中小学教育资源及组卷应用平台
全等三角形 单元同步真题检测卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，已知，，添加下列条件，能判定≌的是（ ）
A． B． C． D．
2．自行车的支架一般都会采用如图△ABC的设计，这种方法应用的几何原理是 ( )
A．两点确定一条直线 B．垂线段最短
C．三角形的稳定性 D．两点之间线段最短
3．如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（ ） ．
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
4．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，点D是BC上的一点，添加下列哪个条件不一定能使得△ABD≌△ACD成立的是（ ）
A．BD＝CD B．∠1＝∠2
C．∠B＝∠C D．∠ADB＝∠ADC
5．如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，那么在下列各条件中，不能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是（ ）
A．AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3
B．AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40°
C．AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3
D．AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°
6．两个直角三角形中：①一锐角和斜边对应相等；②斜边和一直角边对应相等；③有两条边相等；④两个锐角对应相等．能使这两个直角三角形全等的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①②③④
7．如图，在由4个相同的小正方形拼成的网格中，∠2-∠1=（ ）
A．60° B．75° C．90° D．105°
8．我们都有这样的生活经验，要想使多边形（三角形除外）木架不变形至少再钉上若干根木条，如图所示，四边形至少再钉上一根；五边形至少再钉上两根；六边形至少再钉上三根；…，按照此规律，十二边形至少再钉上（ ）
A．11根 B．10根 C．9根 D．8根
9．如图，和均是等边三角形，、分别与、交于点M、N，且A、C、B在同一直线上，有如下结论：其中正确结论有（ ）
①；②；③；④平分；⑤平分，
A．①②③④⑤ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①②⑤
10．如图，在中，是的角平分线，点E、F分别是上的动点，若，当的值最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA＝OB，则图中有 对全等三角形.
12．如图所示，AC＝DF，BD＝EC，AC∥DF，∠ACB＝80°，∠B＝30°，则∠F＝ .
13．如图， 中， ，高 和 相交于点 ，若 ，则点H到 的距离是 ．
14．工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常像图中所示，钉上两条斜拉的木条，这样做的原理是根据三角形的 性．
15．如图，，和分别是和的中点，连结，并延长，分别交于，，若四边形的面积为，那么 ．
16．三个全等三角形按如图的形式摆放，则的度数是 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．
18．如图，CE⊥AB于点E，AD⊥BC于点D，AD=CD.
（1）求证：△ABD≌△CFD；
（2）已知BC=7，AD=5，求AF的长.
19．如图，点，，，在同一直线上，，，，请问吗？为什么？
20．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD．对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F．求证OE=OF．
21．如图，AB=AD，∠BAE=∠CAD，∠C=∠E，AC与AE相等吗？
22．如图， DE⊥AB于点E， DF⊥AC于点F，BD=CD，BE=CF.
（1）求证： DE=DF.
（2）已知AC=20， BE=4， 求AB的长.
23．如图，已知∠B=∠C，AB=AC，则△AEB≌△ADC．请说明理由．
24．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC＝25°，则∠DCE＝ ．
（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．
①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动时，α与β之间有什么数量关系？请画出图形，并直接写出你的结论．
25．如图，在长方形ABCD中，AB=CD=6cm，BC=10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒：
（1）PC= cm．（用t的代数式表示）
（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？
（3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以v cm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
全等三角形 单元同步真题检测卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，已知，，添加下列条件，能判定≌的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：，
，
，
在与中，
，
，
故答案为：B.
【分析】利用三角形角边角全等判定定理证明即可.
2．自行车的支架一般都会采用如图△ABC的设计，这种方法应用的几何原理是 ( )
A．两点确定一条直线 B．垂线段最短
C．三角形的稳定性 D．两点之间线段最短
【答案】C
【解析】【解答】解：这种方法应用的几何原理是：三角形的稳定性，
故选：C．
【分析】根据三角形的稳定性解答即可．
3．如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（ ） ．
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，由作图可知
在 与 中
（SSS）
故答案为：D.
