2026年高考数学一轮复习专题课件：离散型随机变量的分布列、均值与方差(共51张PPT)
文档属性
| 名称 | 2026年高考数学一轮复习专题课件：离散型随机变量的分布列、均值与方差(共51张PPT) |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-19 00:00:00 | ||
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文档简介
(共51张PPT)
离散型随机变量的分布列、均值与方差
2026年高考数学一轮复习专题课件★★
离散型随机变量的分布列
(1)一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．可能取值为有限个或可以一一列举出来的随机变量，我们称为离散型随机变量．
(2)设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．离散型随机变量的分布列也可以用表格表示：
回归教材
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
根据概率的性质，离散型随机变量分布列具有下述两个性质：
①pi___0，i＝1，2，…，n；
②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝___．
(3)两点分布
如果随机变量X的分布列为：
其中0X 0 1
P 1－p p
≥
两点分布
1
离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的概率分布列为：
(1)称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ xipi为随机变量X的均值或期望(数学期望)．
(2)称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝ (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称 为随机变量X的标准差，记作σ(X)．
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
离散型随机变量的期望与方差具有的性质
(1)离散型随机变量X的期望E(X)与方差D(X)是一个数值，它们是随机变量X本身所固有的一个数字特征，它们不具有随机性．
(2)离散型随机变量的期望反映随机变量取值的平均水平，而方差反映随机变量取值的离散程度．
(3)若Y＝aX＋b，其中X是离散型随机变量，a，b为常数，则E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X)．
(4)离散型随机变量的期望与方差若存在则必唯一，期望E(X)的值既可为正值也可为负值，而方差的值则一定是一个非负值．
(5)D(X)＝ (xi－E(X))2pi＝ xi2pi－(E(X))2＝E(X2)－(E(X))2.
1．判断下面结论是否正确．(对的打“√”，错的打“×”)
(1)抛掷一枚均匀硬币一次，出现正面向上的次数是随机变量．
夯实双基
答案 (1)√
(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．
答案 (2)√
(3)若随机变量X的分布列如下，则X服从两点分布．
X 2 5
P 0.3 0.7
答案 (3)×
(4)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布．
答案 (4)×
2．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)等于( )
√
3．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值为( )
A．0.2 B．0.4
C．0.8 D．1
√
解析 X的所有可能取值为0，1，
P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝1)＝0.8，E(X)＝0×0.2＋1×0.8＝0.8.
4．【多选题】已知两个离散型随机变量X，Y，满足Y＝2X＋1，其中X的分布列如下：
若E(X)＝1，则( )
√
√
√
5．甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为：
若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是_____．
X 0 1 2 3
P 0.4 0.3 0.2 0.1
Y 0 1 2
P 0.3 0.5 0.2
乙
解析 E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，∵E(Y)题型一 随机变量的概念(自主学习)
写出下列随机变量的所有可能取值，并说明随机变量所表示的意义．
(1)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X；
【答案】 (1)见解析
【解析】 (1)X的所有可能取值为0，1，2.
X＝0表示所取的三个球中没有白球；
X＝1表示所取的三个球中有1个白球，2个黑球；
X＝2表示所取的三个球中有2个白球，1个黑球．
(2)投掷两枚均匀的骰子，所得点数之和为X，所得点数的最大值为Y.
【答案】 (2)见解析
【解析】 (2)X的所有可能取值有2，3，…，12，Y的所有可能取值为1，2，…，6.若以(i，j)表示先后投掷的两枚均匀的骰子出现的点数，则
X＝2表示(1，1)；
X＝3表示(1，2)，(2，1)；
X＝4表示(1，3)，(2，2)，(3，1)；
…；
X＝12表示(6，6)．
Y＝1表示(1，1)；
Y＝2表示(1，2)，(2，1)，(2，2)；
Y＝3表示(1，3)，(2，3)，(3，3)，(3，1)，(3，2)；
…；
Y＝6表示(1，6)，(2，6)，…，(6，6)，(6，5)，…，(6，1)．
(1)所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件．
(2)写随机变量表示的结果，要看三个特征：①可用数来表示；②试验之前可以判断其可能出现的所有值；③在试验之前不能确定值．
状元笔记
√
思考题1 (1)抛掷两枚均匀的骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ≥5”表示的试验结果是( )
A．第一枚6点，第二枚2点 B．第一枚5点，第二枚1点
C．第一枚2点，第二枚6点 D．第一枚6点，第二枚1点
(2)小王参加某比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可获得价值分别为1 000元，2 000元，3 000元的奖品(奖品重复设立)，小王三关中每个问题回答正确的概率依次是 ，且每个问题回答时相互没有影响，用X表示小王所获奖品的价值，写出X的所有可能取值及每个值所表示的随机试验的结果．
【答案】 见解析
【解析】 X的所有可能取值为0，1 000，3 000，6 000，
X＝0，表示第一关就没有通过；
X＝1 000，表示第一关通过，而第二关没有通过；
X＝3 000，表示第一、二关通过，而第三关没有通过；
X＝6 000，表示三关都通过．
题型二 离散型随机变量的分布列
√
(2)甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，他通过各项考试的概率依次为 ，且他是否通过每项考试互不影响．记甲同学三个项目中通过的个数为X，求随机变量X的分布列．
【答案】 见解析
【解析】 随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.
