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图形的相似 单元知识强化训练卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．线段MN长为1cm，点P是MN的黄金分割点，则MP的长是（ ）
A． B．
C． 或 D．不能确定
2．如图，AB与CD相交于点E，AD∥BC， ，CD=16，则DE的长为（ ）
A．3 B．6 C． D．10
3．如图，三个正六边形全等，其中成位似图形关系的有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
4．已知x：b=c：a，求作x，则下列作图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知在中，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．两个等腰直角三角形
B．各有两边长是4和5的两个直角三角形
C．各有两边长是4和5的两个等腰三角形
D．各有一个角是的两个等腰三角形
7．如图，在中，中线、相交于点F，连接，则下列结论：①，②，③，④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，在 中，点E在 边上， 、 的延长线交于点F，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，点M为边AD的中点，连接BD交CM于点N，则BN的长是（ ）
A．1 B． C． D．
10．如图，在正方形ABCD中，P是AB上一点，连接CP，DP，正方形EFGH的顶点E，F落在AB上，G，H分别落在CP，DP上，射线AH交射线BG于点分别记，，的面积为，，，已知HG：：5，若，则的值为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若两个三角形的相似比为3：4，则这两个三角形的面积比为 ．
12．已知线段，请另确定一条线段的长度，使这4条线段为成比例线段 .
13． 如图，在矩形中，点在边上，连接并延长，交的延长线于点若，，，则的长为 ．
14．如图，△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点E，连接AD，OF⊥AD于点F，∠D=45°.若OF=1，则BE的长为 .
15．如图，l1∥l2∥l3，两条直接与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若 ，则 的值为 ．
16．将4个大小相同的小正方形按如图所示的方式摆放在大正方形中，已知13，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知 ．
（1）求 的值；
（2）若 ，求x、y、z．
18．已知： 中， 为 上的中线，点E在 上，且 ，射线 交 于点F．求 的值．
19．已知三条线段的长度分别是3、4、6，试写出另一条线段，使这四条线段成为比例线段.
20．如图，已知△ABC中，AB= ，AC= ，BC=6，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长.
21．在物理课中我们学过《光的反射定律》，小天想利用光的反射定律测量麓湖对面美术馆的高度．首先，小天在地面上的点处放置了一块平面镜，随后，站在的延长线上，当小天从平面镜中刚好看到美术馆顶端时，测得小天到平面镜的距离为1.5米，小天的眼睛到地面的距离也为1.5米；将平面镜从点沿的延长线向后移动8米到点处，小天继续向后移动，眼睛又恰好看到美术馆顶端，这时测得小天到平面镜的距离是2.5米，求美术馆的高度．
22．如图，ABCD是边长为1的正方形，在它的左侧补一个矩形ABFE，使得新矩形CEFD与矩形ABEF相似，求BE的长．
23．已知直角三角形斜边上的高为 ，且斜边上的高把斜边分成 两段，则斜边上的中线长是
24．已知，在△ABC中，三条边的长分别为2，3，4，△A′B′C′的两边长分别为1，1.5，要使△ABC∽△ ，求△ 中的第三边长．
25．如图，AB、CD为 O的直径，弦AE//CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使 PED= C.
（1）求证：PE是 O的切线；
（2）求证：ED平分 BEP；
（3）若 O的半径为5，CF=2EF，求PD的长.
