空间两条直线的位置关系 课件(共22张PPT) 2025-2026学年职教高考数学一轮复习

(共22张PPT)
第九章 立体几何
第五节 空间两条直线的位置关系
职教高考一轮复习
直击高考
考点 考点解读 山东省近五年春季高考统计(题号) 常考
题型
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空间中两条直线的位置关系 ①理解空间直线与直线的位置关系②掌握直线与直线平行、垂直关系的判定与性质③理解异面直线所成角，并会解决相关的简单问题 (19) (29) (27) (14) (20)(28) (28) 选择题
解答题
线线垂直
线线垂直
线线角
异面直线
概念
线线垂直
线线垂直
线线角
线线垂直
线线平行
本节考查直线与直线位置关系、空间平行关系。特别是异面直线概念及异面直线所成角的准确理解，注意加强计算能力与空间想象能力的训练．
知识梳理
1．空间中两条直线的位置关系
位置关系 共面情况 公共点的个数
相交 在同一个平面内
平行 在同一个平面内
异面 不同在任何一个平面内
1
0
0
注意空间没有公共点的两条直线位置平行或异面
2．平行直线
公理4(平行线的传递性)：平行于同一条直线的两条直线________．
互相平行
3．空间四边形
(1)空间四边形：顺次连接________的4点所构成的图形称为空间四边形．其中4个点都是空间四边形的顶点，连接__________________称为空间四边形的边，连接不相邻顶点间的线段称为空间四边形的________．
(2)空间四边形的表示：
空间四边形用表示顶点的4个字母表示，
如图9－5－1所示为空间四边形ABCD.
它的对角线为___________，边为AB，BC，CD，DA.
不共面
相邻顶点间的线段
对角线
AC，BD
【注】①空间四边形可以看成由一个四面体的4条棱构成的图形．
②空间四边形（四面体）相对的棱是异面直线；正四面体相对棱互相垂直
4．异面直线
(1)异面直线：不同在________一个平面内的两条直线．
(2)异面直线的判定方法：与一个平面相交于一点的直线，和这个平面内______________的直线为异面直线．
(3)异面直线所成的角：若a，b为异面直线，则经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的________叫作异面直线a与b所成的角．
任何
不经过交点
角
【注】　作异面直线所成的角时，为了方便，通常将点O取在两条异面直线中的一条上，也就是说只需要平移另外一条直线即可．
(4)异面直线所成的角θ的取值范围：θ∈________．特别地，当θ＝ 时，称两条异面直线互相垂直，记作a⊥b.
异面直线所成角关键找平行线，化归为相交线成的平面角
典例分析
【知识要点1】 空间中两条直线的位置关系
【例1】　有下列四个命题：
①在空间中过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行；
②既不平行，又不相交的两条直线是异面直线；
③两两互相平行的三条直线确定一个平面；
④不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线．
其中，正确命题的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
C
【解析】本题考查空间中两直线的位置关系的判定及应用．
【举一反三1】如图9－5－2所示，已知空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．有下列四个命题：
①AC与BD是相交直线；②AB∥DC；
③四边形EFGH是平行四边形；
④EH∥BC.
其中，真命题的个数是(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
【提示】 ①错误，AC与BD是异面直线；②错误，AB与DC是异面直线；③正确；④错误，EH与BC是异面直线．故选D.
D
【知识要点2】 利用平行线的传递性证明线线平行
【例2】如图9－5－3所示，在正四棱锥P－ABCD中，点E，F分别是侧棱PA，PB的中点．求证：EF∥CD.
【解析】∵点E，F分别是侧棱PA，PB的中点，
∴EF∥AB.
∵ABCD是正方形，∴AB∥CD.
根据平行线的传递性可知，EF∥CD.
【举一反三2】 如图9－5－4所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是AB，BC的中点．求证：DE∥A1C1.
证明：∵点D，E分别是AB，BC的中点，∴DE∥AC.
∵三棱柱的侧面A1ACC1是平行四边形，∴AC∥A1C1.
根据平行线的传递性可知，DE∥A1C1.
【解析】　∵BC∥AD，
∴∠DAD1是异面直线AD1与BC所成角，
∵BB1＝BC＝1，∴∠DAD1＝ ，
∴AD1与BC所成角等于 .
