华师大版（2024）九年级上册 22.1 一元二次方程 题型专练（含答案）
文档属性
| 名称 | 华师大版（2024）九年级上册 22.1 一元二次方程 题型专练（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 78.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-20 09:18:34 | ||
图片预览
文档简介
华师大版（2024）九年级上册 22.1 一元二次方程 题型专练
【题型1】一元二次方程的辨别
【典型例题】下列选项中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A.x2+3x﹣2＝x2 B.3x2+2x+4＝0 C.ax2+bx+c＝0 D.
【举一反三1】下列方程：①x2＝0；②ax2+bx+c＝0；③x2﹣3＝x；④a2+a﹣x＝0；⑤（x+1）2＝x2﹣9，关于x的一元二次方程有（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【举一反三2】已知k、m是常数，下列方程中一定是一元二次方程的是（ ）
A.6x2＝3﹣
B.（k﹣1）x2﹣6kx+5＝0
C.x2＝
D.（1﹣2x）（3﹣x）＝2x2+1
【举一反三3】5x2+1＝0是一元二次方程. （判断对错）
【举一反三4】试写出一个含有未知数x的一元二次方程 ．
【举一反三5】试证明关于x的方程（a2﹣4a+12）x2+2ax+1＝0不论a为何值，该方程都是一元二次方程．
【题型2】利用一元二次方程的概念求字母的值
【典型例题】已知关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是（ ）
A.﹣1 B.2 C.﹣1或3 D.3
【举一反三1】关于x的方程（a﹣1）x2++2＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A.a≠1 B.a≥﹣1且a≠1 C.a＞﹣1且a≠1 D.a≠±1
【举一反三2】若关于x的方程（m﹣1）x2﹣4x﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A.m≠1 B.m＝1 C.m＞1 D.m＜1
【举一反三3】已知（4﹣m）x|m|﹣2+3＝9是关于x的一元二次方程，则m＝ ．
【举一反三4】若方程kx2+x＝6x2+1是一元二次方程，则k的取值范围为 ．
【举一反三5】已知关于x的方程，试问：
（1）m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？
（2）m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？
【题型3】化为一元二次方程的一般形式
【典型例题】下把一元二次方程4（x+1）＝5x2化为一般形式正确的是满足（ ）
A.5x2﹣4x﹣4＝0 B.5x2﹣4x+4＝0 C.5x2+4x+4＝0 D.5x2+4x﹣4＝0
【举一反三1】关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ ）
A.0 B.±3 C.3 D.﹣3
【举一反三2】若方程3x2+kx＝4x+5中不含x的一次项，则k＝ ．
【举一反三3】把方程3x（x﹣1）＝8化成一般形式为 ，它的常数项为 ．
【举一反三4】将下列方程化成一元二次方程的一般形式．
（1）5x2﹣1＝4x；
（2）4x2＝81．
【举一反三5】若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的常数项为0，求m的值是多少？
【题型4】利用一元二次方程的一般形式确定各项系数
【典型例题】一元二次方程3x2+1＝6x的一次项系数为6，二次项系数和常数项分别为（ ）
A.3，1 B.﹣3，﹣1 C.3，﹣1 D.﹣3x2，﹣1
【举一反三1】若+3mx﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则该方程的一次项系数是（ ）
A.﹣1 B.±1 C.﹣3 D.±3
【举一反三2】方程（x﹣2）2＝0的常数项为 ．
【举一反三3】已知关于x的方程（m﹣1）x|m+1|+4x2+2x+7＝0是一元二次方程，求m的值及其相应的二次项系数，一次项系数，常数项．
【题型5】根据实际问题抽象为一元二次方程
【典型例题】参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ）
A.x（x+1）＝90 B.x（x+1）＝90 C.x（x﹣1）＝90 D.x（x﹣1）＝90
【举一反三1】如图，在长为80 cm、宽为60 cm的矩形油画四周镶嵌同样宽的装饰，若装饰后的画面的面积为6300 cm2．求镶嵌的装饰部分的宽度？若设镶嵌的装饰部分的宽度为x cm．则可列的一元二次方程是（ ）
A.（80﹣2x）（60﹣2x）＝6300
B.（80+2x）（60+2x）＝6300
C.（80﹣x）（60﹣x）＝6300
D.（80+2）（60+x）＝6300
【举一反三2】祁中初三66班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了930份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A.＝930 B.＝930 C.x（x+1）＝930 D.x（x﹣1）＝930
【举一反三3】要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则可列一元二次方程为 ．
【举一反三4】根据题意列一元二次方程：有10个边长均为x的正方形，它们的面积之和是200，则有 ．
【举一反三5】将一个容积为750 cm2的包装盒剪开、铺平．纸样如图所示．写出关于x的方程.该方程是一元二次方程吗？如果是．把它化为一元二次方程的一般形式．
【举一反三6】根据题意列方程．
如图，某城市为美化环境，准备在一块长60 m，宽40 m的矩形土地上修建一个矩形花坛，要求花坛四周是宽度相同的人行道，且花坛面积为整块土地面积的一半．若设人行道的宽为x m，则列出的方程化成一般形式是什么？
【题型6】直接利用一元二次方程的解
【典型例题】下列哪些数是方程x2+x﹣6＝0的解是（ ）
A.﹣3和2 B.﹣3和﹣2 C.﹣2和3 D.2和3
【举一反三1】在四个数：①x＝﹣3，②x＝2，③x＝3，④x＝﹣2中，是方程（x﹣3）（x﹣2）＝0的根的是（ ）
A.①② B.③④ C.①③ D.②③
【举一反三2】若关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3，则方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的解为 ．
【举一反三3】方程5x2﹣3x﹣1＝0和10x2﹣6x﹣2＝0的根相同吗？为什么？
【举一反三4】检验x＝﹣1，x＝2是否为方程2x2+3x+1＝0的根．
【题型7】求未知字母或代数式的值
【典型例题】若x＝m是方程x2+x﹣4＝0的根，则m2+m+2020的值为（ ）
A.2024 B.2022 C.2020 D.2016
【举一反三1】若m是方程x2+x﹣1＝0的根，则式子m3+2m2+2022的值为（ ）
A.2023 B.2022 C.2021 D.2020
【举一反三2】若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0有一个根是x＝1，则a＝ ．
【举一反三3】已知m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根，求（m﹣3）2+（m+2）（m﹣2）的值．
华师大版（2024）九年级上册 22.1 一元二次方程 题型专练（参考答案）
【题型1】一元二次方程的辨别
【典型例题】下列选项中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A.x2+3x﹣2＝x2 B.3x2+2x+4＝0 C.ax2+bx+c＝0 D.
