数的几倍多几”用“倍数×数 + 几”，“少几”用“倍数×数 - 几”，严格按表述顺序列方程。
答案：A
【解析】长方形面积公式为，代入面积96、长12、宽，方程为；解方程时根据“因数 = 积÷另一个因数”，得，即A选项；B选项未列方程直接计算，不符合“列方程求解”的要求；C选项混淆了“面积公式”和“周长公式”，错误。
【点睛】题目明确“列方程求解”时，需先写出方程，再按等式性质或公式变形解方程，不可直接算术计算。
三、解方程（每题4分，共20分）
解方程：
步骤：
① 移项（等式两边同时减15）：
② 计算右边：
③ 系数化为1（两边同时除以2）：
【解析】针对“ax + b = c”型方程，先通过“移项”消去常数项，再“系数化为1”求x。
解方程：
步骤：
① 合并同类项（先通分：）：
② 简化左边：
③ 系数化为1（两边同时乘4）：
【解析】含分数的同类项，先通分再合并，避免直接计算导致分数错误。
解方程：
步骤：
① 移项（两边同时加25）：
② 计算右边：
③ 将百分数化为小数（80% = 0.8）：
④ 系数化为1（两边同时除以0.8）：
【解析】百分数方程先将百分数化为小数或分数，再按常规步骤求解，降低计算难度。
解方程：
步骤：
① 去括号（两边同时除以3，或用乘法分配律）：
② 计算右边：
③ 移项（两边同时加12）：
④ 得解：
【解析】“a(x - b) = c”型方程，可先两边除以a消去系数，再移项，比直接去括号更简便。
解方程：
步骤：
① 合并同类项（通分，最小公倍数15）：
② 简化左边：
③ 系数化为1（两边同时乘）：
【解析】不同分母的分数合并，先找最小公倍数通分，计算时可先约分（如22和11约分），提高效率。
四、列方程解决问题（每题8分，共40分）
题目：学校买来一批图书，分给五年级和六年级，五年级分得120本，六年级分得的本数比五年级的1.5倍少15本。六年级分得多少本图书？
解：
① 设未知数：设六年级分得本图书。
② 找等量关系：六年级本数 = 五年级本数×1.5 - 15
③ 列方程：
④ 解方程：
⑤ 答：六年级分得165本图书。
【解析】“比A的几倍少B”，等量关系为“所求量 = A×倍数 - B”，直接代入已知量计算即可。
【点睛】若所求量直接与已知量存在倍数关系，可直接设所求量为，避免多余变量。
题目：甲、乙两车同时从相距480千米的两地相对开出，经过4小时相遇。甲车每小时行65千米，乙车每小时行多少千米？
解：
① 设未知数：设乙车每小时行千米。
② 找等量关系：（甲车速度 + 乙车速度）×相遇时间 = 总路程（相遇问题核心公式）
③ 列方程：
④ 解方程： 两边同时除以4： 移项：
⑤ 答：乙车每小时行55千米。
【解析】相遇问题牢记“速度和×时间 = 总路程”，先明确公式中的未知量（乙车速度），再列方程。
【点睛】行程问题（相遇、追及）需先回忆对应公式，再根据公式中的“已知量”和“未知量”构建方程。
题目：一个长方体水箱的容积是240升，从里面量，长是8分米，宽是5分米，高是多少分米？（1升=1立方分米）
解：
① 单位统一：240升 = 240立方分米（容积与体积单位换算）。
② 设未知数：设水箱的高是分米。
③ 找等量关系：长方体体积（容积）= 长×宽×高
④ 列方程：
⑤ 解方程： 计算左边： 系数化为1：
⑥ 答：水箱的高是6分米。
【解析】容积问题先统一单位（升→立方分米），再根据长方体体积公式列方程，未知量为高。
【点睛】几何类方程问题，第一步需确认“单位是否统一”，避免因单位不一致导致结果错误。
题目：某商场搞促销活动，一款洗衣机原价元，现降价20%后售价为2400元。这款洗衣机原价多少元？
解：
① 分析“降价20%”：现价 = 原价 - 原价×20% = 原价×(1 - 20%)
② 列方程：
③ 化简百分数：
④ 解方程：
⑤ 答：这款洗衣机原价3000元。
