北京一零一中学2025-2026学年九年级下学期统练三数学试卷（PDF版，含答案）

2025北京一零一初三（下）统练三
数 学
一、选择题（共 16分，每题 2分）第 1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 据报道：中国铁路营业里程从 2012 年的9.8万公里增长到 2022 年的15.5万公里，其中高铁从0.9 万公
里增长到 4.2 万公里，稳居世界第一．将数字155000用科学记数法表示应为（ ）
A. 0.155 106 B. 1.55 105 C. 1.55 106 D. 155 103
2. 下列四个几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 在平面直角坐标系中，已知点 A(3,2) ,B (5,2)，将线段 AB平移得到线段CD，若点 A的对应点C的
坐标是 ( 1, 2)，则点 B的对应点D的坐标是（ ）
A. (1,2) B. (2, 1) C. (9, 2) D. (2,1)
4. 下列运算结果正确的是（ ）
2
A. ( a) = a2 B. a6 a2 = a3
2 2
C. (a 2) = a 4 D. 3a + a = 4
2
5. 用配方法解一元二次方程 x2 + 6x + 3 = 0 时，将它化为 (x +m) = n的形式，则m n的值为（ ）
A. 6 B. 3 C. 0 D. 2
6. 小红参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，形象、表达、内容三项得分分别是 8 分、8
分、9 分．若将三项得分依次按 2 : 4 : 4 的比例确定最终成绩，则小红的最终比赛成绩为（ ）
A. 8.3分 B. 8.4分 C. 8.5分 D. 8.6分
7. 如图， AOB = 40 ，按下列步骤作图：①在OA边上取一点 C，以点 O 为圆心、OC长为半径画弧，
交OB于点 D，连接CD；②以点 C为圆心、OC长为半径画弧，交OB于点 E，连接CE，则 DCE的
度数为（ ）
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A. 20 B. 30 C. 40 D. 50
8. 如图，动点 P在线段 AB上（不与点 A，B重合），分别以 AB，AP，BP为直径作半圆，记图中所示的
阴影部分面积为 y，线段 AP的长为 x．当点 P从点 A移动到点 B时，y随 x的变化而变化，则表示 y与 x
之间关系的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（共 16分，每题 2分）
9. 若二次根式 x 2 有意义，则 x的取值范围是___．
10. 分解因式： 2a2 4a + 2 = _____．
3
11. 已知点 A( 2，m)，B ，n 在一次函数 y = 2x + b的图象上，则 m______n（填“>”“=”或
2
“<”）.
12. 如图，AB是 O的直径，弦 CD交 AB于点 E，连接 AC，AD．若 BAC = 28 ，则 D = ______°
13. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都是 1，点 A，B，C是网格线交点，则 ABC的外角
ACD的度数等于______°．
14. 抛掷一枚质地均匀的硬币 2 次，2 次抛掷的结果都是正面朝上的概率是____．
15. 如图，树 AB在路灯 O的照射下形成投影 AC，已知路灯高PO = 5m ，树影 AC = 3m ，树 AB与路灯
O的水平距离 AP = 4.5m，则树的高度 AB长是______米．
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16. 将 15 个编号为 1~15 的小球全部放入甲、乙、丙三个盘子内，每个盘子里的小球不少于 4 个，甲盘中小
球编号的平均值为 3．
（1）写出一种甲盘中小球的编号是_________；
（2）若乙、丙盘中小球编号的平均值分别为 8，13，则乙盘中小球的个数可以是_________．