【答案】B
【解析】A．x2+3x﹣2＝x2，整理得：3x﹣2＝0，方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．方程3x2+2x+4＝0是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．当a＝0时，方程ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．方程x2+＝1是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：B．
【举一反三1】下列方程：①x2＝0；②ax2+bx+c＝0；③x2﹣3＝x；④a2+a﹣x＝0；⑤（x+1）2＝x2﹣9，关于x的一元二次方程有（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】A
【解析】①方程x2＝0是一元二次方程，①符合题意；
②当a＝0时，方程ax2+bx+c＝0是一元一次方程，②不符合题意；
③方程x2﹣3＝x是一元二次方程，③符合题意；
④方程a2+a﹣x＝0是一元一次方程，④不符合题意；
⑤原方程可整理得2x+10＝0，该方程为一元一次方程，⑤不符合题意．
∴关于x的一元二次方程有①③，共2个．
故选：A．
【举一反三2】已知k、m是常数，下列方程中一定是一元二次方程的是（ ）
A.6x2＝3﹣
B.（k﹣1）x2﹣6kx+5＝0
C.x2＝
D.（1﹣2x）（3﹣x）＝2x2+1
【答案】C
【解析】A.该方程不是整式方程，故本选项不符合题意．
B.当k＝1时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
C.该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
D.由已知方程得到：7x+2＝0，该方程属于一元一次方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
【举一反三3】5x2+1＝0是一元二次方程. （判断对错）
【答案】正确
【解析】根据一元二次方程的定义可知：5x2+1＝0是一元二次方程．
故答案为：正确．
【举一反三4】试写出一个含有未知数x的一元二次方程 ．
【答案】x2﹣2x+1＝0
【解析】要符合一元二次方程的定义，保证二次项系数不为0，如x2﹣2x+1＝0．
【举一反三5】试证明关于x的方程（a2﹣4a+12）x2+2ax+1＝0不论a为何值，该方程都是一元二次方程．
【答案】证明：a2﹣4a+12＝（a2﹣4a+4）+8＝（a﹣2）2+8，
∵（a﹣2）2≥0，
∴（a﹣2）2+8≠0，
∴无论a取何实数关于x的方程（a2﹣4a+12）x2+2ax+1＝0都是一元二次方程．
【题型2】利用一元二次方程的概念求字母的值
【典型例题】已知关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是（ ）
A.﹣1 B.2 C.﹣1或3 D.3
【答案】A
【解析】∵关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，
∴a﹣3≠0且|a﹣1|＝2，
解得：a＝﹣1，
故选：A．
【举一反三1】关于x的方程（a﹣1）x2++2＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A.a≠1 B.a≥﹣1且a≠1 C.a＞﹣1且a≠1 D.a≠±1
【答案】B
【解析】∵关于x的方程（a﹣1）x2++2＝0是一元二次方程，
∴a﹣1≠0，a+1≥0，
解得：a≥﹣1，且a≠1．
故选：B．
【举一反三2】若关于x的方程（m﹣1）x2﹣4x﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A.m≠1 B.m＝1 C.m＞1 D.m＜1
【答案】A
【解析】∵关于x的方程（m﹣1）x2﹣4x﹣1＝0是一元二次方程，
∴m﹣1≠0，
解得：m≠1．
故选：A．
【举一反三3】已知（4﹣m）x|m|﹣2+3＝9是关于x的一元二次方程，则m＝ ．
【答案】﹣4
【解析】∵（4﹣m）x|m|﹣2+3＝9是关于x的一元二次方程，
∴|m|﹣2＝2且4﹣m≠0，
解得m＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【举一反三4】若方程kx2+x＝6x2+1是一元二次方程，则k的取值范围为 ．
【答案】k≠6
【解析】原方程可化为（k﹣6）x2+x﹣1＝0，
∵方程是一元二次方程，
∴k﹣6≠0，
∴k≠6．
故答案为：k≠6．
【举一反三5】已知关于x的方程，试问：
（1）m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？
（2）m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？
【答案】解：（1）要使关于x的方程是一元一次方程，分3种情况：
①m2﹣1＝1，解得：，该方程是一元一次方程；
②m+1＝0，解得：m＝﹣1，该方程是一元一次方程；
③m2﹣1＝0，解得：m＝±1，该方程是一元一次方程；
所以当或m＝±1时，该方程是关于x的一元一次方程；
（2）要使关于x的方程是一元二次方程，必须m2﹣1＝2且m+1≠0，
解得：，都满足m+1≠0，
所以时，该方程是关于x的一元二次方程．
【题型3】化为一元二次方程的一般形式
【典型例题】下把一元二次方程4（x+1）＝5x2化为一般形式正确的是满足（ ）