【解析】“降价百分之几”或“涨价百分之几”，核心是“现价 = 原价×(1±百分率)”，先明确百分率对应的基数（原价），再列方程。
【点睛】百分数应用题中，“降价20%”是“降原价的20%”，基数始终是“原价”，不可用“现价×(1+20%)”求原价。
题目：师徒两人共同加工一批零件，师傅每天加工80个，徒弟每天加工个，两人共同加工10天后，一共加工了1500个零件。徒弟每天加工多少个零件？
解：
① 设未知数：设徒弟每天加工个零件。
② 找等量关系：（师傅每天加工数 + 徒弟每天加工数）×天数 = 总零件数
③ 列方程：
④ 解方程： 两边同时除以10： 移项：
⑤ 答：徒弟每天加工70个零件。
【解析】合作问题与相遇问题逻辑类似，均为“效率和×时间 = 工作总量”，先明确“效率和”（师徒每天共加工数），再关联时间和总量。
【点睛】工作总量、效率、时间的关系（总量=效率×时间），适用于单人工作和多人合作，需灵活迁移公式。
五、拓展题（10分）
题目：甲仓库有粮食120吨，乙仓库有粮食吨，从甲仓库运出20吨到乙仓库后，两个仓库的粮食质量相等。原来乙仓库有粮食多少吨？
解：
① 分析数量变化： 甲仓库运出20吨后，剩余：吨； 乙仓库运进20吨后，现有：吨。
② 找等量关系：运后甲仓库质量 = 运后乙仓库质量
③ 列方程：
④ 解方程： 计算右边： 移项：
⑤ 检验： 乙仓库原有80吨，运进20吨后为100吨； 甲仓库原有120吨，运出20吨后为100吨； 两者相等，解正确。
⑥ 答：原来乙仓库有粮食80吨。
【解析】“转移物品后两者相等”的问题，核心是“原量±转移量 = 对方原量 转移量”，需先明确两个量的“变化方向”（甲减、乙加），再列等量关系。
【点睛】检验是方程解题的重要步骤，可通过“代入原情境”验证结果是否符合题意，避免计算错误。
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综合题型应用题专项
一、填空题（每题3分，共15分）
一个长方形的长和宽的比是3:2，周长是50厘米，这个长方形的面积是（ ）平方厘米；若将这个长方形的面积减少，减少后的面积是（ ）平方厘米。
一批货物按2:3:5的比例分配给甲、乙、丙三个商家，甲商家分得这批货物的（ ）（分数），乙商家分得的货物比甲商家多（ ）%；若丙商家分得100吨，这批货物总重（ ）吨。
一个正方体的棱长是4分米，它的表面积是（ ）平方分米；若把棱长扩大20%，扩大后的正方体表面积是（ ）平方分米，比原来增加了（ ）%。
一堆煤重120吨，第一次运走它的30%，第二次运走它的，两次一共运走（ ）吨，还剩下这堆煤的（ ）%。
一个长方体沙坑，长5米、宽3米、深0.6米，这个沙坑的容积是（ ）立方米；若用沙子填满沙坑的，需要沙子（ ）立方米，这些沙子的质量是（ ）吨（每立方米沙子重1.5吨）。
二、选择题（每题3分，共15分）
甲、乙两个数的比是4:5，甲数是乙数的（ ），乙数比甲数多（ ）
A. ，20% B. ，20% C. ，25% D. ，25%
一个长方体木块的体积是80立方厘米，把它削成一个最大的正方体，正方体体积是长方体体积的，这个正方体体积是（ ）立方厘米
A. 48 B. 50 C. 64 D. 96
某工厂有职工450人，男、女职工人数的比是5:4，女职工中有参加了技能培训，参加技能培训的女职工有（ ）人
A. 100 B. 120 C. 150 D. 180
一件商品的成本价按3:4的比例分配给原材料和加工费，原材料费用占成本价的（ ），若加工费比原材料费用多100元，这件商品的成本价是（ ）元
A. ，700 B. ，700 C. ，400 D. ，400
一个圆柱的底面积是12平方分米，高是5分米，若高增加10%，体积增加（ ）立方分米
A. 6 B. 12 C. 18 D. 24
三、计算题（每题5分，共20分）
按比例分配与分数结合计算
一个农场种植小麦、玉米、大豆的面积比是5:3:2，总面积是300公顷，求玉米种植面积的是多少公顷？
