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二次函数 单元同步真题测评卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．关于二次函数y=(x+1)2-2的最大值或最小值，下列叙述中正确的是( )
A．当x=1时，y有最大值-2 B．当x=-1时，y有最小值-2
C．当x=1时，y有最小值-2 D．当x=-1时，y有最大值-2
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．二次函数 的顶点和对称轴分别是（ ）
A． ，直线x=1 B． ，直线x=4
C． ，直线 D． ，直线
4．关于二次函数y=2x2﹣mx+m﹣2，以下结论：
①抛物线交x轴有交点；②不论m取何值，抛物线总经过点（1，0）；③若m＞6，抛物线交x轴于A，B两点，则AB＞1；④抛物线的顶点在y=﹣2（x﹣1）2图象上．其中正确的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
5．已知如图，抛物线y=-x2-2x+3交x轴于A、B两点，顶点为C，CH⊥AB交x轴于H，在CH右侧的抛物线上有一点P，已知PQ⊥AC，垂足为Q，当∠ACH=∠CPQ时，此时CP的长为（）
A． B． C． D．
6．若函数的最小值为5，则m的值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；②b＜a+c；③4a﹣2b+c＞0；④2c＜3b；⑤当m≤x≤m+1时，函数的最大值为a+b+c，则0≤m≤1；
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．将二次函数y＝x2的图象向左平移3个单位，再向上平移3个单位，平移后的图象的函解析式是（ ）
A．y＝（x+3）2 +3 B．y＝（x﹣3）2 +3
C．y＝（x+3）2 ﹣3 D．y＝（x﹣3）2 ﹣3
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；、②3a+c＞0；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；⑤方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；其中结论正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．如图是二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的交点在点和之间，对称轴是．对于下列说法：①；②；③当时，；④．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图所示，在同一平面直角坐标系中，作出①y=﹣3x2，②y=﹣ ，③y=﹣x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是 （填序号）
12．用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长 与面积 满足函数关系式 ，则当矩形面积最大时，矩形的一条对角线长为 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+3x+2与y轴交于点A，点B是拋物线的顶点，点C与点A是抛物线上的两个对称点，点D在x轴上运动，则四边形ABCD的两条对角线的长度之和的最小值为 。
14．当0≤x≤3时，直线y=a与抛物线y=(x-1)2-3有交点，则a的取值范围是
15．若二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
16．已知二次函数y＝﹣（x﹣a）2＋a＋2，当a取不同的值时，顶点在一条直线上，这条直线的解析式是 ．抛物线与y轴交点为C，当﹣1≤a≤2时，C点经过的路径长为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知二次函数图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
x … 0 1 …
y … 0 0 …
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当时，直接写出x的取值范围；
（3）当时，关于x的一元二次方程 有实根，则t的取值范围是 ．
18．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）；
（2）点，在抛物线上，其中，．
①若的最小值是，求的值
②若对于，，都有，求t的取值范围．
19．已知抛物线 的对称轴为x=2，且经过点（1，4）和（5，0），试求该抛物线的表达式。
20．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是 30 元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是 40 元时，销售量是 600 件，而销售单价每涨 1 元，就会少售出 10 件玩具。
（1）若设该种品牌玩具的销售单价为 元 ，诮将销售利润 表示成销售单价 的函数。
（2）在（1）问条件下， 若商场获得了 10000 元销售利润，求该玩具销售单价 应定为多少元？
（3）若想获得最大利润，应将销售价格定为多少，并求出此时的最大利润.
21．某旅游村一家特色菜馆，希望在五一节期间获得好的收益．经测算知，某“特殊菜”的成本价为每份30元，若每份卖50元，平均每天将销售120份；若价格每提高1元，则平均每天少销售2份．五一节期间，为了更好地维护景区形象，物价局规定每份“特色菜”售价不能高于75元．设每份“特色菜”的售价上涨元（为正整数），每天的销售利润为元．
（1）当每份“特色菜”的售价上涨多少元时，菜馆才能实现每天销售利润3000元？
（2）五一节期间，求每份“特色菜”的售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
22．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度AB=20m，顶点M距水面6m（即MO=6m），小孔顶点N距水面4.5m（即NC=4.5m），当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF．
23．音乐喷泉（图1）可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化．某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边18m，音乐变化时，抛物线的顶点在直线y=kx上变动，从而产生一组不同的抛物线（图2），这组抛物线的统一形式为y=ax2+bx．
（1）若已知k=1，且喷出的抛物线水线最大高度达3m，求此时a、b的值；
（2）若k=1，喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线水线最大高度是多少米？
（3）若k=3，a=﹣，则喷出的抛物线水线能否达到岸边？
24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点A，与直线交于点B.