三、解答题（本题共 68分，第 17-21题，每题 5分，第 22题 6分，第 23题 5分，第 24-26
题，每题 6分，第 27-28题，每题 7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
1
1
17. 计算： 3 8 + + 2 1 2 sin 45 ．
2
x y = 2
18. 解方程组： ．
x + 2y = 5
a a2 4
19. 先化简，再求值： 1 ，其中 a = 4．
a + 2
2
a + 4a + 4
20. 下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，点 D，E分别是 ABC的边 AB，AC的中点．
1
求证：DE∥BC ，且DE = BC．
2
方法一 方法二
证明：如图，过点 C作CF∥ AB，交 证明：如图，延长DE到点 F，使得
DE的延长线于点 F． EF = DE，连接FC，DC，AF．
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21. 如图，在 ABC中， AB = AC ，点D为 BC中点，过点 A,C 分别作BC, AD的平行线，相交于点
E．
（1）求证：四边形 ADCE为矩形；
4
（2）连接BE,DE，若 tan CBE = ,CD = 3，求 AB的长．
3
k
22. 在平面直角坐标系 xOy中，反比例函数 y = (k 0)的图象经过点 ( 1，3)．
x
（1）求这个反比例函数的解析式：
k
（2）当 x 1时，对于 x的每一个值，函数 y = x + n的值大于反比例函数 y = (k 0)的值，直接写
x
出 n的取值范围： ．
23. 2022 年 10 月 16 日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕，习近平代表第十九届
中央委员会向大会作报告，报告提出要加快建设农业强国．某农业学家在光照、降水量等条件接近的不同
地区对几种不同的玉米进行产量实验，得出的部分数据（单位： kg / hm2 ）如下表．
注：1hm2 表示 10000 平方米，即 1 公顷．
品种A 品种B 品种C 品种D 品种E 品种F 品种G 品种 H
低海拔区 9843 8650 7996 7705 7506 7437 6517 5398
高海拔区 7800 7267 7533 7867 6333 6400 5874 5201
（1）请补全条形统计图：
（2）8 个品种的玉米在低海拔区产量的中位数为_________，不同品种的玉米产量总体趋势在_________
（填“低”或“高”）海拔区更加稳定；
（3）已知气温和含氧量都会影响玉米的产量，下列三种方案中，选择哪两种方案进行组合可以判断哪一
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种因素对玉米产量的影响较大，
a．将两个不同品种的玉米分别种植在两个温室中，两个温室气温相同，氧气浓度不同，在其他条件相同
的情况下记录每个温室的玉米产量，重复多次实验，求出每个温室玉米产量的平均值，并比较；
b．将同一品种玉米种植在气温相同，氧气浓度不同的两个温室中，在其他条件相同的情况下记录每个温
室的玉米产量，重复多次实验，求出每个温室玉米产量的平均值，并比较；
c．将同一品种玉米种植在气温不同，氧气浓度相同的两个温室中，在其他条件相同的情况下记录每个温
室的玉米产量，重复多次实验，求出每个温室玉米产量的平均值，并比较．
24. 如图， O的直径 AB与弦CD相交于点 E，且CE = DE ，点 F 在 AB的延长线上，连接
OC,DF , F = C．
（1）求证：DF是 O的切线；
（2）若OE = 2BE,BF = 2 ，求 O半径的长．
25. 已知乒乓球桌的长度为 274cm ，某人从球桌边缘正上方高18cm 处将乒乓球向正前方抛向对面桌面，
乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分.
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，从乒乓球抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度 y
