2026届中考数学二轮专题训练：圆 含答案

2026届中考数学二轮专题训练：圆
知识点参考
1．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
2．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
3．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
4．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
5．圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
6．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外 d＞r
②点P在圆上 d＝r
①点P在圆内 d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“ ”读作“等价于”，它表示从符号“ ”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
7．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
8．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．
9．切线的判定与性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
10．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
11．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
12．圆锥的计算
（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．
（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
（3）圆锥的侧面积：S侧＝ 2πr l＝πrl．
（4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl
（5）圆锥的体积＝×底面积×高
注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．
②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
强化训练
一．选择题（共15小题）
1．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM为（　　）
A．4 B． C． D．
2．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，连接AC，CD，AD，若∠ADC=75°，则∠BAC的度数是（　　）
A．15° B．25° C．30° D．75°
3．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠CAB=38°，则∠D的度数为（　　）
A．38° B．42° C．48° D．52°
4．如图，OA交⊙O于点B，AC切⊙O于点C，D点在⊙O上．若∠D=25°，则∠A为（　　）
A．25° B．40° C．50° D．65°
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠D=100°，则∠AOC的度数为（　　）
A．80° B．140° C．150° D．160°
6．如图，在两个同心圆中，两圆半径分别为2，1，∠AOB=120°，则阴影部分面积是（　　）
A．2π B． C． D．4π
7．如图，OA交⊙O于点B，AC切⊙O于点C，D点在⊙O上，若∠D=24°，则∠A为（　　）
A．48° B．60° C．64° D．42°
8．如图，AC是⊙O的直径，AB，BC是⊙O的弦，CD是⊙O的切线，C为切点，OD与⊙O交于点E．若点C为的中点，∠D=32°，则∠ACB的度数为（　　）
A．56° B．58° C．61° D．68°
9．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，∠A=30°，以点A为圆心、AC为半径画弧，交AB于点E，以点B为圆心、BC为半径画弧，交AB于点F，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，已知AB是⊙O的直径，AB平分弦CD，交CD于点E，若∠ACD=30°，BC=2，则CD的长为（　　）
A．1 B．2 C． D．
11．如图，A，B，C为⊙O上的点，D为⊙O外一点，∠AOB=30°，，则∠D的度数可以是（　　）
A．59° B．60° C．61° D．62°
12．如图，⊙O与△OAB的边AB相切于点B，与边AO交于点D．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，使点O′落在⊙O上，边A′B交线段AO，⊙O分别于点C，E．若∠A′=28°，则的度数是（　　）
A．56° B．58° C．60° D．62°
13．如图，△ABC的三个顶点均在⊙O上，BD是⊙O的直径，若∠BAC=130°，则∠COD的度数为（　　）
A．100° B．80° C．60° D．50°
14．已知点A，B，C在⊙O上，∠BAC=30°，OD⊥AC，BC=2，则△CBD面积的最大值为（　　）
A． B． C． D．2+
15．如图，⊙O的直径AB=8，AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，BD，OC相交于点F，若CD=10，则BF的长是（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
16．如图，若圆锥的底面圆半径为r,圆锥的母线长为l,且，则该圆锥侧面展开的扇形的圆心角大小是 ______．
17．如图，⊙O的半径为2，弦AB=，E为弧AB的中点，OE交AB于点F，则OF的长为 ______．
18．一个圆柱体容器内装入一些水，截面如图所示，若⊙O的直径为52cm,水面宽AB=48cm,则水的最大深度为______cm.
