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解直角三角形 单元综合知识梳理卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．等腰三角形的两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．16 B．20 C．16或20 D．18
2．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．使 有意义的锐角x的取值范围是（ ）
A．x=45° B．x≠45°
C．45°＜x＜90° D．0°＜x＜45°
4．如图，直角三角板ABC的斜边AB=12㎝，∠A=30°，将三角板ABC绕C顺时针旋转90°至三角板 的位置后，再沿CB方向向左平移，使点落在原三角板ABC的斜边AB上，则三角板平移的距离为（ ）
A．6㎝ B．4㎝
C．（6－ ）㎝ D．（ ）㎝
5．已知：如图，在直角坐标系中，有菱形，点的坐标为，对角线，相交于点，反比例函数经过点，交的延长线于点，且，则点的坐标是( )
A． B． C． D．
6．如图，在矩形中，，点是上一点，将沿直线折叠，点落在矩形的内部点处，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端的影子与树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时竹竿与这一点相距5m，与树相距10m，则树的高度为（ ）
A．5m B．6m C．7m D．8m
8．直角三角形两条直角边长分别为和，则该直角三角形斜边上的中线长为（ ）
A． B． C．1 D．2
9．已知AB=1.5，AC=4.5，且A，B，C三点不共线，若BC的长为整数，则BC的长为( )
A．3 B．6 C．3或6 D．4或5
10．如图，菱形 和菱形 的边长分别为4和6， ，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点.若△CEF的周长为18，则OF的长为 .
12．如图1，某温室屋顶结构外框为，其中，立柱，且与横梁垂直．冬季将至，为了增大向阳面面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为（点E在的延长线上），立柱，如图2所示．若此时立柱，则向阳面斜梁增加部分的长度为 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，点，C、D是y轴上的两个动点，且，连接AD、BC，则的最小值为 ．
14．如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，，将沿BE折叠得，连接CF，DF，若CF平分，，则DF的长为 ．
15．如图：在△ABC中，AB=13，BC=12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD的周长是 ．
16．如图，在矩形 中，点E在边 上， 与 关于直线 对称，点B的对称点F在边 上，G为 中点，连结 分别与 交于M，N两点，若 ， ，则 的长为 ， 的值为 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在△ABC中，∠B＝30°，AB＝4，AD⊥BC于点D且tan∠CAD＝，求BC的长
18．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5．求AC的长和sinA的值．
19．如图，一架无人机在距离地面高度为14.3米的点A处，测得地面上点M的俯角为
53°，这架无人机沿仰角为350的方向飞行了56米到达点B，恰好在地面上点N的正
上方，M，N在同一水平线上.求M，N两点之间的距离. (结果精确到1米.参考数据： sin53°≈0.80 ，cos53°≈0.60，tan53°≈1 .33， sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，
tan35°≈0.70 )
20．某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角， 利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪， 如图 1 所示．
（1） 如图 2， 在 点观察所测物体最高点 ， 当量角器零刻度线上 两点均在视线 上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为 ， 设仰角为 ，请直接用含 的代数式表示 ．
（2）如图 3， 为了测量广场上空气球 离地面的高度， 该小组利用自制简易测角仪在点 分别测得气球 的仰角 为 为， 地面上点 在同一水平直线上， ， 求气球 市地面的高度 ． （参考数据： ）
21．如图，在中，，点从点出发沿射线方向，在射线上运动．在点运动的过程中，连结，并以为边在射线上方，作等边，连结．
（1）当 时，；
（2）请添加一个条件： ，使得为等边三角形；
（3）在（2）的条件下，当为等边三角形时，求证：；
22．一船在灯塔C正东方向4海里的A处，以30海里/时的速度沿西偏北60°方向航行．多长时间，船到达灯塔的正北？
23．如图，在线段AB的同侧作△PAB和△QAB，PB和QA相交于点O，M、N分别是边AQ、BP的中点，连结PQ，PM，MN，∠APQ=∠ABQ=90°．
（1）判断△PMN的形状，并说明理由；
（2）当AQ=26，BP=24时，求MN的长．
24．如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为．
（1）连接交于点，则在运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）试求何时是直角三角形？
（3）如图，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
25．如图，已知AC⊥BC，AD⊥DB，E为AB 的中点，
（1）如图1，求证：△ECD 是等腰三角形
（2）如图2，CD与AB交于点F，若AC=BC，若CE=4，BF=1，求CD的长
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解直角三角形 单元综合知识梳理卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．等腰三角形的两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．16 B．20 C．16或20 D．18
【答案】B
【解析】【解答】解：当腰长为4时，两边之和等于第三边，不符合题意.当底边为4时，腰长为8，符合题意，此时周长=8+8+4=20.