A.5x2﹣4x﹣4＝0 B.5x2﹣4x+4＝0 C.5x2+4x+4＝0 D.5x2+4x﹣4＝0
【答案】A
【解析】∵4（x+1）＝5x2，
∴4x+4＝5x2，
∴一般形式为5x2﹣4x﹣4＝0．
故选：A．
【举一反三1】关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ ）
A.0 B.±3 C.3 D.﹣3
【答案】D
【解析】（m﹣3）x2+m2x＝9x+5，
（m﹣3）x2+（m2﹣9）x﹣5＝0，
由题意得：m﹣3≠0，m2﹣9＝0，
解得：m＝﹣3，
故选：D．
【举一反三2】若方程3x2+kx＝4x+5中不含x的一次项，则k＝ ．
【答案】4
【解析】3x2+kx＝4x+5，整理得：3x2+（k﹣4）x﹣5＝0，
∵方程3x2+kx＝4x+5中不含x的一次项，
∴k﹣4＝0，
∴k＝4．
故答案为：4．
【举一反三3】把方程3x（x﹣1）＝8化成一般形式为 ，它的常数项为 ．
【答案】3x2﹣3x﹣8＝0；﹣8
【解析】3x（x﹣1）＝8，
整理得：3x2﹣3x﹣8＝0，
常数项为﹣8．
故答案为：3x2﹣3x﹣8＝0；﹣8．
【举一反三4】将下列方程化成一元二次方程的一般形式．
（1）5x2﹣1＝4x；
（2）4x2＝81．
【答案】解：（1）5x2﹣1＝4x，
5x2﹣4x﹣1＝0，
即一元二次方程的一般形式是5x2﹣4x﹣1＝0；
（2）4x2＝81，移项得：4x2﹣81＝0．
【举一反三5】若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的常数项为0，求m的值是多少？
【答案】解：一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的常数项为m2﹣1＝0，
所以m＝±1，
又因为二次项系数不为0，m﹣1≠0，m≠1，
所以m＝﹣1．
【题型4】利用一元二次方程的一般形式确定各项系数
【典型例题】一元二次方程3x2+1＝6x的一次项系数为6，二次项系数和常数项分别为（ ）
A.3，1 B.﹣3，﹣1 C.3，﹣1 D.﹣3x2，﹣1
【答案】B
【解析】3x2+1＝6x，
3x2+1﹣6x＝0，
﹣3x2+6x﹣1＝0，
∵一次项系数是6，
∴二次项系数是﹣3，常数项是﹣1，
故选：B．
【举一反三1】若+3mx﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则该方程的一次项系数是（ ）
A.﹣1 B.±1 C.﹣3 D.±3
【答案】C
【解析】由题意得：，
解得：m＝﹣1．
∴该方程的一次项系数为：3m＝﹣3．
故选：C．
【举一反三2】方程（x﹣2）2＝0的常数项为 ．
【答案】4
【解析】（x﹣2）2＝0，
整理得：x2﹣4x+4＝0，
则方程（x﹣2）2＝0的常数项为：4．
故答案为：4．
【举一反三3】已知关于x的方程（m﹣1）x|m+1|+4x2+2x+7＝0是一元二次方程，求m的值及其相应的二次项系数，一次项系数，常数项．
【答案】解：∵关于x的方程（m﹣1）x|m+1|+4x2+2x+7＝0是一元二次方程，
∴|m+1|＝1或2或0，
当|m+1|＝1时，解得：m＝0或﹣2，
故原方程可化简为：4x2+x+7＝0或4x2﹣x+7＝0，
二次项系数为：4，一次项系数为：1，常数项为：7；
或二次项系数为：4，一次项系数为：﹣1，常数项为：7；
当|m+1|＝2时，解得：m＝1或﹣3（不合题意舍去），
故原方程可化简为：4x2+2x+7＝0，
二次项系数为：4，一次项系数为：2，常数项为：7．
当|m+1|＝0时，解得：m＝﹣1，
则二次项系数为：4，一次项系数为：2，常数项为：5．
【题型5】根据实际问题抽象为一元二次方程
【典型例题】参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ）
A.x（x+1）＝90 B.x（x+1）＝90 C.x（x﹣1）＝90 D.x（x﹣1）＝90
【答案】D
【解析】设有x个队参赛，则x（x﹣1）＝90．
故选：D．
【举一反三1】如图，在长为80 cm、宽为60 cm的矩形油画四周镶嵌同样宽的装饰，若装饰后的画面的面积为6300 cm2．求镶嵌的装饰部分的宽度？若设镶嵌的装饰部分的宽度为x cm．则可列的一元二次方程是（ ）
A.（80﹣2x）（60﹣2x）＝6300
B.（80+2x）（60+2x）＝6300
C.（80﹣x）（60﹣x）＝6300
D.（80+2）（60+x）＝6300
【答案】B
【解析】根据题意得（80+2x）（60+2x）＝6300，
故选：B．
【举一反三2】祁中初三66班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了930份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A.＝930 B.＝930 C.x（x+1）＝930 D.x（x﹣1）＝930
【答案】D
【解析】设全班有x名同学，则每人写（x﹣1）份留言，
根据题意得：x（x﹣1）＝930，
故选：D．
【举一反三3】要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则可列一元二次方程为 ．
【答案】x2﹣x﹣56＝0
【解析】设比赛组织者应邀请x个队参赛，
则可列一元二次方程为：x（x﹣1）＝28，
整理得：x2﹣x﹣56＝0．
故答案为：x2﹣x﹣56＝0．
【举一反三4】根据题意列一元二次方程：有10个边长均为x的正方形，它们的面积之和是200，则有 ．
【答案】10x2＝200
【解析】设边长均为x，根据题意得：10x2＝200，
故答案为：10x2＝200.