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图形的相似 单元知识强化训练卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．线段MN长为1cm，点P是MN的黄金分割点，则MP的长是（ ）
A． B．
C． 或 D．不能确定
【答案】C
【解析】【解答】解：设MP=x，则PN=1﹣x，根据题意得 ，
解得，x= 或 ＞1（不合题意，舍去），
又因为题中没强调MP是长的一段还是短的一段，所以MP的长也可以为1﹣ = ．
故选C．
【分析】根据黄金分割点的概念，结合题目要求，列出方程求解即可．
2．如图，AB与CD相交于点E，AD∥BC， ，CD=16，则DE的长为（ ）
A．3 B．6 C． D．10
【答案】D
【解析】【解答】∵AD∥BC，
∴△CBE∽△AED，
∴BE：AE=CE：ED=3：5，
∵CD=16．CE+ED=CD，
∴DE= =10，
故答案为：D
【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△CBE∽△AED，可得比例式BE：AE=CE：ED，再将已知的线段代入比例式计算即可求解。
3．如图，三个正六边形全等，其中成位似图形关系的有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
【答案】D
【解析】【解答】解：∵将任意两个正六边形的对应顶点连接起来都相交于它们的交点
∴三个正六边形彼此位似
∴成位似图形关系的有3对．
故选D．
【分析】将任意两个正六边形的对应顶点连接起来都相交于它们的交点，得到三个正六边形彼此位似，所以可知成位似图形关系的有3对．
4．已知x：b=c：a，求作x，则下列作图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵x：b=c：a，
∴ = ，
A、作出的为 = ，故本选项正确；
B、作出的为 = ，故本选项错误；
C、线段x无法先作出，故本选项错误；
D、作出的为 = ，故本选项错误；
故选A．
【分析】根据第四比例线段的定义列出比例式，再根据平行线分线段成比例定理对各选项图形列出比例式即可得解．
5．已知在中，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意；
C、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据相似三角形的判定定理逐一判断即可.
6．下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．两个等腰直角三角形
B．各有两边长是4和5的两个直角三角形
C．各有两边长是4和5的两个等腰三角形
D．各有一个角是的两个等腰三角形
【答案】A
【解析】【解答】解：A、两个等腰直角三角形，三个角都是，符合两角分别相等，是相似三角形，符合题意；
B、各有两边长是4和5的两个直角三角形，若一个斜边是5，直角边是4，另外一个两直角边是4和5，不满足三边对应成比例，不是相似三角形，不符合题意；
C、各有两边长是4和5的两个等腰三角形，若一个底边是5，腰是4，另外一个腰是5，底边是4，不满足三边对应成比例，不是相似三角形，不符合题意；
D、各有一个角是的两个等腰三角形，若一个底角是，顶角是，另外一个底角是，顶角是，不满足两角分别相等，不是相似三角形，不符合题意．
故答案为：A
【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可。
7．如图，在中，中线、相交于点F，连接，则下列结论：①，②，③，④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】【解答】解：在中，中线、相交于点F，
∴是的中位线，
∴，，故①符合题意；
∴，
∴，，故②符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴，故③符合题意；
∵，，
∴，
∴，故④符合题意；
故答案为：D．
【分析】易知DE为△ABC的中位线，利用三角形中位线定理可得，，根据平行线可证，，利用相似三角形的性质逐一判断即可.
8．如图，在 中，点E在 边上， 、 的延长线交于点F，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解： 四边形 是平行四边形，
， ， ， ，
A、 ，
，
，
，
，不符合题意；
B、 ，
，
，
，
，
，符合题意；
C、 ，
，
，
，
，不符合题意；
D、 ，
，
，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质得出 ， ， ， ，根据相似三角形的判定得出 ，，再根据相似三角形 的性质得到比例式即可。
9．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，点M为边AD的中点，连接BD交CM于点N，则BN的长是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AD∥BC，
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=2，
∵AM=MD，
∴BC=2DM，
∵DM∥BC，
∴△DMN∽△BCN，
∴ = ，
∴BN= BD=
故答案为：B．
【分析】首先证明△ABD是等边三角形，推出BD=2，再利用相似三角形的性质即可解决问题．
10．如图，在正方形ABCD中，P是AB上一点，连接CP，DP，正方形EFGH的顶点E，F落在AB上，G，H分别落在CP，DP上，射线AH交射线BG于点分别记，，的面积为，，，已知HG：：5，若，则的值为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】A
【解析】【解答】解：：：5，
设正方形EFGH的边长为2a，则正方形ABCD的边长为5a，连接PQ，
由题意得，
∽，
，
，
，
同理可得，
，同理得，
，
，
∽，
，
同理可得，
，
，
，
故答案为：A.
【分析】由题意可设正方形EFGH的边长为2a，则正方形ABCD的边长为5a，连接PQ，由题意得HE∥AD，根据平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△PHE∽△PDA，根据相似三角形的性质结合三角形的面积公式可得S△PAH=S1，同理可得S△PGB=S2，S△HPQ=S1，S△GPQ=S2，则S△QAB=S△PAH+S△PGB+S△HPQ+S△GPQ=50，据此求解.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若两个三角形的相似比为3：4，则这两个三角形的面积比为 ．
【答案】9：16
【解析】【解答】解：∵两个三角形的相似比为3：4，
∴这两个三角形的面积比为9：16，
故答案为：9：16．
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
12．已知线段，请另确定一条线段的长度，使这4条线段为成比例线段 .