（1）若轴，求抛物线的解析式；
（2）记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点），若对于图象G上任意一点，都有，求a的取值范围.
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（6，0），C（﹣4，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D、点E同时从点O出发以每秒1个单位长度的速度分别沿x轴正半轴，y轴正半轴向点A、点B方向移动，当点D运动到点A时，点D、E同时停止移动．过点D作x轴的垂线交抛物线于点F，交AB于点G，作点E关于直线DF的对称点E′，连接FE′，射线DE′交AB于点H．设运动时间为t秒．
①t为何值时点E′恰好在抛物线上，并求此时△DE′F与△ADG重叠部分的面积；
②点P是平面内任意一点，若点D在运动过程中的某一时刻，形成以点A、E′、D、P为顶点的四边形是菱形，那么请直接写出点P的坐标．
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二次函数 单元同步真题测评卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．关于二次函数y=(x+1)2-2的最大值或最小值，下列叙述中正确的是( )
A．当x=1时，y有最大值-2 B．当x=-1时，y有最小值-2
C．当x=1时，y有最小值-2 D．当x=-1时，y有最大值-2
【答案】B
【解析】【解答】解：∵二次函数的解析式为 y=(x+1)2-2 ，
∴二次函数的开口向上，有最小值，且当x=-1时，取最小值，最小值为-2.
故答案为：B.
【分析】利用二次函数的顶点式直接求出二次函数的最值即可.
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标是．
故答案为：C
【分析】根据抛物线的顶点式直接写出顶点坐标即可。
3．二次函数 的顶点和对称轴分别是（ ）
A． ，直线x=1 B． ，直线x=4
C． ，直线 D． ，直线
【答案】C
【解析】【解答】解： ，
∴抛物线的顶点坐标为（-1，4），对称轴为x=-1．
故答案为：C．
【分析】将二次函数的一般式配方为顶点式，可求顶点坐标及对称轴．
4．关于二次函数y=2x2﹣mx+m﹣2，以下结论：
①抛物线交x轴有交点；②不论m取何值，抛物线总经过点（1，0）；③若m＞6，抛物线交x轴于A，B两点，则AB＞1；④抛物线的顶点在y=﹣2（x﹣1）2图象上．其中正确的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
【答案】A
【解析】【解答】二次函数y=2x2-mx+m-2，
∵a=2，b=-m，c=m-2，
∴b2-4ac=（-m）2-8（m-2）=（m-4）2≥0，
则抛物线与x轴有交点，故①正确；
∵当x=1时，y=2-m+m-2=0，
∴不论m取何值，抛物线总经过点（1，0），故②正确；
设A的坐标为（x1，0），B（x2，0），
令y=0，得到2x2-mx+m-2=0，
∴x1+x2= ，x1x2= ，
∴AB=|x1-x2|= |，
当m＞6时，可得m-4＞2，即 ＞1，
∴AB＞1，故③正确；
∵抛物线的顶点坐标为（ ， ），
∴将x= 代入得：y=-2（ -1）2=-2（ ）= ，
∴抛物线的顶点坐标在y=-2（x-1）2图象上，故④正确，
综上，正确的序号有①②③④，
故答案为：A.
【分析】求出b2-4ac的值，判断其大小，可对①作出判断；将x=1代入函数解析式，可对②作出判断；设A的坐标为（x1，0），B（x2，0），令y=0，得到2x2-mx+m-2=0，再利用根与系数的关系得出AB的长，根据m＞6，可对③作出判断；求出抛物线的顶点坐标，再将顶点的横坐标代入y=﹣2（x﹣1）2验证，可对④作出判断；，从而可得出答案。
5．已知如图，抛物线y=-x2-2x+3交x轴于A、B两点，顶点为C，CH⊥AB交x轴于H，在CH右侧的抛物线上有一点P，已知PQ⊥AC，垂足为Q，当∠ACH=∠CPQ时，此时CP的长为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵y= x2 2x+3= (x+3)(x 1)= (x+1)2+4，
∴A( 3，0)，B(1，0)，C( 1，4)，H( 1，0).
∴AC=，CH=4，AH=2.
