北京市朝阳外国语学校2025-2026学年高一上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

2025 北京市朝阳外国语学校高一（上）期中
数 学
2025.11
（考试时间 120 分钟 满分 150 分）
本试卷分为选择题（共 50 分）和非选择题（共 100 分）两部分
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交
回.
第一部分（选择题 共 50 分）
一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项.）
U = Z A = x Z∣ 2 x 2 ,B = 1,0,1,2 ( 1. 已知全集 ，集合 ，则 UA) B =（ ）
A. 1, 2 B. 1 C. 0,1 D. 2
1
2. 已知命题 p : x 0, x + 2，则 p为（ ）
x
1 1
A. x 0, x + 2 B. x≤0, x + 2
x x
1 1
C. x≤0, x + 2 D. x 0, x + 2
x x
3. 下列函数中，既是偶函数，又在 (0，+ )上单调递增的是（ ）
y = x2A. + 2 B. y = e
x 1
4
C. y = lgx +1 D. y = x +
x
1 c = log 3
4. 比较 a = 2 2 ，b = 3 ，
1 的大小关系，结果为（ ）
3
A. c b a B. c a b C. b a c D. a b c
5. 为了得到函数 y = ln (ex)的图象，只需把函数 y = lnx的图象上所有的点（ ）
A. 向上平移 1 个单位长度 B. 向下平移 1 个单位长度
C. 向左平移 e个单位长度 D. 向右平移 e个单位长度
6. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 P（单位： mg/ L ）与时间 t（单位：
kt
h ）的关系为 P = P0 e ，其中 P0 ，k是常数.如果在前 5h 消除了10% 的污染物，那么污染物减少50%需
要花多少时间（精确到1h ）？（ lg 2 0.301， lg 3 0.477 ）（ ）
A. 13h B. 23h C. 33h D. 34h
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7. 设 x 0 ， y 0，则“ x + y = 2 ”是“ xy 1”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知10a = 2 ，10b = 5，则下列不成立的是（ ）
1
A. ab B. b 2a
4
b
2 2 1 5
C. a +b D. 10a =
2 2
ax (x 1)
9. f (x) = 是R 上的单调递增函数，则实数 a的取值范围为（ ）
3x
2 + 4ax 6(x 1)
3 3 5
A. (1,+ ) B. ,3 C. (1,3 D. 2
,
2 2


10. 已知集合 A = (s, t ) s + t 2, s Z, t Z ，若 B A，且对任意的 (a,b) B， (c,d ) B，均有
ab + cd ad + bc，则 B中元素个数的最大值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
第二部分（非选择题 共 100 分）
二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）
2 x
11. 函数 y = 的定义域为______．
| x | 3
x + 6, x 2
12. 若函数 f (x) = , (a 1) 的值域是[4,+ ) ，则实数a取值范围为__________.
3+ loga x, x 2
2
13. 已知方程 x (m+ 2) x +m+1= 0 的两根一个比 2 大另一个比 2 小，则实数 m的范围是
____________ .
a
14. 已知函数 f (x) = x + (x 0) ．若 f (x) 4 恒成立，则a的取值范围是__________.
x
x2 , x a
15. 若 f (x) = ，满足 x1, x a2 R, x2 x1, f (x2 ) f (x1 )，则 的取值范围是__________．
2x +3, x a
16. 已知函数 f (x) = ax 1 与 g (x) = (a 1) x，其中实数 a 0．给出下列四个结论：
1
①函数 f ( x)在区间 ,+ 上单调递增；
a
②对任意的 a 0，f (x)与 g (x)的图象都只有一个公共点；
1
③若 f ( x)与 g (x)的图象没有公共点，则 a的取值范围是 ,1 ；
2
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④当 f ( x)与 g (x)的图象有两个公共点时，这两个公共点横坐标的差大于 1．
其中所有正确结论的序号是___________．
三、解答题（共 5 小题，共 70 分）
x
17. 已知集合 A = x 2 2 16 ， B = x x 3 .
（1）分别求 A B， ( RB) A；
（2）已知集合C = x 2 x a ，若C A，求实数a的取值范围.
0 2 2
7
18. （1） 80.25 4
1
2 + 27
3 ；
6 2
2
（2）83 + (2 5)2 + ln e + log5 35 log
5 7
19. 已知函数 f (x) = ln (2 x)+ ln (2+ x) .
