2026年高考数学一轮复习专题课件：排列与组合(共50张PPT)
文档属性
| 名称 | 2026年高考数学一轮复习专题课件：排列与组合(共50张PPT) |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-19 00:00:00 | ||
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文档简介
(共50张PPT)
排列与组合
2026年高考数学一轮复习专题课件★★
两个概念
(1)排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)组合
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素_________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
回归教材
一定顺序排成一列
作为一组
1
1
排列数与组合数的性质
(1)Cnm＝ ；(2)Cnm＝Cnn－m；(3)Cn＋1m＝Cnm－1＋Cnm；
(4)Anm＝nAn－1m－1；(5)kCnk＝nCn－1k－1；
(6)Cnm＋Cn－1m＋…＋Cm＋1m＋Cmm＝Cn＋1m＋1.
解排列组合题的“16字方针，10个技巧”
(1)“16字方针”是解排列组合题的基本规律，即：有序排列、无序组合；分类为加、分步为乘．
(2)“10个技巧”是速解排列组合题的捷径．即：
①相邻问题捆绑法；②不相邻问题插空法；
③多排问题单排法；④定序问题消序法；
⑤定位问题优先法；⑥有序分配问题分步法；
⑦多元问题分类法；⑧交叉问题集合法；
⑨至少(至多)问题间接法；
⑩选排问题先取后排法．
1．若An3＝12Cn2，则n＝( )
A．8 B．4
C．3或4 D．5或6
夯实双基
√
解析 由题意，根据排列数、组合数的公式，可得An3＝n(n－1)(n－2)，12Cn2＝12× ＝6n(n－1)，则n(n－1)(n－2)＝6n(n－1)，且n∈N*，n≥3，解得n＝8.
2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )
A．144 B．120
C．72 D．24
√
解析 剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A43＝4×3×2＝24.
3．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )
A．24 B．18
C．12 D．6
√
解析 所组成的三位数百位、十位、个位的数字的选择分成两种情况：①奇偶奇；②偶奇奇．对于①，共有C21A32＝12(个)；对于②，共有1×A32＝6(个)．故选B.
4．(课本习题改编)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言；离校时，同学之间两两相互握手一次，共握手________次．(用数字作答)
1 560
780
解析 由题意得A402＝1 560，故全班共写了1 560条毕业留言；共握手C402＝780(次)．
5．(2020·课标全国Ⅱ)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种．
36
解析 依题意，先取2名同学看作一组，选法有C42＝6(种)．
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有A33＝6(种)．
根据分步乘法计数原理，可得不同的安排方法共有6×6＝36(种)．
题型一 排列问题
有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．
(1)选其中5人排成一排；
【答案】 (1)2 520
【解析】 (1)从7个人中选5个人来排列，有A75＝7×6×5×4×3＝2 520种排法．
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
【答案】 (2)5 040
【解析】 (2)分两步完成，先选3人排在前排，有A73种方法，余下4人排在后排，有A44种方法，故共有A73×A44＝5 040种排法．(事实上，本小题即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件)
(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
【答案】 (3)3 600
【解析】 (3)方法一(特殊元素优先法)：甲为特殊元素．先排甲，有5种方法；其余6人有A66种方法，故共有5×A66＝3 600种排法．
方法二(特殊位置优先法)：排头与排尾为特殊位置．排头与排尾从非甲的6个人中选2个排列，有A62种方法，中间5个位置由余下4人和甲进行全排列，有A55种方法，故共有A62×A55＝3 600种排法．
(4)全体排成一排，女生必须站在一起；
【答案】 (4)576
【解析】 (4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A44种方法，再将4名女生进行全排列，也有A44种方法，故共有A44×A44＝576种排法．
(5)全体排成一排，男生互不相邻；
【答案】 (5)1 440
【解析】 (5)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾共5个空位中任选3个空位排男生，有A53种方法，故共有A44×A53＝1 440种排法．