【举一反三5】将一个容积为750 cm2的包装盒剪开、铺平．纸样如图所示．写出关于x的方程.该方程是一元二次方程吗？如果是．把它化为一元二次方程的一般形式．
【答案】解：由题意可得：长方体的长为：15，宽为：（30﹣2x）÷2＝15﹣x，
则根据题意，列出关于x的方程为：15（15﹣x） x＝750．
整理，得x2﹣15x+50＝0．
该方程属于关于x的一元二次方程．
【举一反三6】根据题意列方程．
如图，某城市为美化环境，准备在一块长60 m，宽40 m的矩形土地上修建一个矩形花坛，要求花坛四周是宽度相同的人行道，且花坛面积为整块土地面积的一半．若设人行道的宽为x m，则列出的方程化成一般形式是什么？
【答案】解：根据题意，可得花坛的长为（60﹣2x）m，宽为（40﹣2x）m，
则有：（60﹣2x）（40﹣2x）＝×60×40，
变形成一般形式为：x2﹣50x+300＝0．
【题型6】直接利用一元二次方程的解
【典型例题】下列哪些数是方程x2+x﹣6＝0的解是（ ）
A.﹣3和2 B.﹣3和﹣2 C.﹣2和3 D.2和3
【答案】A
【解析】当x＝﹣3时，x2+x﹣6＝9﹣3﹣6＝0，所以x＝﹣3是方程x2+x﹣6＝0的解，
当x＝2时，x2+x﹣6＝4+2﹣6＝0，所以x＝2是方程x2+x﹣6＝0的解，
即方程x2+x﹣6＝0的根为﹣3或2．
故选：A．
【举一反三1】在四个数：①x＝﹣3，②x＝2，③x＝3，④x＝﹣2中，是方程（x﹣3）（x﹣2）＝0的根的是（ ）
A.①② B.③④ C.①③ D.②③
【答案】D
【解析】①把x＝﹣3代入（x﹣3）（x﹣2）＝0得到：左边＝（﹣3）×（﹣5）＝30≠右边，则它不是该方程的解，故错误；
②把x＝2代入（x﹣3）（x﹣2）＝0得到：左边＝（﹣1）×0＝0＝右边，则它是该方程的解，故正确；
③把x＝3代入（x﹣3）（x﹣2）＝0得到：左边＝0×1＝0＝右边，则它是该方程的解，故正确；
④把x＝﹣2代入（x﹣3）（x﹣2）＝0得到：左边＝（﹣5）×（﹣4）＝0≠右边，则它不是该方程的解，故错误；
综上所述，②③符合题意，
故选：D．
【举一反三2】若关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3，则方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的解为 ．
【答案】x1＝0，x2＝4
【解析】把方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0看作关于x﹣1的一元二次方程，
而关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3，
所以x﹣1＝﹣1或x﹣1＝3，
所以x1＝0，x2＝4．
故答案为：x1＝0，x2＝4．
【举一反三3】方程5x2﹣3x﹣1＝0和10x2﹣6x﹣2＝0的根相同吗？为什么？
【答案】解：∵10x2﹣6x﹣2＝0，∴5x2﹣3x﹣1＝0．
∴5x2﹣3x﹣1＝0与10x2﹣6x﹣2＝0是同解方程，
∴两方程的根相同．
【举一反三4】检验x＝﹣1，x＝2是否为方程2x2+3x+1＝0的根．
【答案】解：当x＝﹣1时，左边＝2﹣3+1＝0＝右边，即x＝﹣1是原方程的根；
当x＝2时，左边＝8+6+1＝15≠右边，即x＝2不是原方程的根．
【题型7】求未知字母或代数式的值
【典型例题】若x＝m是方程x2+x﹣4＝0的根，则m2+m+2020的值为（ ）
A.2024 B.2022 C.2020 D.2016
【答案】A
【解析】由题意得：把x＝m代入方程x2+x﹣4＝0中得：m2+m﹣4＝0，
∴m2+m＝4，
∴m2+m+2020＝4+2020＝2024，
故选：A．
【举一反三1】若m是方程x2+x﹣1＝0的根，则式子m3+2m2+2022的值为（ ）
A.2023 B.2022 C.2021 D.2020
【答案】A
【解析】∵m是方程x2+x﹣1＝0的根，
∴m2+m﹣1＝0，
∴m2+m＝1，
∴m3+2m2+2022
＝m3+m2+m2+2022
＝m（m2+m）+m2+2022
＝m+m2+2022
＝1+2022
＝2023，
故选：A．
【举一反三2】若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0有一个根是x＝1，则a＝ ．
【答案】﹣1
【解析】把x＝1代入方程（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0得a﹣1+a2﹣a＝0，
解得a1＝1，a2＝﹣1，
因为a﹣1≠0，
所以a的值为﹣1．
故答案为：﹣1．
【举一反三3】已知m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根，求（m﹣3）2+（m+2）（m﹣2）的值．
【答案】解：∵m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根，
∴m2﹣3m+1＝0，即m2﹣3m＝﹣1，
∴（m﹣3）2+（m+2）（m﹣2）＝m2﹣6m+9+m2﹣4＝2（m2﹣3m）+5＝3．
【题型1】一元二次方程的辨别
【典型例题】下列选项中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A.x2+3x﹣2＝x2 B.3x2+2x+4＝0 C.ax2+bx+c＝0 D.
