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圆 单元综合能力测评卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列图标中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，A、B、C是⊙O上的三个点，∠ABC=20°，则∠AOC的度数是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
3．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠C＝30°，AB＝2 cm，则⊙O的半径为（ ）
A．5 cm B．4 cm C．3 cm D．2 cm
5．如图，若 是 的直径， 是 的弦， 则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点B，若PA＝8，OP＝10，则⊙O的半径等于（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
8．如图， 的顶点O在坐标原点上， 边在x轴上， ， ，把 绕点A按顺时针方向转到 ，使得点 的坐标是 则在这次旋转过程中线段 扫过部分(阴影部分)的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．一个形如圆锥冰淇淋纸筒，其底面直径为6cm，母线长为10cm，围成这样的冰淇淋纸筒所需纸的面积是（ ）
A．60πcm2 B．15πcm2 C．28πcm2 D．30πcm2
10．如图，正方形ABCD中，P为CD边上任意一点，DE⊥AP于点E，点F在AP延长线上，且EF＝AE，连结DF、CF，∠CDF的平分线DG交AF于G，连结BG.给出以下结论：①DF＝DC；②△DEG是等腰直角三角形；③∠AGB＝45°；④DG+BG＝AG.所有正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．某校全体同学的综合素质评价的等级统计如图所示，其中评价为C等级所在扇形的圆心角是 度.
12．已知圆锥的母线长为，底面半径为，则它的侧面展开扇形的面积为 ．
13．如图，已知⊙ 是 的内切圆，且 ， ，则 的度数为 ．
14． 若一个扇形的圆心角为，直径是6，则这个扇形的面积是 ．
15． 四边形ABCD内接于，是上一点，且，连结CF并延长交AD的延长线于点，连结AC. 若，，则的度数为 .
16．如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC＝60cm.沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长.如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1＝30cm，∠B1D1C1＝120°.
（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为 cm.
（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为 cm.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，AB是的直径，弦于点E，G是上任意一点，连结AD，AG，GD.
（1）找出图中和∠ADC相等的角，并给出证明.
（2）若等于，且，求的度数.
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，DE交AC于点E，且∠A＝∠ADE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AD＝16，DE＝10，求BC的长．
19．如图，扇形OAB的圆心角为，半径为.
（1）求出此扇形的面积.
（2）若将此扇形围成一个圆锥的侧面（不计接缝），求圆锥的底面半径.
20．如图
（1）如图，在矩形ABCD中.点O在边AB上，∠AOC=∠BOD.求证：AO=OB.
（2）如图，AB是 的直径，PA与 相切于点A，OP与 相交于点C，连接CB，∠OPA=40°，求∠ABC的度数.
21． 如图， AB为⊙O的直径， PB⊥AB， 点C是⊙O上一点， 直线PO垂直平分BC， 交BC于H， 延长PC交BA的延长线于点D.
（1） 求证： PC是⊙O 的切线；
（2） 作∠ACB 的平分线CE交⊙O于点 E.若 求阴影部分的面积和AD 的长.
22．已知圆内接正六边形的边长为4cm，分别求出同圆中内接正三角形、正四边形的周长．
23．如图，是的直径，弦于点E，，若，求的长.
24．如图，在半径为5的扇形OAB中，∠AOB=90°，C是上的一个动点(不与点A，B重合)，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为点D，E．
（1）当BC=6时，求线段OD的长．
（2）求DE的长．
（3）在△ODE中，是否存在度数不变的角？若存在，请直接指出是哪个角，并求出它的度数．
25． 如图，AB 为⊙O 的直径，点 D 是 上的一点，且∠BDE=∠CBE，BD 与AE 交于点F.
（1）求证：BC 是⊙O的切线.
（2）若 BD 平分∠ABE，求证：
（3）在(2)的条件下，延长ED，BA 交于点P，若PA=AO，DE=2，求 PD的长和⊙O 的半径.
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圆 单元综合能力测评卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列图标中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，故符合题意；
B、不是中心对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
D、不是中心对称图形，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】中心对称：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，据此判断.
2．如图，A、B、C是⊙O上的三个点，∠ABC=20°，则∠AOC的度数是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠ABC=20°，
∴∠AOC= 2∠ABC = 40°；
故答案为：D．
【分析】根据圆周角定理可得∠AOC= 2∠ABC，继而得解.
3．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D.既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
故答案为：D.