（1）求函数 f ( x)的定义域；
（2）判断 f ( x)奇偶性，并加以证明；
（3）若 f (2m+1) ln 3，求实数m的取值范围.
mx + 2
20. 已知函数 f (x) = 是R 上的偶函数．
1+ x2
（1）求实数m的值；
（2）判断函数 f ( x)在 ( , 0 上的单调性，并用单调性定义证明；
（3）如果对 x 3,2 ，都有 f (x) a + a 2 成立，求a的取值范围．
21. 已知正整数 k,n0 ，若正整数集的子集 A1, A2 , , Ak同时满足
条件①：对任意m *N ，存在唯一 i 1,2,3, ,k ，使得m Ai；
条件②：对任意整数n n0 ，及任意 i 1,2,3, ,k ，均存在 x, y A ，使得 x + y = ni ，则称
A1, A2 , , Ak为 “ n0 可表集合组”．
（1）若 k = 2, A1 = 1,4,6,8,10,12, , A2 = 2,3,5,7,9,11, ，则 A1, A2 是否为“7 可表集合组”？说明理
由，
（2）若 k = 2, A1, A2 为 “ n0 可表集合组”，求 n0 的最小值；
（3）若 A1, A2 , , Ak为“15 可表集合组”，求 k 的最大值．
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参考答案
第一部分（选择题 共 50 分）
一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项.）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A B A C A D B C
第二部分（非选择题 共 100 分）
二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）
2 x 0 x 2
11. 【答案】由题知， x 2且 x 3 . 定义域为为 x x 2 且 x 3 .
x 3 0 x 3
故答案为： x x 2 且 x 3
12. 【答案】当 x 2 时， x + 6 4，
要使得函数 f (x) 的值域为[4,+ ) ，
只需 f (x) = 3+ loga x(x 2) 的值域包含于[4,+ ) ，
所以3+ loga 2 4 ，结合 a 1，解得1 a 2，
所以实数 a的取值范围是 (1, 2] .
故答案为： (1, 2] .
2
13. 【答案】方程 x (m+ 2) x +m+1= 0 ，可得 x (m+1) (x 1) = 0 ，
故方程的两个根分别为 x1 =1或 x2 = m+1.
由于两根一个比 2 大另一个比 2 小，
故m +1 2 ,解得m 1，
故答案为： m m 1 .
a 2
14. 【答案】当 x 0 时，不等式 f (x) 4 x + 4 a x + 4x，
x
依题意， x 0,a x2 + 4x恒成立，
2 2
而当 x 0 时， x + 4x = (x 2) + 4 4 ，当且仅 x = 2 时取等号，
因此 a 4 .
故答案为： 4,+ )
15.【答案】当 a 0 时， f (x) 在 (a,0) 上为减函数，
故 x1, x2 (a,0)，当 x2 x1 时，有 f (x2 ) f (x1 )，符合题意；
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当 a 0 时， f (x) 在[a,+ )上为增函数，在 ( ,a)上为增函数，
当 2a + 3 a2 即0 a 3时， f (x) 的图象如图所示：
则存在 x2 a x1 ，且 f (x2 ) f (x1 )，
综上所述，实数 a的取值范围是 ( ,3) ．
故答案为： ( ,3)
16. 【答案】题意，分类作图如下：
（1） a 0
（2）0 a 1
（3） a 1
（4）当 a =1时， f (x) = x 1 ， g ( x) = 0，两函数的图象只有一个交点 (1,0)，
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1
对于①，根据图象， f ( x)在区间 ,+ 上单调递增，所以①正确；
a
对于②，根据图象， a 0 时， f ( x)与 g (x)的图象仅有一个公共点，所以②正确；
对于③，根据图象，在0 a 1时， f ( x)与 g (x)的图象可能没有交点，
1 1
此时 a 1 a，解得 a 1，即 a的取值范围是 ,1 ，所以③正确； 2 2
对于④，根据图象，在 a 1时， f ( x)与 g (x)的图象可能有两个交点，此时解得公共点横坐标为
1
0 x = x =1，则两个公共点横坐标的差为 x2 x 11 2 1 ，所以④错误.
2a 1
故答案为：①②③.
三、解答题（共 5 小题，共 70 分）
17. 【答案】（1）
因为 A = x 2 2x 16 = x 1 x 4 ，
所以 A B = x 3 x 4 ，
又 RB = x x 3 ，所以 ( RB) A = x x 4 .
（2）
当C = 时， a 2 ，
当C 时， a 2，因为C A，所以 a 4
又 a 2，所以 2 a 4 .
综上， a 4 .
0 2 2
7 1
18.（1） 0.25 4 3 8 2 + 27
6 2
1 2
3
=1 23 0.25 24 +3 3 22
3 1
+
=1 24 4 +32 4
=1 2+ 9 4 = 4．
2
（2）83 + (2 5)2 + ln e + log5 35 log
5 7
2
3 1
= 2 3 + 2 5 + ln e+ log5 5+ log5 7 log5 7
2
1 7
= 22 + 5 2+ +1= + 5．
2 2
19. 【答案】（1）
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由题意得： 2 x 0且 2 + x 0，
解得 2 x 2，所以函数定义域为 ( 2, 2)；
（2）
因为 f ( x)的定义域为 ( 2, 2)，关于原点对称，
又 f ( x) = ln (2+ x)+ ln (2 x) = f (x)，
所以 f ( x)为偶函数；
（3）
f (2m+1) = ln (1 2m)+ ln (2m+3) = ln (1 2m)(2m+3) ln3，
m m +1 0
(1 2m)( ( )2m+3) 3
则 ，化简得 3 1 ，
2 2m+1 2 m
2 2
3 1
解得 m 1或0 m ，
2 2
3 1
故实数m的取值范围为 m 1或0 m .