【举一反三1】下列方程：①x2＝0；②ax2+bx+c＝0；③x2﹣3＝x；④a2+a﹣x＝0；⑤（x+1）2＝x2﹣9，关于x的一元二次方程有（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【举一反三2】已知k、m是常数，下列方程中一定是一元二次方程的是（ ）
A.6x2＝3﹣
B.（k﹣1）x2﹣6kx+5＝0
C.x2＝
D.（1﹣2x）（3﹣x）＝2x2+1
【举一反三3】5x2+1＝0是一元二次方程. （判断对错）
【举一反三4】试写出一个含有未知数x的一元二次方程 ．
【举一反三5】试证明关于x的方程（a2﹣4a+12）x2+2ax+1＝0不论a为何值，该方程都是一元二次方程．
【题型2】利用一元二次方程的概念求字母的值
【典型例题】已知关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是（ ）
A.﹣1 B.2 C.﹣1或3 D.3
【举一反三1】关于x的方程（a﹣1）x2++2＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A.a≠1 B.a≥﹣1且a≠1 C.a＞﹣1且a≠1 D.a≠±1
【举一反三2】若关于x的方程（m﹣1）x2﹣4x﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A.m≠1 B.m＝1 C.m＞1 D.m＜1
【举一反三3】已知（4﹣m）x|m|﹣2+3＝9是关于x的一元二次方程，则m＝ ．
【举一反三4】若方程kx2+x＝6x2+1是一元二次方程，则k的取值范围为 ．
【举一反三5】已知关于x的方程，试问：
（1）m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？
（2）m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？
【题型3】化为一元二次方程的一般形式
【典型例题】下把一元二次方程4（x+1）＝5x2化为一般形式正确的是满足（ ）
A.5x2﹣4x﹣4＝0 B.5x2﹣4x+4＝0 C.5x2+4x+4＝0 D.5x2+4x﹣4＝0
【举一反三1】关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ ）
A.0 B.±3 C.3 D.﹣3
【举一反三2】若方程3x2+kx＝4x+5中不含x的一次项，则k＝ ．
【举一反三3】把方程3x（x﹣1）＝8化成一般形式为 ，它的常数项为 ．
【举一反三4】将下列方程化成一元二次方程的一般形式．
（1）5x2﹣1＝4x；
（2）4x2＝81．
【举一反三5】若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的常数项为0，求m的值是多少？
【题型4】利用一元二次方程的一般形式确定各项系数
【典型例题】一元二次方程3x2+1＝6x的一次项系数为6，二次项系数和常数项分别为（ ）
A.3，1 B.﹣3，﹣1 C.3，﹣1 D.﹣3x2，﹣1
【举一反三1】若+3mx﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则该方程的一次项系数是（ ）
A.﹣1 B.±1 C.﹣3 D.±3
【举一反三2】方程（x﹣2）2＝0的常数项为 ．
【举一反三3】已知关于x的方程（m﹣1）x|m+1|+4x2+2x+7＝0是一元二次方程，求m的值及其相应的二次项系数，一次项系数，常数项．
【题型5】根据实际问题抽象为一元二次方程
【典型例题】参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ）
A.x（x+1）＝90 B.x（x+1）＝90 C.x（x﹣1）＝90 D.x（x﹣1）＝90
【举一反三1】如图，在长为80 cm、宽为60 cm的矩形油画四周镶嵌同样宽的装饰，若装饰后的画面的面积为6300 cm2．求镶嵌的装饰部分的宽度？若设镶嵌的装饰部分的宽度为x cm．则可列的一元二次方程是（ ）
A.（80﹣2x）（60﹣2x）＝6300
B.（80+2x）（60+2x）＝6300
C.（80﹣x）（60﹣x）＝6300
D.（80+2）（60+x）＝6300
【举一反三2】祁中初三66班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了930份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A.＝930 B.＝930 C.x（x+1）＝930 D.x（x﹣1）＝930
【举一反三3】要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则可列一元二次方程为 ．
【举一反三4】根据题意列一元二次方程：有10个边长均为x的正方形，它们的面积之和是200，则有 ．
【举一反三5】将一个容积为750 cm2的包装盒剪开、铺平．纸样如图所示．写出关于x的方程.该方程是一元二次方程吗？如果是．把它化为一元二次方程的一般形式．
【举一反三6】根据题意列方程．
如图，某城市为美化环境，准备在一块长60 m，宽40 m的矩形土地上修建一个矩形花坛，要求花坛四周是宽度相同的人行道，且花坛面积为整块土地面积的一半．若设人行道的宽为x m，则列出的方程化成一般形式是什么？
【题型6】直接利用一元二次方程的解
【典型例题】下列哪些数是方程x2+x﹣6＝0的解是（ ）
A.﹣3和2 B.﹣3和﹣2 C.﹣2和3 D.2和3
【举一反三1】在四个数：①x＝﹣3，②x＝2，③x＝3，④x＝﹣2中，是方程（x﹣3）（x﹣2）＝0的根的是（ ）
A.①② B.③④ C.①③ D.②③
【举一反三2】若关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3，则方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的解为 ．
【举一反三3】方程5x2﹣3x﹣1＝0和10x2﹣6x﹣2＝0的根相同吗？为什么？
【举一反三4】检验x＝﹣1，x＝2是否为方程2x2+3x+1＝0的根．
【题型7】求未知字母或代数式的值
【典型例题】若x＝m是方程x2+x﹣4＝0的根，则m2+m+2020的值为（ ）
A.2024 B.2022 C.2020 D.2016
【举一反三1】若m是方程x2+x﹣1＝0的根，则式子m3+2m2+2022的值为（ ）
A.2023 B.2022 C.2021 D.2020
【举一反三2】若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0有一个根是x＝1，则a＝ ．
【举一反三3】已知m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根，求（m﹣3）2+（m+2）（m﹣2）的值．
华师大版（2024）九年级上册 22.1 一元二次方程 题型专练（参考答案）
【题型1】一元二次方程的辨别
【典型例题】下列选项中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A.x2+3x﹣2＝x2 B.3x2+2x+4＝0 C.ax2+bx+c＝0 D.