百分数与分数混合计算
某数的60%与它的的和是69，求这个数是多少？（用方程解答）
几何与分数结合计算
一个圆柱体水桶，从里面量底面半径是3分米，高是6分米，这个水桶最多能装水多少升？若装了水桶容积的，装了多少升水？（1立方分米=1升）
几何与百分数结合计算
一个长方体无盖玻璃鱼缸，长80厘米、宽40厘米、高50厘米，制作这个鱼缸需要多少平方厘米的玻璃？若玻璃厚度忽略不计，往鱼缸里注入40%的水，注入水的体积是多少立方厘米？
四、列算式/方程解决问题（每题8分，共40分）
学校图书馆购进科技书、故事书、漫画书共600本，三种书的数量比是3:4:5，故事书的是经典名著，经典名著有多少本？
某建筑队修一条公路，已修的长度与未修的长度比是2:3，再修150米后，已修的长度占公路总长的50%，这条公路全长多少米？（列方程解答）
一个长方体钢材，长1.2米、宽0.8米、高0.5米，每立方米钢材重7.8吨，这块钢材重多少吨？若把这块钢材锻造成一个底面积是1.6平方米的圆柱体，圆柱体的高是原长方体高的百分之几？
某商场运来一批服装，上衣和裤子的数量比是5:7，上衣卖出30%后，还剩70件，裤子的数量比上衣原来的数量多，裤子有多少件？
一个圆锥形沙堆，底面周长是18.84米，高是2.5米，把这堆沙子铺在一条宽10米的公路上，铺的厚度是2厘米，能铺多少米长的公路？若铺完这段公路后，剩下的沙子是原来的25%，剩下的沙子体积是多少立方米？
五、拓展题（10分）
甲、乙两个仓库共存粮480吨，甲仓库的存粮量是乙仓库的，后来从乙仓库运出一部分粮食到甲仓库，此时甲、乙两个仓库的存粮比是2:3。
（1）原来甲、乙两个仓库各存粮多少吨？
（2）从甲仓库运出了多少吨粮食到乙仓库？
（3）运出的粮食相当于甲仓库原来存粮的百分之几？（百分号前保留一位小数）
参考答案及解析
一、填空题（每题3分，共15分）
【答案】150；100
【解析】先求长和宽：长+宽=50÷2=25（厘米），长=25×=15（厘米），宽=25×=10（厘米），面积=15×10=150（平方厘米）；减少后的面积=150×（1-）=100（平方厘米）。
【点睛】本题关键在于明确比例分配的核心是先求总份数，再用部分量占比乘总量，同时区分不同步骤中的单位“1”。
【答案】；50；200
【解析】甲商家占比=2÷（2+3+5）=；乙比甲多（3-2）÷2×100%=50%；总重=100÷=200（吨）。
【点睛】解决此类问题需掌握“求一个数比另一个数多百分之几”的公式：（大数-小数）÷单位“1”×100%，此处单位“1”为被比较的量。
【答案】96；138.24；44
【解析】原表面积=4×4×6=96（平方分米）；扩大后棱长=4×（1+20%）=4.8（分米），扩大后表面积=4.8×4.8×6=138.24（平方分米）；增加百分比=（138.24-96）÷96×100%=44%。
【点睛】正方体棱长变化与表面积变化的关系是易错点，需注意表面积与棱长的平方成正比，而非与棱长成正比。
【答案】84；30
【解析】两次共运走120×（30%+）=120×（0.3+0.4）=84（吨）；剩下占比=1-30%-=30%。
【点睛】先统一百分数和分数的形式（均化为小数或分数），再计算总占比，进而求出具体数量和剩余占比。
【答案】9；7.2；10.8
【解析】容积=5×3×0.6=9（立方米）；需要沙子=9×=7.2（立方米）；质量=7.2×1.5=10.8（吨）。
【点睛】先计算长方体体积（容积），再结合分数乘法求部分体积，最后根据单位体积质量求总质量。
二、选择题（每题3分，共15分）
【答案】C
【解析】甲数是乙数的4÷5=；乙数比甲数多（5-4）÷4×100%=25%，故选C。
【点睛】比与百分数结合时，求一个数比另一个数多百分之几，单位“1”是后者（甲数）。
【答案】A
【解析】正方体体积=80×=48（立方厘米），故选A。
