2026届中考数学二轮专项练习：二次函数的性质（含答案）

2026届中考数学二轮专项练习：二次函数的性质
知识点参考
1．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
2．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
3．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
4．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
5．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
强化训练
一．选择题（共15小题）
1．抛物线的顶点坐标是（　　）
A．（4，-2） B．（4，2） C．（-4，-2） D．（-4，2）
2．关于x的二次函数y=（a+1）x2+ax+a2-1的图象过原点，则a的值为（　　）．
A．1 B．-1 C．±1 D．0
3．关于二次函数y=-2（x-1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）．
A．开口向上 B．对称轴为直线x=-1
C．最小值为2 D．顶点坐标为（1，2）
4．已知二次函数y=ax2+4ax-a2+3（a是常数，且a≠0），当x＜-3时，y随x的增大而减小，当-1≤x≤1时，y的最小值是-1，则a的值为（　　）
A．4 B．-4或1 C．-4 D．1
5．关于二次函数y=-2（x-1）2+5下列说法正确的是（　　）
A．有最大值1 B．有最小值1 C．有最大值5 D．有最小值5
6．已知二次函数的表达式为y=x2-2ax+5（a为常数），当x=1时，y＜2，在自变量x满足2≤x≤4的取值范围时，对应函数值y的最小值为-4，则a的值为（　　）
A． B．3 C．3或 D．-3或
7．若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如表，则当x=-1时，y的值为（　　）
x -7 -6 -5 -4 -3 -2
y -27 -13 -3 3 5 3
A．5 B．3 C．-3 D．-13
8．已知y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y=bx+ac的图象一定经过（　　）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
9．二次函数y=x2+bx+1中，当x＞1时，y随x的增大而增大，则一次项系数b满足（　　）
A．b＞-2 B．b≥-2 C．b＜-2 D．b=-2
10．已知二次函数y=-（x-1）2+2，当t＜x＜5时．y随x的增大而减小，则实数t的取值范围是（　　）
A．0＜t＜1 B．t＞1 C．1≤t＜5 D．t≥5
11．在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，且a≠0），当y≥t时，x≤m-1或x≥m+3．若该函数图象过点A（m,5）和B（m+4，q），则q的值可能是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．已知二次函数y=（m-2）x2+2mx+m+8（m为常数，且m≠2），当x=2时，y＞18，则下列图象可能正确的是（　　）
A． B． C． D．
13．如图，二次函数y=-2x2+bx+c的图象与y轴的交点纵坐标为1，对称轴为直线，有以下结论：①当x＞-1时，y随x的增大而减小；②若点P（-3，y1）、在二次函数图象上，则y1＜y2；③若将该二次函数的图象向右平移个单位，则顶点落在y轴上．其中正确的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
14．如图，一次函数y=x+2的图象经过二次函数y=-x2+bx+c的图象顶点P，连接OP，当OP长度最小时，则b,c的值分别为（　　）
A．-2，0 B．2，1 C．2，0 D．-2，1
15．坐标平面上有两个二次函数的图象，其顶点M、N皆在x轴上，且有一水平线与两图象相交于A、B、C、D四点，各点位置如图所示，若AB=7，BC=3，CD=3，则MN的长度是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题（共5小题）
16．已知二次函数y=-x2+2x-3，该函数图象的顶点坐标为 ______．
17．已知二次函数y=-（x-2）2+c,过A（x1，y1），B（x2，y2），假设|x1-2|＞|x2-2|，则y1，y2的大小关系是 ______．
18．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（-2，0），且顶点在直线x=2上，则的值为 ______．
19．如图，抛物线y=a（x+h）2+k（a≠0）的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以AC为对角线的正方形ABCD的另外两个顶点B，D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形ABCD为它的内接正方形．当抛物线是“美丽抛物线”时，k=______．
20．抛物线y=-（x-m）2+2+m（-1＜m＜）与直线l交于点A（2m-，p）和点B（m+2，q），直线l与抛物线的对称轴交于点C（m,k），则下列结论正确的有 ______．（写出所有正确结论的序号）
①点A在对称轴的左侧；
②p＜q；
③点（m+1，）有可能在抛物线上；
④＜k.
