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锐角三角函数 单元综合知识梳理卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2． 在 Rt△ABC中，∠C= 90°，若 △ABC的三边都放大2倍，则 sinA的值（ ）
A．缩小 2 倍 B．放大 2 倍 C．不变 D．无法确定
3．如图，在矩形中，，点E在上，且，连接，将矩形沿直线翻折，点D恰好落在上的点F处，则的值是（ ）．
A． B． C． D．
4．如图，山上有一座高塔，山脚下有一圆柱形建筑物平台，高塔及山的剖面与圆柱形建筑物平台的剖面ABCD在同一平面上，在点A处测得塔顶H的仰角为35°，在点D处测得塔顶H的仰角为45°，又测得圆柱形建筑物的上底面直径AD为6m，高CD为2.8m，则塔顶端H到地面的高度HG为（ ）
（参考数据： ， ， ， ）
A．10.8m B．14m C．16.8m D．29.8m
5．某游乐场新推出了一个“极速飞车”的项目.项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需求，游客可以乘坐垂直升降电梯AB自由上下选择项目难度.其中斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，BC＝12 米，CD＝8米，∠D＝36°，（其中点A，B，C，D均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为（ ）米.（精确到0.1米，参考数据：tan36°≈0.73，cos36°≈0.81，sin36°≈0.59）
A．5.6 B．6.9 C．11.4 D．13.9
6．如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形长6米，坡度为的坡度为，则长为（ ） 米
A． B． C． D．
7．在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们要测量某公园人工湖亭子A与它正东方向的亭子B之间的距离．现测得亭子A位于点P北偏西30°方向，亭子B位于点P北偏东α方向，测得点P与亭子A之间的距离为200米．则亭子A与亭子B之间的距离为（ ）
A．100+100 sinα米 B．100+100 tanα米
C．100+ 米 D．100+ 米
8．如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比） ，山坡坡底C点到坡顶D点的距离 ，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为（ ）
（参考数据： ， ， ）
A．76.9m B．82.1m C．94.8m D．112.6m
9．在中，，是边上的中线，，，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ）
A． B． C． D．4
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，将等边放在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在第一象限，将等边绕点O顺时针旋转180°得到，则点的坐标是 ．
12．如图，在中，，则AC的长是 .
13．如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是 ．
14．如图，，，在的三边上，若把的周长成两条等长的折线，即，则三线相交于点，此点称为三角形的“界心”，亦称“奈格尔点”．当且为等边三角形时，长为 ．
15．我国自主研发的大型飞机C919成功首飞.如图是某型号飞机机翼的示意图，其中m=1，n= ，则AB的长为 ．
16．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连接AC，EC，CD=DE，则tan∠ACE的值为 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．自2024年10月29日起，巴中恩阳机场开通了到无锡的新航线，进一步方便了广大市民．如图，市民甲在处看见飞机的仰角为，同时另一市民乙在斜坡上的处看见飞机的仰角为，已知甲、乙两市民的距离米，铅垂高度米（点E，G，C，B在同一水平线上，结果保留根号）．
（1）求斜坡的坡比；
（2）求飞机此时距离地面的高度．
18． 如图， 在 中， 于点 分别是 的中点， 是 的中点， 的延长线交线段 于点 ， 连结 ．
（1）求证： 四边形 是平行四边形．
（2） 当 时， 求 的长．
19．已知：在Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=，AC=10，求△ABC的面积。
20．如图，在边长为 2 的菱形ABCD中，∠A=60°，M 是边AD 的中点，N 是AB 上一动点，将△AMN 沿 MN 所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C，求A'C的最小值.
21．长泰大桥是长春市最高的双塔斜拉式高架桥，大桥属于双塔双索面混凝土特大斜拉桥桥型，图①是大桥的实物图，图②是大桥的示意图．假设你站在桥上点处测得拉索与水平桥面的夹角是，点处距离大桥立柱底端的距离为米，已知大桥立柱上点距立柱顶端点的距离为米，求大桥立柱的高．（结果精确到米）参考数据：，，
22．如图，已知线段AB、CD分别表示甲、乙两幢楼的高，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角α=30°，测得乙楼底部D的俯角β=60°，已知甲楼高AB=24 m，求乙楼CD的高.
23．如图，要测量一幢楼CD的高度，在地面上A点测得楼CD的顶部C的仰角为30°，向楼前进50m到达B点，又测得点C的仰角为60°. 求这幢楼CD的高度（结果保留根号）.
24．如图，在矩形ABCD中，E，F为BC上的两点，AF，DE相交于点G，且，连结.
（1）求证：.
（2）若，求AD的长.
