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勾股定理 单元综合能力提升卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在中，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．6，8，10 B．7，24，25 C．1.5，2，3 D．9，12，15
3．已知一直角三角形的木板，三边的平方和为1800 ，则斜边长为（ ）
A．45 B．30 C．60 D．120
4．如图1，动点K从△ABC的顶点A出发，沿AB-BC匀速运动到点C停止，在动点K运动过程中，线段AK的长度y与运动时间x的函数关系。如图2所示，其中点D为曲线部分的最低点，若B△ABC的面积是10 ，则a=（ ）
A．3 B．7 C．8 D．4
5．运动展风采，筑梦向未来．为进一步贯彻“双减”政策，落实“五育”并举，学校组织了秋季田径运动会．如图是运动会的颁奖台，3个长方体颁奖台的长均为，宽均为，1，2，3号台的高度分别是，，．若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点A处沿表面爬到1号颁奖台的顶点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
6．一等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高为（ ）
A．12cm B．cm C．cm D．cm
7．如图是一个台阶示意图，每一层台阶的高都是20cm，宽都是50cm，一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路的长度是（ ）
A．100cm B．120cm C．130cm D．150cm
8．下列各组数据中不能构成直角三角形三边长的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．6，8，10 D．1， ，
9．国庆假期间，妍妍与同学去玩寻宝游戏，按照藏宝图，她从门口A处出发先往东走9km，又往北走3km，遇到障碍后又往西走7km，再向北走2km，再往东走了4km，发现走错了之后又往北走1km，最后再往西走了1km就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是（）
A． B． C． D．
10．如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，AB=BC+AD，∠DAC=45°，E为CD上一点，且∠BAE=45°．若CD=4，则△ABE的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，A、B是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ABC为等腰三角形时，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于 ．
12．一副三角板，按如图所示叠放在一起（其中一块三角板的一条直角边与另一块三角板的斜边摆放在一直线上），那么图中∠α＝ 度.
13．如图，于点B，于点A，点E是中点，若，，，则的长是 ．
14．一只蚂蚁从长、宽都是3cm，高是8cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是 cm.
15．△ABC中，∠ABC＝45°， ，AC＝13，则BC的长 ．
16．如图，长方形ABCD中，AB=2，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，，，，求的度数．
18．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE．
（1）证明：△ADC≌△BCE．
（2）若CF＝2，CE＝3，求DE的长．
19．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几”．此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的距离AB的长度为1尺．将它往前推送，当水平距离为10尺时．即尺，则此时秋千的踏板离地的距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，求绳索OA的长．
20．如图，在 中， ， ， ，点D在AB上，且 ，求 的面积．
21．如图，已知，，，，，求四边形的面积.
22．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺板高离地……翻译成现代文：如图，秋千绳索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺(AC=1尺)．将它往前推进两步( EB⊥OC于点E，且EB=10尺)，踏板升高到点B的位置，此时踏板离地五尺(BD=5尺)，求秋千绳索(OA或OB)的长．
23．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定为90°的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准．
24．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”数形结合是解决数学问题的重要思想方法.数轴是数形结合的产物，用数轴上的点可以直观地表示实数，从而建立起“数”与“形”之间的联系.
（1）如图1，点是原点，点对应的实数为，过点作垂直于数轴，且，连接，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，那么点对应的实数为 ；
（2）在（1）的条件下，若将线段向右平移，使得点对应的实数为1，那么此时点对应的实数为 ；
（3）如图2，点对应的实数是3，射线垂直数轴于点，请在数轴上作出对应的点.（要求：尺规作图并保留作图痕迹）
25．李老师在数学课上开展小组活动，同学们将两个全等的含的直角三角板完全重合放置，固定一个顶点．然后将其中一个直角三角板绕这个顶点旋转，来探索图形旋转的奥妙．
已知：如图，在和中，，，．
【初识图形】
（1）如图，在绕点A旋转过程中，当点E恰好落在的边上时，连接、．则的长为，的长为．
【深度探析】
如图，在绕点A旋转过程中，当时，连接，延长交于点F．
（2）的度数为，的度数为；
（3）求证：点F为线段的中点．
【拓展探究】
（4）在绕点A旋转过程中，试探究B、D、E三点能否构成以为直角边的直角三角形．若能，求写出线段的长；若不能，请说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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勾股定理 单元综合能力提升卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在中，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：在中，，
∴．
故答案为：A．
【分析】利用三角形的内角和求出∠A的度数即可.