(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人；
【答案】 (6)720
【解析】 (6)(捆绑法)把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先排甲、乙两人，有A22种方法；第二步从余下5人中选3人排在甲、乙中间，有A53种方法；第三步把这个整体与余下2人进行全排列，有A33种方法，故共有A22×A53×A33＝720种排法．
(7)全体排成一排，甲必须排在乙前面；
【答案】 (7)2 520
【解析】 (7)方法一(消序法)：共有 ＝2 520种排法．
方法二(插入法)：先安排甲、乙，共1种排法，再将剩余5人逐个插空，共C31C41C51C61C71种排法．由分步乘法计数原理，总共有1×C31C41C51C61C71＝2 520种排法．
方法三(空位法)：看作有7把椅子，先安排除甲、乙外的5人就坐，有A75种排法，其余两个空位坐甲、乙，由于顺序已定，所以有1种排法．由分步乘法计数原理知总共有A75×1＝2 520种排法．
(8)全部排成一排，甲不排在排头，乙不排在排尾．
【答案】 (8)3 720
【解析】 (8)(间接法)共有A77－2A66＋A55＝3 720种排法．
【讲评】 涉及有限制条件的排列问题时，首先考虑特殊元素的排法或特殊位置上元素的选法，再考虑其他元素或其他位置(这种方法称为特殊元素优先法或特殊位置优先法)．
状元笔记
求解排列应用题的主要方法
直接法 直接列式计算符合条件的排列数
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法 把某些元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空位中
消序法 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列
间接法 正难则反，等价转化的方法
思考题1 (1) 把《高考调研·数学A》必修一、必修
二、选修一、选修二、选修三5本书按如图所示的方式放在
一起，则：
①必修一放在最前面或最后面的不同放法有________种；
②必修一和必修二必须排在一起的不同放法有________种；
③必修一和必修二不能相邻的放法有________种；
④选修一、选修二、选修三互不相邻的放法有________种．
48
48
72
12
【解析】 ①2×A44＝48；
②A22×A44＝48；③A33×A42＝72；④A22×A33＝12.
(2)(2022·新高考Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有( )
A．12种 B．24种
C．36种 D．48种
√
【解析】 先将丙和丁“捆”在一起有A22种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有A33种排列方式，最后在中间两空选一个将甲排入，有C21种排列方式，所以不同的排列方式共有A22A33C21＝24(种)．故选B.
题型二 组合问题
某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各有一名队长．现从中选5人主持某个活动，依下列条件各有多少种选择？
(1)只有一名女生当选；
【答案】 (1)350
【解析】 (1)只有一名女生当选即为有一名女生和四名男生当选，故选法共有C51×C84＝350(种)．
(2)两队长当选；
【答案】 (2)165
【解析】 (2)两队长当选，选法共有C22×C113＝165(种)．
(3)至少有一名队长当选；
【答案】 (3)825
【解析】 (3)至少有一名队长当选含有两类：只有一名队长当选和有两名队长当选．故选法共有C21×C114＋C22×C113＝825(种)，或采用间接法：选法共有C135－C115＝825(种)．
(4)男生甲和女生乙当选；
【答案】 (4)165
【解析】 (4)男生甲和女生乙当选，则需从剩余11人中选3人，故选法共有C113＝165(种)．
(5)最多有两名女生当选．
【答案】 (5)966
【解析】 (5)最多有两名女生当选含有三类：有两名女生当选、只有一名女生当选和没有女生当选．故选法共有C52×C83＋C51×C84＋C85＝966(种)．
状元笔记
1.组合问题常有以下两类题型
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与遗漏，用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
2．有限制条件的组合问题的解题思路
从限制条件入手．组合问题只是从整体中选出部分即可，相对来说较简单．常见情况有：
(1)某些元素必选．
(2)某些元素不选．
(3)把元素分组，根据在各组中分别选多少分类．
√
思考题2 (1)(2025·江西吉安模拟预测)为营造欢乐节日气氛、传承传统习俗，同时又要确保公共安全，某市决定春节期间对烟花爆竹燃放实施“禁改限”，规定可以在农历正月初一到初六及十五在市区A，B两个规定区域燃放烟花爆竹，甲、乙两人各自决定从这7天中选1天去A，B中的一个区域燃放烟花爆竹，若甲、乙两人不在同一天去同一个地方，则选法种数为( )
A．35 B．84
C．91 D．182
【解析】 甲、乙两人不在同一天去同一个地方的选法种数为C71×2×C71×2－7×2＝182.故选D.