∴随机变量X的分布列为：
分布列的两条重要性质
(1)pi≥0，i＝1，2，…，n.
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.
其主要作用是用来判断离散型随机变量的分布列的正确性．
状元笔记
√
思考题2 (1)【多选题】已知随机变量X的分布列如表(其中a为常数)：
则下列计算结果正确的是( )
A．a＝0.1 B．P(X≤2)＝0.7
C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3
X 0 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.4 0.2 a
√
√
【解析】 因为0.1＋0.2＋0.4＋0.2＋a＝1，解得a＝0.1，故A正确；
由分布列知P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝0.1＋0.2＋0.4＝0.7，故B正确；
P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.2＋0.1＝0.3，故C错误；
P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.1＋0.2＝0.3，故D正确．
(2)某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满400元的顾客，将获得一次抽奖机会，规则如下：抽奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球、1个黄球、1个白球和1个黑球，顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止，否则就继续摸球，规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励．
①求1名顾客摸球2次就停止的概率；
②记X为1名顾客抽奖1次获得的奖金数额，求随机变量X的分布列．
题型三 离散型随机变量的均值与方差(微专题)
微专题1 均值与方差的性质
【多选题】设离散型随机变量X的分布列为
若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有( )
A．q＝0.1 B．E(X)＝2，D(X)＝1.4
C．E(X)＝2，D(X)＝1.8 D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2
X 0 1 2 3 4
P q 0.4 0.1 0.2 0.2
√
√
√
【解析】 因为q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正确；由已知可得E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故C正确，B错误；因为Y＝2X＋1，所以E(Y)＝2E(X)＋1＝5，D(Y)＝4D(X)＝7.2，故D正确．
有关离散型随机变量性质问题的解题思路
若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b，a，b为常数，一般思路是先求出E(X)，D(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)求E(Y)，D(Y)；也可以利用X的分布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(Y)，D(Y)．
状元笔记
√
思考题3 (2025·重庆八中期末)设X，Y为随机变量，且E(X)＝2，E(X2)＝6，Y＝2X－1，则D(Y)＝( )
A．9 B．8
C．5 D．4
【解析】 由题意，D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝6－4＝2，故D(Y)＝D(2X＋1)＝22D(X)＝8.故选B.
微专题2 离散型随机变量的均值与方差
(2025·河南郑州模拟预测)某公司拟通过摸球的方式决定员工收到节日红包的数额．在一个不透明的袋子中装有n个形状大小相同的标有面值的球，每位员工从球袋中一次性随机摸取m个球(m≤n)，摸完后全部放回袋中，球上所标的面值之和即为该员工所获得的红包数额．
(1)若n＝4，m＝2，袋中的球有2个所标面值为40元，1个为50元，1个为60元，在员工所获得的红包数额不低于90元的条件下，求取到面值为60元的球的概率；
【解析】 (1)记事件A为员工所获得的红包数额不低于90元，事件B为取到面值为60元的球，
因为球中有2个所标面值为40元，1个为50元，1个为60元，且40＋50≥90，40＋60≥90，50＋60≥90，所以P(A)＝
(2)若n＝5，m＝4，袋中的球有1个所标面值为10元，2个为20元，1个为30元，1个为40元，求员工所获得红包数额的数学期望与方差．
【答案】 (2)数学期望为96，方差为104
【解析】 (2)设X为员工获得的红包数额，则X的所有可能取值为80，90，100，110，
1.求离散型随机变量的分布列的三个步骤
(1)找：理解并确定ξ＝xi的意义，找出随机变量ξ的所有可能的取值xi(i＝1，2，…，n)．
(2)求：借助概率的有关知识求出随机变量ξ取每一个值的概率P(ξ＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n)．注意应用计数原理、古典概型等知识．
(3)列：列出表格并检验所求的概率是否满足分布列的两条性质．
2．求离散型随机变量的均值与方差的方法
(1)写出X的分布列．
(2)由均值的定义求E(X)．
(3)由方差的定义求D(X)．
状元笔记
思考题4 (2025·沧衡八校联考)某单位组织员工进行排球娱乐比赛，比赛规则如下：比赛实行五局三胜制，任何一方率先赢下3局比赛时比赛结束，每一局比赛获胜方得2分，失败方得1分，甲、乙两队相互打比赛，已知甲队每一局获胜的概率均为 .
