中小学教育资源及组卷应用平台
二次根式 单元综合能力测评卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下面分式在时有意义的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若x，y都是实数，且 ，则xy的值是（ ）
A．0 B． C． D．不能确定
4．下列计算错误的是（ ）
A．3 ﹣ =2 B．a0=1
C．﹣2+|﹣2|=0 D．（﹣3）﹣2=
5．下列式子为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．从“+，﹣，×，÷”中选择一种运算符号，填入算式“（ +1）□x”的“□”中，使其运算结果为有理数，则实数x不可能是（ ）
A． +1 B．5 ﹣1 C． ﹣2 D．1﹣
7．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为如图，在中，，，所对的边分别记为，，，若，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
10．的值是（ ）
A．0 B． C． D．以上都不对
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知（x﹣y+1）2+ =0，则x+y的值为 ．
12．当x=2+ 时，式子x2﹣4x+2017= ．
13．已知 ，则 = .
14．与最简二次根式3是同类二次根式，则a＝ ．
15．计算 .
16． 任意一个二次根式（为正整数），都可以进行这样的分解：（都是正整数，且），在的所有这种分解中，若最小，我们就称是的最佳分解，并记为：．例如可以分解成或，显然是的最佳分解，此时．若正整数满足，，且，则的值为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）；
（2）．
18．已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
19．化简并求值：已知，求的值．
20．观察：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为，请你观察上述式子规律后解决下面问题．
（1）规定用符号表示实数m的整数部分，例如：，，填空：______；_____．
（2）如果的小数部分为a， 的小数部分为b，求的值．
21．先化简：，再求当，时的值．
22．已知 xy=6，x+y=﹣4，求x +y的值．
23．计算：4×÷﹣2sin30°﹣（）﹣1
24．观察下列等式：
①；
②；
③；
…
解答下列问题：
（1）写一个无理数，使它与的积为有理数，你写出的无理数是 ；
（2）利用你观察到的规律，化简；
（3）计算：.
25． 如图1，以直角的直角顶点O为原点，以OC，OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A(0，a)，C(b，0)，并且满足.
（1） a与b的值分别是：a= ；b= .
（2） 如图1，坐标轴上有两动点P，Q同时出发，点P从点C出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点Q从点O出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当点P到达点O整个运动随之结束；线段AC的中点D的坐标是D(4，3)，设运动时间为t秒. 是否存在 t，使得与的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
二次根式 单元综合能力测评卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下面分式在时有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
2．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意可知：，
解得：，
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的性质列出不等式组求解即可得出x的取值范围.
3．若x，y都是实数，且 ，则xy的值是（ ）
A．0 B． C． D．不能确定
【答案】C
【解析】【解答】解：根据二次根式有意义的条件可得：
解得：
∴
将 代入 中得：
解得：
∴
故答案为：C．
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此求出x值，再代入求出y值，从而求出结论.
4．下列计算错误的是（ ）
A．3 ﹣ =2 B．a0=1
C．﹣2+|﹣2|=0 D．（﹣3）﹣2=
【答案】B
【解析】【解答】解：A、3 ﹣ =2 ，正确，不合题意；
B、a0=1（a≠0），故此选项错误，符合题意；
C、﹣2+|﹣2|=0，正确，不合题意；
D、（﹣3）﹣2= ，正确，不合题意；
故选：B．
【分析】直接利用二次根式加减运算法则、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质，化简得出答案．
5．下列式子为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】选项A， = ，A不符合题意 ；
选项B， = ，B不符合题意 ；
选项C， 是最简二次根式，C符合题意 ；
选项D， = ，D不符合题意 .
故答案为：C.
【分析】最简二次根式的条件是（1）被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式.
6．从“+，﹣，×，÷”中选择一种运算符号，填入算式“（ +1）□x”的“□”中，使其运算结果为有理数，则实数x不可能是（ ）
A． +1 B．5 ﹣1 C． ﹣2 D．1﹣
【答案】B
【解析】【解答】解：A、（ +1）﹣（ +1）＝0，故本选项不合题意；
B、（ +1）+=6，( +1）- =-4+2，( +1）=14+4，( +1）÷=，故本选项符合题意；
C、（ +1）﹣（ ﹣2）＝3，故本选项不合题意；
D、（ +1）（1﹣ ）＝﹣2，故本选项不合题意.
故答案为：B.
【分析】把 +1分别与各项的式子进行加、减、乘、除计算，即可得出答案.
7．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A．和不是同类二次根式，不能合并，
∴此选项不符合题意，
B．和不是同类二次根式，不能合并，
∴此选项不符合题意，
C．，
∴此选项符合题意，
D．≠，
∴此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的运算法则和同类二次根式的定义“几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式”依次进行判断即可求解．
8．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为如图，在中，，，所对的边分别记为，，，若，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：，，．
，
的面积；
故选：A．
【分析】考查二次根式的应用.根据，，， 利用公式可求出的值，根据海伦公式可得的面积为：，再进行计算可求出答案；
9．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
【答案】D
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，且，
解得：且，
故选：D．
【分析】根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，结合二次方程的定义，二次根式有意义的条件即可求出答案.
10．的值是（ ）
A．0 B． C． D．以上都不对
【答案】C
【解析】【解答】原式= + = = ，即得C．
【分析】正确化简二次根式，得出二次根式的结果必然是非负的，这是学习本节内容的基本．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知（x﹣y+1）2+ =0，则x+y的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意可知：
解得：
∴x+y=
故答案为：
【分析】根据非负数的性质以及二元一次方程的解法即可求出答案．
12．当x=2+ 时，式子x2﹣4x+2017= ．
【答案】2016
【解析】【解答】解：当x=2+ 时，
原式=x2﹣4x+4+2013
=（x﹣2）2+2013
=（ ）2+2013
=3+2013
=2016，
故答案为：2016．
【分析】将原式配成完全平方式后将x的值代入计算可得．
13．已知 ，则 = .