如图，延长CP交X轴于点M.
∵∠ACH=∠CPQ，∠AHC=∠CQP=90°，
∴△ACH∽△CPQ，
∴∠CAH=∠PCQ，
∴AM=CM.
∴AM2=CM2.
设M(m，0)，则(m+3)2=42+(m+1)2，
∴m=2，即M(2，0).
设直线CM的解析式为y=kx+b(k≠0).
解之：
∴直线CM的解析式y= x+.
或（舍去）
∴P(，).
∴CP=
故答案为：D
【分析】根据已知条件可以判定△ACH∽△CPQ，首先求出直线CM的解析式，再联立两函数解析式即可得出交点坐标，根据两点间的距离公式来求CP的长度即可。
6．若函数的最小值为5，则m的值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】B
【解析】【解答】解：
∵，
∴函数有最小值为，
又函数的最小值为5，
∴，
解得，，
故答案为：B
【分析】先将函数解析式转化为顶点式，利用此二次函数的最小值为5，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；②b＜a+c；③4a﹣2b+c＞0；④2c＜3b；⑤当m≤x≤m+1时，函数的最大值为a+b+c，则0≤m≤1；
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】解：①∵抛物线的对称轴为x=﹣ =1，
∴b=﹣2a．
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，b＞0．
∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，结论①错误；
②当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，结论②错误；
③当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c＜0，
∴结论③错误；
④∵a+c＜b，b=﹣2a，
∴c＜b﹣a= b，
∴2c＜3b，结论④正确；
⑤∵抛物线的顶点坐标为（1，a+b+c），且a＜0，
∴当m≤x≤m+1时，函数的最大值为a+b+c，则0≤m≤1，
∴结论⑤正确．
综上所述：正确的结论有④⑤．
故答案为：B．
【分析】①根据抛物线的对称轴为x=1，得出b=﹣2a，根据抛物线的抛物线开口向下，得出a＜0，进而得出b＞0．由抛物线与y轴的交点在y轴正半轴得出c＞0，故abc＜0；②当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，故a+c＜b，③当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c＜0，④a+c＜b，b=﹣2a，得∴c＜b﹣a= b，从而2c＜3b；⑤抛物线的顶点坐标为（1，a+b+c），且a＜0，故当m≤x≤m+1时，函数的最大值为a+b+c，则0≤m≤1。
8．将二次函数y＝x2的图象向左平移3个单位，再向上平移3个单位，平移后的图象的函解析式是（ ）
A．y＝（x+3）2 +3 B．y＝（x﹣3）2 +3
C．y＝（x+3）2 ﹣3 D．y＝（x﹣3）2 ﹣3
【答案】A
【解析】【解答】按照“左加右减，上加下减”的规律，y＝x2的图象向左平移3个单位，再向上平移3个单位得y＝（x+3）2+3．
故答案为：A．
【分析】利用“左加右减，上加下减”的规律求得即可．
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；、②3a+c＞0；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；⑤方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；其中结论正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2，所以①正确；
∵x＝﹣
＝1，即b＝﹣2a，
而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，所以②错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向下，
∴当x＞1时，y随x增大而减小，所以③错误．
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，所以⑤正确；
∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④正确；
故答案为：B．
【分析】由抛物线与x轴有两个交点可得b2-4ac＞0，可对①作出判断；由对称轴-
=1可得b=-2a，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0）可得a-b+c=0，将b=-2a代入a-b+c=0中，可对②作出判断；由抛物线开口向下且对称轴为x=1，可对③作出判断；由抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），可对 ④ 和 ⑤ 作出判断。
10．如图是二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的交点在点和之间，对称轴是．对于下列说法：①；②；③当时，；④．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】解：开口方向向下，
，
对称轴，
，
，
，
故①正确；
，
，
，
故②错误；
对称轴，抛物线与x轴的一个交点在2，3之间，
抛物线与x轴的另一个交点在，0之间，
观察图象可知，当时，不恒成立，可能等于0，也可能小于0，
故③错误；
抛物线与x轴的另一个交点在，0之间，对称轴，
当时，，
，
，
，
故④正确；
综上所述，正确的有2个，
故答案为：B．
【分析】根据抛物线的开口方各判定a的符号，根据对称轴可得a、b的关系，由此可判定 ①，直接把b=-2a代入即可判定 ② ，根据抛物线的对称性，结合二次函数的性质可判定 ③ ，先确定当x=-2时，y<0，于是有4a-2b+c<0，结合b=-2a可判定 ④ 。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图所示，在同一平面直角坐标系中，作出①y=﹣3x2，②y=﹣ ，③y=﹣x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是 （填序号）
【答案】①③②
【解析】【解答】解：①y=﹣3x2，②y=﹣ x2，③y=﹣x2中，二次项系数a分别为﹣3、﹣ 、﹣1，
∵|﹣3|＞|﹣1|＞|﹣ |，
∴抛物线②y=﹣ x2的开口最宽，抛物线①y=﹣3x2的开口最窄．
故答案为：①③②．
【分析】抛物线的形状与|a|有关，根据|a|的大小即可确定抛物线的开口的宽窄．
12．用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长 与面积 满足函数关系式 ，则当矩形面积最大时，矩形的一条对角线长为 ．
【答案】
【解析】【解答】y=－x2+24x=－(x－12)2+144，
当x=12时，y有最大值144.此时长与宽相等，
所以对角线长为 .