【答案】B
【解析】A．x2+3x﹣2＝x2，整理得：3x﹣2＝0，方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．方程3x2+2x+4＝0是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．当a＝0时，方程ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．方程x2+＝1是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：B．
【举一反三1】下列方程：①x2＝0；②ax2+bx+c＝0；③x2﹣3＝x；④a2+a﹣x＝0；⑤（x+1）2＝x2﹣9，关于x的一元二次方程有（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】A
【解析】①方程x2＝0是一元二次方程，①符合题意；
②当a＝0时，方程ax2+bx+c＝0是一元一次方程，②不符合题意；
③方程x2﹣3＝x是一元二次方程，③符合题意；
④方程a2+a﹣x＝0是一元一次方程，④不符合题意；
⑤原方程可整理得2x+10＝0，该方程为一元一次方程，⑤不符合题意．
∴关于x的一元二次方程有①③，共2个．
故选：A．
【举一反三2】已知k、m是常数，下列方程中一定是一元二次方程的是（ ）
A.6x2＝3﹣
B.（k﹣1）x2﹣6kx+5＝0
C.x2＝
D.（1﹣2x）（3﹣x）＝2x2+1
【答案】C
【解析】A.该方程不是整式方程，故本选项不符合题意．
B.当k＝1时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
C.该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
D.由已知方程得到：7x+2＝0，该方程属于一元一次方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
【举一反三3】5x2+1＝0是一元二次方程. （判断对错）
【答案】正确
【解析】根据一元二次方程的定义可知：5x2+1＝0是一元二次方程．
故答案为：正确．
【举一反三4】试写出一个含有未知数x的一元二次方程 ．
【答案】x2﹣2x+1＝0
【解析】要符合一元二次方程的定义，保证二次项系数不为0，如x2﹣2x+1＝0．
【举一反三5】试证明关于x的方程（a2﹣4a+12）x2+2ax+1＝0不论a为何值，该方程都是一元二次方程．
【答案】证明：a2﹣4a+12＝（a2﹣4a+4）+8＝（a﹣2）2+8，
∵（a﹣2）2≥0，
∴（a﹣2）2+8≠0，
∴无论a取何实数关于x的方程（a2﹣4a+12）x2+2ax+1＝0都是一元二次方程．
【题型2】利用一元二次方程的概念求字母的值
【典型例题】已知关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是（ ）
A.﹣1 B.2 C.﹣1或3 D.3
【答案】A
【解析】∵关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，
∴a﹣3≠0且|a﹣1|＝2，
解得：a＝﹣1，
故选：A．
【举一反三1】关于x的方程（a﹣1）x2++2＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A.a≠1 B.a≥﹣1且a≠1 C.a＞﹣1且a≠1 D.a≠±1
【答案】B
【解析】∵关于x的方程（a﹣1）x2++2＝0是一元二次方程，
∴a﹣1≠0，a+1≥0，
解得：a≥﹣1，且a≠1．
故选：B．
【举一反三2】若关于x的方程（m﹣1）x2﹣4x﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A.m≠1 B.m＝1 C.m＞1 D.m＜1
【答案】A
【解析】∵关于x的方程（m﹣1）x2﹣4x﹣1＝0是一元二次方程，
∴m﹣1≠0，
解得：m≠1．
故选：A．
【举一反三3】已知（4﹣m）x|m|﹣2+3＝9是关于x的一元二次方程，则m＝ ．
【答案】﹣4
【解析】∵（4﹣m）x|m|﹣2+3＝9是关于x的一元二次方程，
∴|m|﹣2＝2且4﹣m≠0，
解得m＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【举一反三4】若方程kx2+x＝6x2+1是一元二次方程，则k的取值范围为 ．
【答案】k≠6
【解析】原方程可化为（k﹣6）x2+x﹣1＝0，
∵方程是一元二次方程，
∴k﹣6≠0，
∴k≠6．
故答案为：k≠6．
【举一反三5】已知关于x的方程，试问：
（1）m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？
（2）m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？
【答案】解：（1）要使关于x的方程是一元一次方程，分3种情况：
①m2﹣1＝1，解得：，该方程是一元一次方程；
②m+1＝0，解得：m＝﹣1，该方程是一元一次方程；
③m2﹣1＝0，解得：m＝±1，该方程是一元一次方程；
所以当或m＝±1时，该方程是关于x的一元一次方程；
（2）要使关于x的方程是一元二次方程，必须m2﹣1＝2且m+1≠0，
解得：，都满足m+1≠0，
所以时，该方程是关于x的一元二次方程．
【题型3】化为一元二次方程的一般形式
【典型例题】下把一元二次方程4（x+1）＝5x2化为一般形式正确的是满足（ ）