25．圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿(称为“表")和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”)，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为37°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为4米．
（1）求∠BAD的度数．
（2）求表AC的长(结果精确到0.1米)．(参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈)
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锐角三角函数 单元综合知识梳理卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图所示，
∵在中，，
∴由勾股定理得，
∴，
故答案为：A
【分析】先根据勾股定理求出AB，进而根据余弦函数的定义即可求解。
2． 在 Rt△ABC中，∠C= 90°，若 △ABC的三边都放大2倍，则 sinA的值（ ）
A．缩小 2 倍 B．放大 2 倍 C．不变 D．无法确定
【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠C= 90°，若 △ABC的三边都放大2倍，
∴∠A大小不变，
∴ sinA的值不变，
故答案为：C
【分析】先根据角得到∠A大小不变，进而根据特殊角的三角函数值即可求解。
3．如图，在矩形中，，点E在上，且，连接，将矩形沿直线翻折，点D恰好落在上的点F处，则的值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵在矩形中，，
∴，，，
∴
由折叠得，，，，
∴，
∴.
设，则，
∵
∴，即
∴
∴
∴.
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】先根据矩形的性质得到，，，再由平行线的性质和折叠的性质可证得.设，则，勾股定理求出，可得，再证明，然后利用，代数求解即可．
4．如图，山上有一座高塔，山脚下有一圆柱形建筑物平台，高塔及山的剖面与圆柱形建筑物平台的剖面ABCD在同一平面上，在点A处测得塔顶H的仰角为35°，在点D处测得塔顶H的仰角为45°，又测得圆柱形建筑物的上底面直径AD为6m，高CD为2.8m，则塔顶端H到地面的高度HG为（ ）
（参考数据： ， ， ， ）
A．10.8m B．14m C．16.8m D．29.8m
【答案】C
【解析】【解答】延长AD交HG于M，则MG=CD=28m，
设DM=x，
在Rt△AHM中，HM=（x+6） tan35°，
在Rt△DHM中，HM=x tan45°=x，
∴（x+6） tan35°=x，
即（x+6）×0.70=x，
∴x=14，
即HM=14．
∴HG=14+2.8=16.8（m）．
故答案为：C．
【分析】延长AD交HG于M，则MG=28m，设DM=x，根据三角函数的概念用含x的代数式表示HM，根据题意列出方程，解方程即可．
5．某游乐场新推出了一个“极速飞车”的项目.项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需求，游客可以乘坐垂直升降电梯AB自由上下选择项目难度.其中斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，BC＝12 米，CD＝8米，∠D＝36°，（其中点A，B，C，D均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为（ ）米.（精确到0.1米，参考数据：tan36°≈0.73，cos36°≈0.81，sin36°≈0.59）
A．5.6 B．6.9 C．11.4 D．13.9
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，延长DC、AB交于点E，
，
由斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，得
BE：CE＝1：2.
设BE＝xm，CE＝2xm.
在Rt△BCE中，由勾股定理，得
BE2+CE2＝BC2，
即x2+（2x）2＝（12 ）2，
解得x＝12，
BE＝12m，CE＝24m，
DE＝DC+CE＝8+24＝32m，
由tan36°≈0.73，得
＝0.73，
解得AE＝0.73×32＝23.36m.
由线段的和差，得
AB＝AE﹣BE＝23.36﹣12＝11.36≈11.4m，
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理，可得CE，BE的长，根据正切函数，可得AE的长，再根据线段的和差，可得答案.
6．如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形长6米，坡度为的坡度为，则长为（ ） 米
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：过点D作DE 于E，过点C作 B于F，
则四边形DEFC为矩形，
∵斜坡BC的坡度为1：1，
(米) ，
米，
∵AD的坡度为：
(米) ，
故选： A.
【分析】过点D作 于E，过点C作 于F，根据坡度的概念得到 根据正弦的定义求出CF，再根据坡度与坡角的关系求出α，根据含 角的直角三角形的性质解答即可.
7．在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们要测量某公园人工湖亭子A与它正东方向的亭子B之间的距离．现测得亭子A位于点P北偏西30°方向，亭子B位于点P北偏东α方向，测得点P与亭子A之间的距离为200米．则亭子A与亭子B之间的距离为（ ）
A．100+100 sinα米 B．100+100 tanα米
C．100+ 米 D．100+ 米
【答案】B
【解析】【解答】解：过点P作PC⊥AB于点C，
由题意可得：∠APC＝30°，PA＝200m，∠CPB＝α，
则AC＝ AP＝100m，PC＝PA×cos30°＝100 米，
故tanα＝ ＝ ，
则BC＝100 tanα米，
故AB＝AC+BC＝（100+100 tanα）米．
故答案为：B．
【分析】过点P作PC⊥AB于点C，利用30°角的直角三角形的性质及锐角三角函数先求出AC、PA、BC的长，利用AC=AC+BC即可求出结论.