2
（单位：cm）与水平距离 x（单位：cm）近似满足函数关系 y = a(x h1) + k(a 0) .
乒乓球的水平距离 x与竖直高度 y的几组数据如下表所示.根据表中数据，直接写出乒乓球竖直高度的最大
值，并求出满足的函数关系式；
水平距离 x / cm 0 40 80 120 160
竖直高度 y / cm 18 42 50 42 18
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（2）乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度 y与水平距离 x近似满足函数关系
y = 0.005(x h2 )
2 +8，判断乒乓球再次落下时是否仍落在球桌上，并说明理由．
2
26. 已知抛物线 y = ax 2ax (a 0)．
（1）求该抛物线的顶点坐标（用含 a的式子表示）；
（2）当a 0 时，抛物线上有两点 ( 1, s)， (k, t )，若 s t时，直接写出 k的取值范围；
（3）若 A(m 1, y1 )，B (m, y )，C (m + 3, y2 3 )都在抛物线上，是否存在实数 m，使得
y1 y3 y2 a恒成立？若存在，求出 m的取值范围；若不存在，请说明理由．
27. 如图，在 ABC中， AB = AC ， BAC = ，点D在 BC边上，以点 A为中心，将线段 AD顺时针
旋转 得到线段 AE，连接 BE．
（1）求证：BA平分 EBC；
（2）连接DE交 AB于点 F ，过点C作CG∥ AB，交 ED的延长线于点G ．补全图形，用等式表示线
段 EF 与DG之间的数量关系，并证明．
28. 已知线段 PQ是 G的弦，点K 在直线 PQ上．对于弦 PQ和点K ，给出如下定义：若将弦 PQ绕点K 逆
时针旋转 (0 180 )得到线段 P Q ，恰好也是 G的弦，则称弦 PQ关于点K 中心映射，点K 叫
做映射中心， 叫做映射角度．
（1）如图 1，点G 是等边 ABC的中心，作 G交 AB于点 P,Q．在 A,B,C 三点中，弦 PQ关于点
_________中心胦射；
3
（2）如图 2，在平面直角坐标系 xOy中，直线 y = x +3与 x轴交于点 E，与 y轴交于点 F ， OEF
4
的角平分线交 y轴于点D．若 D与线段 EF 相交所得的弦关于点 E中心映射，直接写出 D的半径 r的
取值范围；
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（3）在平面直角坐标系 xOy中， O的半径为 2，线段MN 是 O的弦．对于每一条弦MN ，都有相应
的点 H ，使得弦MN 关于点 H 中心映射，且映射角度为60 ．设点 H 到点O的距离为 d ，直接写出 d 的
取值范围．
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参考答案
一、选择题（共 16分，每题 2分）第 1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A A B B B C
二、填空题（共 16分，每题 2分）
9. 【答案】解：根据题意，使二次根式 x 2 有意义，即 x﹣2≥0，
解得：x≥2．
故答案为：x≥2．
10. 【答案】解：先提取公因式 2 后继续应用完全平方公式分解即可：
2 2
原式= 2(a 2a +1) = 2(a 1) ，
2
故答案为： 2(a 1) ．
11. 【答案】解：∵ y = 2x + b中 x的系数 2 0 ，
∴一次函数的 y随 x的增大而增大，
3
∵ 2 ，
2
∴m n，
故答案为： ．
12. 【答案】解：连接 BD，
∵AB是 O的直径，
∴ ADB = 90 ，
C B = C B，
BAC = BDC = 28 ，
ADC = 90 BDC = 62
故答案为：62
13. 【答案】解：如图：
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在 ABE和 BCF 中，
BE =CF