【分析】 轴对称图形为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。 在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。 根据轴对称图形和中心对称图形的定义对每个选项逐一判断求解即可。
4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠C＝30°，AB＝2 cm，则⊙O的半径为（ ）
A．5 cm B．4 cm C．3 cm D．2 cm
【答案】D
【解析】【解答】解：如图：连接OA、OB，则OA、OB即为半径，
∵∠C＝30°，
∴∠AOB=60°，
又∵OA=OB，
∴△OAB为等边三角形，且AB＝2 cm，
∴OA=OB= AB=2 cm.
故答案为：D.
【分析】连接OA、OB，根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可知△OAB是等边三角形，即可求得⊙O的半径OA=OB=AB=2.
5．如图，若 是 的直径， 是 的弦， 则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：连接AD，
，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：A．
【分析】连接AD，先利用三角形的内角和求出∠A，再根据同弧所对的圆周角的性质可得∠C=∠A.
6．如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图：作的垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点O，连接，则点O是外接圆的圆心，
由题意得：，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∵，
∴
，
故答案为：D．
【分析】根据网格的特点作的垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点O，连接，则点O是外接圆的圆心，先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后根据，进行计算即可解答．
7．如图，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点B，若PA＝8，OP＝10，则⊙O的半径等于（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【解析】【解答】连接OA，
∵PA切⊙O于A点，
∴OA⊥PA，
在Rt△OPA中，OP=10，PA=8，
∴OA= =6．
故答案为：C．
【分析】先根据切线的性质得到OA⊥PA，然后利用勾股定理计算OA的长．
8．如图， 的顶点O在坐标原点上， 边在x轴上， ， ，把 绕点A按顺时针方向转到 ，使得点 的坐标是 则在这次旋转过程中线段 扫过部分(阴影部分)的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：过O′作O′M⊥OA于M，则∠O′MA＝90°，
∵点O′的坐标是 ，
∴O′M＝ ，OM＝4，
∵AO＝8，
∴AM＝8-4＝4，
∴tan∠O′AM＝ ，
∴∠O′AM＝60°，
即旋转角为60°，
∴∠CAC′＝∠OAO′＝60°，
∵把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，
∴△△OAC≌△△O′AC′
∴S△OAC＝S△O′AC′，
∴阴影部分的面积S
＝S扇形OAO′＋S△O′AC′ S△OAC S扇形CAC
′＝S扇形OAO′ S扇形CAC′
＝
= ，
故答案为：A．
【分析】过O'作O'⊥OA于M，解直角三角形求出旋转的角度数，根据图形得出阴影部分的面积，分别求出即可。
9．一个形如圆锥冰淇淋纸筒，其底面直径为6cm，母线长为10cm，围成这样的冰淇淋纸筒所需纸的面积是（ ）
A．60πcm2 B．15πcm2 C．28πcm2 D．30πcm2
【答案】D
【解析】【解答】圆锥底面圆的周长为6πcm，圆锥侧面展开后的扇形的半径为10cm，则展开后的扇形面积为：
故答案为：D
【分析】圆锥的侧面积=底面周长母线长÷2。
10．如图，正方形ABCD中，P为CD边上任意一点，DE⊥AP于点E，点F在AP延长线上，且EF＝AE，连结DF、CF，∠CDF的平分线DG交AF于G，连结BG.给出以下结论：①DF＝DC；②△DEG是等腰直角三角形；③∠AGB＝45°；④DG+BG＝AG.所有正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
，，
∴，
∴，
∴①正确；
∵，
∴，
设，
则，
∴，
∵DG平分∠CDF，
∴ ，
∴，
∴△DEG是等腰直角三角形，
∴②正确；
连接BD，
∵∠ABD=∠AGD=45°，
∴点A、B、G、D共圆，
∴∠AGB=∠ADB=45°，
∴③正确；
作BH⊥AF于H，
∵∠AGB＝45°，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形ABCD是正方形
∴，
又∵，，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴④正确；
∴故答案为：D.
【分析】由垂直平分线性质得AD=DF，根据正方形性质得AD = DC，从而得到DF= DC，则可判断①；设∠DAF=∠DFA=a，则∠ADF= 180°-2a，从而得∠PDF=∠ADF-∠ADC=90°-2a，推得∠FDG=∠PDF=45°-a，从而得到∠DGE=∠DFA+∠FDG=45°，得出△DEG是等腰直角三角形，则可判断②；连接BD，由∠ABD=∠AGD=45°，得出A、B、G、D四点共圆，根据圆周角定理求出③正确；作BH⊥AF，求得Rt△BHG和Rt △DEG是等腰直角三角形，利用AAS证明△BAH≌△ADE，得到AH=DE，再根据等腰直角三角形的性质和线段的和差求出 DG+BG＝AG，即可判断④.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．某校全体同学的综合素质评价的等级统计如图所示，其中评价为C等级所在扇形的圆心角是 度.