【点睛】直接根据“一个数的几分之几是多少”用乘法计算，无需考虑正方体与长方体的形状关系。
【答案】B
【解析】女职工人数=450×=200（人），参加培训的女职工=200×=120（人），故选B。
【点睛】两步计算问题需循序渐进，先通过比例分配求出中间量（女职工人数），再以此为单位“1”计算培训人数，确保每一步单位“1”清晰。
【答案】A
【解析】原材料占成本价的3÷（3+4）=；成本价=100÷（4-3）×（3+4）=700（元），故选A。
【点睛】利用比例中“份数差”与“实际金额差”的对应关系，可快速求出每份金额，进而求出总量，这种方法在比例问题中应用广泛。
【答案】A
【解析】原体积=12×5=60（立方分米），高增加10%后体积=12×5×（1+10%）=66（立方分米），增加体积=66-60=6（立方分米），故选A。
【点睛】当圆柱底面积不变时，体积与高成正比例关系，因此高的变化率等于体积的变化率，可利用这一规律快速解题。
三、计算题（每题5分，共20分）
【答案】72公顷
【解析】玉米种植面积=300×=90（公顷），玉米种植面积的=90×=72（公顷）。
【点睛】比例分配与分数乘法的结合题，核心是确定两次计算的单位“1”，第一次以总面积为单位“1”，第二次以玉米面积为单位“1”。
【答案】80
【解析】设这个数为x，列方程：60%x + x = 69，转化为0.6x + 0.375x = 69，0.975x = 69，x=69÷0.975=80。
【点睛】统一百分数和分数为小数或分数，根据等量关系列方程，注意运算顺序。
【答案】169.56升；113.04升
【解析】水桶容积=3.14×3 ×6=169.56（立方分米）=169.56（升）；装水体积=169.56×=113.04（升）。
【点睛】先计算圆柱体积（容积），再结合分数乘法求部分体积，注意单位换算（1立方分米=1升）。
【答案】15200平方厘米；64000立方厘米
【解析】鱼缸玻璃面积=80×40 + （80×50 + 40×50）×2=3200 + 12000=15200（平方厘米）；水的体积=80×40×50×40%=160000×0.4=64000（立方厘米）。
【点睛】无盖长方体表面积计算需少算一个顶面，注水体积=长方体体积×注水百分比，注意单位统一。
四、列算式/方程解决问题（每题8分，共40分）
题目：学校图书馆购进科技书、故事书、漫画书共600本，三种书的数量比是3:4:5，故事书的是经典名著，经典名著有多少本？
解：
① 先求故事书的数量：总份数=3+4+5=12（份），故事书数量=600×=200（本）
② 再求经典名著的数量：200×=50（本）
③ 答：经典名著有50本。
【解析】先按比例分配求出故事书的数量（单位“1”），再根据分数乘法的意义求出经典名著的数量，关键是两步计算的先后顺序。
【点睛】本题是比例分配与分数应用的典型结合，找准两次计算的单位“1”是解题核心，先以总书数为单位“1”求故事书数量，再以故事书数量为单位“1”求经典名著数量。
题目：某建筑队修一条公路，已修的长度与未修的长度比是2:3，再修150米后，已修的长度占公路总长的50%，这条公路全长多少米？（列方程解答）
解：
① 设公路全长为x米，原来已修长度= x = x 米
② 找等量关系：原来已修长度+150=全长×50%
③ 列方程：x + 150 = 0.5x
④ 解方程：0.5x - 0.4x = 150，0.1x=150，x=1500
⑤ 答：这条公路全长1500米。
【解析】先根据比例求出原来已修长度占总长的分率，再根据修后的比例关系列方程，核心是总长不变（单位“1”不变）。
【点睛】当题目中存在“量的变化”与“比例变化”时，若总量不变，可将总量设为未知数，利用分率的变化建立等量关系，简化计算。
题目：一个长方体钢材，长1.2米、宽0.8米、高0.5米，每立方米钢材重7.8吨，这块钢材重多少吨？若把这块钢材锻造成一个底面积是1.6平方米的圆柱体，圆柱体的高是原长方体高的百分之几？