A.5x2﹣4x﹣4＝0 B.5x2﹣4x+4＝0 C.5x2+4x+4＝0 D.5x2+4x﹣4＝0
【答案】A
【解析】∵4（x+1）＝5x2，
∴4x+4＝5x2，
∴一般形式为5x2﹣4x﹣4＝0．
故选：A．
【举一反三1】关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ ）
A.0 B.±3 C.3 D.﹣3
【答案】D
【解析】（m﹣3）x2+m2x＝9x+5，
（m﹣3）x2+（m2﹣9）x﹣5＝0，
由题意得：m﹣3≠0，m2﹣9＝0，
解得：m＝﹣3，
故选：D．
【举一反三2】若方程3x2+kx＝4x+5中不含x的一次项，则k＝ ．
【答案】4
【解析】3x2+kx＝4x+5，整理得：3x2+（k﹣4）x﹣5＝0，
∵方程3x2+kx＝4x+5中不含x的一次项，
∴k﹣4＝0，
∴k＝4．
故答案为：4．
【举一反三3】把方程3x（x﹣1）＝8化成一般形式为 ，它的常数项为 ．
【答案】3x2﹣3x﹣8＝0；﹣8
【解析】3x（x﹣1）＝8，
整理得：3x2﹣3x﹣8＝0，
常数项为﹣8．
故答案为：3x2﹣3x﹣8＝0；﹣8．
【举一反三4】将下列方程化成一元二次方程的一般形式．
（1）5x2﹣1＝4x；
（2）4x2＝81．
【答案】解：（1）5x2﹣1＝4x，
5x2﹣4x﹣1＝0，
即一元二次方程的一般形式是5x2﹣4x﹣1＝0；
（2）4x2＝81，移项得：4x2﹣81＝0．
【举一反三5】若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的常数项为0，求m的值是多少？
【答案】解：一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的常数项为m2﹣1＝0，
所以m＝±1，
又因为二次项系数不为0，m﹣1≠0，m≠1，
所以m＝﹣1．
【题型4】利用一元二次方程的一般形式确定各项系数
【典型例题】一元二次方程3x2+1＝6x的一次项系数为6，二次项系数和常数项分别为（ ）
A.3，1 B.﹣3，﹣1 C.3，﹣1 D.﹣3x2，﹣1
【答案】B
【解析】3x2+1＝6x，
3x2+1﹣6x＝0，
﹣3x2+6x﹣1＝0，
∵一次项系数是6，
∴二次项系数是﹣3，常数项是﹣1，
故选：B．
【举一反三1】若+3mx﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则该方程的一次项系数是（ ）
A.﹣1 B.±1 C.﹣3 D.±3
【答案】C
【解析】由题意得：，
解得：m＝﹣1．
∴该方程的一次项系数为：3m＝﹣3．
故选：C．
【举一反三2】方程（x﹣2）2＝0的常数项为 ．
【答案】4
【解析】（x﹣2）2＝0，
整理得：x2﹣4x+4＝0，
则方程（x﹣2）2＝0的常数项为：4．
故答案为：4．
【举一反三3】已知关于x的方程（m﹣1）x|m+1|+4x2+2x+7＝0是一元二次方程，求m的值及其相应的二次项系数，一次项系数，常数项．
【答案】解：∵关于x的方程（m﹣1）x|m+1|+4x2+2x+7＝0是一元二次方程，
∴|m+1|＝1或2或0，
当|m+1|＝1时，解得：m＝0或﹣2，
故原方程可化简为：4x2+x+7＝0或4x2﹣x+7＝0，
二次项系数为：4，一次项系数为：1，常数项为：7；
或二次项系数为：4，一次项系数为：﹣1，常数项为：7；
当|m+1|＝2时，解得：m＝1或﹣3（不合题意舍去），
故原方程可化简为：4x2+2x+7＝0，
二次项系数为：4，一次项系数为：2，常数项为：7．
当|m+1|＝0时，解得：m＝﹣1，
则二次项系数为：4，一次项系数为：2，常数项为：5．
【题型5】根据实际问题抽象为一元二次方程
【典型例题】参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ）
A.x（x+1）＝90 B.x（x+1）＝90 C.x（x﹣1）＝90 D.x（x﹣1）＝90
【答案】D
【解析】设有x个队参赛，则x（x﹣1）＝90．
故选：D．
【举一反三1】如图，在长为80 cm、宽为60 cm的矩形油画四周镶嵌同样宽的装饰，若装饰后的画面的面积为6300 cm2．求镶嵌的装饰部分的宽度？若设镶嵌的装饰部分的宽度为x cm．则可列的一元二次方程是（ ）
A.（80﹣2x）（60﹣2x）＝6300
B.（80+2x）（60+2x）＝6300
C.（80﹣x）（60﹣x）＝6300
D.（80+2）（60+x）＝6300
【答案】B
【解析】根据题意得（80+2x）（60+2x）＝6300，
故选：B．
【举一反三2】祁中初三66班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了930份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A.＝930 B.＝930 C.x（x+1）＝930 D.x（x﹣1）＝930
【答案】D
【解析】设全班有x名同学，则每人写（x﹣1）份留言，
根据题意得：x（x﹣1）＝930，
故选：D．
【举一反三3】要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则可列一元二次方程为 ．
【答案】x2﹣x﹣56＝0
【解析】设比赛组织者应邀请x个队参赛，
则可列一元二次方程为：x（x﹣1）＝28，
整理得：x2﹣x﹣56＝0．
故答案为：x2﹣x﹣56＝0．
【举一反三4】根据题意列一元二次方程：有10个边长均为x的正方形，它们的面积之和是200，则有 ．
【答案】10x2＝200
【解析】设边长均为x，根据题意得：10x2＝200，
故答案为：10x2＝200.