故答案为：B.
【分析】根据三角形的三边关系确定底和腰，然后根据三角形的周长计算即可.
2．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：过点作的垂线，垂足为，
因为每个小正方形的边长均为1，
则由勾股定理得，
，
．
在中，
．
故选：C
【分析】过点作的垂线，垂足为，根据勾股定理可得BM，AB，再根据余弦定义即可求出答案.
3．使 有意义的锐角x的取值范围是（ ）
A．x=45° B．x≠45°
C．45°＜x＜90° D．0°＜x＜45°
【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意，得
tanx﹣1＞0，即tanx＞1．
又tan45°=1，正切值随着角的增大而增大，得
x＞45°．
故选C．
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件讨论解答．
4．如图，直角三角板ABC的斜边AB=12㎝，∠A=30°，将三角板ABC绕C顺时针旋转90°至三角板 的位置后，再沿CB方向向左平移，使点落在原三角板ABC的斜边AB上，则三角板平移的距离为（ ）
A．6㎝ B．4㎝
C．（6－ ）㎝ D．（ ）㎝
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，过B′作B′D⊥AC，垂足为B′，
∵在Rt△ABC中，AB=12，∠A=30°，
∴BC= AB=6，AC=AB sin30°= ．
由旋转的性质可知B′C=BC=6，
∴AB′=AC－B′C= ．
在Rt△AB′D中，∵∠A=30°，
∴B′D=AB′ tan30°= （cm）．
故答案为：C．
【分析】如图，过B′作B′D⊥AC，垂足为B′，在Rt△ABC中∠A=30°，可得BC= AB=6，AC=AB sin30°= ．根据旋转的性质可得B′C=BC=6，从而求出AB′=AC－B′C= ，在Rt△AB′D中，∠A=30°，由B′D=AB′ tan30°即可求出结论.
5．已知：如图，在直角坐标系中，有菱形，点的坐标为，对角线，相交于点，反比例函数经过点，交的延长线于点，且，则点的坐标是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图所示，过B作BF⊥x轴于F，
∵四边形OABC是菱形，
∴BC∥AO，OA=AB，
∴∠ABC=∠BAF，
∵点A的坐标为（10，0），sin∠CBA=，
∴sin∠BAF=，
∴AO=AB=10，
∴BF=AB×sin∠BAF =6，
∴AF=8，
∴OF=OA+AF=18，
∴B（18，6），
∵D是OB的中点，
∴D（9，3），
∴反比例函数解析式为y=，
又∵点E的纵坐标为6，
∴令y=6，可得x=，
即点E的坐标是（，6），
故答案为：D
【分析】过B作BF⊥x轴于F，根据菱形性质可得∠ABC=∠BAF，再根据锐角三角函数定义可得AF=8，再根据边之间的关系可得B（18，6），根据D是OB的中点，可得D（9，3），根据待定系数法将点D坐标代入反比例函数解析式可得反比例函数解析式为y=，令y=6，可得x=，即点E的坐标是（，6），即可求出答案.
6．如图，在矩形中，，点是上一点，将沿直线折叠，点落在矩形的内部点处，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：过点分别作的垂线交于，如下图：
根据翻折的性质，
，
，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
解得：，
，
故答案为：A．
【分析】过点分别作的垂线交于，根据折叠的性质可得AB=AF=5，再根据可得，再利用线段的和差求出MF的长，再利用求出ME的长，最后利用勾股定理求出EF的长即可。
7．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端的影子与树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时竹竿与这一点相距5m，与树相距10m，则树的高度为（ ）
A．5m B．6m C．7m D．8m
【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示：
∵AB⊥OD，CD⊥OD，
∴AB∥CD，
∴△OAB∽△OCD，
∴ ，
即 ，
解得：CD=6（米）；
即树的高度为6m；
故答案为：B．
【分析】先将实际问题转化为数学问题，先证明△OAB∽△OCD，再根据相似三角形的性质，得出对应边成比例，建立方程，求解即可。
8．直角三角形两条直角边长分别为和，则该直角三角形斜边上的中线长为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】【解答】解：∵两条直角边的长分别是为和，
∴斜边==4，
∴斜边上的中线=2．
故答案为：D．
【分析】利用勾股定理求出斜边的长，再利用直角三角形斜边上中线的性质求解即可。
9．已知AB=1.5，AC=4.5，且A，B，C三点不共线，若BC的长为整数，则BC的长为( )
A．3 B．6 C．3或6 D．4或5
【答案】D
【解析】【解答】解：①A，B，C三点在同一条直线上，点B在线段AC上，
BC=AC-AB=3，点B在CA的延长线上，
BC=AB+AC=6，
②A，B，C三点不在同一条直线上，
根据三角形的三边关系可得：4.5-1.5
即：3∵BC边长为整数，
∴AB=4或5.