19．如图，AB为⊙O的直径，CD平分∠ACB，AB的延长线交⊙O的切线PC于点P．若，，则AC=______，△PCD的面积=______．
20．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AB⊥OC，P为圆上一动点，M为AP的中点，连接CM，若⊙O的半径为4，则CM长的最大值是 ______．
三．解答题（共7小题）
21．如图，已知AB是⊙O的直径，直线DC是⊙O的切线，切点为C，AE⊥DC，垂足为E，连接AC．
（1）求证；AC平分∠BAE；
（2）若AC=10，tan∠ACE=，求⊙O的半径．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点D在AB的延长线上，且BD=3，过点D作DE⊥AD，交AC的延长线于点E，以DE为直径的⊙O交AE于点F．
（1）求⊙O的半径及圆心O到弦EF的距离；
（2）设CD交⊙O于点G，试说明G是CD的中点．
23．如图，已知等腰△ABC，AB=AC，AD平分∠BAC，以AD为直径作⊙O，交AB于点E，交AC于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接OB与EF交于点P，若OG=3，EG=4，①求AD的长；②求PG的长．
24．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，F是线段BD上一点，连接CF并延长CF，与AB交于点E，CF=BF．
（1）求证：CE⊥AB；
（2）若CE=12，BE=8，求AB的长．
25．如图AB、CD为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，∠ABC=2∠BCP，E是弧BD的中点，弦CE、BD相交于点F．
（1）求∠OCB的度数；
（2）若BF=3，求CF的长．
26．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CE交AB的延长线于点E，过点B作BD⊥CE交AC的延长线于点D，垂足为点F．
（1）求证：C为AD的中点；
（2）若AB=10，AC=2，求BE的长．
27．如图1，AB为圆O的直径，弦CD交AB于点G（不与O重合），C是的中点，分别过点A，B作CD的垂线，垂足为E，F，连结AD．
（1）求∠EAD的度数；
（2）如图2，连结OE，OF，猜想OE与OF的关系，并说明理由；
（3）如图3，连结OC交AE于点P，若，CP=6，求圆半径．
2026届中考数学二轮专题训练：圆
(参考答案)
一．选择题（共15小题）
1、B 2、A 3、D 4、B 5、D 6、A 7、D 8、C 9、A 10、B 11、A 12、B 13、B 14、C 15、A
二．填空题（共5小题）
16、216°； 17、1； 18、16； 19、；； 20、2+2；
三．解答题（共7小题）
21、（1）证明：如图，连接OC，
∵直线DC是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AE⊥DC，
∴AE∥OC，
∴∠OCA=∠EAC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC=∠EAC，
∴AC平分∠BAE；
（2）解：如图，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CBA+∠CAB=90°，
∵∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠CBA=∠ACE，
∵tan∠ACE=，
∴tan∠CBA=，即=，
∵AC=10，
∴BC=15，
由勾股定理得：AB===5，
∴⊙O的半径为．
22、解：（1）过点O作OH⊥EF于H，
由勾股定理得，AC==4，
∵DE⊥AD，∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠ADE，
∵∠C=∠C，
∴△ACB∽△ADE，
∴=，即=，
解得，DE=6，
∴⊙O的半径为3，
AE==10，
∵∠EHO=∠EDA，∠OEH=∠AED，
∴△EHO∽△EDA，
∴=，即=，
解得，OH=，
∴点O到EF距离为；
（2）连接EG，
∵AE=10，AC=4，
∴EC=6，
∴EC=ED，
∵DE是⊙O的直径，
∴EG⊥CD，
∴G是CD的中点．
23、（1）证明：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∵OD是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：①连接DE，DF，OE，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠AED=∠AFD=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，