∵AB∥CD，
∴∠DCD1是CD1与AB所成角，
【知识要点3】异面直线所成的角
【例3】　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若棱BB1＝BC＝1，AB＝ ，则AD1与BC所成的角等于________，CD1与AB所成的角等于________．
【举一反三3】在正方体ABCD－A1B1C1D1中：
(1)AB与B1C所成的角为________；
(2)AD1与BD所成的角为________．
【例4】　如图9－5－7所示，正三棱锥S－ABC的侧棱长与底面边长相等，若E，F分别为SC，AB的中点，则异面直线EF与SA所成的角为(　　)
A． B． C． D．
C
【举一反三4】 如图9－5－9所示，正四面体S－ABC中，D是
SC的中点，则BD与SA所成的角的余弦值为________．
【提示】 取AC的中点O，连接DO，BO(图略)，则DO∥SA，所以∠BDO就是BD与SA所成的角或其补角．设正四面体S－ABC的棱长为2，则DO＝1，BD＝BO＝ ，由余弦定理得
cos ∠BDO＝ ＝ .
一、选择题
1．“两条直线为异面直线”是“两条直线没有公共点”的(　　)
A．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
A
2．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系为(　　)
A．一定相交 B．一定异面 C．一定平行 D．相交或异面
D
3．下列命题中，正确的是(　　)
A．过直线外一点可以作无数条直线与已知直线成异面直线
B．过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直
C．垂直于同一条直线的两直线平行
D．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线
A
随堂检测
活动设计：限时12分钟，认真完成基础练习选填题检测
4．空间两条直线所成角的范围是(　　)
A． B． C． D．
A
5．如图所示，在三棱锥A－BCD中，点E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，若AC＝BD，则四边形
EFGH的形状是(　　)
A．平行四边形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
B
二、填空题
6．如图所示，在三棱锥A－BCD中，点P，R分别是AB，CD的中点，且AC＝4，BD＝ ，PR＝3，则AC和BD所成角的大小为________．
90°
【提示】 取BC的中点Q，连接PQ，QR(图略)，则PQ∥AC，QR∥BD，所以AC和BD所成的角即为∠PQR或其补角．因为PQ＝ AC＝2，QR＝ BD＝ ，所以PQ2＋QR2＝PR2，所以∠PQR＝90°，故AC和BD所成角的大小是90°.
7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与直线BA1成异面直线的棱有________条．
6
8．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线A1D与AC所在直线的位置关系为________(选填“平行”“相交”或“异面”). 成角
异面
60°
一、选择题
1．下列命题中，正确的是(　　)
A．若a，b是异面直线，b，c也是异面直线，则a，c是异面直线
B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．若a∥b，b∥c，则a∥c
D．若a，b是相交直线，b，c也是相交直线，则a，c是相交直线
C
2．“两条直线分别在两个平面内”是“两条直线是异面直线”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
B
选做
三、解答题
6．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是AB的中点．求：
(1)BA1与CC1的夹角；(2)A1E与CB1的夹角的余弦值．
解：(1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
∵CC1∥AA1，∴BA1与AA1所成的角就是异面直线BA1与CC1所成的角．
∵AA1B1B是正方形，则∠BA1A＝45°，
∴BA1与CC1的夹角为45°.
(2)如图所示，连接A1D，同(1)可得CB1∥DA1，
∴∠EA1D为异面直线A1E与CB1的夹角，
连接ED，设正方体的棱长为1，
则在△A1DE中，A1E＝DE＝ ＝ ，
又∵A1D＝ ，
∴cos ∠EA1D＝ ＝ .
课堂小结
注意空间两直线垂直包括相交和异面两种位置！
空间两直线位置
分为三类：平行、相交、异面
异面直线
定义：用排除法判定（不同在任何平面）
画法：给出判定方法
所成角范围：(]
所成角求解：会求，关键找平行线
布置作业
1.书面必做作业：完成复习资料相关题目；
2.拓展提升作业：依据考点根据自身掌握情况，利用复习书练习进一步训练巩固相关内容
下 课
Thanks!
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