(2)(2023·新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)．
64
【解析】 当从8门课中选修2门时，不同的选课方案共有C41C41＝16(种)．
当从8门课中选修3门时，
①若体育类选修课选1门，则不同的选课方案共有C41C42＝24(种)；
②若体育类选修课选2门，则不同的选课方案共有C42C41＝24(种)．
综上所述，不同的选课方案共有16＋24＋24＝64(种)．
题型三 排列、组合综合应用
(1)(2023·全国乙卷，理)甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( )
A．30种 B．60种
C．120种 D．240种
√
【解析】 首先确定相同的读物，共有C61种选法，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里选出两种进行排列，共有A52种选法，根据分步乘法计数原理，共有C61×A52＝120种选法．故选C.
(2)(2025·福建福州三中校考模拟)某国军队计划将5艘不同的军舰全部投入甲、乙、丙三个海上区域进行军事演习，要求每个区域至少投入一艘军舰，且军舰A必须安排在甲区域，则甲区域还有其他军舰的安排方案共有( )
A．14种 B．24种 C．36种 D．50种
√
【解析】 依题意，甲区域除军舰A外至少还有一艘军舰，至多还有两艘军舰．若甲区域除军舰A外还有一艘军舰，则安排方案共有C41×C31×C22×A22＝24(种)；若甲区域除军舰A外还有两艘军舰，则安排方案共有C42×A22＝12(种)．所以甲区域还有其他军舰的安排方案共有24＋12＝36(种)．故选C.
(3)(2025·人大附中模拟)7名股民每人拿出1万元人民币准备购买两种不同的股票，若每种股票至少有2人购买，则不同的购买方法有( )
A．110种 B．112种
C．124种 D．132种
√
【解析】 7名股民每人拿出1万元人民币购买两种不同的股票，每种股票至少有2人购买，其方式有2，5和3，4两种组合．①一种股票2人购买，另一种股票5人购买，有C72A22种方法；②一种股票3人购买，另一种股票4人购买，有C73A22种方法．因此，共有C72A22＋C73A22＝112种购买方法．故选B.
√
思考题3 (1)(2025·河北省邢台市模拟)2024年7月1日迎来了我国建党103周年，6名老党员在这天相约来到革命圣地之一的西柏坡.6名老党员中有3名党员当年在同一个班，他们站成一排拍照留念时，要求同班的3名党员站在一起，且满足条件的每种排法都要拍一张照片，若将照片洗出来，每张照片0.5元(不含过塑费)，且有一半的照片需要过塑，每张过塑费为0.75元．将这些照片平均分给每名老党员(过塑的照片也要平均分)，则每名老党员需要支付的照片费为( )
A．20.5元 B．21元
C．21.5元 D．22元
【解析】 利用捆绑法可得照片的总数为A33A44＝144，则每名老党员需要支付的照片费为 ＝21(元)．故选B.
(2)(2025·陕西模拟)2024年中国足球乙级联赛中的陕西联合足球俱乐部的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同的区域，五位球迷相约看球赛，若每个区域都有人就座，则五人中恰有三人在同一区域的不同就座方式共有( )
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
√
【解析】 要使每个区域都有人就座，且五人中恰有三人在同一区域，可以分成三步完成：
第一步，先从五人中任选三人，有C53种方法；
第二步，再选这三人所在的区域，有C31种方法；
第三步，将另外两人全排列放在余下的两个区域里，有A22种方法．
由分步乘法计数原理，共有C53C31A22＝60种方法．故选B.
(3)某班班会准备从含甲、乙的7人中选4人发言，要求甲、乙两人至少有一人发言，且若甲、乙都发言，则他们发言顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有( )
A．720种 B．520种 C．360种 D．600种
√
【解析】 分两种情况：①若甲、乙只有一人参加，再从剩余的5人中选出3人，将选出的4人进行全排列，则共有C21×C53×A44＝480种发言顺序；②若甲、乙都参加，再从剩余的5人中选出2人，选出的4人在排列时，因为甲、乙不相邻，所以先将另外两人排列，再将甲、乙插空，则共有C52×A22×A32＝120种发言顺序．根据分类加法计数原理可得，共有480＋120＝600种发言顺序．故选D.