故答案为：cm
【分析】先将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可得出矩形面积最大时，矩形的一条对角线长。
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+3x+2与y轴交于点A，点B是拋物线的顶点，点C与点A是抛物线上的两个对称点，点D在x轴上运动，则四边形ABCD的两条对角线的长度之和的最小值为 。
【答案】
【解析】【解答】解：过点B作BD垂直于x轴.
∵抛物线的对称轴为x=-
当x=时，
∴BD=
由抛物线的轴对称性可得AC=
∴AC+BD=3+=.
【分析】先求出抛物线的对称轴和顶点坐标，即可得BD的长，再利用抛物线的轴对称性求出AC的长，AC+BD即为所求。
14．当0≤x≤3时，直线y=a与抛物线y=(x-1)2-3有交点，则a的取值范围是
【答案】-3≤a≤1
【解析】【解答】解：∵y=(x-1)2-3，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为(1，-3)，
∴将x=3代入y=(x-1)2-3得y=4-3=1，
∴0≤x≤3时，-3≤y≤1，
∴a的取值范围是-3≤a≤1.
故答案为：-3≤a≤1.
【分析】求出当0≤x≤3时，y的取值范围，进而求解.
15．若二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
【答案】k≤3，且k≠0
【解析】【解答】解：∵二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，
∴b2﹣4ac=36﹣4×k×3=36﹣12k≥0，且k≠0，
解得：k≤3，且k≠0，
则k的取值范围是k≤3，且k≠0，
故答案为：k≤3，且k≠0．
【分析】根据二次函数与x轴有交点则b2﹣4ac≥0，进而求出k得取值范围即可．
16．已知二次函数y＝﹣（x﹣a）2＋a＋2，当a取不同的值时，顶点在一条直线上，这条直线的解析式是 ．抛物线与y轴交点为C，当﹣1≤a≤2时，C点经过的路径长为 ．
【答案】y＝x+2；
【解析】【解答】解：∵y＝﹣（x﹣a）2+a+2，
∴顶点坐标为（a，a+2），
∴当a取不同的值时，顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y＝x+2；
在y＝﹣（x﹣a）2+a+2中，令x＝0可得y＝﹣a2+a+2，
∴OC＝﹣a2+a+2＝﹣（a﹣ ）2+ ，
∴OC是关于a的抛物线，开口向下，对称轴为a＝ ，
当﹣1≤a≤ 时，OC随a的增大而增大，当a＝﹣1时，OC＝0，当a＝ 时，OC＝ ，此时点C经过的路径长为 ；
当 ≤a≤2时，OC随a的增大而减小，当a＝ 时，OC＝ ，当a＝2时，OC＝0，此点C经过的路径长为 ；
∴当﹣1≤a≤2时，C点经过的路径长为 + ＝ ，
故答案为： ．
【分析】先求出OC＝﹣a2+a+2＝﹣（a﹣ ）2+ ，再分类讨论，计算求解即可。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知二次函数图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
x … 0 1 …
y … 0 0 …
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当时，直接写出x的取值范围；
（3）当时，关于x的一元二次方程 有实根，则t的取值范围是 ．
【答案】（1）解：由题意知，二次函数的图象过点和，
所以可设二次函数的解析式为，
将代入得，
解得，
所以二次函数的解析式为；
（2）或
（3）
【解析】【解答】（2）解：由表格数据可知，二次函数在时，取得最小值，
故该二次函数开口向上，对称轴为直线，
又函数图象过点，
所以当时，或；
（3）由（1）知，函数解析式为，
所以当时，，
又函数图象开口向上，过点，对称轴为直线，
故该二次函数在时，随的增大而减小；
在时，随的增大而增大；
所以当时，函数取得最小值，