三．解答题（共5小题）
21．如图，已知二次函数y=-x2+ax+a+4的图象经过点P（-2，2）．
（1）求a的值和二次函数图象的顶点坐标．
（2）已知点Q（m,n）在该二次函数图象上．
①当m=-3时，求n的值；
②当m-1≤x≤m+3时，该二次函数有最大值-1，请结合函数图象求出m的值．
22．已知二次函数y=ax2-2ax-3a（a≠0）．
（1）求该二次函数的对称轴．
（2）求证：无论a取何值，该函数的图象必过某个定点．
（3）若该二次函数的图象开口向上，当-1≤x≤5时，函数图象的最高点为M，最低点为N，且最高点M的纵坐标为24，求点M和点N的坐标．
23．如图，已知二次函数y=x2-ax的对称轴为直线x=2，过点A（5，b）．
（1）直接写出a,b的值；
（2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15时，求B的坐标；
（3）在（2）的条件下，P是y轴上的点，当PA-PB的值最大时，求P的坐标．
24．如图，抛物线与抛物线相交于点T，点T的横坐标为1．过点T作x轴的平行线交抛物线C1于点A，交抛物线C2于点B．抛物线C1与C2分别与y轴交于点C，D．
（1）求抛物线C1的对称轴和点A的横坐标；
（2）求线段AB和CD的长；
（3）点P（-2，p）在抛物线C1上，点Q（5，q）在抛物线C2上，请比较p与q的大小关系并说明理由．
25．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形A'B'OC'．抛物线y=-x2+2x+3经过点A、C、A'三点．
（1）求A、A'、C三点的坐标；
（2）点M是第一象限内抛物线上的一动点．
①当点M为抛物线顶点时，求△AMA'面积．
②点M在何处时，△AMA'的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M的坐标．
2026届中考数学二轮专项练习：二次函数的性质
(参考答案)
一．选择题（共15小题）
1、B 2、A 3、D 4、D 5、C 6、D 7、C 8、A 9、B 10、C 11、D 12、A 13、C 14、A 15、D
二．填空题（共5小题）
16、（1，-2）； 17、y1＜y2； 18、； 19、4； 20、①④；
三．解答题（共5小题）
21、解：（1）将点P（-2，2）代入y=-x2+ax+a+4，
得-4-2a+a+4=2，解得a=-2，
∴二次函数的解析式为y=-x2-2x+2，
配方，得y=-（x+1）2+3，
∴顶点坐标为（-1，3）；
（2）解：①将x=-3代入y=-x2-2x+2，得y=-9+6+2=-1．
∴当m=-3时，n=-1．
②由（1）可知抛物线的对称轴为直线x=-1，点（-3，-1）关于直线x=-1的对称点为（1，-1），如解图所示：
根据函数图象，若满足当m-1≤x≤m+3时，该二次函数有最大值-1，则m+3=-3或m-1=1，
∴m=-6或m=2．
22、（1）解：y=ax2-2ax-3a=a（x-1）2-4a,
∴函数的对称轴为直线x=1．
（2）证明：∴y=ax2-2ax-3a=a（x2-2x-3）=a（x-3）（x+1），
∴该函数的图象必过定点（3，0），（-1，0）；
（3）解：∵y=a（x-1）2-4a,
∴抛物线顶点坐标为（1，-4a），
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，顶点（1，-4a）为图象最低点N，
∵5-1＞1-（-1），
∴直线x=5与抛物线交点为最高点M，
把x=5代入y=ax2-2ax-3a得y=12a,
∴M（5，12a），
∵12a=24，
∴a=2，
∴M（5，24），N（1，-8）．
23、解：（1）∵二次函数y=x2-ax的对称轴为直线x=2，
∴-=2，
∴a=4，
∴y=x2-4x,
∵过点A（5，b），
∴b=25-20=5.
（2）∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，
∴设B（2，m）（m＞0），
设直线OA的解析式为y=kx,
则5k=5，
解得：k=1，
∴直线OA的解析式为y=x,
设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（2，2），
∴BH=m-2，
∵S△OAB=15，
∴×|m-2|×5=15，
解得：m=8或-4（舍去），
∴点B的坐标为（2，8）；
（3）设直线AB的解析式为y=cx+d,把A（5，5），B（2，8）代入得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为y=-x+10，
当PA-PB的值最大时，A、B、P在同一条直线上，
∵P是y轴上的点，
∴P（0，10）．
24、解：（1）抛物线C1的对称轴为x=-=-1，
∵AB∥x轴，
∵点A与点T关于对称轴x=-1对称，
∴点A的横坐标为-3；
（2）∵抛物线C2的对称轴为x=-=2，
∵AB∥x轴，
∴点B与点T关于对称轴x=2对称，
∴点B的横坐标为3，
∴AB=3-（-3）=3+3=6；
∵点T是抛物线C1与抛物线C2的交点，
∴1+2+c=1-4+d,
∴c=d-6，
令x=0，则C（0，c），D（0，d），
∴CD=d-c=d-（d-6）=d-d+6=6；
（3）根据A，T，B的横坐标以及函数图象可知，点P在AB下方，点Q在AB上方，
∴p＜q.
25、解：（1）当y=0时，-x2+2x+3=0，解得x1=3，x2=-1，
∴C（-1，0），A′（3，0）；
当x=0时，y=3，
∴A（0，3）；
（2）①∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴抛物线的顶点M为（1，4），
∴△AMA'面积=（3+4）×1+×4×（3-1）-=3；
②连接OM，如图所示．
设点M的坐标为（x,-x2+2x+3），
∴S△AMA′=S△AOM+S△OA′M-S△AOA′
=×3x+×3（-x2+2x+3）-×3×3
=-x2+x
=-（x-）2+，
∴当x=时，S△AMA′取最大值，最大面积是，此时点M的坐标为（，）．
故点M为（，）时，△AMA'的面积最大，最大面积是．