北师大版九年级下册 第2章 二次函数 单元测试（含答案）
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级下册 第2章 二次函数 单元测试（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 106.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-20 09:56:11 | ||
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文档简介
北师大版九年级下 第2章 二次函数 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．下列y关于x的函数中，一定为二次函数的是（ ）
A．y=x+3 B．y=20（1+x）2 C．y=ax2+bx+c D．y=x2+
2．深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设AB=x米，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y=x（15-4x） B．y=x（16-2x） C．y=x（17-2x） D．y=x（18-4x）
3．抛物线y=x2+6x+c的顶点在x轴上，则c的值为（ ）
A．9 B． C． D．-9
4．抛物线y=-（x+1）2-2的对称轴是（ ）
A．x=1 B．x=-1 C．x=2 D．x=-2
5．已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=3的解为x1=4，x2=2，则抛物线y=x2+bx+c-3与x轴的交点坐标为（ ）
A．（-4，0）或（-2，0） B．（4，0）或（2，0）
C．（-4，0）或（2，0） D．（4，0）或（-2，0）
6．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则直线y=abx+c不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．抛物线y=4x2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的抛物线是（ ）
A．y=4（x+2）2+1 B．y=4（x+2）2-1
C．y=4（x-2）2-1 D．y=4（x-2）2+1
8．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），函数y与自变量x的部分对应值如表所示
x … -1 0 1 2 3 …
y … -2 3 6 7 6 …
下列说法错误的是（ ）
A．图象开口向下
B．方程ax2+bx+c=0的一个正根在4和5之间
C．当-1＜x＜3时，-2＜y＜6
D．当x＞3时，y随x的增大而减小
9．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下面结论：①（b+c）2＞a2；②4a+2b+c＞0；③a+b≥m（am+b）；④若此抛物线经过点C（t,n），则2-t一定是方程ax2+bx+c=n的一个根．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知抛物线y=ax2-4ax+a（a＜0）的顶点为M，直线y=kx+b（k＜0）与该抛物线交于点M和N（m,n），若a＜n＜0，则直线y=kx+b与x轴交点的横坐标p的取值范围是（ ）
A．＜p＜2+ B．2＜p＜ C．2＜p＜2+ D．2-＜p＜2
11．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＜0；②a-b+c＜0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④3a+c＜0；⑤若且x1≠x2，则x1+x2=4．⑥A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若x1＜x2＜0，则y1＜y2．⑦（a+c）2＞b2其中正确结论的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12．若关于x的一元二次方程ax2+k=0的一个根为2，则二次函数y=a（x+1）2+k与x轴的交点坐标为（ ）
A．（-3，0）、（1，0） B．（-2，0）、（2，0）
C．（-1，0）、（1，0） D．（-1，0）、（3，0）
二．填空题（共5小题）
13．已知函数y=x2-2x+9，当x＞______时，y随x的增大而增大．
14．若二次函数y=ax2-4ax+c（a≠0）的图象交x轴于M（3，0），N两点，则N点的坐标为 ______．
15．将抛物线y=x2向左平移2个单位长度再向上移3个单位长度，得到的抛物线解析式是______（写成顶点式）．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线和直线y2=kx（k＞0）交于点O和点A．如果点A的横坐标是4，那么关于x的不等式kx＜ax2-2ax的解集是 ______．
17．已知二次函数y=-x2+x+6及一次函数y=-2x+m,将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线y=-2x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是 ______．
三．解答题（共5小题）
18．已知二次函数图象的顶点是（-1，2），且过点（0，）．
（1）求二次函数的解析式，并在图中画出它的图象；
（2）求证：对任意实数m,点M（m,-m2）都不在这个二次函数的图象上．
19．已知抛物线y=ax2-2ax+b（a＞0）经过A（2n+3，y1），B（n-1，y2）两点．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）若点A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，求n的取值范围．
20．如图，抛物线y1=a（x-h）2+k与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线AB的解析式为y2=mx+n.