2．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．6，8，10 B．7，24，25 C．1.5，2，3 D．9，12，15
【答案】C
【解析】【解答】A、62+82=102，故是直角三角形，故此选项不合题意；
B、242+72=252，故是直角三角形，故此选项不合题意；
C、22+1.52≠32，故不是直角三角形，故此选项符合题意；
D、92+122=152，故是直角三角形，故此选项不合题意.
故答案为：C。
【分析】根据勾股定理的逆定理逐一判断即可.
3．已知一直角三角形的木板，三边的平方和为1800 ，则斜边长为（ ）
A．45 B．30 C．60 D．120
【答案】B
【解析】【解答】解：设直角三角形的两直角边分别为acm，bcm，斜边为ccm，
由勾股定理可得： ，
∵ ，
∴ ，∴c=±30(负值舍去)，
∴c=30，
故答案为：B．
【分析】设出直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，利用勾股定理列出关系式，再由三边的平方和为1800，列出关系式，联立两关系式，即可求出斜边的长．
4．如图1，动点K从△ABC的顶点A出发，沿AB-BC匀速运动到点C停止，在动点K运动过程中，线段AK的长度y与运动时间x的函数关系。如图2所示，其中点D为曲线部分的最低点，若B△ABC的面积是10 ，则a=（ ）
A．3 B．7 C．8 D．4
【答案】B
【解析】【解答】解：由图象得AB=AC=a，过点A作AK⊥BC于点K，如图所示：
∴AK=5，
∵△ABC的面积是10 ，
∴，
∴，
在Rt△ABK中，由勾股定理得，
故答案为：B.
【分析】过点A作AK⊥BC于点K，观察图像即可得出AK的长，再根据三角形面积公式求出BC的长，最后根据勾股定理即可求解.
5．运动展风采，筑梦向未来．为进一步贯彻“双减”政策，落实“五育”并举，学校组织了秋季田径运动会．如图是运动会的颁奖台，3个长方体颁奖台的长均为，宽均为，1，2，3号台的高度分别是，，．若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点A处沿表面爬到1号颁奖台的顶点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：将长方体部分展成平面图得：
由题意得，，
故答案为：C．
【分析】将立体图形转换为平面图形，再利用勾股定理求出AB的长即可。
6．一等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高为（ ）
A．12cm B．cm C．cm D．cm
【答案】C
【解析】【解答】解：底边上的高==12（cm）．
腰上的高=（cm）．
故选C．
【分析】根据等腰三角形的性质得到底边上的高平方底边，则利用勾股定理可计算出底边上的高=12（cm），然后利用三角形面积公式可计算出腰上的高．
7．如图是一个台阶示意图，每一层台阶的高都是20cm，宽都是50cm，一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路的长度是（ ）
A．100cm B．120cm C．130cm D．150cm
【答案】C
【解析】【解答】解：将图形展开可得
在Rt△ABC中AC=50，BC=120，
∴
故答案为：C.
【分析】将图形展开，画出蚂蚁的最短路线可以得到一个直角三角形，然后利用勾股定理求解即可.
8．下列各组数据中不能构成直角三角形三边长的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．6，8，10 D．1， ，
【答案】A
【解析】【解答】解：A、∵22+32≠42，
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
B、∵32+42=52，
∴以3，4，5为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵62+82=102，
∴以6，8，10为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵12+（ ）2=（ ）2，
∴以1， ， 为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理的逆定理逐项判断即可。
9．国庆假期间，妍妍与同学去玩寻宝游戏，按照藏宝图，她从门口A处出发先往东走9km，又往北走3km，遇到障碍后又往西走7km，再向北走2km，再往东走了4km，发现走错了之后又往北走1km，最后再往西走了1km就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，
则 ， ，
在Rt△ABD中，
故答案为：D.