(1)求甲、乙两队3局结束比赛的概率；
(2)记比赛结束时甲队的得分为η，求η的分布列和期望．
1．求分布列的关键是正确求出随机变量的所有可能取值及对应的概率，要注意避免分类不全面或计算错误的问题．
2．注意运用分布列的两个性质检验求得的分布列的正误．
3．本节求概率分布列的常用方法：
由古典概型、超几何分布求离散型随机变量的分布列．
4．对于离散型随机变量X，P(X＝k)表示的是变量X的值为k时事件发生的概率，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．
本课总结
均值与方差在决策问题中的应用
(2025·四川绵阳模拟)“五一黄金周”期间，某商场为吸引顾客，增加顾客流量，推出购物促销优惠活动，具体优惠方案有两种：方案一：消费金额不满300元，不予优惠，消费金额满300元减60元；方案二：消费金额不满300元，不予优惠，消费金额满300元，可参加一次抽奖活动，活动规则为：从装有3个红球和3个白球共6个球的盒子中任取3个球(这些球除颜色不同其余均相同)，抽奖者根据抽到的红球个数不同将享受不同的优惠折扣，具体优惠如下：
抽到的红球个数 0 1 2 3
优惠折扣 无折扣 九折 八折 七折
(1)若选方案二，现有甲、乙两位顾客各获得一次抽奖机会，求这两位顾客恰好有一人获得八折优惠的概率；
(2)若李女士在该商场消费金额为x元(x>300)，请以李女士实付金额的期望为决策依据，对李女士选择何种优惠方案提出建议．
【答案】 (2)见解析
【解析】 (2)若选方案一：设实付金额为ξ1，则ξ1＝x－60，x>300.
若选方案二：设实付金额为ξ2，则ξ2的所有可能取值有x，0.9x，0.8x，0.7x，x>300.
所以当消费金额大于300元且小于400元时，选择方案一；
当消费金额等于400元时，选择方案一或方案二均可；
当消费金额大于400元时，选择方案二．
随机变量的均值和方差是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
状元笔记
思考题 (2024·新课标Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中1次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率；
【答案】 (1)0.686
【解析】 (1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，
∴比赛成绩不少于5分的概率为P＝(1－0.63)(1－0.53)＝0.686.
(2)假设0(ⅰ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
(ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
【答案】 (2)(ⅰ)由甲参加第一阶段比赛 (ⅱ)由甲参加第一阶段比赛
【解析】 (2)(ⅰ)若甲参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P甲＝[1－(1－p)3]q3＝q3(p3－3p2＋3p)，
若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P乙＝[1－(1－q)3]p3＝p3(q3－3q2＋3q)，
∵0∴P甲－P乙＝3pq(p－q)(pq－p－q)＝3pq(p－q)[(1－p)(1－q)－1]>0，
∴P甲>P乙，则应该由甲参加第一阶段比赛．
(ⅱ)设甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队的比赛成绩为X，则X的所有可能取值为0，5，10，15，
P(X＝0)＝(1－p)3＋[1－(1－p)3]·(1－q)3，
P(X＝5)＝[1－(1－p)3]·C31q(1－q)2，
P(X＝10)＝[1－(1－p)3]·C32q2(1－q)，
P(X＝15)＝[1－(1－p)3]·q3，
∴E(X)＝15[1－(1－p)3]q＝15(p3－3p2＋3p)·q.
设乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队的比赛成绩为Y，则Y的所有可能取值为0，5，10，15，
同理E(Y)＝15(q3－3q2＋3q)·p.