所以当时，关于x的一元二次方程有实根，
即二次函数与直线有交点，
所以．
故答案为：．
【分析】（1）观察表格可知图象与横坐标的两个交点坐标，设解析式为交点式y=a(x-x1)(x-x2)，将两个点的坐标代入求出a，再整理为二次函数一般形式；
（2）根据二次函数的图象和性质，利用函数值等于代入解析式求得方程的两个根为界点， 当时确定x的取值范围 ；
（3）关于x的一元二次方程有实根，即二次函数与直线有交点，故可求得时，函数值得范围，即参数t的取值范围．
（1）解：由题意知，二次函数的图象过点和，
所以可设二次函数的解析式为，
将代入得，
解得，
所以二次函数的解析式为；
（2）由表格数据可知，二次函数在时，取得最小值，
故该二次函数开口向上，对称轴为直线，
又函数图象过点，
所以当时，或；
（3）由（1）知，函数解析式为，
所以当时，，
又函数图象开口向上，过点，对称轴为直线，
故该二次函数在时，随的增大而减小；
在时，随的增大而增大；
所以当时，函数取得最小值，
所以当时，关于x的一元二次方程有实根，
即二次函数与直线有交点，
所以．
故答案为：．
18．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）；
（2）点，在抛物线上，其中，．
①若的最小值是，求的值
②若对于，，都有，求t的取值范围．
【答案】（1）解：，
抛物线的顶点坐标为；
（2）解：①，
抛物线的对称轴为，
，
抛物线开口向上，
，
当时，的最小值为，
的最小值是，
，
，
抛物线表达式为：，
；
②抛物线抛物线的对称轴为，
关于对称轴的对称点为：，
点，在抛物线上，
其中，，对于，，都有，
当在对称轴的右侧时，则，解得，
当在对称轴的左侧时，则，解得，
即满足条件的t的取值范围为或．
【解析】【分析】（1）将抛物线的解析式配成顶点式，即可写成答案；
（2）①由于抛物线的对称轴直线是x=t，且二次项系数为1大于0，故图象开口向上；则当时，时，的最小值为t，进而求出t，从而求得解析式，再根据求得，代入解析式即可求出答案；
②由于抛物线的对称轴直线是x=t，且二次项系数为1大于0，故图象开口向上；根据抛物线的对称性求出点Q关于抛物线对称轴直线对称点的坐标为，再分两种情况：点Q在对称轴右侧，点Q在对称轴左侧，根据抛物线的增减性，结合，，对于，，都有，得到关于t的不等式组，解不等式组即可求出答案．
（1）解：，
抛物线的顶点坐标为；
（2）解：，
抛物线的对称轴为，
，
抛物线开口向上，
，
当时，的最小值为，
的最小值是，
，
，
抛物线表达式为：，
；
抛物线抛物线的对称轴为，
关于对称轴的对称点为：，
点，在抛物线上，
其中，，对于，，都有，
当在对称轴的右侧时，则，解得，
当在对称轴的左侧时，则，解得，
即满足条件的t的取值范围为或．
19．已知抛物线 的对称轴为x=2，且经过点（1，4）和（5，0），试求该抛物线的表达式。
【答案】解：根据抛物线对称轴为直线x=2，且抛物线过点（5，0），可知抛物线与x轴另一交点为（-1，0），则设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-5），将点（1，4）代入，得4=a×2×（-4），解得a=- ，则抛物线解析式为y=- （x+1）（x-5）=- x2+2x+
【解析】【分析】根据抛物线的对称轴及点（5，0），可得出抛物线与x轴的另一个交点坐标，因此可设函数解析式为y=a（x+1）（x-5），再将点（1，4）代入，可得出函数解析式。
20．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是 30 元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是 40 元时，销售量是 600 件，而销售单价每涨 1 元，就会少售出 10 件玩具。
（1）若设该种品牌玩具的销售单价为 元 ，诮将销售利润 表示成销售单价 的函数。
（2）在（1）问条件下， 若商场获得了 10000 元销售利润，求该玩具销售单价 应定为多少元？
（3）若想获得最大利润，应将销售价格定为多少，并求出此时的最大利润.