【分析】过点B作BD⊥AC于点D，易得AD=5km，BD=6km，然后在Rt△ABD中，运用勾股定理计算即可得到AB的值.
10．如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，AB=BC+AD，∠DAC=45°，E为CD上一点，且∠BAE=45°．若CD=4，则△ABE的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】如图取CD的中点F，连接BF延长BF交AD的延长线于G，作FH⊥AB于H，EK⊥AB于K．作BT⊥AD于T．
∵BC∥AG，
∴∠BCF=∠FDG，
∵∠BFC=∠DFG，FC=DF，
∴△BCF≌△GDF，
∴BC=DG，BF=FG，
∵AB=BC+AD，AG=AD+DG=AD+BC，
∴AB=AG，∵BF=FG，
∴BF⊥AF，∠ABF=∠G=∠CBF，
∵FH⊥BA，FC⊥BC，
∴FH=FC，易证△FBC≌△FBH，△FAH≌△FAD，
∴BC=BH，AD=AH，
由题意AD=DC=4，设BC=TD=BH=x，
在Rt△ABT中，∵AB2=BT2+AT2，
∴（x+4）2=42+（4﹣x）2，
∴x=1，
∴BC=BH=TD=1，AB=5，
设AK=EK=y，DE=z，
∵AE2=AK2+EK2=AD2+DE2，BE2=BK2+KE2=BC2+EC2，
∴42+z2=2y2①，
（5﹣y）2+y2=12+（4﹣z）2②
由②得到25﹣10y+2y2=5﹣8z+z2③，
①代入③可得z= ④
④代入①可得y= （负根已经舍弃），
∴S△ABE= ×5× = ，
故答案为：D．
【分析】由“AB=BC+AD“提示可采用”也可截长补短“，因此延长AD到G使DG=BC，连结BG交于F，易证△BCF≌△GDF，得BF=FG，CF=FD，由AB=BC+AD可得AB=AG，进而AFBG，由 ∠DAC=45°，∠BAE=45°可知CD=AD，须过B点作垂线，设BC=TD=BH=x，在Rt△ABT中勾股定理列方程求出x，进而AB=1+4=5，求面积缺高，因此须过E点再作高，再由勾股定理可得AE2=AK2+EK2=AD2+DE2，BE2=BK2+KE2=BC2+EC2，42+z2=2y2，求出EK，进而求出面积.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，A、B是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ABC为等腰三角形时，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于 ．
【答案】15
【解析】【解答】解：格点C的不同位置分别是：C、C′、C″，
∵网格中的每个小正方形的边长为1，
∴S△ABC= ×4×3=6，
，
，
∴S△ABC+S△ABC′+S△ABC″=6+6.5+2.5=15．
故答案为：15．
【分析】根据AB的长度确定C点的不同位置，由已知条件，利用勾股定理可知AB= ，然后即可确定C点的位置；然后分别计算三个三角形的面积，相加即可.
12．一副三角板，按如图所示叠放在一起（其中一块三角板的一条直角边与另一块三角板的斜边摆放在一直线上），那么图中∠α＝ 度.
【答案】75
【解析】【解答】解：如下图
由题意可知：
所以在中，
所以
所以在中，
故答案为：75.
【分析】根据题意得然后利用三角形内角和及对顶角相等，得然后根据三角形内角和为180度进行求解即可.
13．如图，于点B，于点A，点E是中点，若，，，则的长是 ．
【答案】24
【解析】【解答】解：延长交于F，
∵，，
∴，
∴，
∵点E是中点，
∴，又，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
在中，，
∴，
故答案为：24．
【分析】
延长交于F，因为∠C=∠D，CE=DE，∠CEB=∠DEF，可由ASA证明，根据全等三角形的性质可以得到，，在Rt△ABF中利用勾股定理求解即可．
14．一只蚂蚁从长、宽都是3cm，高是8cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是 cm.