∴E(X)－E(Y)＝15[pq(p＋q)(p－q)－3pq(p－q)]＝15(p－q)pq(p＋q－3)，
因为0则E(X)－E(Y)>0，
∴应该由甲参加第一阶段比赛．
离散型随机变量的分布列、均值与方差
2026年高考数学一轮复习专题课件★★
离散型随机变量的分布列
(1)一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．可能取值为有限个或可以一一列举出来的随机变量，我们称为离散型随机变量．
(2)设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．离散型随机变量的分布列也可以用表格表示：
回归教材
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
根据概率的性质，离散型随机变量分布列具有下述两个性质：
①pi___0，i＝1，2，…，n；
②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝___．
(3)两点分布
如果随机变量X的分布列为：
其中0
P 1－p p
≥
两点分布
1
离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的概率分布列为：
(1)称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ xipi为随机变量X的均值或期望(数学期望)．
(2)称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝ (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称 为随机变量X的标准差，记作σ(X)．
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
离散型随机变量的期望与方差具有的性质
(1)离散型随机变量X的期望E(X)与方差D(X)是一个数值，它们是随机变量X本身所固有的一个数字特征，它们不具有随机性．
(2)离散型随机变量的期望反映随机变量取值的平均水平，而方差反映随机变量取值的离散程度．
(3)若Y＝aX＋b，其中X是离散型随机变量，a，b为常数，则E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X)．
(4)离散型随机变量的期望与方差若存在则必唯一，期望E(X)的值既可为正值也可为负值，而方差的值则一定是一个非负值．
(5)D(X)＝ (xi－E(X))2pi＝ xi2pi－(E(X))2＝E(X2)－(E(X))2.
1．判断下面结论是否正确．(对的打“√”，错的打“×”)
(1)抛掷一枚均匀硬币一次，出现正面向上的次数是随机变量．
夯实双基
答案 (1)√
(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．
答案 (2)√
(3)若随机变量X的分布列如下，则X服从两点分布．
X 2 5
P 0.3 0.7
答案 (3)×
(4)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布．
答案 (4)×
2．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)等于( )
√
3．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值为( )
A．0.2 B．0.4
C．0.8 D．1
√
解析 X的所有可能取值为0，1，
P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝1)＝0.8，E(X)＝0×0.2＋1×0.8＝0.8.
4．【多选题】已知两个离散型随机变量X，Y，满足Y＝2X＋1，其中X的分布列如下：
若E(X)＝1，则( )
√
√
√
5．甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为：
若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是_____．
X 0 1 2 3
P 0.4 0.3 0.2 0.1
Y 0 1 2
P 0.3 0.5 0.2
乙
解析 E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，∵E(Y)
写出下列随机变量的所有可能取值，并说明随机变量所表示的意义．
(1)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X；
【答案】 (1)见解析
【解析】 (1)X的所有可能取值为0，1，2.
X＝0表示所取的三个球中没有白球；
X＝1表示所取的三个球中有1个白球，2个黑球；
X＝2表示所取的三个球中有2个白球，1个黑球．
(2)投掷两枚均匀的骰子，所得点数之和为X，所得点数的最大值为Y.
【答案】 (2)见解析
【解析】 (2)X的所有可能取值有2，3，…，12，Y的所有可能取值为1，2，…，6.若以(i，j)表示先后投掷的两枚均匀的骰子出现的点数，则
X＝2表示(1，1)；
X＝3表示(1，2)，(2，1)；
X＝4表示(1，3)，(2，2)，(3，1)；
…；
X＝12表示(6，6)．
Y＝1表示(1，1)；
Y＝2表示(1，2)，(2，1)，(2，2)；
Y＝3表示(1，3)，(2，3)，(3，3)，(3，1)，(3，2)；
…；
Y＝6表示(1，6)，(2，6)，…，(6，6)，(6，5)，…，(6，1)．
(1)所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件．
(2)写随机变量表示的结果，要看三个特征：①可用数来表示；②试验之前可以判断其可能出现的所有值；③在试验之前不能确定值．
状元笔记
√
思考题1 (1)抛掷两枚均匀的骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ≥5”表示的试验结果是( )
A．第一枚6点，第二枚2点 B．第一枚5点，第二枚1点
C．第一枚2点，第二枚6点 D．第一枚6点，第二枚1点
(2)小王参加某比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可获得价值分别为1 000元，2 000元，3 000元的奖品(奖品重复设立)，小王三关中每个问题回答正确的概率依次是 ，且每个问题回答时相互没有影响，用X表示小王所获奖品的价值，写出X的所有可能取值及每个值所表示的随机试验的结果．
【答案】 见解析
【解析】 X的所有可能取值为0，1 000，3 000，6 000，
X＝0，表示第一关就没有通过；
X＝1 000，表示第一关通过，而第二关没有通过；
X＝3 000，表示第一、二关通过，而第三关没有通过；
X＝6 000，表示三关都通过．
题型二 离散型随机变量的分布列
√
(2)甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，他通过各项考试的概率依次为 ，且他是否通过每项考试互不影响．记甲同学三个项目中通过的个数为X，求随机变量X的分布列．
【答案】 见解析
【解析】 随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.
