21.1 二次根式 题型专练（含答案）华师大版（2024）九年级上册

华师大版（2024）九年级上册 21.1 二次根式 题型专练
【题型1】二次根式的识别
【典型例题】下列式子不属于二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】下列各式中，一定是二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】已知①，②，③，④，⑤，⑥，其中是二次根式的是　 　．
【举一反三3】代数式 　 　是二次根式.（填“一定”“一定不”“不一定”）
【举一反三4】是二次根式吗？
【题型2】二次根式有意义的条件
【典型例题】若x＝3能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】使式子有意义的未知数x有（　　）个．
A.0 B.1 C.2 D.无数
【举一反三2】已知a满足|4﹣a|+＝a，则a＝　 　．
【举一反三3】求使式子有意义的x的取值范围．
【题型3】二次根式与分式结合的未知数的取值
【典型例题】若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A.x≤2 B.x＞2 C.x≥2 D.x＜2
【举一反三1】若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是（　　）
A.﹣7 B.﹣6 C.﹣5 D.﹣4
【举一反三2】若代数式有意义，则实数x的取值范围是 　 　．
【举一反三3】已知x，y满足y3＝，试判断x+y是否存在平方根？若存在，求出平方根，若不存在，请说明理由．
【题型4】二次根式的性质（√a） ＝a（a≥0）
【典型例题】化简|a﹣2|+（）2的结果是（　　）
A.4﹣2a B.0 C.2a﹣4 D.4
【举一反三1】（﹣）2的相反数是（　　）
A.3 B.﹣3 C. D.﹣
【举一反三2】化简（﹣）2的结果是（　　）
A.﹣8 B.8 C.±8 D.16
【举一反三3】二次根式的性质：（）2＝　　（a≥0）．
【举一反三4】计算：
（1）＝　 　；
（2）＝　 　.
【举一反三5】计算：
（1）（）2；
（2）（）2；
（3）（）2；
（4）（）2．
根据计算结果，你能得出的结论：（）2＝　 　，其中a≥0．
（）2＝a（a≥0）的意义是　 　．
【题型5】二次根式的性质√（a ）=绝对值a
【典型例题】下列二次根式中，化简结果为﹣5的是（　　）
A. B.（﹣）2 C.﹣ D.
【举一反三1】下列运算正确的是（　　）
A.＝±2 B.＝﹣2 C.＝2 D.＝﹣3
【举一反三2】若实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，则 ＝　 　．
【举一反三3】已知a，b，c为三角形的三边长，化简：．
【举一反三4】若x＜2，化简+|4﹣x|，小明的解答过程如下：
解：原式＝+（4﹣x） 第一步
＝x﹣2+4﹣x 第二步
＝2 第三步
（1）小明的解答从第 　 　步出现错误的，错误的原因是用错了性质： 　；
（2）写出正确的解答过程．
【题型6】二次根式的化简
【典型例题】使式子有意义的未知数x有（　　）个．
A.0 B.1 C.2 D.无数
【举一反三1】当x＜﹣3时，|1﹣|等于（　　）
A.x+3 B.x﹣1 C.x+1 D.﹣x﹣3
【举一反三2】已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简（）2+的结果为 　　．
【举一反三3】若m和n为实数，，则m+n＝　 　
【举一反三4】已知a≥5，求﹣的值．
【举一反三5】＝|a|是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题：
（1）化简：＝　 　，＝　 　；
（2）若＝﹣1﹣x，则x的取值范围为 　 　；
（3）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣|c﹣a|+．
华师大版（2024）九年级上册 21.1 二次根式 题型专练（参考答案）
【题型1】二次根式的识别
【典型例题】下列式子不属于二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A、是二次根式，故此选项不符合题意；
B、被开方数﹣7＜0，所以不是二次根式，故此选项符合题意；
C、因为x2≥0，所以x2+2＞0，所以是二次根式，故此选项不符合题意；
D、是二次根式，故此选项不符合题意；
故选：B．
【举一反三1】下列各式中，一定是二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A、的被开方数﹣2＜0，不是二次根式，故此选项不符合题意；
B、是三次根式，故此选项不符合题意；
C、的被开方数a2+1＞0，是二次根式，故此选项符合题意；
D、的被开方数a﹣1有可能小于0，即当a＜1时不是二次根式，故此选项不符合题意；
故选：C.
