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几何图形初步 单元综合优选测评卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．把一个直角分成两个锐角，如果一个锐角是另一个锐角的2倍，那么较小的锐角是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知射线OA⊥射线OB， 射线OA表示北偏西25°的方向，则射线OB表示的方向为（ ）
A．北偏东65° B．北偏东55° C．北偏东75° D．东偏北75°
3．如图，O是直线AB上一点， ，OD是 的角平分线，则 等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图， 是 的平分线，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如下图，下列说法正确的是（ ）
A．与表示同一个角 B．
C．图中共有两个角：， D．表示
6．要在墙上固定一根木条，小明说只需要两根钉子，这其中用到的数学道理是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．线段只有一个中点 D．两条直线相交，只有一个交点
7．如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“国”字一面的相对面上的字是（ ）
A．少 B．年 C．强 D．则
8．如图所示，将一张长方形纸的一角斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕，如果BD为∠A′BE的平分线，则∠CBD=（ ）
A．80° B．90° C．100° D．70°
9．如图，是正方体包装盒的平面展开图，如果在其中的三个正方形A、B、C内分别填上适当的数，使得将这个平面展开图折成正方体后，相对面上的两数字互为相反数，则填在A、B、C内的三个数字依次为（ ）
A．0，1，﹣2 B．1，0，﹣2
C．﹣2，0，1 D．0，﹣2，1
10．如图，按照上北下南，左西右东的规定画出方向十字线，∠AOE＝m°，∠EOF＝90°，OM、ON分别平分∠AOE和∠BOF，下面说法：
①点E位于点O的北偏西m°；②图中互余的角有4对；③若∠BOF＝4∠AOE，则∠DON＝54°；④若 ，则n的倒数是 ，其中正确有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝9cm，BC＝6cm，BF＝5cm，点M在棱AB上，且AM＝3cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为 cm．
12．在点O北偏西60°的某处有一点A，在点O南偏西20°的某处有一点B，则∠AOB的度数是
13．如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字之和的最小值的是 ．
14．如图，一个正方体形状的木块，棱长为2米，若沿正方体的三个方向分别锯成3份、4份和5份，得到若干个大大小小的长方体木块，则所有这些长方体木块的表面积和是 平方米．
15．已知一个n棱柱共有12条棱，那么这个n棱柱共有 个顶点．
16．十八世纪数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（ ），面数（ ），棱数（ ）之间存在一个有趣的数量关系： ，这就是著名的欧拉定理．某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点都有3条棱，设该多面体外表面三角形个数是 个，八边形的个数是 ，则x+y= ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．一艘轮船在某海域上由西向东匀速航行，在A处测得小岛P在北偏东75°方向上，继续向东航行12海里到达B处后，在B处测得小岛P在北偏东60°方向上．
（1）求轮船在B处时与小岛P的距离．
（2）已知在小岛P周围7海里内有暗礁，若轮船继续向东航行，是否有触礁的危险？请说明理由．
18．如图，是直线上一点，在的内部，是的平分线．
（1）若，求的度数．
（2）若与互余，请说明是的平分线．
19．如图，点O在直线上，，，平分．
（1）求的度数；
（2）求的度数；
（3）是否平分？试说明理由．
20．如图，是的平分线，是的平分线．
（1）若，求的度数；
（2）若，且，求的度数．
21．如图，∠AOC=100°，∠BOD=40°，射线OM 在∠AOB 内部，射线ON 在∠COD 内部，∠AOB=4∠AOM，∠COD=4∠CON.求∠MON 的度数.
22． 如图，直线 EF 与 MN 相交于点 O，∠MOE=30° . 将一把三角尺的直角顶点与点 O 重合，直角边 OA 与 MN 重合，OB在∠NOE内部。进行如下操作：将三角尺绕点O 以每秒3°的速度按顺时针方向旋转一周。设运动时间为t(s)。
（1）当t 为何值时，直角边 OB 恰好平分 ∠NOE？此时OA 是否平分∠MOE？请说明理由。
（2）若在三角尺转动的同时，直线EF 也绕点O以每秒9°的速度按顺时针方向旋转一周，当一方先旋转一周时，另一方停止转动。
①当t为何值时， EF 平分∠AOB
②EF能否平分∠NOB 若能， 请直接写出t的值； 若不能， 请说明理由。
23．如图，点O在直线AB 上，射线 OD 平分
（1）当 时，求∠BOE 的度数.