【分析】根据作图过程可知：OA=OB=CE=EF，BA=CF，进而可得判定图中两三角形全等的条件。
4．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，点D是BC上的一点，添加下列哪个条件不一定能使得△ABD≌△ACD成立的是（ ）
A．BD＝CD B．∠1＝∠2
C．∠B＝∠C D．∠ADB＝∠ADC
【答案】C
【解析】【解答】解：A、在和中，
，
，A不符合题意；
B、在和中，
，
，B不符合题意；
C、，，，
该条件不能证明，C符合题意；
D、，，
，
在和中，
，
，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】三边对应相等的两个三角形全等.
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
5．如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，那么在下列各条件中，不能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是（ ）
A．AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3
B．AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40°
C．AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3
D．AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°
【答案】B
【解析】【解答】∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°
A选项：AB=A′B′=5，BC=B′C′=3，
符合直角三角形全等的判定条件HL，
∴A选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；
B选项：AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°，
不符合符合直角三角形全等的判定条件，
∴B选项不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；
C选项符合Rt△ABC和Rt△A′B′C全等的判定条件SAS；
∴C选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；
D选项符合Rt△ABC和Rt△A′B′C全等的判定条件ASA，
∴D选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；
故答案为：B．
【分析】在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，已经知道∠C＝∠C′＝90°，如果添上AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3，可以利用HL判断出Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；如果添上AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3，可以利用SAS判断出Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；如果添上AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°，可以利用ASA判断Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；添上AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°，虽然两个三角形中有三个条件，但三个条件不是对应相等，故不能判断出Rt△ABC≌Rt△A′B′C′。
6．两个直角三角形中：①一锐角和斜边对应相等；②斜边和一直角边对应相等；③有两条边相等；④两个锐角对应相等．能使这两个直角三角形全等的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①②③④
【答案】A
【解析】【解答】解： ①一锐角和斜边对应相等，可根据“SAS”证明两个直角三角形全等，故符合题意；
②斜边和一直角边对应相等 ，可根据“HL”证明两个直角三角形全等，故符合题意；
③有两条边相等 ，没有指出是对应边相等，则两三角形不一定全等，故不符合题意；
④两个锐角对应相等，利用“AAA”不能证明两三角形全等，故不符合题意；
∴ 能使这两个直角三角形全等的是①②；
故答案为：A.
【分析】全等三角形的判定方法有SSS，SAS，AAS，ASA，“HL”，据此逐一判断即可.
7．如图，在由4个相同的小正方形拼成的网格中，∠2-∠1=（ ）
A．60° B．75° C．90° D．105°
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接AD
在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（SSS）
∴
∴
故答案为：C
【分析】连接AD，根据全等三角形判定定理可得△ABD≌△ACD，则，，即可求出答案.
8．我们都有这样的生活经验，要想使多边形（三角形除外）木架不变形至少再钉上若干根木条，如图所示，四边形至少再钉上一根；五边形至少再钉上两根；六边形至少再钉上三根；…，按照此规律，十二边形至少再钉上（ ）
A．11根 B．10根 C．9根 D．8根
【答案】C
【解析】【解答】解：过n边形的一个顶点可以作（n﹣3）条对角线，把多边形分成（n﹣2）个三角形，
所以，要使一个十二边形木架不变形，至少需要12﹣3=9根木条固定．
故选：C．
【分析】根据分成三角形个数与边数的关系，需要的木条数等于过多边形的一个顶点的对角线的条数，由此得出答案即可．
9．如图，和均是等边三角形，、分别与、交于点M、N，且A、C、B在同一直线上，有如下结论：其中正确结论有（ ）
①；②；③；④平分；⑤平分，
A．①②③④⑤ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①②⑤
【答案】D
【解析】【解答】解：①和均是等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
，①正确；
②由①知，
，
∵，
∴，
在和中，
，
，
，②正确；
③由②得，在，，
，③错误；
④过点C作于点Q，于点H，如图所示：
由①得，
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵不一定等于，
∴④不正确，
⑤由④得到，且，，
平分，⑤正确；
综上可知，①②⑤正确，
故答案为：D.
【分析】①利用等边三角形的性质据全等三角形的判定证出即可；
②由①得，再根据全等三角形的判定证出，进而利用全等三角形的对应边相等得出即可；
③在中，可得，易知；
④由①得，，则，得到，根据全等三角形的判定HL证出，得到，但不一定等于即可；
⑤根据，且，，得到即可.