【答案】-8
【解析】【解答】根据题意得，a+2=0，a+b-1=0，
解得a=-2，b=3，
∴ab=(-2)3=-8．
故答案为：-8
【分析】根据二次根式的双重非负性和绝对值的非负性可求得a、b的值，则可求解。
14．与最简二次根式3是同类二次根式，则a＝ ．
【答案】3
【解析】【解答】解：∵
与最简二次根式是同类二次根式
∴，解得：
故答案为：
【分析】先将化成最简二次根式，利用同类二次根式的定义可知被开方数相同，据此可得出关于的方程，解出即可．
15．计算 .
【答案】3
【解析】【解答】解：原式=2+1=3
【分析】根据二次根式的性质以及0指数幂的性质，计算得到答案即可。
16． 任意一个二次根式（为正整数），都可以进行这样的分解：（都是正整数，且），在的所有这种分解中，若最小，我们就称是的最佳分解，并记为：．例如可以分解成或，显然是的最佳分解，此时．若正整数满足，，且，则的值为 ．
【答案】或
【解析】【解答】解：∵，
∴可设，其中k为正整数，
则m=20k2，
∵20∴m=20，
∵F(n)=1，
∴n为一个正整数的平方数，
∵20∴0∴n=1或4，
n=1时，，
n=4时，
故答案为：或 .
【分析】可设，其中k为正整数，由20三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式＝×2－－
＝－．
（2）解：原式＝3－1＋2－1
＝1＋2．
【解析】【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，再计算即可；
（2）先利用平方差公式、二次根式和0指数幂的性质化简，再计算即可。
18．已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵，，
∴
；
（2）解：∵，，
∴
．
【解析】【分析】（1）由题意，根据完全平方公式把变形得，原式=（a+b）2，再把a，b的值代入计算即可求解；
（2）先根据平方差公式把变形得，原式=（a+b）（a-b），再把a，b的值代入计算即可求解．
（1）∵，，
∴
；
（2）∵，，
∴
．
19．化简并求值：已知，求的值．
【答案】解：∵，
∴
【解析】【分析】先利用分母有理化求出，再将x的值代入计算即可。
20．观察：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为，请你观察上述式子规律后解决下面问题．
（1）规定用符号表示实数m的整数部分，例如：，，填空：______；_____．
（2）如果的小数部分为a， 的小数部分为b，求的值．
【答案】（1）5；1
（2）解：由（1）得：，，∴，
∴，，
∴．
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：5；1；
【分析】（1）根据题设中，所给计算规律，由和，得到和，即可得结果；
（2）根据题意，把无理数的整数部分和小数部分分别表示出来，结合题设中的规律，代入计算，即可得到答案．
（1）解：∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：5；1；
（2）解：由（1）得：，，
∴，
∴，，
∴．
21．先化简：，再求当，时的值．
【答案】解：原式
，
当，时，
原式
【解析】【分析】先利用二次根式的性质化简，再将，代入计算即可。
22．已知 xy=6，x+y=﹣4，求x +y的值．
【答案】解：∵xy=6＞0，
∴x，y 同号．
又 x+y=﹣4＜0，
∴x＜0，y＜0，
∴原式=x +y
=﹣ ﹣
=﹣
=﹣
=﹣．
【解析】【分析】先利用有理数的性质得到x＜0，y＜0，再根据二次根式的性质化简得到原式═﹣﹣，然后利用完全平方公式变形得到原式=﹣ ，再利用整体代入的方法计算．
23．计算：4×÷﹣2sin30°﹣（）﹣1
【答案】解：原式=10÷﹣2×﹣2=10﹣1﹣2=7；
【解析】【分析】分别进行二次根式的乘法运算、除法运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂等运算，然后合并；
24．观察下列等式：
①；
②；
③；
…
解答下列问题：
（1）写一个无理数，使它与的积为有理数，你写出的无理数是 ；
（2）利用你观察到的规律，化简；
（3）计算：.
【答案】（1）
（2）解：；
（3）解：原式
.
【解析】【解答】解： （1）由题意可得：，结果为有理数，
故答案为：；
【分析】（1）根据平方差公式即可求解；
（2）根据平方差公式，将分子和分母都乘以，即可求解；
（3）根据平方差公式将分母有理化，再根据二次根式的混合运算计算即可.
25． 如图1，以直角的直角顶点O为原点，以OC，OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A(0，a)，C(b，0)，并且满足.
（1） a与b的值分别是：a= ；b= .
（2） 如图1，坐标轴上有两动点P，Q同时出发，点P从点C出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点Q从点O出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当点P到达点O整个运动随之结束；线段AC的中点D的坐标是D(4，3)，设运动时间为t秒. 是否存在 t，使得与的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）6；8
（2）解：由（1）可知 ，，
∴，
由运动知，，，
，
，
，
，
与的面积相等，
，
，
∴存在 时，使得与的面积相等.
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
解得：，
故答案为：6，8
【分析】（1）根据非负性结合题意得到，进而解二元一次方程组即可；
（2）根据（1）得到点A和点C的坐标，进而得到，，根据运动得到，，则，再根据点D的坐标结合三角形的面积即可得到，解方程即可。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