【讲评】 求解此类问题一般采用先选后排的方法，选人时需分两种情况，即甲、乙只有一人发言或甲、乙都发言．若甲、乙都发言，将选出的4人进行排列时，需将甲、乙插空．
本课总结
1．计数重复或遗漏的原因在于分类、分步的标准不清，一般来说，应检查分类是否按元素(或特殊元素)的性质进行，分步是否按事件发生的过程进行．
2．画示意图是寻找解题途径的有效手段．
一、不同元素的分组分配问题
按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？
(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
【答案】 (1)60
【解析】 (1)无序不均匀分组问题．先选1本有C61种选法；再从余下的5本中选2本有C52种选法；最后余下3本全选有C33种选法，故共有C61C52C33＝60种分配方式．
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；
【答案】 (2)360
【解析】 (2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)题基础上，还应考虑再分配，共有C61C52C33A33＝360种分配方式．
(3)平均分成三份，每份2本；
【解析】 (3)无序均匀分组问题．先分三步，每步分2本书，应有C62C42C22种分法，但是这里出现了重复．不妨记6本书为A，B，C，D，E，F，若第一步分了AB，第二步分了CD，第三步分了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则C62C42C22种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共A33种情况，而这A33种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有 ＝15(种)．
【答案】 (3)15
(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；
【答案】 (4)90
【解析】 (4)在(3)的基础上，还应考虑再分配，共有15A33＝90种分配方式．
(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；
【答案】 (5)15
【解析】 (5)无序部分均匀分组问题．有 ＝15种分配方式．
(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；
【答案】 (6)90
【解析】 (6)在(5)的基础上，还应考虑再分配，共有15A33＝90种分配方式．
(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本．
【答案】 (7)30
【解析】 (7)从6本中选4本分配给丙，再选1本分配给甲，剩下的一本给乙，故有C64C21＝30种分配方式．
状元笔记
解决分组分配问题的策略
(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Ann(n为均分的组数)，避免重复计数．在分配过程中，要注意是随机分配还是定向分配．
(2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均分的组数的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．在分配过程中，要注意是随机分配还是定向分配．
(3)对于不均匀分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．在分配过程中，要注意是随机分配还是定向分配．
思考题1 (1)现有4份不同的礼物，若将其全部分给甲、乙两人，要求每人至少分得1份，则不同的分法共有( )
A．10种 B．14种
C．20种 D．28种
√
【解析】 4份礼物分2组，甲1份，乙3份或甲2份，乙2份或甲3份，乙1份，即有C41＋C42＋C43＝4＋6＋4＝14种分法．
(2)为进一步了解和巩固拓展脱贫攻坚成果，某县选派7名工作人员到A，B，C三个乡镇进行调研活动，每个乡镇至少去1人，恰有两个乡镇所派人数相同，则不同的安排方式种数为( )
A．1 176 B．2 352
C．1 722 D．1 302
√
【解析】 由题意可知，7名工作人员的分组方式有(1，1，5)，(2，2，3)，(3，3，1)三种情况．
把7名工作人员分为(1，1，5)三组，不同的安排方式共有 ·
A33＝126(种)；
把7名工作人员分为(2，2，3)三组，不同的安排方式共有 ·
A33＝630(种)；
把7名工作人员分为(3，3，1)三组，不同的安排方式有 ·
A33＝420(种)．
综上，不同的安排方式种数为126＋630＋420＝1 176.
(3)(2025·山东淄博两校联合训练)在某场马拉松比赛中，组委会派小王、小李等6名志愿者到甲、乙两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有2位引导员．若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为( )
A．40 B．28 C．20 D．14
√
【解析】 若小王在甲路口，小李在乙路口，则剩余4个人分到两个路口，共有C41C33A22＋ ＝8＋6＝14种方案．同理若小王在乙路口，小李在甲路口，也有14种方案．所以一共有28种不同的安排方案．故选B.