【答案】72
【解析】【解答】观察可知C等级所占的百分比为20%，
所以C等级所在扇形的圆心角为：360°×20%=72°，
故答案为：72.
【分析】根据已知条件将扇形圆心角的表达式写出，C等级所在扇形的圆心角=360°×20%，即可求解。
12．已知圆锥的母线长为，底面半径为，则它的侧面展开扇形的面积为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：圆锥的母线长为，底面半径为，
它的侧面展开扇形的面积为，
故答案为：
【分析】根据圆锥的侧面积公式结合题意代入即可求解。
13．如图，已知⊙ 是 的内切圆，且 ， ，则 的度数为 ．
【答案】110°．
【解析】【解答】∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴∠OBC＝ ∠ABC＝30°，∠OCB＝ ∠ACB＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝110°，
故答案为：110°．
【分析】根据三角形的内心的概念得到∠OBC＝ ∠ABC＝30°，∠OCB＝ ∠ACB＝40°，根据三角形内角和定理计算即可．
14． 若一个扇形的圆心角为，直径是6，则这个扇形的面积是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意可得，扇形的面积=，
故答案为：.
【分析】利用扇形的面积公式直接列出算式求解即可.
15． 四边形ABCD内接于，是上一点，且，连结CF并延长交AD的延长线于点，连结AC. 若，，则的度数为 .
【答案】50°
【解析】【解答】解：∵ABCD内接于
∴∠ADC+∠ABC=180°
∴∠ADC=180°-∠ABC=180°-105°=75°
∵
∴∠DCF=∠BAC=25°
∵∠ADC为CDE的外角
∴∠ADC=∠DCE+∠E
∴∠E=∠ADC-∠DCE=75°-25°=50°
故答案为：50° .
【分析】由圆内接四边形的性质知∠ADC=180°-∠ABC，由得∠DCF=∠BAC=25°，再由外角的性质得∠E的度数.
16．如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC＝60cm.沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长.如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1＝30cm，∠B1D1C1＝120°.
（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为 cm.
（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为 cm.
【答案】（1）
（2）
【解析】【解答】解：（1）如图2中，连接B1C1交DD1于H.
∵D1A＝D1B1＝30
∴D1是 的圆心，
∵AD1⊥B1C1，
∴B1H＝C1H＝30×sin60°＝15 ，
∴B1C1＝30
∴弓臂两端B1，C1的距离为30 ；
（ 2 ）如图3中，连接B1C1交DD1于H，连接B2C2交DD2于G.
设半圆的半径为r，则πr＝ ，
∴r＝20，
∴AG＝GB2＝20，GD1＝30﹣20＝10，
在Rt△GB2D2中，GD2＝ ＝10
∴D1D2＝10 ﹣10.
故答案为30 ，10 ﹣10，
【分析】（1）如图2中，连接B1C1交DD1于H.由D1A＝D1B1＝30，可得D1是 的圆心，根据垂径定理及锐角三角形函数可得B1H＝C1H＝30×sin60°＝15 ，从而求出B1C1＝B1H=30 ；
（2）如图3中，连接B1C1交DD1于H，连接B2C2交DD2于G.设半圆的半径为r，则πr＝ ，求出r=20，从而可得AG＝GB2＝20，GD1＝30﹣20＝10，利用股股定理可得GD2＝10 ，由D1D2＝GD2-GD1即可求出结论.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，AB是的直径，弦于点E，G是上任意一点，连结AD，AG，GD.
（1）找出图中和∠ADC相等的角，并给出证明.
（2）若等于，且，求的度数.
【答案】（1）和相等的角是.证明如下：
是的直径且，
∴，
.
（2）∵AG=CD，
∴
∵
∴，
∴∠G=67.5°
【解析】【分析】(1)利用垂径定理可得，进而证得.
(2)由圆心角定理可得，已知，故可得，再利用圆周角定理可得∠G=67.5°.