（2）射线 OE 是∠BOC的平分线吗 为什么
24．已知是直线上的一点，是直角，平分，如图（1）所示.
（1）①若，求的度数；
②若，直接写出的度数（用含的式子表示）.
（2）将图（1）中的绕点顺时针旋转至图（2）所示的位置，试探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由.
25．如图，直线EF，CD相交于点O，，OC平分.
（1）若，则的度数为 °；
（2）若，求的度数；
（3）观察（2）的结果，猜想和的数量关系，并说明理由.
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几何图形初步 单元综合优选测评卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．把一个直角分成两个锐角，如果一个锐角是另一个锐角的2倍，那么较小的锐角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
2．如图，已知射线OA⊥射线OB， 射线OA表示北偏西25°的方向，则射线OB表示的方向为（ ）
A．北偏东65° B．北偏东55° C．北偏东75° D．东偏北75°
【答案】A
【解析】【解答】∵OA与正北方向的夹角是25°，
∴OB与正北方向的夹角是：90°-25°=65°，
则OB的方向角为北偏东65°．
故答案为：A．
【分析】首先求得OB与正北方向的夹角，然后根据方向角的定义求解．
3．如图，O是直线AB上一点， ，OD是 的角平分线，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】∵∠AOC=46°，
∴∠BOC=180°-46°=134°，
∵OD是∠COB的角平分线，
∴∠DOB= ∠COB= ×134°=67°，
故答案为：C．
【分析】由平角的定义可得∠BOC=180°-46°=134°，再根据角平分线的性质∠DOB= ∠COB即可求解．
4．如图， 是 的平分线，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵ 是 的平分线，
∴ ， ， ，
故答案为：D．
【分析】根据角平分线的定义，结合图形判断各选项即可得出答案．
5．如下图，下列说法正确的是（ ）
A．与表示同一个角 B．
C．图中共有两个角：， D．表示
【答案】A
【解析】【解答】解：A．∠1与∠AOB表示同一个角，故本选项符合题意；
B．不一定成立，不符合题意；
C．图中共有三个角：，，∠AOC，不符合题意；
D．表示，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】结合所给的图形，对每个选项一一判断即可。
6．要在墙上固定一根木条，小明说只需要两根钉子，这其中用到的数学道理是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．线段只有一个中点 D．两条直线相交，只有一个交点
【答案】B
【解析】【解答】解：经过两个不同的点只能确定一条直线．
故选B．
【分析】根据概念利用排除法求解．
7．如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“国”字一面的相对面上的字是（ ）
A．少 B．年 C．强 D．则
【答案】C
【解析】【解答】解：正方体的平面展开图中，相对的面一定相隔一个正方形，所以与“国”字处于正方体相对面上的是“强”；
故答案为：C.
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点求解即可.
8．如图所示，将一张长方形纸的一角斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕，如果BD为∠A′BE的平分线，则∠CBD=（ ）
A．80° B．90° C．100° D．70°
【答案】B
【解析】【解答】解：因为将顶点A折叠落在A′处，所以∠ABC=∠A′BC，
又因为BD为∠A′BE的平分线，
所以∠A′BD=∠DBE，
因为∠ABC+∠A′BC+∠A′BD+∠DBE=180°，
∴2∠A′BC+2∠A′BD=180°，
所以∠CBD=∠A′BC+∠A′BD=90°．
故选B．
【分析】利用角平分线的性质和平角的定义计算．
9．如图，是正方体包装盒的平面展开图，如果在其中的三个正方形A、B、C内分别填上适当的数，使得将这个平面展开图折成正方体后，相对面上的两数字互为相反数，则填在A、B、C内的三个数字依次为（ ）
A．0，1，﹣2 B．1，0，﹣2
C．﹣2，0，1 D．0，﹣2，1
【答案】C
【解析】【解答】解：由正方体的展开图的特点可知B的对面是0，C的对面是﹣1，A的对面是2．
由相反数的定义可知：A、B、C表示的数分别为﹣2，O，1．
故选；C．
【分析】依据正方体对面的特点先确定出A、B、C的对面，然后依据相反数的定义解答即可．
10．如图，按照上北下南，左西右东的规定画出方向十字线，∠AOE＝m°，∠EOF＝90°，OM、ON分别平分∠AOE和∠BOF，下面说法：
①点E位于点O的北偏西m°；②图中互余的角有4对；③若∠BOF＝4∠AOE，则∠DON＝54°；④若 ，则n的倒数是 ，其中正确有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠AOE＝m°，
∴∠EOD=90° m°，
∴点E位于点O的北偏西90° m°，故①错误；
∵∠EOF＝90°，
∴∠EOD+∠DOF＝90°，∠AOE+∠BOF=90°，
∵∠AOD=∠BOD=90°，
∴∠AOE+∠EOD=90°，∠DOF+∠FOB=90°，
∠AOM+∠MOD=90°，∠BON+∠DON=90°，
∵OM、ON分别平分∠AOE和∠BOF，
∴∠AOM=∠EOM，∠BON=∠FON，
∴∠EOM+∠MOD=90°，∠FON+∠DON=90°，
∴图中互余的角共有8对，故②错误；
∵∠BOF＝4∠AOE，∠AOE+∠BOF=90°，
∴∠BOF=72°，
∴∠BON=36°，
∴∠DON=90° 36°=54°；故③正确；
∵∠AOE+∠BOF=90°，
∴∠MOE+∠NOF= ，
∴ ，
∴ ，
∴n的倒数是 ，故④正确；
∴正确的选项有③④，共2个；
故答案为：B.