∴随机变量X的分布列为：
分布列的两条重要性质
(1)pi≥0，i＝1，2，…，n.
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.
其主要作用是用来判断离散型随机变量的分布列的正确性．
状元笔记
√
思考题2 (1)【多选题】已知随机变量X的分布列如表(其中a为常数)：
则下列计算结果正确的是( )
A．a＝0.1 B．P(X≤2)＝0.7
C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3
X 0 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.4 0.2 a
√
√
【解析】 因为0.1＋0.2＋0.4＋0.2＋a＝1，解得a＝0.1，故A正确；
由分布列知P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝0.1＋0.2＋0.4＝0.7，故B正确；
P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.2＋0.1＝0.3，故C错误；
P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.1＋0.2＝0.3，故D正确．
(2)某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满400元的顾客，将获得一次抽奖机会，规则如下：抽奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球、1个黄球、1个白球和1个黑球，顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止，否则就继续摸球，规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励．
①求1名顾客摸球2次就停止的概率；
②记X为1名顾客抽奖1次获得的奖金数额，求随机变量X的分布列．
题型三 离散型随机变量的均值与方差(微专题)
微专题1 均值与方差的性质
【多选题】设离散型随机变量X的分布列为
若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有( )
A．q＝0.1 B．E(X)＝2，D(X)＝1.4
C．E(X)＝2，D(X)＝1.8 D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2
X 0 1 2 3 4
P q 0.4 0.1 0.2 0.2
√
√
√
【解析】 因为q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正确；由已知可得E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故C正确，B错误；因为Y＝2X＋1，所以E(Y)＝2E(X)＋1＝5，D(Y)＝4D(X)＝7.2，故D正确．
有关离散型随机变量性质问题的解题思路
若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b，a，b为常数，一般思路是先求出E(X)，D(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)求E(Y)，D(Y)；也可以利用X的分布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(Y)，D(Y)．
状元笔记
√
思考题3 (2025·重庆八中期末)设X，Y为随机变量，且E(X)＝2，E(X2)＝6，Y＝2X－1，则D(Y)＝( )
A．9 B．8
C．5 D．4
【解析】 由题意，D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝6－4＝2，故D(Y)＝D(2X＋1)＝22D(X)＝8.故选B.
微专题2 离散型随机变量的均值与方差
(2025·河南郑州模拟预测)某公司拟通过摸球的方式决定员工收到节日红包的数额．在一个不透明的袋子中装有n个形状大小相同的标有面值的球，每位员工从球袋中一次性随机摸取m个球(m≤n)，摸完后全部放回袋中，球上所标的面值之和即为该员工所获得的红包数额．
(1)若n＝4，m＝2，袋中的球有2个所标面值为40元，1个为50元，1个为60元，在员工所获得的红包数额不低于90元的条件下，求取到面值为60元的球的概率；
【解析】 (1)记事件A为员工所获得的红包数额不低于90元，事件B为取到面值为60元的球，
因为球中有2个所标面值为40元，1个为50元，1个为60元，且40＋50≥90，40＋60≥90，50＋60≥90，所以P(A)＝
(2)若n＝5，m＝4，袋中的球有1个所标面值为10元，2个为20元，1个为30元，1个为40元，求员工所获得红包数额的数学期望与方差．
【答案】 (2)数学期望为96，方差为104
【解析】 (2)设X为员工获得的红包数额，则X的所有可能取值为80，90，100，110，
1.求离散型随机变量的分布列的三个步骤
(1)找：理解并确定ξ＝xi的意义，找出随机变量ξ的所有可能的取值xi(i＝1，2，…，n)．
(2)求：借助概率的有关知识求出随机变量ξ取每一个值的概率P(ξ＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n)．注意应用计数原理、古典概型等知识．
(3)列：列出表格并检验所求的概率是否满足分布列的两条性质．
2．求离散型随机变量的均值与方差的方法
(1)写出X的分布列．
(2)由均值的定义求E(X)．
(3)由方差的定义求D(X)．
状元笔记
思考题4 (2025·沧衡八校联考)某单位组织员工进行排球娱乐比赛，比赛规则如下：比赛实行五局三胜制，任何一方率先赢下3局比赛时比赛结束，每一局比赛获胜方得2分，失败方得1分，甲、乙两队相互打比赛，已知甲队每一局获胜的概率均为 .