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，DE交AC于点E，且∠A＝∠ADE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AD＝16，DE＝10，求BC的长．
【答案】（1）证明：连结OD，如图所示：
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
又∵OD=OB，
∴∠B=∠BDO，
∵∠ADE=∠A，
∴∠ADE+∠BDO=90°，
∴∠ODE=90°．
∴DE是⊙O的切线；
（2）连结CD，如图所示：
∵∠ADE=∠A，
∴AE=DE．
∵BC是⊙O的直径，∠ACB=90°．
∴EC是⊙O的切线．
∴DE=EC．
∴AE=EC，
又∵DE=10，
∴AC=2DE=20，
在Rt△ADC中，DC=
设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+122，
在Rt△ABC中，BC2=（x+16）2﹣202，
∴x2+122=（x+16）2﹣202，
解得：x=9，
∴BC=．
【解析】【分析】（1）连接OD，先证出角的运算和等量代换可得∠ADE+∠BDO=90°，即∠ODE=90°，再结合OD是圆的半径，即可得到DE是⊙O的切线；
（2）连接CD，先求出AC=2DE=20，再利用勾股定理求出DC的长，设BD=x，利用勾股定理可得BC2=x2+122，BC2=（x+16）2﹣202，即可得到x2+122=（x+16）2﹣202，求出x的值，最后求出BC的长即可.
19．如图，扇形OAB的圆心角为，半径为.
（1）求出此扇形的面积.
（2）若将此扇形围成一个圆锥的侧面（不计接缝），求圆锥的底面半径.
【答案】（1）解：扇形的面积等于12πcm2.
（2）解：， 则圆锥的底面周长为 .
设圆锥的底面半径为r，则2πr=4π，解得r=2.
即圆锥的底面半径为2cm.
【解析】【分析】（1）根据圆锥的侧面积等于扇形AOB的面积；
（2）因为扇形围成一个圆锥的侧面，圆锥的底面圆的周长是扇形的弧长，借助扇形弧长公式可以求出圆锥的底面半径.
20．如图
（1）如图，在矩形ABCD中.点O在边AB上，∠AOC=∠BOD.求证：AO=OB.
（2）如图，AB是 的直径，PA与 相切于点A，OP与 相交于点C，连接CB，∠OPA=40°，求∠ABC的度数.
【答案】（1）解：∵∠AOC=∠BOD∴∠AOC -∠COD=∠BOD-∠COD即∠AOD=∠BOC
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=90°，AD=BC
∴
∴AO=OB
（2）解：∵AB是 的直径，PA与 相切于点A，∴PA⊥AB，
∴∠A=90°.
又∵∠OPA=40°，
∴∠AOP=50°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB.
又∵∠AOP=∠B+∠OCB，
∴ .
【解析】【分析】（1）由已知易得∠AOD=∠BOC，根据矩形的性质可得∠A=∠B=90°，AD=BC，用角角边易证得ΔAOD ΔBOC，所以AO=BO；
（2）由切线的性质可得PA⊥AB，所以∠A=90°.根据直角三角形两锐角互余可得∠AOP=50°，由已知易得∠B=∠OCB，根据三角形外角的性质可得∠AOP=∠B+∠OCB，所以∠B=∠OCB=∠AOP= 25° .
21． 如图， AB为⊙O的直径， PB⊥AB， 点C是⊙O上一点， 直线PO垂直平分BC， 交BC于H， 延长PC交BA的延长线于点D.
（1） 求证： PC是⊙O 的切线；
（2） 作∠ACB 的平分线CE交⊙O于点 E.若 求阴影部分的面积和AD 的长.
【答案】（1）证明：连接OC.
∵PO垂直平分BC，∴PB=PC，OB=OC.
在△PBO与△PCO中，
∴△PBO≌△PCO.
∴∠PCO＝∠PBO.
∵PB⊥AB，∴∠PCO＝∠PBO＝90°. 即PC⊥OC.
∴PC是⊙O的切线.
（2）解：连接OE.
①∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∵CE平分∠ACB，
∴.
∴90°.
∵，
∴.
∴.
∴.
②∵90°，90°且，
∴.
在△DAC与△DCB中，
∴△DAC∽△DCB.
∴.
∵.
∴. ∴.
∵△DAC∽△DCB， ∴.
∵， ∴. ∴.
∴.
【解析】【分析】（1） 连接OC ，利用垂直平分线的性质得到 PB=PC，OB=OC.，进而证明 △PBO≌△PCO ，得到 ∠PCO＝∠PBO ，结合已知求得 PC⊥OC ，从而求解；
（2） 连接OE ， ① 利用直角所对的圆周角是直角求得 ∠ACB＝90°，再根据角平分线的定义得到. 进而得到90° ，由等腰直角三角形的性质求得. 求出扇形OBE与△OBE的面积，最后根据即可求解；
② 先证明 △DAC∽△DCB，得到，进而，再由三角函数的定义求得. 得到，结合， 即可求解.