（1）a ______，h ______，k ______；
（2）当-2＜x＜2时，y1的取值范围是 ______；
（3）当y1＜y2时，x的取值范围是 ______．
21．一家商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，每本售价44元，每天可售出300本，现商店决定提价销售，经过调查，售价每上涨1元，每天销售量减少10本，设提价后售价为x元（44≤x≤52），每天销售量为y本．
（1）请写出y与x之间的函数关系式；
（2）每本足球纪念册售价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润最大？最大利润是多少元？
22．如图，抛物线y=ax2-4ax+3a交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴正半轴于点C，OB=OC，点P在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若tan∠ACP=2，求点P的横坐标．
（3）平面上有两点M（m,-m-3），N（m+2，-m-5），求△PMN的面积的最小值．
北师大版九年级下第2章二次函数单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、B 2、D 3、A 4、B 5、B 6、C 7、A 8、C 9、D 10、A 11、C 12、A
二．填空题（共5小题）
13、1； 14、（1，0）； 15、y=（x+2）2+3； 16、x＜0或x＞4； 17、-＜m＜-4；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）由于该二次函数的顶点坐标为（-1，2），
故设这个二次函数的表达式为y=a（x+1）2+2，将点（0，）代入，得
=a+2，
解得a=-，
所以所求二次函数的表达式为y=-（x+1）2+2=-x2-x+．
画出的图象如图所示．
（2）证明：（2）将点M（m,-m2）代入y=-x2-x+，得：
-m2=-m2-m+，即m2-m+=0，
由于此方程无解，所以不存在m值．
即对任意实数m,点M（m,-m2）都不在这个二次函数的图象上．
19、解：（1）抛物线的对称轴为：x=-=1；
（2）∵抛物线的对称轴为x=1，
∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵y1＜y2，
∴若点A在对称轴x=1的左侧，点B在对称轴x=1的右侧，
由题意可得，
不等式组无解；
若点B在对称轴x=1的左侧，点A在对称轴x=1的右侧，
由题意可得，
解得：-1＜n＜0，
∴n的取值范围为：-1＜n＜0．
20、解：（1）由图象可得y1=a（x-1）2+4，
把（3，0）代入y1=a（x-1）2+4得0=4a+4，
解得a=-1，
故答案为：-1；1；4；
（2）∵抛物线顶点坐标为（1，4），图象开口向下，
当x=-2时，y1=-（-2-1）2+4=-5，
∴-2＜x＜2时，-5＜y1≤4．
故答案为：-5＜y1≤4；
（3）∵点B横坐标为x=0，点A横坐标为x=3，
∴x＜0或x＞3时，抛物线在直线下方，
故答案为：x＜0或x＞3．
21、解：（1）由题意得，y=300-10（x-44），
即y=-10x+740（44≤x≤52）；
（2）设每天销售利润为w元，
w=（x-40）（-10x+740）=-10x2+1140x-29600
=-10（x-57）2+2890
∵a=-10＜0，
∴开口向下，对称轴是直线x=57，
当x＜57时，w随x的增大而增大，
又∵44≤x≤52，
∴当x=52时，w有最大值，且，
答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润是2640元．
22、解：（1）∵抛物线y=ax2-4ax+3a=a（x-3）（x-1），
当y=0时，a（x-3）（x-1）=0，又a≠0，
解得：x1=1，x2=3，
∴A（1，0），B（3，0），
当x=0时，y=3a,即OC=3a,
∵OB=OC，
∴3a=3，
解得：a=1，
∴抛物线解析式为y=x2-4x+3；
（2）如图所示，在线段OC上取点D，使tan∠DAC=2，过点D作DE⊥AC交AC于点E，过点C作CP∥AD交抛物线于点P，
∵tan∠DAC=2，tan∠ACP=2，
∴∠DAC=∠ACP，
∴点P即为所求，
∵tan∠DAC=2，DE⊥AC，
∴设DE=2AE=2x,
∵A（1，0），C（0，3），
∴OA=1，OC=3，
∴，
∴CE=6x,
∵，
∴，即，
解得，
∴，，
∴，
∴，
∴
设AD所在直线的解析式为y=kx+b,
∴，解得，
∴AD所在直线的解析式为，
∵CP∥AD，
∴设CP所在直线的解析式为，
将C（0，3）代入得，3=t,
∴CP所在直线的解析式为，
∴联立抛物线和CP所在直线得，，
解得x1=0，，
∴点P的横坐标为；
（3）∵M（m,-m-3），N（m+2，-m-5），
设直线解析式为y=kx+b,
∴，
解得：，
∴M，N在y=-x-3上，
设与MN平行的直线为y=-x+d,
联立，
即x2-4x+3=-x+d,
∴x2-3x+3-d=0，
令Δ=b2-4ac=0，
即9-4（3-d）=0，
解得：，
∴直线，
当直线与抛物线只有一个交点P，如图所示，过点P作PQ⊥MN，连接PM，PN，当PQ⊥MN时△PMN的面积的最小值，
∵M（m,-m-3），N（m+2，-m-5），
∴，
∵，y=-x-3与y轴的交点分别为和（0，-3），且直线与y轴的夹角为45°，
∴，则，
∴．
一．选择题（共12小题）