【答案】（1）解：设该种品牌玩具的销售单价为 元 ，
销售利润 w 表示成销售单价 x 的函数为：
（2）解：依题意 ， 解得：
答：玩具销售单价为 50 元或 80 元时，可获得 10000 元销售利润
（3）解：，
当 取得最大值，
销售价格定为 65 元时， 可获得利润 12250 元
【解析】【分析】(1) 直接利用销量×每件利润=总利润进而得出函数关系式；
(2) 利用一元二次方程的解法进而得出x的值；
(3) 利用配方法求出二次函数最值进而得出答案.
21．某旅游村一家特色菜馆，希望在五一节期间获得好的收益．经测算知，某“特殊菜”的成本价为每份30元，若每份卖50元，平均每天将销售120份；若价格每提高1元，则平均每天少销售2份．五一节期间，为了更好地维护景区形象，物价局规定每份“特色菜”售价不能高于75元．设每份“特色菜”的售价上涨元（为正整数），每天的销售利润为元．
（1）当每份“特色菜”的售价上涨多少元时，菜馆才能实现每天销售利润3000元？
（2）五一节期间，求每份“特色菜”的售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：根据题意，每份售价为元，销售量为份．利润
令，得．
整理得：，解得，
售价不能高于75元，即，，
∴舍去．
答：当每份售价上涨10元时，可实现每天利润3000元．
（2）解：，
，抛物线开口向下，函数有最大值，
∵，且x为正整数，对称轴为直线在取值范围内，
∴当时，（元）．此时售价为（元）
答：每份售价定为70元时，每天利润最大，最大利润为3200元．
【解析】【分析】（1）设每份“特色菜”的售价上涨x元（x为正整数），根据“ 每份卖50元，平均每天将销售120份；若价格每提高1元，则平均每天少销售2份 ， 每天销售利润3000元 ”列一元二次方程求解即可；
（2）根据物价局规定可得，再根据总利润=单利润×销售量列关于的二次函数，配方得到顶点式，然后根据顶点坐标求出最值即可．
（1）解：根据题意，每份售价为元，销售量为份．
利润
令，得．
整理得：，解得，
售价不能高于75元，即，，
∴舍去．
答：当每份售价上涨10元时，可实现每天利润3000元．
（2）解：
，
，抛物线开口向下，函数有最大值，
∵，且x为正整数，对称轴为直线在取值范围内，
∴当时，（元）．此时售价为（元）
答：每份售价定为70元时，每天利润最大，最大利润为3200元．
22．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度AB=20m，顶点M距水面6m（即MO=6m），小孔顶点N距水面4.5m（即NC=4.5m），当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF．
【答案】解：设抛物线的解析式为y=ax2+6，依题意得：B（10，0），
∴a×102+6=0，解得a=－0.06，即y=－0.06x2+6，
当y=4.5时，－0.06x2+6=4.5，解得x=±5，
∴DF=5，EF=10，即水面宽度为10m.
【解析】【分析】设大孔抛物线的解析式为，把点B(10，0)代入，解得，可得函数解析式，由题意得y=4.5时，解得x=±5，即可求出大孔的水面宽度EF .
23．音乐喷泉（图1）可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化．某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边18m，音乐变化时，抛物线的顶点在直线y=kx上变动，从而产生一组不同的抛物线（图2），这组抛物线的统一形式为y=ax2+bx．
（1）若已知k=1，且喷出的抛物线水线最大高度达3m，求此时a、b的值；
（2）若k=1，喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线水线最大高度是多少米？
（3）若k=3，a=﹣，则喷出的抛物线水线能否达到岸边？
【答案】解：（1）∵y=ax2+bx的顶点为（﹣），抛物线的顶点在直线y=kx上，k=1，抛物线水线最大高度达3m，
∴，，
解得，a=，b=2，
即k=1，且喷出的抛物线水线最大高度达3m，此时a、b的值分别是，2；
（2）∵k=1，喷出的水恰好达到岸边，出水口离岸边18m，抛物线的顶点在直线y=kx上，
∴此时抛物线的对称轴为x=9，y=x=9，
即此时喷出的抛物线水线最大高度是9米；
（3）∵y=ax2+bx的顶点为（﹣）在直线y=3x上，a=﹣，
∴，
解得，b=6，
∴抛物线y=，
当y=0时，0=，
解得，x1=21，x2=0，
∵21＞18，
∴若k=3，a=﹣，则喷出的抛物线水线能达到岸边，
即若k=3，a=﹣，喷出的抛物线水线能达到岸边．
【解析】【分析】（1）根据抛物线的顶点在直线y=kx上，抛物线为y=ax2+bx，k=1，且喷出的抛物线水线最大高度达3m，可以求得a，b的值；
（2）根据k=1，喷出的水恰好达到岸边，抛物线的顶点在直线y=kx上，可以求得抛物线的对称轴x的值，从而可以得到此时喷出的抛物线水线最大高度；
（3）根据k=3，a=﹣，抛物线的顶点在直线y=kx上，抛物线为y=ax2+bx，可以求得b的值，然后令y=0代入抛物线的解析式，求得x的值，然后与18作比较即可解答本题．
24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点A，与直线交于点B.