【答案】3或12或
【解析】【解答】解：设线段d的长度为x，
由题意得4×6=2x或4×2=6x或4x=6×2，
∴x=12或或3.
故答案为：12或或3.
【分析】设线段d的长度为x，分三种情况：①d是最长的线段，②最短的线段，③D的长度介于2与6之间，分别根据两内项之积等于两外项之积，列出方程，求解即可.
13． 如图，在矩形中，点在边上，连接并延长，交的延长线于点若，，，则的长为 ．
【答案】5
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=2，AB//CD，
∴△ABE∽△DFE，
∴，
∴DF=AB=1，
∴CF=CD+DF=2+1=3，
在Rt△BCF中，由勾股定理可得：
，
故答案为：5.
【分析】先证出△ABE∽△DFE，可得，求出DF的长，再利用勾股定理求出BF的长即可.
14．如图，△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点E，连接AD，OF⊥AD于点F，∠D=45°.若OF=1，则BE的长为 .
【答案】
【解析】【解答】连接OA、OD
△AOD为等腰三角形，
OF平分∠AOD，
圆周角可得
∴∠AOF=∠ABD
可证得△AOF∽△ABE，由相似比，可得出BE=
【分析】根据圆周角定理和相似三角形的相似比可得出结果。
15．如图，l1∥l2∥l3，两条直接与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若 ，则 的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵l1∥l2∥l3 ，
，
∴.
故答案为：
.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出
，再结合已知即可求出.
16．将4个大小相同的小正方形按如图所示的方式摆放在大正方形中，已知13，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【解析】【解答】如图，
由题意可知，
∴
∴
∴，
∵．
设，
则，可得
解得
．
∵
∴
∴
∴，
∵
，
．
故答案为：
【分析】
此题主要对相似三角形的判定和性质、二元一次方程组的应用、正方形的性质等知识进行考查．根据题意计算角关系可以得到，所以可以证明，进一步得出．根据题意设，所以有，列方程组解得，进而可得则．计算角的关系得到，再，根据相似三角形面积比等于边长比的平方，再进行面积计算得．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知 ．
（1）求 的值；
（2）若 ，求x、y、z．
【答案】（1）解：设 ，
；
（2）解：将 代入 ，得
，
解得
所以
【解析】【分析】（1）根据比例的意义，用a表示x，y，z，根据分式的性质，可得答案；（2）根据解方程，可得a，可得答案．
18．已知： 中， 为 上的中线，点E在 上，且 ，射线 交 于点F．求 的值．
【答案】解：如图，过D作 交 于M，
为 的中点，
【解析】【分析】 过D作 交 于M， 利用三角形相似可得关系式根据D为BC的中点即可得出结论。
19．已知三条线段的长度分别是3、4、6，试写出另一条线段，使这四条线段成为比例线段.
【答案】解：设所加的线段是x，则得到：
或 或 ，
解得：x=8或 或2.
【解析】【分析】设所加的线段是x，则得到： 或 或 ，即可求得.
20．如图，已知△ABC中，AB= ，AC= ，BC=6，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长.
【答案】解：①图1，
当△AMN∽△ABC时，有 ，
∵M为AB中点，AB＝ ，
∴AM＝ ，
∵BC＝6
∴MN＝3；
②图2，当△ANM∽△ABC时，有 ，
∵M为AB中点，AB＝ ，
∴AM＝ ，
∵BC＝6，AC＝ ，
∴MN＝
∴MN的长为3或 .
【解析】【分析】由题意分两种情况： ①当△AMN∽△ABC时，根据相似三角形的对应边成比例可得 ， 把已知条件代入比利式即可求出MN的长. ② 当△ANM∽△ABC时， 根据相似三角形的对应边成比例可得 ， 把已知条件代入比利式即可求出MN的长.