10．如图，在中，是的角平分线，点E、F分别是上的动点，若，当的值最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：在上，作于点，交于点，过点作于点，与交于点，连接，，如图，则，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，同理，
∴，，，
∴，即：，在上时最小．
是的角平分线，
，
∵，
，则，
．
故选：C．
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，过点作于点，交于点，过点作于点，与交于点，连接，证得和，得到，，，根据，得到，在上时最小再由由是的角平分线，得到，结合“直角三角形两锐角互余”，求得，得到的度数，即可得到答案.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA＝OB，则图中有 对全等三角形.
【答案】3
【解析】【解答】解：OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，
∴PE=PF，∠1=∠2，
在△AOP与△BOP中，
，
∴△AOP≌△BOP，
∴AP=BP，
在△EOP与△FOP中，
，
∴△EOP≌△FOP，
在Rt△AEP与Rt△BFP中，
，
∴Rt△AEP≌Rt△BFP，
∴图中有3对全等三角形，
故答案为：3.
【分析】根据角平分线的性质定理得出PE=PF，∠1=∠2，从而利用SAS判断出△AOP≌△BOP，根据全等三角形的对应边相等得出AP=BP，进而利用AAS判断出△EOP≌△FOP，接着利用HL判断得出Rt△AEP≌Rt△BFP，综上所述即可得出答案。
12．如图所示，AC＝DF，BD＝EC，AC∥DF，∠ACB＝80°，∠B＝30°，则∠F＝ .
【答案】70
【解析】【解答】∵BD=EC，
∴BD+CD=EC+DC，
∴BC=DE，
∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠FDE，
在△ACB和△FDE中，
∵AC=DF，
∠ACB=∠FDE，
BC=ED，
∴△ACB≌△FDE(SAS)，
∴∠E=∠B=30 ，∠FDE=∠ACB=80 ，
∴∠F=180 ∠B ∠FDE=70
【分析】由线段的构成可得BC=DE，根据平行线的性质可得∠ACB=∠FDE，于是用边角边可证△ACB≌△FDE，根据全等三角形的对应角相等可得∠E=∠B=30 ，∠FDE=∠ACB=80 ，所以由三角形内角和定理可求得∠F的度数。
13．如图， 中， ，高 和 相交于点 ，若 ，则点H到 的距离是 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠HBD+∠BHD=90°，
∵∠CAD=30°，AC=4，
∴ ，
∵BE⊥AC，
∴∠HBD+∠C=90°，
∴∠BHD=∠C，
∵∠ABD=45°，
∴∠BAD=45°，
∴BD=AD，
在△BDH和△ADC中，
，
∴△BDH≌△ADC（AAS），
∴HD=CD=2，
故点H到BC的距离是2．
故答案为：2．
【分析】先求出 ，再利用AAS证明△BDH≌△ADC，最后求解即可。
14．工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常像图中所示，钉上两条斜拉的木条，这样做的原理是根据三角形的 性．
【答案】稳定
【解析】【解答】解：为防止变形常常像图中所示，钉上两条斜拉的木条，这样做的原理是根据三角形的稳定性．
【分析】根据题目中为防止变形的做法，显然运用了三角形的稳定性．
15．如图，，和分别是和的中点，连结，并延长，分别交于，，若四边形的面积为，那么 ．
【答案】24
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵和分别是和的中点，
∴，
∵，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
∴；
故答案为：24．
【分析】利用平行线的性质可证得，利用线段中点的定义可证得，再利用AAS可推出，然后可得的面积，进而问题可求解．
16．三个全等三角形按如图的形式摆放，则的度数是 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1+∠5+∠9=180°
∠3+∠7+∠6=180°
∠2+∠4+∠8=180°
∴∠1+∠5+∠9+∠3+∠7+∠6+∠2+∠4+∠8=540°
∵∠6+∠9+∠8=180°
∴∠1+∠5+∠7+∠3+∠2+∠4=360°
∵三个全等的三角形
∴∠5+∠7+∠4=180°
∴∠1+∠2+∠3=180°
故填：180°
【分析】本题考查三角形全等的性质和三角形内角和定理。利用平角的性质可得出∠1+∠5+∠9=180°，∠3+∠7+∠6=180°，∠2+∠4+∠8=180°，三角形内角和定理可得出∠6+∠9+∠8=180°，∠5+∠7+∠4=180°，进而得出答案.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．
【答案】解：（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ．
理由如下：∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵AP＝BQ＝2，
∴BP＝5，
∴BP＝AC，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）；
∴∠C＝∠BPQ，
∵∠C＋∠APC＝90°，
∴∠APC＋∠BPQ＝90°，
∴∠CPQ＝90°，
∴PC⊥PQ；
（2）①若△ACP≌△BPQ，
∴AC＝BP，AP＝BQ，
∴5＝7﹣2t，2t＝xt
解得：x＝2，t＝1；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，
可得：5＝xt，2t＝7﹣2t
解得：x＝，t＝．
综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或．
【解析】【分析】（1）利用AP＝BQ＝2，BP＝AC，可根据“SAS”证明△ACP≌△BPQ，可得∠C＝∠BPQ，然后证明∠APC＋∠BPQ＝90°，从而得到PC⊥PQ；
（2）由∠A=∠B=90°，可分两种情况：①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，据此列出方程并解之求出x即可；②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，据此列出方程并解之求出x即可．
18．如图，CE⊥AB于点E，AD⊥BC于点D，AD=CD.