二、相同元素的分组分配问题
(1)(2025·河北唐山模拟)从某校4个班级的学生中选出7名学生参加志愿者服务，若每个班级至少有一名志愿者，则共有________种不同的选法．(用数字作答)
【解析】 直接隔板法：由题意，从4个班级的学生中选出7名志愿者，每个班级至少有一名志愿者，相当于7个球排成一排，然后插3块隔板把它们分成4份，即从中间6个空位中选3个插板，分成四份，共有C63＝20种不同的选法．
20
(2)将20个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子，允许有盒子为空，但球必须放完，不同的放法有( )
A．180种 B．200种
C．230种 D．231种
√
【解析】 借球隔板法：将20个小球分成三组需要两块隔板，因为允许有盒子为空，不符合隔板法的原理，那就人为的再加上3个小球，保证每个盒子都至少分到一个小球，那就符合隔板法的要求了(分完后，再在每组中各去掉一个小球，即满足了题设的要求)．然后就变成待分小球总数为23，球中间有22个空档，需要在这22个空档里加入2个隔板来分隔为3份，共有C222＝231种不同的放法．故选D.
状元笔记
隔板法解决相同元素的分组分配问题
(1)隔板法：指在解决若干相同元素分组，要求每组至少含有一个元素的问题时，采用将比所需分组数目少1的板插入元素之间形成分组的解题策略．也可理解为不定方程的正整数解问题．
(2)注意事项：①所有元素相同；②每组至少含有一个元素；③隔板包含分组＋分配两步；④隔板法不是解决元素相同问题的唯一策略．
思考题2 (1)某中学准备组建一个18人的足球队，这18人由高一年级10个班的学生组成，每个班至少一个名额的分配方案共有________种．
24 310
【解析】 根据题意，将18个名额分配给10个班，每班至少有1个名额，可以转化为18个元素之间有17个间隔，要求分成10份，每份都有元素，相当于用9块挡板插在17个间隔中，共有C179＝24 310种不同方法．
(2)有30个完全相同的苹果，分给4个不同的小朋友，每个小朋友至少分得4个苹果，问有多少种不同的分配方案？( )
A．680 B．816
C．1 360 D．1 456
√
【解析】 根据题意，先取出12个苹果，分给4个小朋友，每人3个，将剩下的18个苹果再分给4个小朋友，每人至少一个，即将剩下的18个苹果排成一排，排好后中间产生17个空位，在17个空位中任选3个，插入挡板，即可以将18个苹果分成4组，分别对应4个小朋友即可，则有C173＝680种分法．故选A.
(3)将20个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，不同放法有多少种？
【答案】 286
【解析】 去球隔板法：先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放0，1，2，3个球，有1种放法(这样剩下14个相同的球且四个盒子每个盒子还需至少放1个球，就可以用隔板法了)．再把剩下的14个球，用3个隔板分成4组放到4个不同的盒子，每组至少1个，共有C133＝286种放法．
排列与组合
2026年高考数学一轮复习专题课件★★
两个概念
(1)排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)组合
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素_________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
回归教材
一定顺序排成一列
作为一组
1
1
排列数与组合数的性质
(1)Cnm＝ ；(2)Cnm＝Cnn－m；(3)Cn＋1m＝Cnm－1＋Cnm；
(4)Anm＝nAn－1m－1；(5)kCnk＝nCn－1k－1；
(6)Cnm＋Cn－1m＋…＋Cm＋1m＋Cmm＝Cn＋1m＋1.
解排列组合题的“16字方针，10个技巧”
(1)“16字方针”是解排列组合题的基本规律，即：有序排列、无序组合；分类为加、分步为乘．
(2)“10个技巧”是速解排列组合题的捷径．即：
①相邻问题捆绑法；②不相邻问题插空法；
③多排问题单排法；④定序问题消序法；
⑤定位问题优先法；⑥有序分配问题分步法；
⑦多元问题分类法；⑧交叉问题集合法；
⑨至少(至多)问题间接法；
⑩选排问题先取后排法．
1．若An3＝12Cn2，则n＝( )
A．8 B．4
C．3或4 D．5或6
夯实双基
√
解析 由题意，根据排列数、组合数的公式，可得An3＝n(n－1)(n－2)，12Cn2＝12× ＝6n(n－1)，则n(n－1)(n－2)＝6n(n－1)，且n∈N*，n≥3，解得n＝8.