【分析】 易得∠EOD=90°-m°，而方向角指的是采用某坐标轴方向作为标准方向所确定的方位角 ，据此判断①；根据角平分线的概念得∠AOM=∠EOM，∠BON=∠FON，然后根据互余两个角之和为90°可判断②；易得∠BOF=72°，∠BON=36°，据此可判断③；根据∠AOE+∠BOF=90°以及角平分线的概念可得∠MOE+∠NOF=45° ，则∠MON=135°，据此判断④.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝9cm，BC＝6cm，BF＝5cm，点M在棱AB上，且AM＝3cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为 cm．
【答案】10
【解析】【解答】解：①把长方体展开如图，
∵AB＝9cm，AM＝3cm，
∴MB=AB-AM=6cm，
∵BC＝GF＝6，点N是FG的中点，BF＝5cm，
∴BN=BF+FN=BF+FG=8cm，
∴MN=cm.
此时，它需要爬行的最短路程为10cm
②把长方体展开如图，
根据题意得：AB＝9cm，AM＝3cm，BC＝6cm，BF＝5cm，
∴PN=BF=5cm，PM=9cm，
∴MN=cm.
③把长方体展开如图，
根据题意得：AB＝9cm，AM＝3cm，BC＝6cm，BF＝5cm，
∴FN=3cm，FM=11cm，
∴MN=cm.
综上所述，蚂蚁需要爬行的最短路程为10cm.
故答案为：10.
【分析】分别把正方体分三种情况展开：①沿AB、BF、FG、GH、HE、EA展开，②沿AB、BC、CG、GF、FE、EA展开，③沿AB、BF、FG、GC、CD、DA展开，分别根据勾股定理计算出三种情况下的最短路程MN为10cm、cm、cm即可得答案.
12．在点O北偏西60°的某处有一点A，在点O南偏西20°的某处有一点B，则∠AOB的度数是
【答案】100°
【解析】【解答】解：如图所示：
∵点O北偏西60°的某处有一点A，
在点O南偏西20°的某处有一点B，
∴∠AOB=180°﹣60°﹣20°=100°．
故答案为：100°．
【分析】由南北线是一条直线可得一个平角，再根据方位角可得∠AOB=180°﹣60°﹣20°，计算可求出答案.