（1）求证：△ABD≌△CFD；
（2）已知BC=7，AD=5，求AF的长.
【答案】（1）证明：∵CE⊥AB，
∴∠B+∠BCF=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠DFC+∠BCF=90°，
∴∠B=∠DFC，
∵AD=CD，∠ADB=∠FDC=90°，
∴△ABD≌△CFD。
（2）解：由(1)知，△ABD≌△CFD，
∴BD=DF，
∵CD=AD=5，
∴BD=2，DF=2，
∴AF=AD-DF=3.
【解析】【分析】(1)根据垂直得到直角，结合同角的余角相等找到对应角相等，再依据AAS判定定理证明；
(2)借助第(1)问的全等结论，根据全等三角形对应边相等，可得BD=DF，然后根据线段的和差关系计算AF的长度。
19．如图，点，，，在同一直线上，，，，请问吗？为什么？
【答案】解：．
理由：，
，
，
，
．
在和中，
，
≌，
．
【解析】【分析】本题考查三角形全等的判定和性质。根据得，根据得．结合AD=CB，得≌，得．
20．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD．对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F．求证OE=OF．
【答案】证明：∵在△ABD和△CBD中， ，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD平分∠ABC．
又∵OE⊥AB，OF⊥CB，
∴OE=OF．
【解析】【分析】三条边分别对应相等的两个三角形全等，即可证明
△ABD≌△CBD ，根据全等三角形的对应角相等，即可得到BD为∠ABC的平分线，根据角平分线上的点，到角两边的距离相等，即可证明OE=OF。
21．如图，AB=AD，∠BAE=∠CAD，∠C=∠E，AC与AE相等吗？
【答案】解：相等，理由如下：
∵∠BAE=∠CAD，
∴∠EAB﹣∠EAC=∠CAD﹣∠CAE，
即∠CAB=∠EAD．
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE，
∴AC=AE
【解析】【分析】证明它们所在的三角形全等即可，由∠BAE=∠CAD可得∠CAB=∠EAD，运用AAS证明△ABC≌△ADE．
22．如图， DE⊥AB于点E， DF⊥AC于点F，BD=CD，BE=CF.
（1）求证： DE=DF.
（2）已知AC=20， BE=4， 求AB的长.
【答案】（1）证明：∵DE⊥AB， DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=∠AFD=90°.
在. 和 中，
（2）解：由（1）得Rt△BED≌Rt△CFD，
∴DE=DF， CF=BE=4.
在 和 中，
.
∴AB=AE-BE=16-4=12.
【解析】【分析】(1)由垂直知∠E=∠CFD=90°，由此可证，即得DE=DF；
(2)由(1)中全等知DE=DF，CF=BE，得，由此可得AE=16，AB=12.