【答案】10
【解析】【解答】解：如图1所示：
AB= =10（cm），
如图2所示：
AB= （cm）．
∵10＜ ，
∴蚂蚁爬行的最短路程是10cm．
故答案为10．
【分析】将长方体展开，再利用勾股定理求解，最后比较大小即可。
15．△ABC中，∠ABC＝45°， ，AC＝13，则BC的长 ．
【答案】17或7
【解析】【解答】解：作AD⊥BC交直线BC于点D，
∵∠B＝45°， ，
∴AD＝BD＝12．
∵∠ADC＝90°，AD＝12，AC＝13，
∴CD＝ ．
①如果B、C在D点同侧，那么BC1＝BD C1D＝12 5＝7；
②如果B、C在D点异侧，那么BC2＝BD＋C2D＝12＋5＝17．
综上，BC边的长为7或17．
故答案为：7或17．
【分析】作AD⊥BC交直线BC于点D，根据∠B＝45°， ，得出AD＝BD＝12．利用勾股定理得出CD的值，分B、C在D点同侧、异侧，各得出BC的值即可。
16．如图，长方形ABCD中，AB=2，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为 ．
【答案】2或
【解析】【解答】解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=2，BC=4，
∴ ，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB=EB′，AB=AB′=2，
∴CB′= ，
设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2=CE2，
∴
即： ，
解得： ；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．
此时ABEB′为正方形，
∴BE=AB=2．
故答案为：2或 ；
【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC= ，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=2，可计算出CB′= -2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，，，，求的度数．
【答案】解：，
，
，，
，
，，
，
．
【解析】【分析】根据题意先求出，再根据三角形的内角和定理求出，最后计算求解即可.
18．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE．
（1）证明：△ADC≌△BCE．
（2）若CF＝2，CE＝3，求DE的长．
【答案】（1）证明：∵AD∥EB，
∴∠A＝∠B，
在△ADC和△BCE中，
，
∴△ADC≌△BCE（SAS）；
（2）解：∵△ADC≌△BCE，
∴CD＝CE，
∵CF平分∠DCE，
∴CF⊥DE，DF＝EF．
在Rt△CEF中，CF＝2，CE＝3，
由勾股定理得：EF，
∴．
【解析】【分析】(1)由AD||EB得A=B，由此可证明 △ADC≌△BCE；
(2)由全等的性质知CD=CE，结合角平分线的性质得DF=EF，由勾股定理得EF的长，即得DE的长.
19．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几”．此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的距离AB的长度为1尺．将它往前推送，当水平距离为10尺时．即尺，则此时秋千的踏板离地的距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，求绳索OA的长．
【答案】解：由题意可知： 尺，
设绳索OA的长为x尺，根据题意得
，
解得．
答：绳索OA的长为14.5尺．
【解析】【分析】设绳索OA的长为x尺，根据题意列出方程，再求出x的值即可。
20．如图，在 中， ， ， ，点D在AB上，且 ，求 的面积．
【答案】解：∵AB＝8cm，AC＝6cm，BC＝10cm， ∴AB2＋AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°， 设BD＝CD＝xcm，则AD＝(8－x)cm. 在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2＋AC2＝CD2， 即(8－x)2＋62＝x2，解得x＝ ，即BD＝ cm. ∴S△BDC＝ BD·AC＝ × ×6＝ (cm2)．
【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理可得△ABC为直角三角形且∠BAC=90°，设BD＝CD＝xcm，则AD＝(8－x)cm， 在Rt△ADC中 ，利用勾股定理可得(8－x)2＋62＝x2，求出x值，即得BD，利用三角形的面积公式求值即可.
21．如图，已知，，，，，求四边形的面积.
【答案】解：，，，
，
在中，，
是直角三角形，；
由图形可知：
.
【解析】【分析】根据勾股定理可得BD的长，再根据勾股定理的逆定理可判定△ABD为直角三角形，再根据三角形的面积公式计算求和即可.