22．已知圆内接正六边形的边长为4cm，分别求出同圆中内接正三角形、正四边形的周长．
【答案】解：∵圆内接正六边形的边长为4cm，∴圆的半径为4cm．如图1所示，∵△ABC是等边三角形，∴∠BOC==120°．∵OD⊥BC，∴∠BOD=60°，BC=2BD，∵OB=4cm，∴BD=OB sin60°=4×=2cm，∴BC=4cm，∴C△ABC=3×4=12cm；如图2所示，∵四边形ABCD是正方形，∴∠OBD=45°，∵OD⊥BC，∴BD=OD，BC=2BD，∵OB=4cm，∴2BD2=16，解得BD=2cm，∴BC=4cm，∴C正方形ABCD=4×4=16cm．
【解析】【分析】先根据圆内接正六边形的边长为4cm可知圆的半径为4cm，再画出图形，求出正三角形及正四边形的边长即可．
23．如图，是的直径，弦于点E，，若，求的长.
【答案】解：如图，连接．
∵是的直径，弦于点E，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴．
∴．
【解析】【分析】连接OC，根据垂径定理可得，再利用勾股定理可得，将数据代入求出即可。
24．如图，在半径为5的扇形OAB中，∠AOB=90°，C是上的一个动点(不与点A，B重合)，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为点D，E．
（1）当BC=6时，求线段OD的长．
（2）求DE的长．
（3）在△ODE中，是否存在度数不变的角？若存在，请直接指出是哪个角，并求出它的度数．
【答案】（1）解：∵OD⊥BC，
∴BD=BC= ×6=3，
∵∠BDO= 90°，OB=5，BD=3，
OD= =4，
即线段OD的长为4；
（2）解：如图，连结AB，DE，
∵∠AOB=90° ，OA=OB=5，
∴AB= ．
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴D，E分别是线段BC，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=AB= ；
（3）解：∠DOE的度数不变，为45°，理由如下：
设OD交弧BC于点M，OE交弧AC于点N，
∵
∴
∴
∵
∴
即
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得到BD=BC，在Rt△BDO中利用勾股定理即可求出OD的长；
（2）连结AB，在Rt△AOB中，利用勾股定理求出AB的长，由垂径定理得D，E分别是线段BC，AC的中点，最后根据三角形中位线定理即可求出DE的长；
（3）∠DOE的度数不变，为45°，理由如下：根据垂径定理即可求得，进而根据圆心角、弧、弦的关系可求出∠DOE的度数.
25． 如图，AB 为⊙O 的直径，点 D 是 上的一点，且∠BDE=∠CBE，BD 与AE 交于点F.
（1）求证：BC 是⊙O的切线.
（2）若 BD 平分∠ABE，求证：
（3）在(2)的条件下，延长ED，BA 交于点P，若PA=AO，DE=2，求 PD的长和⊙O 的半径.
【答案】（1）证明： ∵AB是圆O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∵∠EDB=∠EAB， ∠BDE=∠CBE，
∴∠EAB=∠CBE，
∴∠ABE+∠CBE=90°，
∴CB⊥AB，
∵AB是圆O的直径，
∴BC是圆O的切线
（2）证明：∵ BD平分∠ABE，
∴∠ABD=∠DBE，AD =
∴∠DEA=∠DBE，
∵∠EDB=∠BDE，
∴△DEF∽△DBE，
（3）解：连接DA、DO，
∵DE=2，
∴PD=4，
∵∠PDA+∠ADE=180°，∠ABE+∠ADE=180°，
∴∠PDA=∠ABE，
∵OD∥BE，
∴∠AOD=∠ABE，
∴∠PDA=∠AOD，
∵∠P=∠P，
∴△PDA∽△POD，
设OA=x，
∴PA=x， PO=2x，
【解析】【分析】(1)根据圆周角定理即可得出再由已知得则 从而证得BC是圆O的切线；
(2)通过证得得出相似三角形的对应边成比例即可证得结论.
(3) 连接DA、DO， 先证得OD∥BE， 得出 ，然后根据已知条件得出 求得 ， 通过证得得出 设 则 得出 求出x的值即可解题.
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