故答案为：D.
【分析】根据三角形的三边关系，可得AC-AB10．如图，菱形 和菱形 的边长分别为4和6， ，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】如图，设BF交CE于点H，过B点作BM⊥DC交DC的延长线于M点，过F点作FN⊥CD交CD的延长线于N点.
∵菱形ECGF的边CE∥GF，
∴△BCH∽△BGF，
∴ ，
即
解得CH=
所以，DH=CD-CH=4- = ，
∵四边形 和四边形 是菱形，∠A=120°，
∴AD∥BC，AB∥CD，EF∥CG
∴∠NEF=∠ECG=∠BCM=∠ABC=180°-120°=60°，
∴BM=BC×sin60°=4× =2
FN=EF×sin60°=6× =3
∴阴影部分的面积=
=
故答案为：C
【分析】设BF交CE于点H，根据菱形的对边平行，利用相似三角形对应边成比例列式求出CH，然后求出DH，根据菱形邻角互补求出∠ABC=60°，再求出点B到CD的距离以及点G到CE的距离；然后根据阴影部分的面积=S△BDH+S△FDH，根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点.若△CEF的周长为18，则OF的长为 .
【答案】3.5
【解析】【解答】解：∵CE=5，△CEF的周长为18，
∴CF+EF=18-5=13.
∵F为DE的中点，
∴DF=EF.
∵∠BCD=90°，
∴CF= DE，
∴EF=CF= DE=6.5，
∴DE=2EF=13，
∴CD= =12.
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=12，O为BD的中点，
∴OF是△BDE的中位线，
∴OF= （BC-CE）= （12-5）=3.5.
故答案为：3.5.
【分析】根据三角形的周长计算方法得出CF+EF=13，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CF=EF=FD= DE=6.5，然后根据勾股定理算出CD的长，根据正方形的性质及线段的和差算出BE的长，最后根据三角形的中位线定理由OF=算出答案。
12．如图1，某温室屋顶结构外框为，其中，立柱，且与横梁垂直．冬季将至，为了增大向阳面面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为（点E在的延长线上），立柱，如图2所示．若此时立柱，则向阳面斜梁增加部分的长度为 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：立柱，且与横梁垂直，
，
，
，
，
故答案为：2．
【分析】由△ABC和△EBC等腰三角形，，在Rt△ABD和Rt△EBF中，由直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半得AB=AC=2AD=4m，得，再利用垂直平分线的性质得出AB=AC=4m，得出AE=EB-AB．
13．如图，在平面直角坐标系中，点，C、D是y轴上的两个动点，且，连接AD、BC，则的最小值为 ．
【答案】5
【解析】【解答】解：把向下平移3个单位到，作点E关于y轴的对称点F，则，连接，
由题意得：，
则点F的坐标是，
则，
∵，
∴．
故答案为：5．
【分析】先求出点F的坐标，再结合求出即可。
14．如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，，将沿BE折叠得，连接CF，DF，若CF平分，，则DF的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点F作FG⊥BC于点G，FH⊥CD于点H，
∵CF平分∠BCD，
∴FH=FG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=2，∠BCD=∠ABC=90°，
∴由折叠的性质可得：BF=AB=2，∠FBE=∠ABE=30°，
∴∠FBG=30°，
∴FG=BF=1，
∴HF=1，CH=FG=1，
∴DH=CD-CH=1，
∴在Rt△DFH中，DF=.
故答案为：.
【分析】过点F作FG⊥BC于点G，FH⊥CD于点H，由矩形的性质可得CD=AB=2，∠BCD=∠ABC=90°，由折叠的性质可得：BF=AB=2，∠FBE=∠ABE=30°，于是可得∠FBG=30°，由含30°角的直角三角形的性质可得FG=BF=1，由角平分线的性质可得FH=FG，然后在Rt△DFH中，用勾股定理可求得DF的值.