AEB = BFC，

AE = BF
∴ ABE≌ BCF (SAS)，
∴ ABE = BCF , AB = BC，
∵ BCF + CBF = 90 ，
∴ ABE + CBF = 90 ,
∴ ABC = 90 ，
∴ BAC = BCA = 45 ，
∴ ACD =180 45 =135 ．
故答案为：135．
14. 【答案】共有正反，正正，反正，反反 4 种可能，
1
则 2 次抛掷的结果都是正面朝上的概率为 ．
4
1
故答案为 ．
4
15. 【答案】解：由题意知 AB∥PO
在 Rt ABC和 Rt△POC 中
C = C

CAB = CPO

ABC = POC
Rt ABC∽Rt POC
AB AC
=
PO PC
AB 3
=
5 3+ 4.5
解得 AB = 2
故答案为： 2 ．
1+ 2+3+ 6
16. 【答案】解：（1）∵每个盘子里的小球不少于 4 个，甲盘中小球的平均值为 3，且 = 3，
4
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∴甲盘中小球的编号可能是：1 号，2 号，3 号，6 号；
故答案为 1 号，2 号，3 号，6 号（答案不唯一）；
（2）设甲盘中有 x个球，乙盘有 y个球，丙盘中有 z个球（x、y、z都是不小于 4 的正整数），由题意得：
3x +8y +13z =1+ 2+3+ ....+15
，
x + y + z =15
消去 x得：5y +10z = 75，即 y + 2z =15，
∴当 z = 4 时，则 y = 7 ，此时 x = 4 符合题意；
当 z = 5时，则 y = 5，此时 x = 5符合题意；
当 z = 6时，则 y = 3，此时 x = 6 不符合题意，舍去；
∴乙盘中小球的个数可以是 7 或 5；
故答案为 7 或 5．
三、解答题（本题共 68分，第 17-21题，每题 5分，第 22题 6分，第 23题 5分，第 24-26
题，每题 6分，第 27-28题，每题 7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
2
17. 【答案】解：原式= 2+ 2+ 2 1 2
2
= 2 + 2 ．
x y = 2①
18. 【答案】解： ，
x + 2y = 5②
②-①得：3y=3，
解得：y=1，
把 y=1 代入①得：x=3，
x = 3
则方程组的解为
y =1
a a
2 4
19. 【答案】解： 1
a + 2 a
2
+ 4a + 4
a + 2 a (a + 2)(a 2)
= 2
a + 2 a + 2 (a + 2)
2
2 (a + 2)
=
a + 2 (a + 2)(a 2)
2
= ；
a 2
2
当 a = 4时，原式= =1．
4 2
20. 【答案】方法一，证明：∵点 D，E分别是 ABC的边 AB，AC的中点，
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∴ AE = CE， AD = BD，
∵CF∥ AB，
∴ A = FCE，
∵ A = FCE， AE = CE， AED = CEF，
∴ AED≌ CEF (ASA)，
∴DE = EF ，CF = AD，
1
∴DE = DF ，CF = BD，
2
∴四边形 BCFD是平行四边形，
∴DF∥BC，DF = BC，
1
∴DE∥BC ，DE = BC；
2
方法二，证明：∵点 D，E分别是 ABC的边 AB，AC的中点，
∴ AE = CE， AD = BD，
∵ AE = CE， AED = CEF， AD = BD，
∴△AED≌△CEF (SAS)，
∴CF = AD， CFE = ADE，
∴ AD∥CF ，CF = BD，
∴四边形DBCF 是平行四边形，
∴DF = BC，DF∥BC，
1
∵DE = DF ，
2
1
∴DE∥BC ，DE = BC．
2
21. 【答案】（1）
证明：由题意得 AE∥CD, AD∥CE，
四边形 ADCE是平行四边形，
AB = AC ，点D为BC中点，
AD ⊥ BC，即 ADC = 90 ，
四边形 ADCE为矩形；
（2）
解：∵四边形 ADCE为矩形，
BCE = ADB = 90 ，
∵点D为 BC中点，
BC = 2CD = 6,BD = 3,
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CE CE 4
在Rt BCE中， tan CBE = = = ，
BC 6 3
解得：CE = 8, AD = CE = 8,
在Rt△ADB中， AB = AD2 + BD2 = 82 +32 = 73 ，
故 AB的长为 73 ．
22. 【答案】（1）
k
解：∵反比例函数 y = (k 0)的图象经过点 ( 1，3)，
x
∴ k = 1 3 = 3，
3
∴这个反比例函数的解析式为 y = ；
x
（2）
解：当 x= 1时， y = ( 1)+ n = 3，