∴∠ADE=∠ADF，
∴=，
∴AG⊥EF，
∵OG=3，EG=4，
∴，
∴AG=8，AD=10．
②∵AG⊥EF，AD⊥BC，
∴EF∥BC，
∴△AEG∽△ABD，
∴，
∴，
∴BD=5，
∴BD=OD，
∴△ODB是等腰直角三角形，
∴∠OBD=45°，
∵EF∥BC，
∴∠OPG=∠OBD=45°，
∴△OPG是等腰直角三角形，
∴PG=OG=3．
24、（1）证明：∵C是的中点，
∴BC=CD，∠D=∠CBF，
∴∠CBF=∠A，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CF=BF，
∴∠CBF=∠FCB，
∴∠A=∠ECB，
∵∠A=90°-∠CBE，
∴∠ECB=90°-∠CBE，
∴∠CEB=90°，
∴CE⊥AB；
（2）解：在Rt△EBC中，
∵CE=12，BE=8，
∴BC===4，
∵BC=CD，
∴BC=CD=4，
设AB=x,
∴AE=x-8，
由勾股定理得，
，
解得：x=26，
∴AB=26．
25、解：（1）∵CP与⊙O相切，
∴∠OCP=90°，
∴∠OCB+∠BCP=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠ABC，
∵∠ABC=2∠BCP，
∴∠OCB=2∠BCP，
∴2∠BCP+∠BCP=90°，即3∠BCP=90°，
∴∠BCP=30°，
∴∠OCB=2∠BCP=60°；
（2）如图，连接DE，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DBC=90°，
∵E是弧BD的中点，
∴=，
∴∠OCB=30°，
在Rt△CBF中，BF=3，
∴CF=2BF=6．
26、（1）证明：连接BC，OC．
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∵BD⊥CE，
∴OC∥BD，
∴．
∵OA=OB，
∴AC=CD，
即C为AD的中点；
（2）解：方法一：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，，
∴∠A+∠OBC=∠OCB+∠BCE=90°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠BCE=∠A，
∴，
∴，
由（1）知OC∥BD，
∴△BEF∽△OEC，
∴，
∴，
解得；
解法2：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=∠BCD=90°．
在Rt△ABC中，，
∵C为AD的中点，
∴BD=AB=10，
∵BD⊥CE，
∴∠BFC=90°，
∴△BCD∽△BFC，
∴，
∴，
由（1）知OC∥BD，
∴△BEF∽△OEC，
∴，
∴，
解得．
27、解：（1）如图，连结OC．
∵AB是⊙O的直径，C是的中点，
∴∠AOC=90°，
∴∠ADC=∠AOC=45°．
∵AE⊥CD，
∴∠AED=90°，
∴∠EAD=90°-∠ADC=45°，
∴∠EAD的度数为45°．
（2）OE与OF的关系为OE=OF，OE⊥OF．
理由：如图，延长FO交AE于点M，连结BD．
∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴AE∥BF，
∴∠MAO=∠FBO．
又∵∠AOM=∠BOF，AO=BO，
∴△AOM≌△BOF（ASA），
∴OM=OF，AM=BF．
由（1）求∠ADC的度数可知∠BDF=45°．
∵∠BDF=45°，∠BFD=90°，
∴∠BDF=∠DBF，
∴BF=FD，
∴AM=FD．
∵∠EAD=∠ADE=45°，
∴EA=ED，
∴EA-AM=ED-FD，即 EM=EF，
∴△EFM是以FM为斜边的等腰直角三角形．
∵O是FM的中点，
∴OE⊥OF，OE=OF．
（3）如图，过点F作 FN⊥AB于点N．
∵C是的中点，
∴由圆的轴对称性可得CO⊥AB．
∵AE⊥CD，
∴∠AOP=∠COG，∠PAO=∠GCO．
又∵OA=OC，
∴△AOP≌△COG（ASA），
∴OG=OP，
设OP=x,则OA=OC=OP+CP=x+6．
∵FN∥OC，
∴∠AOP=∠BFN=90°．
∵∠OAP=∠FBN，
∴△AOP∽△BNF，
∴，即，
∴FN=，BN=．
∵OB=OC，OG=OP，
∴OB-OG=OC-OP，即BG=CP=6，
∴GN=BG-BN=．
∵FN∥OC，
∴△COG∽△FNG，
∴，即，
整理得x2+x-12=0，
解得x=3 或 x=-4 （舍去），
∴OC=6+x=9，
∴⊙O的半径为9．