15．如图：在△ABC中，AB=13，BC=12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD的周长是 ．
【答案】18
【解析】【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴AC=2DE=5，AC∥DE，
∵AC2+BC2=52+122=169，
AB2=132=169，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
又∵D是BA的中点，
∴DC=BD，
∴△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=18.
故答案为：18．
【分析】根据三角形中位线定理得到AC=2DE=5，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DC=BD，根据三角形的周长公式计算即可．
16．如图，在矩形 中，点E在边 上， 与 关于直线 对称，点B的对称点F在边 上，G为 中点，连结 分别与 交于M，N两点，若 ， ，则 的长为 ， 的值为 .
【答案】2；
【解析】【解答】解： 与 关于直线 对称，矩形
矩形
为 的中点，
如图，
四边形 都是矩形，
设 则
解得：
经检验： 是原方程的根，但 不合题意，舍去，
故答案为：
【分析】根据对称的性质，再结合矩形的性质，可得△BEC≌△FEC，利用角角边定理证明△BCN≌△CFD，得出BN=CD，再根据平行线的性质，推出∠GMC=∠GCM，从而得出CG=MG=1，结合G为CD的中点，则知CD的长，则BN也可求；再根据矩形的性质和余角的性质再证明△AFE∽△CBG，根据相似三角形的性质列比例式，设构建方程求解，再求出AE和EF，最后利用三角函数定义计算即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在△ABC中，∠B＝30°，AB＝4，AD⊥BC于点D且tan∠CAD＝，求BC的长
【答案】解：∵于点D，
∴，为直角三角形，
在中，，，
∴，，
在中，，，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】利用含30°角的直角三角形的性质及勾股定求出，， 在中 ，由求出CD，利用BC=BD+CD即可求解.
18．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5．求AC的长和sinA的值．
【答案】解：∵∠C=90°，AB=13，BC=5，
∴AC==12．sinA=
【解析】【分析】根据勾股定理求出AC的长，再根据锐角三角函数的定义求出∠A的正弦值、余弦值和正切值.
19．如图，一架无人机在距离地面高度为14.3米的点A处，测得地面上点M的俯角为
53°，这架无人机沿仰角为350的方向飞行了56米到达点B，恰好在地面上点N的正
上方，M，N在同一水平线上.求M，N两点之间的距离. (结果精确到1米.参考数据： sin53°≈0.80 ，cos53°≈0.60，tan53°≈1 .33， sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，
tan35°≈0.70 )
【答案】解：如图，过点A作 于点C，过点M作 于点D.
在 中， 米， ，
∴ 米
在 中， 米， ，
∴ （米）.
∵ ， ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ （米）.
答：M，N两点之间的距离约为 米.
【解析】【分析】过点A作AC⊥BN于C.过点M作MD⊥AC于D，在Rt△AMD中，通过解直角三角形可求出AD的长，在Rt△ABC中，通过解直角三角形可求出AC的长，由AC⊥BN，MD⊥AC，MN⊥BN可得出四边形MDCN是矩形，再利用矩形的性质即可求出MN的长，此题得解.
20．某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角， 利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪， 如图 1 所示．
（1） 如图 2， 在 点观察所测物体最高点 ， 当量角器零刻度线上 两点均在视线 上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为 ， 设仰角为 ，请直接用含 的代数式表示 ．
（2）如图 3， 为了测量广场上空气球 离地面的高度， 该小组利用自制简易测角仪在点 分别测得气球 的仰角 为 为， 地面上点 在同一水平直线上， ， 求气球 市地面的高度 ． （参考数据： ）
【答案】（1）解：根据题意得 ．
（2）解：设 ，
，
．
在 Rt 中， ， 即
，
解得 ，
答： 气球 离地面的高度 是 ．
【解析】【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余，得到；
（2）根据∠ACD=45°，得到CD=AD=xm，，BD=（20+x）m，在 Rt 中，利用正切得到列方程，即可得到AD.