【举一反三2】已知①，②，③，④，⑤，⑥，其中是二次根式的是　 　．
【答案】①
【解析】是二次根式；
是0.003的立方根；
，在实数范围无意义；
，中被开方数可能为负数；
则二次根式的是①，
故答案为：①．
【举一反三3】代数式 　 　是二次根式.（填“一定”“一定不”“不一定”）
【答案】不一定
【解析】∵当a＞0时，﹣a＜0，
∴当a＞0时，代数式不是二次根式，
∴代数式不一定是二次根式．
故答案为：不一定．
【举一反三4】是二次根式吗？
【答案】解：根据二次根式的定义可知：是二次根式．
【题型2】二次根式有意义的条件
【典型例题】若x＝3能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A．当x＝3时，2﹣x＝﹣1＜0，原式无意义，不符合题意；
B．当x＝3时，x﹣1＝2＞0，原式有意义，符合题意；
C．当x＝3时，x﹣4＝﹣1＜0，原式无意义，不符合题意；
D．当x＝3时，﹣2x＝﹣6＜0，原式无意义，不符合题意；
故选：B．
【举一反三1】使式子有意义的未知数x有（　　）个．
A.0 B.1 C.2 D.无数
【答案】B
【解析】由题意，得﹣（x﹣3）2≥0，则x﹣3＝0，所以x＝3．即使式子有意义的未知数x有1个．
故选：B．
【举一反三2】已知a满足|4﹣a|+＝a，则a＝　 　．
【答案】21
【解析】由题意可得a﹣5≥0，
解得a≥5，
∴|4﹣a|＝a﹣4，
∵|4﹣a|+＝a，
∴a﹣4+＝a，
∴＝4，
∴a﹣5＝16，
解得a＝21．
故答案为：21．
【举一反三3】求使式子有意义的x的取值范围．
【答案】解：∵式子有意义，
∴，解得0≤0≤．
【题型3】二次根式与分式结合的未知数的取值
【典型例题】若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A.x≤2 B.x＞2 C.x≥2 D.x＜2
【答案】B
【解析】由题意可得x﹣2＞0，
解得：x＞2，
故选：B．
【举一反三1】若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是（　　）
A.﹣7 B.﹣6 C.﹣5 D.﹣4
【答案】D
【解析】去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，
解得，x＝，
∵关于x的分式方程有正数解，
∴＞0，
∴m＞﹣5，
又∵x＝1是增根，当x＝1时，＝1，即m＝﹣3，
∴m≠﹣3，
∵有意义，
∴2﹣m≥0，
∴m≤2，
因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3，
∵m为整数，
∴m可以为﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，其和为﹣4，
故选：D．
【举一反三2】若代数式有意义，则实数x的取值范围是 　 　．
【答案】1＜x≤3且x≠2
【解析】 ∵代数式有意义，
∴，
由①，可得x≤3，
由②，可得x＞1，
由③，可得x≠2，
∴1＜x≤3且x≠2．
故答案为：1＜x≤3且x≠2．
【举一反三3】已知x，y满足y3＝，试判断x+y是否存在平方根？若存在，求出平方根，若不存在，请说明理由．
【答案】解：由题意得：，
解得：x＝±3，
∵x﹣3≠0，
解得：x≠3，
∴x＝﹣3，
∴y3＝﹣1，
解得：y＝﹣1，
x+y＝﹣4，
负数不存在平方根．
【题型4】二次根式的性质（√a） ＝a（a≥0）
【典型例题】化简|a﹣2|+（）2的结果是（　　）
A.4﹣2a B.0 C.2a﹣4 D.4
【答案】A
【解析】由题意可得：2﹣a≥0，
则a≤2，
∴|a﹣2|+（）2＝2﹣a+2﹣a＝4﹣2a．
故选：A．
【举一反三1】（﹣）2的相反数是（　　）
A.3 B.﹣3 C. D.﹣
【答案】B
【解析】（﹣）2＝3的相反数是：﹣3．
故选：B．
【举一反三2】化简（﹣）2的结果是（　　）
A.﹣8 B.8 C.±8 D.16
【答案】B
【解析】原式＝8．
故选：B．
【举一反三3】二次根式的性质：（）2＝　　（a≥0）．
【答案】a
【解析】（）2＝a （a≥0）．
故答案为：a．
【举一反三4】计算：
（1）＝　 　；
（2）＝　 　.
【答案】（1）12
（2）18
【解析】（1）＝22×（）2＝4×3＝12，
故答案为：12；
（2）＝（﹣3）2×（）2＝9×2＝18，
故答案为：18.