2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )
A．144 B．120
C．72 D．24
√
解析 剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A43＝4×3×2＝24.
3．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )
A．24 B．18
C．12 D．6
√
解析 所组成的三位数百位、十位、个位的数字的选择分成两种情况：①奇偶奇；②偶奇奇．对于①，共有C21A32＝12(个)；对于②，共有1×A32＝6(个)．故选B.
4．(课本习题改编)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言；离校时，同学之间两两相互握手一次，共握手________次．(用数字作答)
1 560
780
解析 由题意得A402＝1 560，故全班共写了1 560条毕业留言；共握手C402＝780(次)．
5．(2020·课标全国Ⅱ)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种．
36
解析 依题意，先取2名同学看作一组，选法有C42＝6(种)．
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有A33＝6(种)．
根据分步乘法计数原理，可得不同的安排方法共有6×6＝36(种)．
题型一 排列问题
有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．
(1)选其中5人排成一排；
【答案】 (1)2 520
【解析】 (1)从7个人中选5个人来排列，有A75＝7×6×5×4×3＝2 520种排法．
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
【答案】 (2)5 040
【解析】 (2)分两步完成，先选3人排在前排，有A73种方法，余下4人排在后排，有A44种方法，故共有A73×A44＝5 040种排法．(事实上，本小题即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件)
(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
【答案】 (3)3 600
【解析】 (3)方法一(特殊元素优先法)：甲为特殊元素．先排甲，有5种方法；其余6人有A66种方法，故共有5×A66＝3 600种排法．
方法二(特殊位置优先法)：排头与排尾为特殊位置．排头与排尾从非甲的6个人中选2个排列，有A62种方法，中间5个位置由余下4人和甲进行全排列，有A55种方法，故共有A62×A55＝3 600种排法．
(4)全体排成一排，女生必须站在一起；
【答案】 (4)576
【解析】 (4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A44种方法，再将4名女生进行全排列，也有A44种方法，故共有A44×A44＝576种排法．
(5)全体排成一排，男生互不相邻；
【答案】 (5)1 440
【解析】 (5)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾共5个空位中任选3个空位排男生，有A53种方法，故共有A44×A53＝1 440种排法．
(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人；
【答案】 (6)720
【解析】 (6)(捆绑法)把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先排甲、乙两人，有A22种方法；第二步从余下5人中选3人排在甲、乙中间，有A53种方法；第三步把这个整体与余下2人进行全排列，有A33种方法，故共有A22×A53×A33＝720种排法．
(7)全体排成一排，甲必须排在乙前面；
【答案】 (7)2 520
【解析】 (7)方法一(消序法)：共有 ＝2 520种排法．
方法二(插入法)：先安排甲、乙，共1种排法，再将剩余5人逐个插空，共C31C41C51C61C71种排法．由分步乘法计数原理，总共有1×C31C41C51C61C71＝2 520种排法．
方法三(空位法)：看作有7把椅子，先安排除甲、乙外的5人就坐，有A75种排法，其余两个空位坐甲、乙，由于顺序已定，所以有1种排法．由分步乘法计数原理知总共有A75×1＝2 520种排法．
(8)全部排成一排，甲不排在排头，乙不排在排尾．
【答案】 (8)3 720
【解析】 (8)(间接法)共有A77－2A66＋A55＝3 720种排法．
【讲评】 涉及有限制条件的排列问题时，首先考虑特殊元素的排法或特殊位置上元素的选法，再考虑其他元素或其他位置(这种方法称为特殊元素优先法或特殊位置优先法)．
状元笔记
求解排列应用题的主要方法
直接法 直接列式计算符合条件的排列数
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法 把某些元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空位中
消序法 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列
间接法 正难则反，等价转化的方法
思考题1 (1) 把《高考调研·数学A》必修一、必修
二、选修一、选修二、选修三5本书按如图所示的方式放在
一起，则：
①必修一放在最前面或最后面的不同放法有________种；
②必修一和必修二必须排在一起的不同放法有________种；
③必修一和必修二不能相邻的放法有________种；
④选修一、选修二、选修三互不相邻的放法有________种．
48
48
72
12
【解析】 ①2×A44＝48；
②A22×A44＝48；③A33×A42＝72；④A22×A33＝12.