(1)求甲、乙两队3局结束比赛的概率；
(2)记比赛结束时甲队的得分为η，求η的分布列和期望．
1．求分布列的关键是正确求出随机变量的所有可能取值及对应的概率，要注意避免分类不全面或计算错误的问题．
2．注意运用分布列的两个性质检验求得的分布列的正误．
3．本节求概率分布列的常用方法：
由古典概型、超几何分布求离散型随机变量的分布列．
4．对于离散型随机变量X，P(X＝k)表示的是变量X的值为k时事件发生的概率，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．
本课总结
均值与方差在决策问题中的应用
(2025·四川绵阳模拟)“五一黄金周”期间，某商场为吸引顾客，增加顾客流量，推出购物促销优惠活动，具体优惠方案有两种：方案一：消费金额不满300元，不予优惠，消费金额满300元减60元；方案二：消费金额不满300元，不予优惠，消费金额满300元，可参加一次抽奖活动，活动规则为：从装有3个红球和3个白球共6个球的盒子中任取3个球(这些球除颜色不同其余均相同)，抽奖者根据抽到的红球个数不同将享受不同的优惠折扣，具体优惠如下：
抽到的红球个数 0 1 2 3
优惠折扣 无折扣 九折 八折 七折
(1)若选方案二，现有甲、乙两位顾客各获得一次抽奖机会，求这两位顾客恰好有一人获得八折优惠的概率；
(2)若李女士在该商场消费金额为x元(x>300)，请以李女士实付金额的期望为决策依据，对李女士选择何种优惠方案提出建议．
【答案】 (2)见解析
【解析】 (2)若选方案一：设实付金额为ξ1，则ξ1＝x－60，x>300.
若选方案二：设实付金额为ξ2，则ξ2的所有可能取值有x，0.9x，0.8x，0.7x，x>300.
所以当消费金额大于300元且小于400元时，选择方案一；
当消费金额等于400元时，选择方案一或方案二均可；
当消费金额大于400元时，选择方案二．
随机变量的均值和方差是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
状元笔记
思考题 (2024·新课标Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中1次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率；
【答案】 (1)0.686
【解析】 (1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，
∴比赛成绩不少于5分的概率为P＝(1－0.63)(1－0.53)＝0.686.
(2)假设0
(ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
【答案】 (2)(ⅰ)由甲参加第一阶段比赛 (ⅱ)由甲参加第一阶段比赛
【解析】 (2)(ⅰ)若甲参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P甲＝[1－(1－p)3]q3＝q3(p3－3p2＋3p)，
若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P乙＝[1－(1－q)3]p3＝p3(q3－3q2＋3q)，
∵0
∴P甲>P乙，则应该由甲参加第一阶段比赛．
(ⅱ)设甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队的比赛成绩为X，则X的所有可能取值为0，5，10，15，
P(X＝0)＝(1－p)3＋[1－(1－p)3]·(1－q)3，
P(X＝5)＝[1－(1－p)3]·C31q(1－q)2，
P(X＝10)＝[1－(1－p)3]·C32q2(1－q)，
P(X＝15)＝[1－(1－p)3]·q3，
∴E(X)＝15[1－(1－p)3]q＝15(p3－3p2＋3p)·q.
设乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队的比赛成绩为Y，则Y的所有可能取值为0，5，10，15，
同理E(Y)＝15(q3－3q2＋3q)·p.
∴E(X)－E(Y)＝15[pq(p＋q)(p－q)－3pq(p－q)]＝15(p－q)pq(p＋q－3)，
因为0
∴应该由甲参加第一阶段比赛．
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