1．下列y关于x的函数中，一定为二次函数的是（ ）
A．y=x+3 B．y=20（1+x）2 C．y=ax2+bx+c D．y=x2+
2．深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设AB=x米，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y=x（15-4x） B．y=x（16-2x） C．y=x（17-2x） D．y=x（18-4x）
3．抛物线y=x2+6x+c的顶点在x轴上，则c的值为（ ）
A．9 B． C． D．-9
4．抛物线y=-（x+1）2-2的对称轴是（ ）
A．x=1 B．x=-1 C．x=2 D．x=-2
5．已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=3的解为x1=4，x2=2，则抛物线y=x2+bx+c-3与x轴的交点坐标为（ ）
A．（-4，0）或（-2，0） B．（4，0）或（2，0）
C．（-4，0）或（2，0） D．（4，0）或（-2，0）
6．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则直线y=abx+c不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．抛物线y=4x2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的抛物线是（ ）
A．y=4（x+2）2+1 B．y=4（x+2）2-1
C．y=4（x-2）2-1 D．y=4（x-2）2+1
8．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），函数y与自变量x的部分对应值如表所示
x … -1 0 1 2 3 …
y … -2 3 6 7 6 …
下列说法错误的是（ ）
A．图象开口向下
B．方程ax2+bx+c=0的一个正根在4和5之间
C．当-1＜x＜3时，-2＜y＜6
D．当x＞3时，y随x的增大而减小
9．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下面结论：①（b+c）2＞a2；②4a+2b+c＞0；③a+b≥m（am+b）；④若此抛物线经过点C（t,n），则2-t一定是方程ax2+bx+c=n的一个根．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知抛物线y=ax2-4ax+a（a＜0）的顶点为M，直线y=kx+b（k＜0）与该抛物线交于点M和N（m,n），若a＜n＜0，则直线y=kx+b与x轴交点的横坐标p的取值范围是（ ）
A．＜p＜2+ B．2＜p＜ C．2＜p＜2+ D．2-＜p＜2
11．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＜0；②a-b+c＜0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④3a+c＜0；⑤若且x1≠x2，则x1+x2=4．⑥A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若x1＜x2＜0，则y1＜y2．⑦（a+c）2＞b2其中正确结论的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12．若关于x的一元二次方程ax2+k=0的一个根为2，则二次函数y=a（x+1）2+k与x轴的交点坐标为（ ）
A．（-3，0）、（1，0） B．（-2，0）、（2，0）
C．（-1，0）、（1，0） D．（-1，0）、（3，0）
二．填空题（共5小题）
13．已知函数y=x2-2x+9，当x＞______时，y随x的增大而增大．
14．若二次函数y=ax2-4ax+c（a≠0）的图象交x轴于M（3，0），N两点，则N点的坐标为 ______．
15．将抛物线y=x2向左平移2个单位长度再向上移3个单位长度，得到的抛物线解析式是______（写成顶点式）．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线和直线y2=kx（k＞0）交于点O和点A．如果点A的横坐标是4，那么关于x的不等式kx＜ax2-2ax的解集是 ______．
17．已知二次函数y=-x2+x+6及一次函数y=-2x+m,将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线y=-2x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是 ______．
三．解答题（共5小题）
18．已知二次函数图象的顶点是（-1，2），且过点（0，）．
（1）求二次函数的解析式，并在图中画出它的图象；
（2）求证：对任意实数m,点M（m,-m2）都不在这个二次函数的图象上．
19．已知抛物线y=ax2-2ax+b（a＞0）经过A（2n+3，y1），B（n-1，y2）两点．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）若点A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，求n的取值范围．
20．如图，抛物线y1=a（x-h）2+k与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线AB的解析式为y2=mx+n.
