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幂的运算 单元专项培优测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．用科学记数法表示为的形式，则下列说法正确的是（ ）
A．，都是负数 B．是正数，是负数
C．，都是正数 D．是负数，是正数
2．2024年10月10日，一项发表于《科学》的研究称，科学家使用发光分子、激光和显微镜改进了一种名为的方法后，能够精确测量小至纳米的距离，这相当于一个典型原子的宽度，已知1纳米米，将纳米用科学记数法表示应为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4． 截至2025年3月31日，中国半导体产业实现重大突破，验证了自主研发的多重曝光技术具备0.000000005米（5纳米）芯片的生产能力，数0.000000005用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A． · = B．m6÷m2= m3（m≠0）
C． D．（2m+1）（m-1）=2m2-m-1
6．下列计算不正确的是（ ）
A．± =±3 B．2ab+3ba=5ab
C．( -1)0=1 D．(3ab2)2=6a2b4
7．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a6 B．a3·a4＝a12
C．a8÷a4＝a2 D．（3a2）2＝6a4
9．冠状病毒因在显微镜下观察类似王冠而得名，新型冠状病毒的半径约是0.000000045米，将数0.000000045用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
10．方程（x2+x﹣1）x+3=1的所有整数解的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．计算： ．
12．计算： ．
13．计算：（﹣a2） a3=
14．已知 ， ，则 的值为 .
15． 规定：若实数满足（且），则记作．例如：，则．若，且，则的值是 ．
16．使得的值是一个正整数的整数一共有 个．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知ax+3=a2x+1（a≠0，a≠1），求x．
18．已知 ， ，求 的值.
19．记
（1）计算： ．
（2） 求 的值．
（3） 求证： 与 互为相反数．
20．根据已知求值：
（1） 已知 ， 求 的值．
（2）已知 ， 求 的值．
21．计算：8×10﹣7．
22．已知2x+5y-3=0．求4x·32y的值。
23． 如果甲球的半径是乙球的 n倍，那么甲球的体积是乙球的 n3倍.地球、木星、太阳都可以近似地看做是球体，木星、太阳的半径分别约是地球的 10 倍和102 倍，它们的体积分别约是地球的多少倍
24．用字母表示同底数幂的乘法法则，并写出推导过程及每一步的依据．
25．若求x的值
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幂的运算 单元专项培优测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．用科学记数法表示为的形式，则下列说法正确的是（ ）
A．，都是负数 B．是正数，是负数
C．，都是正数 D．是负数，是正数
【答案】B
【解析】【解答】解：将表示成a×10n的形式，a的符号与原数的符号相同，故a是正数；n是整数，由原数比1小，故n是负数，
故答案为：B．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数，据此判断即可.
2．2024年10月10日，一项发表于《科学》的研究称，科学家使用发光分子、激光和显微镜改进了一种名为的方法后，能够精确测量小至纳米的距离，这相当于一个典型原子的宽度，已知1纳米米，将纳米用科学记数法表示应为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
【答案】D
【解析】【解答】解：1米纳米，
纳米米米．
故选：．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、
，原计算错误，故不符合题意；
B、
，原计算错误，故不符合题意；
C、
，原计算错误，故不符合题意；
D、
，原计算正确，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断A；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断B；合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断C；幂的乘方：底数不变，指数相乘，据此判断D.
4． 截至2025年3月31日，中国半导体产业实现重大突破，验证了自主研发的多重曝光技术具备0.000000005米（5纳米）芯片的生产能力，数0.000000005用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解： 0.000000005 =5×10-9.
故答案为：A.
【分析】把一个大于0且小于1的数表示成a×10- n的形式时，a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第一个不是0的数字的后边即可得到a的值.n为原数中第一个不是0的数字前面的0的个数（包括小数点前面的0）.
5．下列运算正确的是（ ）
A． · = B．m6÷m2= m3（m≠0）
C． D．（2m+1）（m-1）=2m2-m-1
【答案】D
【解析】【解答】解：A、 ，该选项不符合题意；
B、 ，该选项不符合题意；
C、 ，该选项不符合题意；
D、( ，该选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方、幂的乘方及多项式乘多项式的计算法则逐项判断即可。
6．下列计算不正确的是（ ）
A．± =±3 B．2ab+3ba=5ab
C．( -1)0=1 D．(3ab2)2=6a2b4
【答案】D
【解析】【解答】D应为（3ab2）2=9a2b4
故答案为：D.
【分析】根据有理数幂的乘方法则进行运算。
7．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】利用积的乘方法则和幂的乘方法则，进行计算，可得答案.
8．下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a6 B．a3·a4＝a12
C．a8÷a4＝a2 D．（3a2）2＝6a4
【答案】A
【解析】【解答】解：A、，选项正确，符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、，选项错误，不符合题意；
D、，选项错误，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】利用幂的乘方，底数不变，指数相乘，可对A作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对B作出判断；利用同底数幂相除，底数不变，指数相减，可对C作出判断；利用积的乘方法则，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可对D作出判断.
9．冠状病毒因在显微镜下观察类似王冠而得名，新型冠状病毒的半径约是0.000000045米，将数0.000000045用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：0.000000045=4.5×10-8，
故答案为：C．
【分析】根据科学记数法一般式：，其中，n为正整数。
10．方程（x2+x﹣1）x+3=1的所有整数解的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【解析】【解答】解：（1）当x+3=0，x2+x﹣1≠0时，解得x=﹣3；（2）当x2+x﹣1=1时，解得x=﹣2或1．（3）当x2+x﹣1=﹣1，x+3为偶数时，解得x=﹣1
因而原方程所有整数解是﹣3，﹣2，1，﹣1共4个．
故答案为：B．
【分析】解本题关键要知道：任何非零的数0次幂为1，1的任何次幂都为1；-1的偶数次幂也为1.本题的易错点为丢解.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．计算： ．
【答案】
【解析】【解答】解：.