8．如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比） ，山坡坡底C点到坡顶D点的距离 ，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为（ ）
（参考数据： ， ， ）
A．76.9m B．82.1m C．94.8m D．112.6m
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，
由题意得，∠ADF＝28°，CD＝45，BC＝60，
在Rt DEC中，
∵山坡CD的坡度i＝1：0.75，
∴ ＝ ＝ ，
设DE＝4x，则EC＝3x，
由勾股定理可得CD＝5x，
又CD＝45，即5x＝45，
∴x＝9，
∴EC＝3x＝27，DE＝4x＝36＝FB，
∴BE＝BC+EC＝60+27＝87＝DF，
在Rt ADF中，
AF＝tan28°×DF≈0.53×87≈46.11，
∴AB＝AF+FB＝46.11+36≈82.1，
故答案为：B.
【分析】过D作DFchuizhi6AB于F，过D作DE⊥BC交BC的延长线于E；在Rt△DEC中，由坡比i=1：0.75=DE ：EC 可设DE＝4x，则EC＝3x，由勾股定理可得CD=5x，再根据CD=45可得关于x的方程，解方程可求得x的值，于是BE=BC+EC=DF，在Rt△ADF中，由锐角三角函数tan∠ADF=AF：DF可求得AF的值，然后根据线段的构成AB=AF+BF可求解.
9．在中，，是边上的中线，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵CD为直角三角形ABC斜边上的中线，
∴AD=BD=CD=5，
在直角三角形ABC中，BC=6，AB=AD+BD=10，
∴AC===8，
∴cos∠ACD=cos∠A===；
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到AD=BD=CD，即可得到cos∠ACD=cos∠A，在直角三角形中根据勾股定理求出AC，继而由余弦的定义求出答案。
10．如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【解析】【解答】解：过R作RK⊥BD于点K，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=3，∠BCD=90°.
∵CN⊥BM，
∴∠CMB=∠CDN=90°，
∴∠CBM+∠BCM=90°，∠BCM+∠DCN=90°，
∴∠CBM=∠DCN，
∴△BMC∽△CDN，
∴，
∴BM·CN=CD·CB=12.
∵∠BCD=90°，CD=3，BC=4，
∴BD=5.
由作图可得BP平分∠CBD.
∵RK⊥BD，RC⊥BC，
∴RK=RC.
∵S△BCD=S△BDR+S△BCR，
∴×3×4=×5·RK+×4×RC，
∴RC=RK=，
∴BR==.
∵cos∠CBR=，
∴，
∴BM=，
∴CN·BM=12，
∴CN=.
故答案为：A.
【分析】过R作RK⊥BD于点K，由矩形的性质可得 AB=CD=3，∠BCD=90°，根据同角的余角相等可得∠CBM=∠DCN，由两角对应相等的两个三角形相似可得△BMC∽△CDN，根据相似三角形的性质可得BM·CN=CD·CB=12，由勾股定理可得BD=5，由作图可得BP平分∠CBD，则RK=RC，根据S△BCD=S△BDR+S△BCR结合三角形的面积公式可得RC=RK=，由勾股定理可得BR，利用三角函数的概念可得BM，据此求解.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，将等边放在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在第一象限，将等边绕点O顺时针旋转180°得到，则点的坐标是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点B作BH⊥y轴于点H
∵△OAB为等边三角形
∴OH=AH=2，∠BOA=60°
∴
∴B点坐标为
∵等边△AOB绕点O顺时针旋转180°得到
∴点B'的坐标为
故答案为：
【分析】过点B作BH⊥y轴于点H，根据等边三角形性质及锐角三角形函数定义可求出B点坐标为，再根据旋转性质即可及关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案.
12．如图，在中，，则AC的长是 .
【答案】6
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：6
【分析】根据余弦函数的定义结合已知条件即可求解。
13．如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是 ．
【答案】
【解析】【解答】作BD⊥AC于点D，
∵BC=2，AC= ，点A到BC的距离为3，AB=，
∴，即，
解得：，
∴AD= ，
.
故答案是：.