23．如图，已知∠B=∠C，AB=AC，则△AEB≌△ADC．请说明理由．
【答案】证明：在 △AEB 与 △ADC 中，
∴ △AEB≌△ADC（ASA）．
【解析】【分析】注意到△AEB 与 △ADC有公共角∠A，结合已知条件，可利用ASA证明 △AEB≌△ADC．
24．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC＝25°，则∠DCE＝ ．
（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．
①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动时，α与β之间有什么数量关系？请画出图形，并直接写出你的结论．
【答案】（1）25°
（2）解：①α=β理由如下
∵∠DAE=∠BAC
∴∠DAE=∠BAC=α
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD
即∠BAD=∠CAE
在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴∠ADB=∠AEC
又∵∠DAE+∠AEC=∠ECD+∠ADB
∴∠DAE=∠ECD
即α=β；
②Ⅰ当D在线段BC上时，如图所示，
α+β=180°，理由如下：
∵∠DAE=∠BAC
∴∠DAE=∠BAC=α
∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD
即∠BAD=∠CAE
在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴∠ADB=∠AEC
又∵∠DAE=∠BAC=α=180°-∠ADE-∠AED=180°-（180°-∠ADB-∠EDC）-（∠AEC-∠DEC）=∠EDC+∠DEC，
∠ECD=180°-（∠EDC+∠DEC）=β，
∴180°-α=β，
∴α+β=180°；
Ⅱ当D在CB延长线上，如图所示，
α=β，理由如下：
∵∠DAE=∠BAC
∴∠DAE=∠BAC=α
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE
即∠BAD=∠CAE
在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠DEC+∠ACB，
∴∠BAC+∠ACB=∠DEC+∠ACB，
∴∠BAC=∠DEC，
即α=β.
Ⅲ当D在BC延长线上，α=β，理由见第①过程.
【解析】【解答】解：（1）∵∠DAE=∠BAC
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD
即∠BAD=∠CAE
在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴∠ADB=∠AEC
又∵∠DAE+∠AEC=∠ECD+∠ADB
∴∠DAE=∠ECD
∵∠DAE＝∠BAC =25°，
∴∠ECD=25°；
故答案为：25°；
【分析】（1）利用已知条件∠DAE=∠BAC，推出∠BAD=∠CAE，根据边角边证明△ABD≌△ACE从而知道∠ADB=∠AEC，结合对顶角的性质和内角和定理可知∠DAE=∠ECD，继而求出∠ECD度数；
（2） ① 利用第一问的方法即可求出∠DAE=∠ECD即α=β；
②分情况讨论：当D在线段BC上时，首先利用SAS证△ABD≌△ACE，从而知道∠ADB=∠AEC，再根据内角和定理可知∠DAE=∠BAC=α=180°-∠ADE-∠AED=180°-（180°-∠ADB-∠EDC）-（∠AEC-∠DEC）=∠EDC+∠DEC，∠ECD=180°-（∠EDC+∠DEC）=β，从而知道α+β=180°；当D在CB延长线上，利用SAS证△ABD≌△ACE，从而知道∠ABD=∠ACE，根据外角的性质即可推出∠BAC+∠ACB=∠DEC+∠ACB，从而知道α=β；当D在BC延长线上，α=β，理由见第①过程.
25．如图，在长方形ABCD中，AB=CD=6cm，BC=10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒：
（1）PC= cm．（用t的代数式表示）
（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？
（3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以v cm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）10-2t
（2）解：当t=2.5时，△ABP≌△DCP，
∵当t=2.5时，BP=2.5×2=5，
∴PC=10-5=5，
∵在△ABP和△DCP中，
，
∴△ABP≌△DCP（SAS）
（3）解：①当BP=CQ，AB=PC时，△ABP≌△PCQ，
∵AB=6，
∴PC=6，
∴BP=10-6=4，
2t=4，
解得：t=2，
CQ=BP=4，
v×2=4，
解得：v=2；
②当BA=CQ，PB=PC时，△ABP≌△QCP，
∵PB=PC，
∴BP=PC= BC=5，
2t=5，
解得：t=2.5，
CQ=BP=6，
v×2.5=6，
解得：v=2.4．
综上所述：当v=2.4或2时△ABP与△PQC全等．
【解析】【解答】解：（1）点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，点P的运动时间为t秒时，BP=2t，
则PC=10-2t；
【分析】（1）根据题意可知，PC的长度等于BC的长度减去BP的长度。
（2）根据两个三角形的对边及其夹角相等，可判定两个三角形全等。所以可以得到P点的位置，即可求出t的数值。
（3）求证三角形△ABP与△PQC全等，根据题目条件可得两种情况：①当BP=CQ，AB=PC时，②当BA=CQ，PB=PC时。根据两种情况下三角形全等，求出Q点运动的速度即可。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