∴ n = 2 ，
k
∵当 x 1时，对于 x的每一个值，函数 y = x + n的值大于反比例函数 y = (k 0)的值，
x
∴ n 2 ．
23. 【答案】（1）
2
根据表格中 F 品种在高海拔地区的产量为 6400 kg / hm ，补全条形统计图，如图所示：
（2）
将 8 个不同品种的玉米在低海拔区产量从大到小排序：9843，8650，7996，7705，7506，7437，6517，
5398，
7705+ 7506
中位数为 = 7605.5；
2
根据条形统计图中高低海拔区的变化趋势可以判断在高海拔地区更加稳定；
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故答案为：7605.5，高；
（3）
a选用了两个不同品种的玉米，没有控制变量，故 a不选，
b、c选用了相同品种的玉米，而且改变了气温和含氧量，故可以选；
故选用 b、c两种方案．
24. 【答案】（1）
证明：连接OD，如图所示：
∵CE = DE ， AB是 O的直径，
∴ AB ⊥ CD，
∴ DEF = 90 ，
∴ F + EDF = 90 ，
∵OC =OD，
∴ OCD = ODC，
∵ F = C，
∴ F = ODC，
∴ ODC + EDF = 90 ，即 ODF = 90 ，
∵OD是 O的半径，
∴DF是 O的切线；
（2）
解：由题意可设OE = 2x,BE = x，则OD =OB = 3x，
OE 2
∴ cos EOD = = ，OF = 3x + 2，
OD 3
OD 3x 2
∴在Rt△ODF 中， cos FOD = = = ，
OF 3x + 2 3
4
解得： x = ，
3
∴OD = 4，
即 O的半径为 4．
2
25. 【答案】（1）乒乓球竖直高度的最大值为50， y = 0.005(x 80) +50(a 0)
（2）乒乓球再次落下时仍落在球桌上，理由见解析
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【 分 析 】（1） 根 据 表 格 数 据 可 知 (0,18) 与 (160,18) 关 于 对 称 轴 x = 80 对 称 ， 则
y = a(x 80)2 + 50(a 0)，待定系数法求解析式即可求解；
2
（2）根据（1）的结论，令 y = 0 ，求得 x =180 ，代入 y = 0.005(x h2 ) +8，求得 h2 = 220 ，进而令
y = 0 ，求得 x = 260，与乒乓球桌的长度比较即可求解．
（1）
根据表格数据可知 (0,18)与 (160,18)关于对称轴 x = 80 对称，
则当 x = 80 时， y = 50，即乒乓球竖直高度的最大值为50，
∴ y = a(x 80)2 + 50(a 0)，
将点 (180,0)代入得，0 =1002a + 50，
解得： a = 0.005，
∴ y = 0.005(x 80)2 +50(a 0)；
（2）
解：乒乓球再次落下时仍落在球桌上，理由如下，
由 y = 0.005(x 80)2 +50(a 0)，令 y = 0 ，
即 0.005(x 80)2 +50=0，
解得： x =180 或 x = 20（舍去）
依题意， y = 0.005(x h
2
2 ) +8，
将点 (180,0) 2代入得，0 = 0.005(180 h2 ) +8
解得： h2 = 220或 h2 =140 （舍去）
∴解析式为 y = 0.005(x 220)2 +8
当 y = 0 时， 0.005(x 220)2 +8=0 ，
解得： x1 = 260, x2 =180 （舍去）
∵ 260 274 ，
∴乒乓球再次落下时仍落在球桌上．
26. 【答案】（1）
2 2解：∵ y = ax 2ax = a (x 1) a，
∴该抛物线的顶点坐标为： (1, a)．
（2）
解： a 0 时，抛物线的开口向上，且对称轴为直线 x =1，
∴离对称轴越远函数值越大，
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∴要使 s t，则 k 1 1 ( 1)，
∴此时 k的取值范围是；
综上分析可知，k的取值范围是 1 k 3 ．
（3）
2
解：∵抛物线解析式为 y = ax2 2ax = a (x 1) a，
∴抛物线对称轴为直线 x =1，顶点坐标为 (1，a)，
当 a 0 时，抛物线开口向上，则抛物线此时有最小值 a，不可能满足 y1 y3 y2 a；
当 a 0 时，则离对称轴越远函数值越小，
∵ y1 y3 y2 a，
∴ m 1 1 m + 3 1 m 1 ，即 m 2 m+ 2 m 1 ,
∴m2 4m + 4 m2 + 4m + 4 m2 2m +1，
1
∴ m 0．
2
27. 【答案】（1）
证明： DAE = BAC = ，
DAE BAD = BAC BAD，即 BAE = CAD，
在 ABE和 ACD中，
AB = AC