21．在物理课中我们学过《光的反射定律》，小天想利用光的反射定律测量麓湖对面美术馆的高度．首先，小天在地面上的点处放置了一块平面镜，随后，站在的延长线上，当小天从平面镜中刚好看到美术馆顶端时，测得小天到平面镜的距离为1.5米，小天的眼睛到地面的距离也为1.5米；将平面镜从点沿的延长线向后移动8米到点处，小天继续向后移动，眼睛又恰好看到美术馆顶端，这时测得小天到平面镜的距离是2.5米，求美术馆的高度．
【答案】美术馆的高度为米
22．如图，ABCD是边长为1的正方形，在它的左侧补一个矩形ABFE，使得新矩形CEFD与矩形ABEF相似，求BE的长．
【答案】解：设BE=x，则BC=1，CE=x+1，
∵矩形CEFD与矩形ABEF相似，
∴ 或 ，代入数据，
∴ 或 ，
解得： ， (舍去)，或 不存在，
∴BE的长为 ，
故答案为 ．
【解析】【分析】设BE=x，BC=1，CE=x+1，然后根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．
23．已知直角三角形斜边上的高为 ，且斜边上的高把斜边分成 两段，则斜边上的中线长是
【答案】
【解析】【解答】由题意得下图：
∵ ，
∴
又∵
∴
∴
设两段分别为CD=3x，AD=4x
∴ ，解得 或 （舍去）
∴
∴斜边中线的长为
故答案为 ．
【分析】设两段分别为CD=3x，AD=4x，根据 列出方程，求得x然后根据直角三角形斜边中线的性质即可求解．
24．已知，在△ABC中，三条边的长分别为2，3，4，△A′B′C′的两边长分别为1，1.5，要使△ABC∽△ ，求△ 中的第三边长．
【答案】解：已知在△ABC中，三条边的长分别为2，3，4，△ 的两边长分别为1，1.5，可以看出，△ 的两边分别为△ABC的两边长的一半，因此要使△ABC∽△ 需两三角形各边对应成比例，则第三边长就为4的一半即2
【解析】【分析】观察两三角形已知边的长的关系，利用相似三角形的判定，就可求出结果。
25．如图，AB、CD为 O的直径，弦AE//CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使 PED= C.
（1）求证：PE是 O的切线；
（2）求证：ED平分 BEP；
（3）若 O的半径为5，CF=2EF，求PD的长.
【答案】（1）证明：如图，连接OE．
∵CD是圆O的直径，
∴∠CED=90°．
∵OC=OE，
∴∠1=∠2．
又∵∠PED=∠C，即∠PED=∠1，
∴∠PED=∠2，
∴∠PED+∠OED=∠2+∠OED=90°，即∠OEP=90°，
∴OE⊥EP，
又∵点E在圆上，
∴PE是⊙O的切线；
（2）证明：∵AB、CD为⊙O的直径，
∴∠AEB=∠CED=90°，
∴∠3=∠4（同角的余角相等）．
又∵∠PED=∠1，AE//CD，
∴∠PED=∠1=∠3=∠4，
即ED平分∠BEP.
（3）解：设EF=x，则CF=2x，∵⊙O的半径为5，∴OF=2x-5，在Rt△OEF中，OE2=OF2+EF2，即52=x2+（2x-5）2，解得x=4，∴EF=4，∴BE=2EF=8，CF=2EF=8，∴DF=CD-CF=10-8=2，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵AB=10，BE=8，∴AE=6，∵∠BEP=2∠4=2∠1=∠A，∠EFP=∠AEB=90°，∴△AEB∽△EFP，∴=，即=，
∴PF=，
∴PD=PF-DF=-2=．
【解析】【分析】（1）连接OE．要证明PE是 ⊙ O的切线，则要证明∠OEP=∠CED=90°，则需要证明 ∠PED=∠2，而∠1=∠2．∠PED=∠1，可证得；
（2）根据同角的余角相等，可得∠3=∠4，又由∠PED=∠1，AE//CD，可得∠PED=∠1=∠3=∠4，即可证得；
（3）设EF=x，则CF=2x，根据勾股定理OE2=OF2+EF2，求出EF，BE，CF，DF；根据∠BEP=2∠4=2∠1=∠A，∠EFP=∠AEB=90°，得到△AEB∽△EFP，从而根据相似三角形的性质求得PF，则PD=PF-DF.
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