故填：.
【分析】由同底数幂乘法运算法则进行计算即可.
12．计算： ．
【答案】1
【解析】【解答】解：原式= ，
故答案为1．
【分析】逆用积的乘方法则可以得到计算．
13．计算：（﹣a2） a3=
【答案】﹣a5
【解析】【解答】解：原式=﹣a5，
故答案是﹣a5．
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
14．已知 ， ，则 的值为 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ = ，
故答案为： .
【分析】逆运用同底数幂乘法法则和除法法则变形得到 ，将数值代入计算即可.
15． 规定：若实数满足（且），则记作．例如：，则．若，且，则的值是 ．
【答案】15
【解析】【解答】解：
故答案为：15.
【分析】根据新运算的定义及同底数幂的乘法运算法则计算即可.
16．使得的值是一个正整数的整数一共有 个．
【答案】11
【解析】【解答】解：原式．
的值是一个正整数，
∴当n是非负数时，则为正数，
取非负整数0，1，2，3时，满足题意，共4个数；
当n是负数时，则为正整数，
当为非零正整数时，满足题意，
∴n可以是，共7个数，
一共有11个．
故答案为：11．
【分析】因为，根据的值是一个正整数，就5的指数与2的指数情况，分n是非负正整数及负整数两种情况考虑即可．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知ax+3=a2x+1（a≠0，a≠1），求x．
【答案】解：ax+3=a2x+1，
x+3=2x+1
x=2．
【解析】【分析】根据同类项的相同字母的指数也相同，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案．
18．已知 ， ，求 的值.
【答案】解：已知 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又已知 ，
∴ ，
∴ ，
联立①②，
解得 ，
∴ .
【解析】【分析】根据幂的乘方法则可得2x=4y+1=(22)y+1=22y+2，27y=33y=3x-1，则x=2y+2，3y=x-1，据此可求出x、y，然后根据有理数的减法法则进行计算.
19．记
（1）计算： ．
（2） 求 的值．
（3） 求证： 与 互为相反数．
【答案】（1）解：．
（2）解： ．
（3）证明： ，
与 互为相反数．
【解析】【分析】（1）由已知可得：M（5）可以转化为（-2）5，然后计算出其结果。同理：M（6）可以转化为（-2）6，也计算出其结果。进而再计算出M（5）+M（6）的结果即可.
（2）先把M（2019）可以转化为（-2）2019，把M（2020）转化为（-2）2020。然后把2×（-2）2019转化为：-（-2）×（-2）2019= -（-2）2020 的形式。再计算出 -（-2）2020+ （-2）2020的结果即可.
（3）先把M（n）可以转化为（-2）n，把M（n+1）可以转化为（-2）n+1。然后把2×M（n）转化为2×（-2）n= - （-2）×（-2）n= - （-2）n+1，进而再计算出 - （-2）n+1+（-2）n+1的结果为0。所以可知2M（n）与M（n+1）互为相反数.
20．根据已知求值：
（1） 已知 ， 求 的值．
（2）已知 ， 求 的值．
【答案】（1）解：==2×5=10
（2）解：即
∴2+2m+3=21，解得 m=8.
【解析】【分析】（1）逆用同底数幂的乘法法则进行计算即可；
（2）将式子化为底数为3的幂，然后利用同底数幂的乘法法则进行计算即可.
21．计算：8×10﹣7．
【答案】解：8×10﹣7=8×=8×0.0000001=0.0000008．
【解析】【分析】根据负指数的运算=（a≠0）计算即可．
22．已知2x+5y-3=0．求4x·32y的值。
【答案】解：∵2x+5y-3=0，
∴2x+5y=3，
∴原式=(22)x·(25)y=22x·25y =22x+5y
= 23=8．
【解析】【分析】利用幂的乘方化简代数式，求出答案即可。
23． 如果甲球的半径是乙球的 n倍，那么甲球的体积是乙球的 n3倍.地球、木星、太阳都可以近似地看做是球体，木星、太阳的半径分别约是地球的 10 倍和102 倍，它们的体积分别约是地球的多少倍
【答案】解：∵木星的半径约是地球的 10 倍，
∴木星的体积约是地球的103倍.
∵太阳的半径约是地球的 102倍，
∴太阳的体积约是地球的（102）3=106倍.
【解析】【分析】由甲球的半径是乙球的 n倍，那么甲球的体积是乙球的 n3倍.可以推出：木星的半径约是地球的 10 倍，木星的体积约是地球的103倍；太阳的半径约是地球的 102倍，太阳的体积约是地球的（102）3=106倍.
24．用字母表示同底数幂的乘法法则，并写出推导过程及每一步的依据．
【答案】解：同底数幂的乘法法则：am an=a m+n（m，n是正整数），
推导：
am an × （乘方的意义）
= （乘法结合律）
=am+n（乘方的意义）
【解析】【分析】依据乘方的意义以及乘法结合律，即可得到同底数幂的乘法法则．
25．若求x的值
【答案】解：当底数x=1时，指数为任意数结果都为1；
当底数x=-1时，指数为-2，结果等于1；
当指数|x|-3=0时，底数x≠0，即x=±3时，结果为1；
综上x的值为±1；±3.
【解析】【分析】根据底数为±1和指数为0进行讨论即可.
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