BAE = CAD，

AE = AD
ABE≌ ACD (SAS)，
ABE = ACD，
AB = AC ，
ABC = ACD，
ABC = ABE，
BA平分 EBC；
（2）
解： EF = DG，
证明：如图，在 AC上截取 AH = AF ，连接DH ，在CG延长线时取点 I ，使CI = CH ，连接DI ，
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，
在△AEF 和 ADH中，
AE = AD

BAE = CAD，

AF = AH
AEF≌ ADH (SAS)，
EF = DH， AFE = AHD，
AFD = CHD，
CG AB，
AFD = DGI ，
DGI = CHD，
AB = AC ，
ABC = ACD，
CG AB，
ABC = ICD，
ACD = ICD，
在 HCD和△ICD中，
CH =CI

HCD = ICD，

CD =CD
HCD≌ ICD (SAS)，
CID = CHD，DI = DH ，
DGI = CHD，
CID = DGI ，
DI = DG，
DG = DH ，
EF = DH ，
EF = DG．
28. 【答案】（1）
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根据中心映射的定义， 若将弦 PQ绕点K 逆时针旋转 (0 180 )得到线段P Q ，恰好也是 G的
弦，则称弦 PQ关于点K 中心映射，点K 叫做映射中心．由于 ABC是等边三角形，因此直线 PQ绕 A点
逆时针旋转 = 60 (0 180 )，可使弦 PQ落在弦P Q 上．但直线 PQ绕 B点、C点逆时针旋转
(0 180 )后，弦 PQ无法与 G再相交成弦．
故只有点 A符合映射中心的条件，如下图．
（2）
如下图， OEF的角平分线交 y轴于点D，过 D作DG ⊥ EF ，垂足为 G．
则 D与线段 EF相交所得的弦关于点 E中心映射，此时 D的半径 r的取值范围是DF r DG．
在 OEF中， EF 平分 OEF，过 D作 x轴的平行线，与 EF交于 H，
则 HDE＝ DEO，又 HED＝ DEO，
所以 HDE＝ HED，则HD＝HE．
DF FH FH FE
由 DH∥OE得，△FDH∽△FOE，所以 ＝ ＝ ＝
DO HE HD OE
DF FE DF FE
即 ＝ ， ＝ 。
DO EO OF－DF OE
在直角三角形 OEF中，EF = OE2 +OF 2 = 42 + 32 = 5．
DF 5 5
∴ ＝ ，解得DF = ．
3－DF 4 3
∵DG ⊥ EF ，
∴在直角 OEF与直角 GDF 相似．
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DG 4
DG OE =
∴ = ，即 5 5 ．
DF EF
3
4
因此，DG = ．
3
5 4
所以， D的半径 r的取值范围是DF r DG．即 r ．
3 3
（3）
考虑到对称性与不失一般性，为了研究问题的方便，设弦MN 绕点 H逆时针旋转 = 60 (0 180 )
得到线段M N ，恰好也是 O的弦，且MN 与M N 交于 x轴，见下图．
作OF ⊥ MN与 O交于点 F，再过 F作MN 的平行线， EF 是 O的切线．则满足条件的弦MN 最大
为直径，最小应大于 0，
所以，OH = d ．当 O与 H重合时， d = 0 ，此时弦MN 为直径；当 H与 E重合时， d = OH = OE，此时
弦MN 长度为 0．
故 d的取值范围是： 0 d OE．
1
由已知条件知 MHM = 60 ， OHM = MHM = 30 ．
2
又因 EF∥MN ，故∠OEF =∠OHM = 30 ．
1
在直角 OEF中，OF = OE，则OE = 2OF = 2 2 = 4 ．
2
故 d的取值范围是： 0 d 4．
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