22．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺板高离地……翻译成现代文：如图，秋千绳索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺(AC=1尺)．将它往前推进两步( EB⊥OC于点E，且EB=10尺)，踏板升高到点B的位置，此时踏板离地五尺(BD=5尺)，求秋千绳索(OA或OB)的长．
【答案】解：设OB=OA=x尺，
易知四边形BECD是长方形，
∴BD=EC=5尺，
在Rt△OBE中，∠OEB=90° ，OB=x尺，OE=(x-4)尺，BE= 10尺，
∴x2= 102+(x-4)*，
∴x=
∴OA的长为 尺
答：秋千绳索(OA或OB)的长为 尺。
【解析】【分析】设OB=OA=x尺，表示出OE的长，在Rt△OBE中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解，即可得出结果。
23．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定为90°的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准．
【答案】解：在中，，dm，dm，
由勾股定理，得
因为dm，dm，
所以，
所以，
所以，即，
所以该婴儿车符合安全标准.
【解析】【分析】根据勾股定理结合题意即可求解。
24．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”数形结合是解决数学问题的重要思想方法.数轴是数形结合的产物，用数轴上的点可以直观地表示实数，从而建立起“数”与“形”之间的联系.
（1）如图1，点是原点，点对应的实数为，过点作垂直于数轴，且，连接，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，那么点对应的实数为 ；
（2）在（1）的条件下，若将线段向右平移，使得点对应的实数为1，那么此时点对应的实数为 ；
（3）如图2，点对应的实数是3，射线垂直数轴于点，请在数轴上作出对应的点.（要求：尺规作图并保留作图痕迹）
【答案】（1）
（2）
（3）解：如图2，以A为圆心，1为半径画弧，交射线AB于点E，连接OE，再以 2所在点为圆心，OE的长为半径画弧，在右侧与数轴交于点M，则点M即为所求．如图所示：
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得，OA＝2，∠OAB＝90°，
∵AB＝1，
∴OB＝，
∴OC＝，
∴点C对应的实数为．
故答案为：．
（2）根据题意可得，线段OC向右平移1个单位长度，
∴此时点C对应的实数为+1．
故答案为：+1．【分析】（1）先利用勾股定理求出OB的长，即可得到OC的长，再结合数轴可得点C对应的实数为；
（2）利用数轴上点平移的特征：左减右加分析求解即可；
（3）以A为圆心，1为半径画弧，交射线AB于点E，连接OE，再以 2所在点为圆心，OE的长为半径画弧，在右侧与数轴交于点M，则点M即为所求．
25．李老师在数学课上开展小组活动，同学们将两个全等的含的直角三角板完全重合放置，固定一个顶点．然后将其中一个直角三角板绕这个顶点旋转，来探索图形旋转的奥妙．
已知：如图，在和中，，，．
【初识图形】
（1）如图，在绕点A旋转过程中，当点E恰好落在的边上时，连接、．则的长为，的长为．
【深度探析】
如图，在绕点A旋转过程中，当时，连接，延长交于点F．
（2）的度数为，的度数为；
（3）求证：点F为线段的中点．
【拓展探究】
（4）在绕点A旋转过程中，试探究B、D、E三点能否构成以为直角边的直角三角形．若能，求写出线段的长；若不能，请说明理由．
【答案】解：（1）连接，如图所示：
∴在和中，，，，，，
，
，
，
，
，，
∴为等边三角形，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴
，
故答案为：；
（3）证明：延长相交于点，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点为线段的中点；
（4）由（1）和图可知，时，，
在绕点旋转过程中，当点恰好落在的边的延长线上时，连接，如图所示：
由题意可知，，
，，
∴；
在绕点逆时针时，落在的边的延长线上时，连接，如图所示：
，，
为等边三角形，
，，
，
，
，；
综上，或或
【解析】【分析】（1）连接，根据含30°角的直角三角形性质可得，，根据三角形内角和定理可得∠BAC，根据勾股定理可得，根据边之间的关系可得BE，再根据勾股定理可得BD，再根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，即可求出答案；
（2）根据直线平行性质可得，根据角之间的关系可得角BAE，∠BAC，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得，根据角之间的关系可得∠BCF，再根据补角即可求出答案.
（3）延长相交于点，根据直线平行性质可得，则，根据等角对等边可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（4）分情况讨论：由（1）和图可知，时，；在绕点旋转过程中，当点恰好落在的边的延长线上时，连接，根据边之间的关系即可求出答案；在绕点逆时针时，落在的边的延长线上时，连接，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，，根据角之间的关系可得∠BDE，再根据勾股定理即可求出答案.
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