【举一反三5】计算：
（1）（）2；
（2）（）2；
（3）（）2；
（4）（）2．
根据计算结果，你能得出的结论：（）2＝　 　，其中a≥0．
（）2＝a（a≥0）的意义是　 　．
【答案】解：（1）（）2＝4，
（2）（）2＝3，
（3）（）2＝0.5，
（4）（）2＝
根据计算结果，得出的结论：（）2＝a，其中a≥0，
（）2＝a（a≥0）的意义是a的算术平方根是．
故答案为：a，a的算术平方根是．
【题型5】二次根式的性质√（a ）=绝对值a
【典型例题】下列二次根式中，化简结果为﹣5的是（　　）
A. B.（﹣）2 C.﹣ D.
【答案】C
【解析】A的答案是5，B的结果是5，C的结果是﹣5，D的结果是5，
故选：C．
【举一反三1】下列运算正确的是（　　）
A.＝±2 B.＝﹣2 C.＝2 D.＝﹣3
【答案】D
【解析】A．＝2，故选项错误，不符合题意；
B．＝2，故选项错误，不符合题意；
C．＝﹣2，故选项错误，不符合题意；
D．＝﹣3，故选项正确，符合题意．
故选：D．
【举一反三2】若实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，则 ＝　 　．
【答案】a﹣2
【解析】由图可知2＜a＜3，
∴2﹣a＜0，
∴＝a﹣2．
故答案为：a﹣2．
【举一反三3】已知a，b，c为三角形的三边长，化简：．
【答案】解：∵a，b，c为三角形的三边长，
∴a+b＞c，b+c＞a，
∴
＝|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|
＝a+b﹣c+b+c﹣a
＝2b．
【举一反三4】若x＜2，化简+|4﹣x|，小明的解答过程如下：
解：原式＝+（4﹣x） 第一步
＝x﹣2+4﹣x 第二步
＝2 第三步
（1）小明的解答从第 　 　步出现错误的，错误的原因是用错了性质： 　；
（2）写出正确的解答过程．
【答案】解：原式＝a+＝a+（a﹣1）＝2a﹣1＝2×9﹣1＝17；
（1）小明的解答是错误的．
（2）错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质：＝a（a≥0），
故答案为：小明，＝a（a≥0）．
【题型6】二次根式的化简
【典型例题】使式子有意义的未知数x有（　　）个．
A.0 B.1 C.2 D.无数
【答案】B
【解析】由题意，得﹣（x﹣3）2≥0，则x﹣3＝0，所以x＝3．即使式子有意义的未知数x有1个．
故选：B．
【举一反三1】当x＜﹣3时，|1﹣|等于（　　）
A.x+3 B.x﹣1 C.x+1 D.﹣x﹣3
【答案】D
【解析】∵x＜﹣3，
∴3+x＜0，
则|1﹣|＝|1+2+x|＝|3+x|＝﹣x﹣3，
故选：D．
【举一反三2】已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简（）2+的结果为 　　．
【答案】1
【解析】由数轴可知：0＜a＜1，
则a﹣1＜0，
∴原式＝a+1﹣a＝1，
故答案为：1．
【举一反三3】若m和n为实数，，则m+n＝　 　
【答案】﹣4
【解析】∵m2≥0，
又∵﹣m2≥0，﹣n≥0，
∴m＝0，
∵，
∴，
即﹣n＝4，
∴n＝﹣4，
∴m+n＝0+（﹣4）＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【举一反三4】已知a≥5，求﹣的值．
【答案】解：∵a≥5，
∴a﹣2＞0，﹣3﹣a＜0，
∴原式＝|a﹣2|﹣|﹣3﹣a|
＝a﹣2+（﹣3﹣a）
＝a﹣2﹣3﹣a
＝﹣5．
【举一反三5】＝|a|是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题：
（1）化简：＝　 　，＝　 　；
（2）若＝﹣1﹣x，则x的取值范围为 　 　；
（3）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣|c﹣a|+．
【答案】解：（1）＝|﹣2|＝2，＝|3﹣π|＝π﹣3．
∴答案为：2，π﹣3．
（2）∵＝|1+x|＝﹣1﹣x．
∴1+x≤0，
∴x≤﹣1．
故答案为：x≤﹣1．
（3）由数轴得：a＜b＜0＜c．
∴c﹣a＞0，b﹣c＜0．
∴原式＝|a|﹣（c﹣a）+|b﹣c|
＝﹣a﹣c+a﹣b+c
＝﹣b．