【举一反三5】将一个容积为750 cm2的包装盒剪开、铺平．纸样如图所示．写出关于x的方程.该方程是一元二次方程吗？如果是．把它化为一元二次方程的一般形式．
【答案】解：由题意可得：长方体的长为：15，宽为：（30﹣2x）÷2＝15﹣x，
则根据题意，列出关于x的方程为：15（15﹣x） x＝750．
整理，得x2﹣15x+50＝0．
该方程属于关于x的一元二次方程．
【举一反三6】根据题意列方程．
如图，某城市为美化环境，准备在一块长60 m，宽40 m的矩形土地上修建一个矩形花坛，要求花坛四周是宽度相同的人行道，且花坛面积为整块土地面积的一半．若设人行道的宽为x m，则列出的方程化成一般形式是什么？
【答案】解：根据题意，可得花坛的长为（60﹣2x）m，宽为（40﹣2x）m，
则有：（60﹣2x）（40﹣2x）＝×60×40，
变形成一般形式为：x2﹣50x+300＝0．
【题型6】直接利用一元二次方程的解
【典型例题】下列哪些数是方程x2+x﹣6＝0的解是（ ）
A.﹣3和2 B.﹣3和﹣2 C.﹣2和3 D.2和3
【答案】A
【解析】当x＝﹣3时，x2+x﹣6＝9﹣3﹣6＝0，所以x＝﹣3是方程x2+x﹣6＝0的解，
当x＝2时，x2+x﹣6＝4+2﹣6＝0，所以x＝2是方程x2+x﹣6＝0的解，
即方程x2+x﹣6＝0的根为﹣3或2．
故选：A．
【举一反三1】在四个数：①x＝﹣3，②x＝2，③x＝3，④x＝﹣2中，是方程（x﹣3）（x﹣2）＝0的根的是（ ）
A.①② B.③④ C.①③ D.②③
【答案】D
【解析】①把x＝﹣3代入（x﹣3）（x﹣2）＝0得到：左边＝（﹣3）×（﹣5）＝30≠右边，则它不是该方程的解，故错误；
②把x＝2代入（x﹣3）（x﹣2）＝0得到：左边＝（﹣1）×0＝0＝右边，则它是该方程的解，故正确；
③把x＝3代入（x﹣3）（x﹣2）＝0得到：左边＝0×1＝0＝右边，则它是该方程的解，故正确；
④把x＝﹣2代入（x﹣3）（x﹣2）＝0得到：左边＝（﹣5）×（﹣4）＝0≠右边，则它不是该方程的解，故错误；
综上所述，②③符合题意，
故选：D．
【举一反三2】若关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3，则方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的解为 ．
【答案】x1＝0，x2＝4
【解析】把方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0看作关于x﹣1的一元二次方程，
而关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3，
所以x﹣1＝﹣1或x﹣1＝3，
所以x1＝0，x2＝4．
故答案为：x1＝0，x2＝4．
【举一反三3】方程5x2﹣3x﹣1＝0和10x2﹣6x﹣2＝0的根相同吗？为什么？
【答案】解：∵10x2﹣6x﹣2＝0，∴5x2﹣3x﹣1＝0．
∴5x2﹣3x﹣1＝0与10x2﹣6x﹣2＝0是同解方程，
∴两方程的根相同．
【举一反三4】检验x＝﹣1，x＝2是否为方程2x2+3x+1＝0的根．
【答案】解：当x＝﹣1时，左边＝2﹣3+1＝0＝右边，即x＝﹣1是原方程的根；
当x＝2时，左边＝8+6+1＝15≠右边，即x＝2不是原方程的根．
【题型7】求未知字母或代数式的值
【典型例题】若x＝m是方程x2+x﹣4＝0的根，则m2+m+2020的值为（ ）
A.2024 B.2022 C.2020 D.2016
【答案】A
【解析】由题意得：把x＝m代入方程x2+x﹣4＝0中得：m2+m﹣4＝0，
∴m2+m＝4，
∴m2+m+2020＝4+2020＝2024，
故选：A．
【举一反三1】若m是方程x2+x﹣1＝0的根，则式子m3+2m2+2022的值为（ ）
A.2023 B.2022 C.2021 D.2020
【答案】A
【解析】∵m是方程x2+x﹣1＝0的根，
∴m2+m﹣1＝0，
∴m2+m＝1，
∴m3+2m2+2022
＝m3+m2+m2+2022
＝m（m2+m）+m2+2022
＝m+m2+2022
＝1+2022
＝2023，
故选：A．
【举一反三2】若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0有一个根是x＝1，则a＝ ．
【答案】﹣1
【解析】把x＝1代入方程（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0得a﹣1+a2﹣a＝0，
解得a1＝1，a2＝﹣1，
因为a﹣1≠0，
所以a的值为﹣1．
故答案为：﹣1．
【举一反三3】已知m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根，求（m﹣3）2+（m+2）（m﹣2）的值．
【答案】解：∵m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根，
∴m2﹣3m+1＝0，即m2﹣3m＝﹣1，
∴（m﹣3）2+（m+2）（m﹣2）＝m2﹣6m+9+m2﹣4＝2（m2﹣3m）+5＝3．