【分析】作BD⊥AC于点D，先利用勾股定理求出AB和AC的长，再利用等面积法可得BD的长，利用勾股定理求出AD的长，最后利用正切的定义。
14．如图，，，在的三边上，若把的周长成两条等长的折线，即，则三线相交于点，此点称为三角形的“界心”，亦称“奈格尔点”．当且为等边三角形时，长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC于M，
∵△ADC是等边三角形，
∴∠ADM=60°，DM=CM=CD，
在Rt△ADM中，设DM=CM=x，∠ADM=60°，
∴tan∠ADM=，则AM=DM=x，
∴AC=CD=2DM=2x，
∵AB+BD=AC+CD=BC+CE=AB+AE=BC+BF=AC+AF=（AB+BC+AC），
∴AB+BD=AB+AE，AC+CD=AC+AF，
∴BD=AE=2，AF=CD=2x，
∴CE=AC-AE=2x-2，
而BC+CE=BC+BF，
∴BF=CE=2x-2，
在Rt△ABM中，AB=AF+BF=4x-2，AM=x，BM=BD+DM=2+x，
∴（4x-2）2=（x）2+（2+x）2，
解得：x=0，x=，
∴AC=2x=.
故答案为：.
【分析】过点A作AM⊥BC于M，根据△ADC是等边三角形可设DM=CM=x，由已知条件“AB+BD=AC+CD=BC+CE=AB+AE=BC+BF=AC+AF=（AB+BC+AC）”可得BD=AE=2，AF=CD=2x，BF=CE=2x-2，在Rt△ABM中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，然后代入AC=2x计算可求解.
15．我国自主研发的大型飞机C919成功首飞.如图是某型号飞机机翼的示意图，其中m=1，n= ，则AB的长为 ．
【答案】2-
【解析】【解答】解：过点A作AF⊥CD与点F，
由题意可知∠CAF=45°，∠DBE=30°，
∴AF=n=，AB=EF，
在Rt△ACF中，∠CAF=45°，
∴CF=AF=，
∴DF=CF-CD=-1
在Rt△BDE中，
DE=BEtan∠DBE=BEtan30°=.
∴EF=DE-DF=AB=.
故答案为：.
【分析】过点A作AF⊥CD与点F，由题意可知∠CAF=45°，∠DBE=30°，AF=n=，AB=EF，从而可求出CF，DF的长，在Rt△BDE中，利用解直角三角形求出DE的长，然后根据EF=DE-DF可求出AB的长。
16．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连接AC，EC，CD=DE，则tan∠ACE的值为 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点A作AF⊥CE于点F，设DE=2x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∵点E是AD的中点，
∴AE=DE=CD=2x，
∴∠AEF=∠CED=45°，CE=2x，
∵∠AFE=90°，
∴AF=EF=x，
∴CF=3x，
∴ tan∠ACE=.
【分析】过点A作AF⊥CE于点F，设DE=2x，根据线段中点定义得出AE=DE=CD=2x，根据等腰三角形的限制性和勾股定理得出∠AEF=∠CED=45°，CE=2x，从而得出AF=EF=x，
CF=3x，再根据锐角三角函数定义即可得出答案.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．自2024年10月29日起，巴中恩阳机场开通了到无锡的新航线，进一步方便了广大市民．如图，市民甲在处看见飞机的仰角为，同时另一市民乙在斜坡上的处看见飞机的仰角为，已知甲、乙两市民的距离米，铅垂高度米（点E，G，C，B在同一水平线上，结果保留根号）．
（1）求斜坡的坡比；
（2）求飞机此时距离地面的高度．
【答案】（1）解：在中，米，米由勾股定理得：（米），
∴斜坡的坡比．
（2）解：过点作于点，如图，
，，，
∴，
四边形是矩形，
米，，
，，
是等腰直角三角形，
，
设米，则米，
米，
，
，
解得，
米，
答：飞机距离地面的高度为米．
【解析】【分析】
（1）先利用勾股定理求出米，则斜坡的坡比；
（2）过点作于点可构造和矩形DGBH，则米，，再由等腰三角形的性质可得，为便于计算可设米，再解即可．
（1）解：在中，米，米
由勾股定理得：（米），
∴斜坡的坡比．
（2）解：过点作于点，如图，
，，，
∴，
四边形是矩形，
米，，
，，
是等腰直角三角形，
，
设米，则米，
米，
，
，
解得，
米，
答：飞机距离地面的高度为米．
18． 如图， 在 中， 于点 分别是 的中点， 是 的中点， 的延长线交线段 于点 ， 连结 ．
（1）求证： 四边形 是平行四边形．
（2） 当 时， 求 的长．
【答案】（1）证明： 分别是 的中点，
是 的中位线，
是 的中点， .
在 和 中，
四边形 是平行四边形.
（2）解：.