解：
① 求钢材重量：长方体体积=1.2×0.8×0.5=0.48（立方米），重量=0.48×7.8=3.744（吨）
② 求圆柱体的高：锻造后体积不变，圆柱体高=0.48÷1.6=0.3（米）
③ 求百分比：0.3÷0.5×100%=60%
④ 答：这块钢材重3.744吨，圆柱体的高是原长方体高的60%。
【解析】第一步是长方体体积与质量的结合，第二步是等积变形（体积不变），第三步是百分数的应用，需逐步推进，注意体积不变的隐含条件。
【点睛】“锻造”问题的核心是“体积不变”，即长方体钢材体积与圆柱体钢材体积相等，抓住这一隐含条件，即可顺利完成后续计算。
题目：某商场运来一批服装，上衣和裤子的数量比是5:7，上衣卖出30%后，还剩70件，裤子的数量比上衣原来的数量多，裤子有多少件？
解：
① 先求上衣原来的数量：设上衣原来有x件，x×（1-30%）=70，0.7x=70，x=100（件）
② 再求裤子的数量：100×（1+）=120（件）
③ 答：裤子有120件。
【解析】先根据百分数的逆运算求出上衣原来的数量，再结合分数乘法求出裤子数量，比例关系在此题中用于明确两类服装的数量关联，核心是先求出单位“1”（上衣原数量）。
【点睛】当已知“一个数的（1-百分之几）是多少”时，用除法可求出这个数（单位“1”的量），这是百分数逆运算的基本应用，也是本题的突破口。
题目：一个圆锥形沙堆，底面周长是18.84米，高是2.5米，把这堆沙子铺在一条宽10米的公路上，铺的厚度是2厘米，能铺多少米长的公路？若铺完这段公路后，剩下的沙子是原来的25%，剩下的沙子体积是多少立方米？
解：
① 求圆锥底面半径：18.84÷3.14÷2=3（米）
② 求圆锥体积：×3.14×3 ×2.5=23.55（立方米）
③ 求铺路长度：2厘米=0.02米，长方体体积=长×宽×厚，长=23.55×（1-25%）÷（10×0.02）=17.6625÷0.2=88.3125（米）
④ 求剩下沙子体积：23.55×25%=5.8875（立方米）
⑤ 答：能铺88.3125米长的公路，剩下的沙子体积是5.8875立方米。
【解析】先计算圆锥体积（沙子总体积），再根据铺公路的体积占比求出实际铺路的体积，转化为长方体体积求长度，最后根据百分数求剩余体积，注意单位统一（厘米转化为米）。
【点睛】“沙堆铺路”问题本质是等积变形，将圆锥体积转化为长方体体积，解题时需注意单位统一，避免因单位差异导致计算错误。
五、拓展题（10分）
甲、乙两个仓库共存粮480吨，甲仓库的存粮量是乙仓库的，后来从乙仓库运出一部分粮食到甲仓库，此时甲、乙两个仓库的存粮比是2:3。
（1）原来甲、乙两个仓库各存粮多少吨？
（2）从甲仓库运出了多少吨粮食到乙仓库？
（3）运出的粮食相当于甲仓库原来存粮的百分之几？（百分号前保留一位小数）
解：
（1）方法一：按比例分配求解。甲、乙存粮量比为3:5，总份数3+5=8份，每份存粮480÷8=60吨。则甲仓库原存粮60×3=180吨，乙仓库原存粮60×5=300吨。
方法二：列方程求解。设乙仓库原来存粮x吨，则甲仓库原来存粮x吨，列方程：x + x = 480，解得x=480，x=300吨，甲仓库原存粮×300=180吨。
（2）运粮后总存粮不变仍为480吨，此时甲、乙存粮比为2:3，总份数2+3=5份，甲仓库现存粮480×=192吨。甲仓库增加的存粮就是从乙仓库运入的数量，即192-180=12吨，所以从乙仓库运出12吨粮食到甲仓库。
（3）运出的粮食占乙仓库原来存粮的百分比为12÷300×100%=4.0%。
答：（1）原来甲仓库存粮180吨，乙仓库存粮300吨；（2）从乙仓库运出了12吨粮食到甲仓库；（3）运出的粮食相当于乙仓库原来存粮的4.0%。
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