（1）若轴，求抛物线的解析式；
（2）记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点），若对于图象G上任意一点，都有，求a的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，点.
轴，且点B在直线上，
点，抛物线的对称轴为直线，
，抛物线的表达式为；
（2）解：①当时，，
要使时，始终满足.
只需使抛物线的对称轴与直线重合或在直线的左侧.
；
②当时，在时，恒成立.
综上所述，a的取值范围是或.
【解析】【分析】(1)根据题意求得点B的坐标，然后利用对称轴公式得到a=-2，即可求得抛物线的解析式；
(2)分a>0及a<0两种情况考虑，依照题意画出函数图象，利用数形结合即可得出a的取值范围.
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（6，0），C（﹣4，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D、点E同时从点O出发以每秒1个单位长度的速度分别沿x轴正半轴，y轴正半轴向点A、点B方向移动，当点D运动到点A时，点D、E同时停止移动．过点D作x轴的垂线交抛物线于点F，交AB于点G，作点E关于直线DF的对称点E′，连接FE′，射线DE′交AB于点H．设运动时间为t秒．
①t为何值时点E′恰好在抛物线上，并求此时△DE′F与△ADG重叠部分的面积；
②点P是平面内任意一点，若点D在运动过程中的某一时刻，形成以点A、E′、D、P为顶点的四边形是菱形，那么请直接写出点P的坐标．
【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（6，0），C（﹣4，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+3；
（2）①根据题意设E′（2t，t），
∴t=﹣×4t2+×t+3，解得：t=2，t=﹣3（舍去），
∴D（2，O），E′（4，2）
∵A（6，0），B（0，3）．
∴直线AB为y=﹣x+3，
把x=2代入得y=﹣×2+3=2，
∴G（2，2），
∵D（2，0），E′（4，2），
∴直线DE′的解析式为y=x﹣2，
解，得，
∴H（，），
∴S△DGH=×2×（﹣2）=，
∴t为2时点E′恰好在抛物线上，此时△DE′F与△ADG重叠部分的面积为；
②如图，当AD为对角线时，∵A（6，0），D（2，0），E′（4，2），以点A、E′、D、P为顶点的四边形是菱形，
则DE′=AE′，
∴E′和P关于x轴对称，
∴P（4，﹣2）
所以点P的坐标为（4，﹣2）；
当AD、DE是边时；∵AD=6﹣t，菱形ADE′P
∴E'P=AD=DE′=6﹣t
∵E'（2t，t），D（t，0）
∴DE′2=t2+t2=2t2
∴2t2=（6﹣t）2
∴t1=﹣6+6，t2=﹣6﹣6（舍去），
∵P（t+6，t）
∴P（6，﹣6+6），
当AD、AE是边时；∵AD=6﹣t，菱形AE'PD
∴E'P=AD=AE′=6﹣t，
∵E'（2t，t），D（t，0），
∵AE′2=（6﹣2t）2+t2，
∴（6﹣2t）2+t2=（6﹣t）2，
∴t3=3，t4=0（舍去），
∴P（3，3）．
综上，P（4，﹣2）或P（6，﹣6+6）或（3，3）．
【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可求得解析式；
（2）①根据题意设E′（2t，t），代入抛物线的解析式即可求得t的值，进而求得D、E′的坐标，根据A（6，0），B（0，3）求得直线AB的解析式，根据D（2，0），E′（4，2）求得直线DE′的解析式，进而求得G、H的坐标，即可求得三角形DGH的面积，即是△DE′F与△ADG重叠部分的面积；
②根据菱形的性质分三种情况分别讨论即可求得P的坐标
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