是 的中点， ，
即 ，
由 (1) 可知， 四边形 是平行四边形，
【解析】【分析】（1）利用三角形中位线定理推出EF和BC的位置关系，从而求出∠EFO=∠GDO，结合已知条件根据ASA证明三角形OEF和三角形OGD相等，推出EF=GD，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，从而求证平行四边形DEFG.
（2）根据直角三角形中斜边上中线是斜边一半求出DE=EC，利用等边对等角，将∠EDC的正切值转化为tan∠C，从而求出CD的长度，根据勾股定理求出AC的长度，从而求出DE的长度，利用平行四边形的性质即可求出FG的长度.
19．已知：在Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=，AC=10，求△ABC的面积。
【答案】解：∵，
设BC=2x，AB=3x
∴
解得x1= （舍去），x2=
∴BC= AB=
∴S△ABC=
【解析】【分析】 设BC=2x，AB=3x，根据勾股定理列出方程，解方程求出x的值，从而得出BC的长，再根据三角形的面积公式进行计算，即可得出答案.
20．如图，在边长为 2 的菱形ABCD中，∠A=60°，M 是边AD 的中点，N 是AB 上一动点，将△AMN 沿 MN 所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C，求A'C的最小值.
【答案】解：MA'是定值，A'C长度取最小值时，即A'在MC上时，
过点M作MF⊥DC于点F，
∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，
∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，
∴∠FMD=30°，
∴
∴，
∴，
∴
【解析】【分析】根据题意，在N的运动过程中A'在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A'C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A'、C三点共线，得出A'的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A'C的长即可.
21．长泰大桥是长春市最高的双塔斜拉式高架桥，大桥属于双塔双索面混凝土特大斜拉桥桥型，图①是大桥的实物图，图②是大桥的示意图．假设你站在桥上点处测得拉索与水平桥面的夹角是，点处距离大桥立柱底端的距离为米，已知大桥立柱上点距立柱顶端点的距离为米，求大桥立柱的高．（结果精确到米）参考数据：，，
【答案】解：在中，，米，
∴（米），
∵米，
∴（米），
∴大桥立柱的高约为米．
【解析】【分析】先利用解直角三角形的方法求出，再结合BC利用线段的和差求出CD的长即可.
22．如图，已知线段AB、CD分别表示甲、乙两幢楼的高，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角α=30°，测得乙楼底部D的俯角β=60°，已知甲楼高AB=24 m，求乙楼CD的高.
【答案】解：过点A作AE⊥CD，
在Rt△ABD中，∠ADB=β，AB=24，
∴BD= ，
在Rt△AEC中，∠CAE=α，BD= ，
∴CE=8.
∴CD=CE+AB=32(米).
【解析】【分析】过点A作AE⊥CD，构造两个直角三角形ACE和直角三角形AED，分别解2个直角三角形即可.
23．如图，要测量一幢楼CD的高度，在地面上A点测得楼CD的顶部C的仰角为30°，向楼前进50m到达B点，又测得点C的仰角为60°. 求这幢楼CD的高度（结果保留根号）.
【答案】解：依题意，有 ∵∴∴ 在 中， (m)，∴ 该幢楼CD的高度为25 m .
【解析】【分析】根据题意可得出∠CAB=30°，∠CBD=60°，再证明AB=BC=50，再在Rt△CBD中，利用解直角三角形求出CD的长即可。
24．如图，在矩形ABCD中，E，F为BC上的两点，AF，DE相交于点G，且，连结.
（1）求证：.
（2）若，求AD的长.
【答案】（1）证明：在矩形ABCD中，，
，
，
.过点作，分别交AD，BC于点M，N，则.
（2）由（1）知
设，则.
于是
【解析】【分析】（1）过点作，分别交AD，BC于点M，N，证，再结合平行线的性质可推出，可得GA=GF，，从而得出，再利用∠EAF的正弦即可求解；
（2）由（1）知，可得BE=CF，设，则.根据余角的性质可推从而得据此求出a值，即可得解.
25．圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿(称为“表")和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”)，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为37°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为4米．
（1）求∠BAD的度数．
（2）求表AC的长(结果精确到0.1米)．(参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈)
【答案】（1）解：∵∠ADC=84°，∠ABC=37°，
∴∠BAD=∠ADC-∠ABC=47°．
答：∠BAD的度数是47°
（2）解：在Rt△ABC中，tan37°=，BC=同理，在Rt△ADC中，有DC=
∵BD=4，
∴BC-DC=-=BD=4，
∴AC-≈4，
∴AC≈3.3米．
答：表AC的长约是3.3米
【解析】【分析】(1)根据三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和解答即可；
(2)分别求出∠ADC和∠ABC的正切值，用AC表示出CD和CB，得到一个只含有AC的关系式，再解答即可.
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