13．如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字之和的最小值的是 ．
【答案】6
【解析】【解答】解：由正方体的展开图的特点可得：2和6是相对的两个面；3和4是相对两个面；1和5是相对的2个面，
∵2+6=8，3+4=7，1+5=6，
所以原正方体相对两个面上的数字和最小的是6．
故答案为6．
【分析】先利用正方体的展开图，找出对应边，再求解并比较即可。
14．如图，一个正方体形状的木块，棱长为2米，若沿正方体的三个方向分别锯成3份、4份和5份，得到若干个大大小小的长方体木块，则所有这些长方体木块的表面积和是 平方米．
【答案】96
【解析】【解答】解：沿水平方向将它锯成3片，是切割了2刀，同理，每片又锯成4长条，是切了3刀，每条又锯成5小块，是切了4刀，所以一共切了2+3+4=9刀，
所以这60个小长方体的表面积之和是：2×2×6+9×2×2×2=24+72=96（平方米）
故答案是96．
【分析】先求出一共切了9刀，再求出这60个小长方体的表面积之和即可。
15．已知一个n棱柱共有12条棱，那么这个n棱柱共有 个顶点．
【答案】8
【解析】【解答】解：根据题意得：3n=12．
解得：n=4．
2×4=8．
故答案为：8．
【分析】根据n棱柱有n+2面，3n条棱，2n个顶点求解即可．
16．十八世纪数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（ ），面数（ ），棱数（ ）之间存在一个有趣的数量关系： ，这就是著名的欧拉定理．某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点都有3条棱，设该多面体外表面三角形个数是 个，八边形的个数是 ，则x+y= ．
【答案】14
【解析】【解答】解：∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；
∴共有24×3÷2=36条棱，
那么24+f-36=2，解得f=14，
∴x+y=14．
故答案为：14．
【分析】得到多面体的棱数，求得面数即为x+y的值．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．一艘轮船在某海域上由西向东匀速航行，在A处测得小岛P在北偏东75°方向上，继续向东航行12海里到达B处后，在B处测得小岛P在北偏东60°方向上．
（1）求轮船在B处时与小岛P的距离．
（2）已知在小岛P周围7海里内有暗礁，若轮船继续向东航行，是否有触礁的危险？请说明理由．
【答案】（1）解：由题意得，，
∵，
，
海里．
答：轮船在B处时与小岛P的距离为12海里．
（2）解：若该轮船继续向东航行，有触礁的危险．理由如下：
如图，过点P作直线于点D．
海里，
海里．
，
∴若该轮船继续向东航行，有触礁的危险．
【解析】【分析】（1）由题意得，，进而结合题意进行角的运算即可求解；
（2）过点P作直线于点D，再根据含30°角的直角三角形的性质结合题意即可求解。
18．如图，是直线上一点，在的内部，是的平分线．
（1）若，求的度数．
（2）若与互余，请说明是的平分线．
【答案】（1）解：∵，∴，
∵是的平分线，
∴
（2）解：∵与互余，∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴是的平分线
【解析】【分析】本题考查了角平分线的定义，平角的性质及余角的性质.
（1）先根据平角的定义求出的度数，再利用角平分线定义求出∠BOF的度数；
（2）由余角的性质得到，利用等角的余角相等结合角平分线的定义，得到，进而说明OG是∠BOC的平分线．
（1）解：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴．
（2）解：∵与互余，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴是的平分线．
19．如图，点O在直线上，，，平分．
（1）求的度数；
（2）求的度数；
（3）是否平分？试说明理由．
【答案】（1）解：，平分，
，
；
（2）解：，，
，
；
（3）平分；
理由：，，
，
又 ，
平分．
【解析】【分析】（1）根据角分线的定义解题即可；
（2）根据角的和差解题即可；
（3）先根据角的和差求出∠COE的度数，然后根据角平分线的定义得到结论即可．
（1）解：，平分，
，
；
（2）解：，，
，
；
（3）平分；
理由：，，
，
又 ，
平分．
20．如图，是的平分线，是的平分线．
（1）若，求的度数；
（2）若，且，求的度数．
【答案】（1）解：∵是的平分线，是的平分线，
∴，，
∴.
（2）解：∵是的平分线，是的平分线，
∴，．
∵，
∴，
∴，
解得
∴．
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可得，，再利用角的运算求出∠AOE的度数即可；
（2）先利用角平分线的定义可得，，再利用角的运算和等量代换可得，求出，最后求出即可．
（1）解：∵是的平分线，是的平分线，
∴，，
∴；
（2）解：∵是的平分线，是的平分线，
∴，．
∵，
∴，
∴，
解得
∴．
21．如图，∠AOC=100°，∠BOD=40°，射线OM 在∠AOB 内部，射线ON 在∠COD 内部，∠AOB=4∠AOM，∠COD=4∠CON.求∠MON 的度数.
【答案】解：设∠COB=x，则
∵∠AOB=4∠AOM，∠COD=4∠CON，
【解析】【分析】设∠COB=x，然后根据角的倍数关系求出∠AOM和∠CON的度数，然后根据角的和差解答即可.