21．如图，在中，，点从点出发沿射线方向，在射线上运动．在点运动的过程中，连结，并以为边在射线上方，作等边，连结．
（1）当 时，；
（2）请添加一个条件： ，使得为等边三角形；
（3）在（2）的条件下，当为等边三角形时，求证：；
【答案】（1）30
（2）
（3）解：如图，
与是等边三角形，
，，，
，
即，
在与中，
，
，
，
，
∴．
【解析】【解答】（1）解：当∠BAM＝30°时，
∴∠AMB＝180° 60° 30°＝90°，
∴AB＝2BM；
故答案为：30；
（2）解：添加一个条件AB＝AC，可得△ABC为等边三角形；
故答案为：AB＝AC（答案不唯一）；
【分析】（1）先利用三角形的内角和求出∠AMB=90°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得；
（2）利用等边三角形的性质求出AB＝AC即可；
（3）先利用角的运算求出，再利用”SAS“证出，利用全等三角形的性质可得BM=CN，再利用线段的和差及等量代换可得．
22．一船在灯塔C正东方向4海里的A处，以30海里/时的速度沿西偏北60°方向航行．多长时间，船到达灯塔的正北？
【答案】解：
由题意得：∠A=60°，
当船到达灯塔的正北B点时，∠BCA=90°，
∴∠B=30°，
∴AB=2AC=2×4=8（海里）
∴ （小时）
答： 小时后，船到达灯塔的正北方向．
【解析】【分析】先求出 ∠B=30°， 再求出AB=8，最后计算求解即可。
23．如图，在线段AB的同侧作△PAB和△QAB，PB和QA相交于点O，M、N分别是边AQ、BP的中点，连结PQ，PM，MN，∠APQ=∠ABQ=90°．
（1）判断△PMN的形状，并说明理由；
（2）当AQ=26，BP=24时，求MN的长．
【答案】（1）解：△PMN为直角三角形，理由如下：
如图，连结BM，
∵∠APQ=∠ABQ=90°，点M是AQ的中点
∴PM=AQ，BM=AQ，
∴PM=BM
又∵N为PB的中点
∴MN⊥PB
∴△PMN为直角三角形
（2）解：由(1)知PM=AQ，
∵AQ=26
∴PM=13
又∵N为BP的中点，且BP=24
∴PN=BP=12
∵MN⊥PB
∴MN2=PM2-PN2=25
∴MN=±5
又∵MN>0
∴MN=5
【解析】【分析】(1)连结BM，由直角三角形斜边中线的性质可证 PM＝BM，再由等腰三角形三线合一的性质证明 即可；
(2)先求出PM和PN的长，再利用勾股定理求解即可.
24．如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为．
（1）连接交于点，则在运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）试求何时是直角三角形？
（3）如图，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
【答案】（1）解：不变，理由：
∵是等边三角形，
∴，，
由题意得：，
在和中，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设时间为，则，，
当时，
∵，
∴，
∴，得，解得：；
当时，
∵，
∴，
∴，得，解得：，
当第或秒或第一秒时，为直角三角形；
（3）解：不变，理由：
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
由题意得，
在和中，
，
∴，
∴，又，
∴．
【解析】【分析】（1）根据等边三角形性质可得，，由题意得：，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据三角形外角性质即可求出答案.
（2）设时间为，则，，分情况讨论：当时，当时，根据含30°角的直角三角形性质建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据等边三角形性质可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
（1）不变，理由：
∵是等边三角形，
∴，，
由题意得：，
在和中，
∴，
∴，
∴；
（2）设时间为，则，，
当时，
∵，
∴，
∴，得，解得：；
当时，
∵，
∴，
∴，得，解得：，
当第或秒或第一秒时，为直角三角形；
（3）不变，理由：
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
由题意得，
在和中，
，
∴，
∴，又，
∴．
25．如图，已知AC⊥BC，AD⊥DB，E为AB 的中点，
（1）如图1，求证：△ECD 是等腰三角形
（2）如图2，CD与AB交于点F，若AC=BC，若CE=4，BF=1，求CD的长
【答案】（1）证明：∵AC⊥BC， AD⊥DB
∴∠ACB=∠ADB=90°.
∵E为AB的中点
∴CE=DE=AB.
∴△ECD是等腰三角形.
（2）解：过E作EG⊥CD
∵CE=DE
∴CD=2CG
∵∠ACB=90°，AC=BC，E为AB的中点
∴ BE=CE=4， CE⊥AB.
∵ BF=1
∴EF =3，
∴在Rt△CEF中，CF=5
∴EG=
∴在Rt△CEG中，
∴CD=2CG=
【解析】【分析】（1）结合直角三角形斜边上中线等于斜边一半即可证明；
（2）由题意得到等腰直角△CEB，求得EF长度，结合勾股定理求得CF长度，利用等面积法求得EG长度，从而得到CG，进而求解.
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