（1）a ______，h ______，k ______；
（2）当-2＜x＜2时，y1的取值范围是 ______；
（3）当y1＜y2时，x的取值范围是 ______．
21．一家商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，每本售价44元，每天可售出300本，现商店决定提价销售，经过调查，售价每上涨1元，每天销售量减少10本，设提价后售价为x元（44≤x≤52），每天销售量为y本．
（1）请写出y与x之间的函数关系式；
（2）每本足球纪念册售价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润最大？最大利润是多少元？
22．如图，抛物线y=ax2-4ax+3a交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴正半轴于点C，OB=OC，点P在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若tan∠ACP=2，求点P的横坐标．
（3）平面上有两点M（m,-m-3），N（m+2，-m-5），求△PMN的面积的最小值．
北师大版九年级下第2章二次函数单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、B 2、D 3、A 4、B 5、B 6、C 7、A 8、C 9、D 10、A 11、C 12、A
二．填空题（共5小题）
13、1； 14、（1，0）； 15、y=（x+2）2+3； 16、x＜0或x＞4； 17、-＜m＜-4；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）由于该二次函数的顶点坐标为（-1，2），
故设这个二次函数的表达式为y=a（x+1）2+2，将点（0，）代入，得
=a+2，
解得a=-，
所以所求二次函数的表达式为y=-（x+1）2+2=-x2-x+．
画出的图象如图所示．
（2）证明：（2）将点M（m,-m2）代入y=-x2-x+，得：
-m2=-m2-m+，即m2-m+=0，
由于此方程无解，所以不存在m值．
即对任意实数m,点M（m,-m2）都不在这个二次函数的图象上．
19、解：（1）抛物线的对称轴为：x=-=1；
（2）∵抛物线的对称轴为x=1，
∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵y1＜y2，
∴若点A在对称轴x=1的左侧，点B在对称轴x=1的右侧，
由题意可得，
不等式组无解；
若点B在对称轴x=1的左侧，点A在对称轴x=1的右侧，
由题意可得，
解得：-1＜n＜0，
∴n的取值范围为：-1＜n＜0．
20、解：（1）由图象可得y1=a（x-1）2+4，
把（3，0）代入y1=a（x-1）2+4得0=4a+4，
解得a=-1，
故答案为：-1；1；4；
（2）∵抛物线顶点坐标为（1，4），图象开口向下，
当x=-2时，y1=-（-2-1）2+4=-5，
∴-2＜x＜2时，-5＜y1≤4．
故答案为：-5＜y1≤4；
（3）∵点B横坐标为x=0，点A横坐标为x=3，
∴x＜0或x＞3时，抛物线在直线下方，
故答案为：x＜0或x＞3．
21、解：（1）由题意得，y=300-10（x-44），
即y=-10x+740（44≤x≤52）；
（2）设每天销售利润为w元，
w=（x-40）（-10x+740）=-10x2+1140x-29600
=-10（x-57）2+2890
∵a=-10＜0，
∴开口向下，对称轴是直线x=57，
当x＜57时，w随x的增大而增大，
又∵44≤x≤52，
∴当x=52时，w有最大值，且，
答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润是2640元．
22、解：（1）∵抛物线y=ax2-4ax+3a=a（x-3）（x-1），
当y=0时，a（x-3）（x-1）=0，又a≠0，
解得：x1=1，x2=3，
∴A（1，0），B（3，0），
当x=0时，y=3a,即OC=3a,
∵OB=OC，
∴3a=3，
解得：a=1，
∴抛物线解析式为y=x2-4x+3；
（2）如图所示，在线段OC上取点D，使tan∠DAC=2，过点D作DE⊥AC交AC于点E，过点C作CP∥AD交抛物线于点P，
∵tan∠DAC=2，tan∠ACP=2，
∴∠DAC=∠ACP，
∴点P即为所求，
∵tan∠DAC=2，DE⊥AC，
∴设DE=2AE=2x,
∵A（1，0），C（0，3），
∴OA=1，OC=3，
∴，
∴CE=6x,
∵，
∴，即，
解得，
∴，，
∴，
∴，
∴
设AD所在直线的解析式为y=kx+b,
∴，解得，
∴AD所在直线的解析式为，
∵CP∥AD，
∴设CP所在直线的解析式为，
将C（0，3）代入得，3=t,
∴CP所在直线的解析式为，
∴联立抛物线和CP所在直线得，，
解得x1=0，，
∴点P的横坐标为；
（3）∵M（m,-m-3），N（m+2，-m-5），
设直线解析式为y=kx+b,
∴，
解得：，
∴M，N在y=-x-3上，
设与MN平行的直线为y=-x+d,
联立，
即x2-4x+3=-x+d,
∴x2-3x+3-d=0，
令Δ=b2-4ac=0，
即9-4（3-d）=0，
解得：，
∴直线，
当直线与抛物线只有一个交点P，如图所示，过点P作PQ⊥MN，连接PM，PN，当PQ⊥MN时△PMN的面积的最小值，
∵M（m,-m-3），N（m+2，-m-5），
∴，
∵，y=-x-3与y轴的交点分别为和（0，-3），且直线与y轴的夹角为45°，
∴，则，
∴．