2 2
20. 【答案】（1）
mx + 2
因为函数 f (x) = 是R 上的偶函数，
1+ x2
mx + 2 mx + 2
所以有 f (x) = f ( x) = mx + 2 = mx + 2 2mx = 0 ，
1+ x2 1+ x2
因为 x R ，所以m = 0；
（2）
2
由（1）可知：m = 0，即 f (x) = ，该函数单调递增，理由如下：
1+ x2
设 x1, x2 是 ( , 0 上任意两个实数，且 x1 x2 ，即 x1 x2 0，
2 2 1+ x
2
2 (1+ x21 ) (x
( ) ( ) 2
+ x1 )(x2 x1 )
f x1 f x2 = = 2 = 2 2 2 ， 1+ x 1+ x 2 2 2 21 2 (1+ x1 )(1+ x2 ) (1+ x1 )(1+ x2 )
(x2 + x1 )(x2 x )
因为 x x 0，所以 f (x1 ) f (x2 )
1
= 2 0 f (x1 ) f (x )1 2 (1+ x2
2 ，
1 )(1+ x21 )
所以函数 f ( x)在区间 ( , 0 上单调递增；
（3）
由（2）可知：函数 f ( x)在区间 ( , 0 上单调递增，
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而函数 f ( x)是偶函数，所以函数 f ( x)在 (0,+ )上单调递减，
2 2 1
因为 x 3,2 ， f (0) = 2, f (2) = = , f ( 3) = ，
1+ 4 5 5
1
所以 f ( x)在 3, 2 上的值域为 , 25
，

由 f (x) a + a 2 恒成立，即a 2 f (x) a 2 a，
也就是 2a 2 f (x) 2 ，
1
2a 2 11
则 5 ，得 a ，
10
2 a 0
11
所以 a的取值范围为 , .
10


21. 【答案】（1）
A1, A2 不是“7 可表集合组”.
因为 A1 = 1,4,6,8,10,12, ，其元素中仅有一个奇数，
则 x, y A ，若 x + y1 为偶数，则必为 A1中两个偶数元素之和，至少为4+ 6 =10 ，
可得 x, y A A , A1, x + y 8 ，所以 1 2 不是“7 可表集合组”．
（2）
n n = 70 的最小值为 7．首先给出 0 的例子：
令 A1 = 1,2,6,8,10,12, , A2 = 3,4,5,7,9,11, ，
可知则 A1, A2 为“7 可表集合组”．
下面假设某个 n0 6 满足题设要求，则对任意 i 1, 2 ，存在 x, y A ，使得 x + y = 6i ．
注意到 6 表示为两个不同正整数的和只能是1+ 5,2+ 4 ，
不妨设 1,5 A1, 2,4 A2，
因为对任意 i 1, 2 ，存在 x, y A ，使得 x + y = 7i ，
注意到 7 表示为两个不同正整数的和只能是1+ 6,2 + 5,3+ 4 ，
所以 1,5,6 A1, 2,3,4 A2 ，
注意到 8 表示为两个不同正整数的和只能是1+ 7, 2+ 6,3+ 5，
所以对任意 x, y A ，均有 x + y 82 ，
与 A1, A2 是“ n0 可表集合组”矛盾．
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所以假设不成立，综上所述： n0 的最小值为 7．
（3）
k的最大值为 3．
首先给出 k = 3的例子：
令 A1 = 1,2,3 3m m = 4,5,6, ， A2 = 4,5,6 3m 1m = 4,5,6, ，
A3 = 7,8,9 3m 2 m = 4,5,6, ，
则 A1, A2 , A3 为“15 可表集合组”．
下面假设某个 k 4 满足题设要求，
显然 A1, A2 , A3 , A4 A 5 Ak 也满足题设要求，故可不妨设 k = 4，
令 Bi = Ai 1,2,3, , 23 (i =1,2,3,4)，
显然对任一下标 i,15,16, , 24这 10 个数中任一数均可写成 Bi的两个元素之和，
从而 Bi中元素至少有五个，
注意 B1,B2 ,B3 ,B4 的元素个数之和为 23，从而必存在某个 j，使得B j 的元素个数不大于 5，
设 B j = x1, x2 , x3 , x4 , x5 ，
可知 A j中两个不同元素之和所表示的15,16, , 24 这 10 个数恰可被 B j 中两个不同元素之和所表示，
则这些数的和为 4(x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ) =15+16+ + 24 =195，
与 x1 , x2 , x3 , x4 , x5均为正整数矛盾，所以假设不成立．
综上所述： k的最大值为 3．
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