(2)(2022·新高考Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有( )
A．12种 B．24种
C．36种 D．48种
√
【解析】 先将丙和丁“捆”在一起有A22种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有A33种排列方式，最后在中间两空选一个将甲排入，有C21种排列方式，所以不同的排列方式共有A22A33C21＝24(种)．故选B.
题型二 组合问题
某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各有一名队长．现从中选5人主持某个活动，依下列条件各有多少种选择？
(1)只有一名女生当选；
【答案】 (1)350
【解析】 (1)只有一名女生当选即为有一名女生和四名男生当选，故选法共有C51×C84＝350(种)．
(2)两队长当选；
【答案】 (2)165
【解析】 (2)两队长当选，选法共有C22×C113＝165(种)．
(3)至少有一名队长当选；
【答案】 (3)825
【解析】 (3)至少有一名队长当选含有两类：只有一名队长当选和有两名队长当选．故选法共有C21×C114＋C22×C113＝825(种)，或采用间接法：选法共有C135－C115＝825(种)．
(4)男生甲和女生乙当选；
【答案】 (4)165
【解析】 (4)男生甲和女生乙当选，则需从剩余11人中选3人，故选法共有C113＝165(种)．
(5)最多有两名女生当选．
【答案】 (5)966
【解析】 (5)最多有两名女生当选含有三类：有两名女生当选、只有一名女生当选和没有女生当选．故选法共有C52×C83＋C51×C84＋C85＝966(种)．
状元笔记
1.组合问题常有以下两类题型
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与遗漏，用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
2．有限制条件的组合问题的解题思路
从限制条件入手．组合问题只是从整体中选出部分即可，相对来说较简单．常见情况有：
(1)某些元素必选．
(2)某些元素不选．
(3)把元素分组，根据在各组中分别选多少分类．
√
思考题2 (1)(2025·江西吉安模拟预测)为营造欢乐节日气氛、传承传统习俗，同时又要确保公共安全，某市决定春节期间对烟花爆竹燃放实施“禁改限”，规定可以在农历正月初一到初六及十五在市区A，B两个规定区域燃放烟花爆竹，甲、乙两人各自决定从这7天中选1天去A，B中的一个区域燃放烟花爆竹，若甲、乙两人不在同一天去同一个地方，则选法种数为( )
A．35 B．84
C．91 D．182
【解析】 甲、乙两人不在同一天去同一个地方的选法种数为C71×2×C71×2－7×2＝182.故选D.
(2)(2023·新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)．
64
【解析】 当从8门课中选修2门时，不同的选课方案共有C41C41＝16(种)．
当从8门课中选修3门时，
①若体育类选修课选1门，则不同的选课方案共有C41C42＝24(种)；
②若体育类选修课选2门，则不同的选课方案共有C42C41＝24(种)．
综上所述，不同的选课方案共有16＋24＋24＝64(种)．
题型三 排列、组合综合应用
(1)(2023·全国乙卷，理)甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( )
A．30种 B．60种
C．120种 D．240种
√
【解析】 首先确定相同的读物，共有C61种选法，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里选出两种进行排列，共有A52种选法，根据分步乘法计数原理，共有C61×A52＝120种选法．故选C.
(2)(2025·福建福州三中校考模拟)某国军队计划将5艘不同的军舰全部投入甲、乙、丙三个海上区域进行军事演习，要求每个区域至少投入一艘军舰，且军舰A必须安排在甲区域，则甲区域还有其他军舰的安排方案共有( )
A．14种 B．24种 C．36种 D．50种
√
【解析】 依题意，甲区域除军舰A外至少还有一艘军舰，至多还有两艘军舰．若甲区域除军舰A外还有一艘军舰，则安排方案共有C41×C31×C22×A22＝24(种)；若甲区域除军舰A外还有两艘军舰，则安排方案共有C42×A22＝12(种)．所以甲区域还有其他军舰的安排方案共有24＋12＝36(种)．故选C.