22． 如图，直线 EF 与 MN 相交于点 O，∠MOE=30° . 将一把三角尺的直角顶点与点 O 重合，直角边 OA 与 MN 重合，OB在∠NOE内部。进行如下操作：将三角尺绕点O 以每秒3°的速度按顺时针方向旋转一周。设运动时间为t(s)。
（1）当t 为何值时，直角边 OB 恰好平分 ∠NOE？此时OA 是否平分∠MOE？请说明理由。
（2）若在三角尺转动的同时，直线EF 也绕点O以每秒9°的速度按顺时针方向旋转一周，当一方先旋转一周时，另一方停止转动。
①当t为何值时， EF 平分∠AOB
②EF能否平分∠NOB 若能， 请直接写出t的值； 若不能， 请说明理由。
【答案】（1）解：∵∠MOE=30°
∴∠NOE=180°-∠MOE=150°
∵ OB平分∠NOE
∴
∴90°-3t°=75°
解得：t=5
此时，即OA平分∠MOE
（2）①若OE 平分∠AOB，由题意得
解得t=2.5
若OF 平分∠AOB，由题意得：
2，
解得t=32.5
综上所述，当t=2.5或32.5时，EF平分∠AOB
②EF 能平分∠NOB，t 的值为14或38
【解析】【解答】解：（2）②当OB在MN上方时，由题意可得：
180°-30°-9t=(90°-3t)÷2
解得：t=14
当OB在MN下方时，由题意可得：
9t-(360°-30°)=(3t-90°)÷2
解得：t=38
综上所述，EF 能平分∠NOB，t 的值为14或38
【分析】（1）根据邻补角可得∠NOE=150°，再根据角平分线定义可得角=∠NOB=75°，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）①分情况讨论：若OE 平分∠AOB，若OF 平分∠AOB，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
②分情况讨论：当OB在MN上方时，当OB在MN下方时，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
23．如图，点O在直线AB 上，射线 OD 平分
（1）当 时，求∠BOE 的度数.
（2）射线 OE 是∠BOC的平分线吗 为什么
【答案】（1）解：∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠DOC，
∵∠AOC=80°，
∴∠AOD=40°，
∵ ∠DOE=90°，
（2）解：OE是∠BOC的平分线，理由如下：
∵OD 平分∠AOC，
∴∠AOD=∠DOC，
又∠DOE=90°，
∴∠COD+∠COE=90°，
则∠AOD+∠BOE=90°，
∴∠COE=∠BOE.
即 OE是∠BOC的平分线.
【解析】【分析】（1）先根据角平分线的定义得到∠AOD=∠DOC，再结合题意进行角的运算即可求解；
（2）先根据角平分线的定义得到∠AOD=∠DOC，进而根据直角等量代换得到∠COE=∠BOE，从而即可求解。
24．已知是直线上的一点，是直角，平分，如图（1）所示.
（1）①若，求的度数；
②若，直接写出的度数（用含的式子表示）.
（2）将图（1）中的绕点顺时针旋转至图（2）所示的位置，试探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由.
【答案】（1）解：①因为，
所以.
因为平分，所以.
又因为，所以.
②.
（2）解：.
理由如下：因为，平分，
所以.
所以.
【解析】【解答】 解：②
，
.
平分
.
【分析】（1）解决这类问题，可以从问题入手推导，观察图中体现的所求角和已知角的数量关系，发现所求角 ，而根据已知的角平分线将等量代换，是的一半， 与已知的互补可以直接求，则可求，代入关系式可求；②同理， 根据（1）的思路将代入，求解即可；（2）前两个小问的求解给这个问题提供了思路，仍然根据的等量关系，将等量代换，可求得关系式 。
25．如图，直线EF，CD相交于点O，，OC平分.
（1）若，则的度数为 °；
（2）若，求的度数；
（3）观察（2）的结果，猜想和的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）75
（2）解：∵，，
∴.
∵OC平分，
∴.
∵，
∴；
（3）解：猜想：.
理由如下：
∵OC平分，
∴.
∵，
∴.
∵，，
∴.
∴.
【解析】【解答】解：（1）∵∠AOE=30°，
∴∠AOF=180°-∠AOE=180°-30°=150°，
∵OC平分∠AOF，
∴∠AOC=∠AOF=75°，
故答案为：75.
【分析】（1）先利用角的运算求出∠AOF=180°-∠AOE=180°-30°=150°，再利用角平分线的定义可得∠AOC=∠AOF=75°；
（2）先利用角的运算求出，再利用角平分线的定义可得，再利用角的运算求出即可；
（3）利用角平分线的定义可得，再结合，， 求出，再利用等量代换可得.
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