(3)(2025·人大附中模拟)7名股民每人拿出1万元人民币准备购买两种不同的股票，若每种股票至少有2人购买，则不同的购买方法有( )
A．110种 B．112种
C．124种 D．132种
√
【解析】 7名股民每人拿出1万元人民币购买两种不同的股票，每种股票至少有2人购买，其方式有2，5和3，4两种组合．①一种股票2人购买，另一种股票5人购买，有C72A22种方法；②一种股票3人购买，另一种股票4人购买，有C73A22种方法．因此，共有C72A22＋C73A22＝112种购买方法．故选B.
√
思考题3 (1)(2025·河北省邢台市模拟)2024年7月1日迎来了我国建党103周年，6名老党员在这天相约来到革命圣地之一的西柏坡.6名老党员中有3名党员当年在同一个班，他们站成一排拍照留念时，要求同班的3名党员站在一起，且满足条件的每种排法都要拍一张照片，若将照片洗出来，每张照片0.5元(不含过塑费)，且有一半的照片需要过塑，每张过塑费为0.75元．将这些照片平均分给每名老党员(过塑的照片也要平均分)，则每名老党员需要支付的照片费为( )
A．20.5元 B．21元
C．21.5元 D．22元
【解析】 利用捆绑法可得照片的总数为A33A44＝144，则每名老党员需要支付的照片费为 ＝21(元)．故选B.
(2)(2025·陕西模拟)2024年中国足球乙级联赛中的陕西联合足球俱乐部的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同的区域，五位球迷相约看球赛，若每个区域都有人就座，则五人中恰有三人在同一区域的不同就座方式共有( )
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
√
【解析】 要使每个区域都有人就座，且五人中恰有三人在同一区域，可以分成三步完成：
第一步，先从五人中任选三人，有C53种方法；
第二步，再选这三人所在的区域，有C31种方法；
第三步，将另外两人全排列放在余下的两个区域里，有A22种方法．
由分步乘法计数原理，共有C53C31A22＝60种方法．故选B.
(3)某班班会准备从含甲、乙的7人中选4人发言，要求甲、乙两人至少有一人发言，且若甲、乙都发言，则他们发言顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有( )
A．720种 B．520种 C．360种 D．600种
√
【解析】 分两种情况：①若甲、乙只有一人参加，再从剩余的5人中选出3人，将选出的4人进行全排列，则共有C21×C53×A44＝480种发言顺序；②若甲、乙都参加，再从剩余的5人中选出2人，选出的4人在排列时，因为甲、乙不相邻，所以先将另外两人排列，再将甲、乙插空，则共有C52×A22×A32＝120种发言顺序．根据分类加法计数原理可得，共有480＋120＝600种发言顺序．故选D.
【讲评】 求解此类问题一般采用先选后排的方法，选人时需分两种情况，即甲、乙只有一人发言或甲、乙都发言．若甲、乙都发言，将选出的4人进行排列时，需将甲、乙插空．
本课总结
1．计数重复或遗漏的原因在于分类、分步的标准不清，一般来说，应检查分类是否按元素(或特殊元素)的性质进行，分步是否按事件发生的过程进行．
2．画示意图是寻找解题途径的有效手段．
一、不同元素的分组分配问题
按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？
(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
【答案】 (1)60
【解析】 (1)无序不均匀分组问题．先选1本有C61种选法；再从余下的5本中选2本有C52种选法；最后余下3本全选有C33种选法，故共有C61C52C33＝60种分配方式．
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；
【答案】 (2)360
【解析】 (2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)题基础上，还应考虑再分配，共有C61C52C33A33＝360种分配方式．
(3)平均分成三份，每份2本；
【解析】 (3)无序均匀分组问题．先分三步，每步分2本书，应有C62C42C22种分法，但是这里出现了重复．不妨记6本书为A，B，C，D，E，F，若第一步分了AB，第二步分了CD，第三步分了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则C62C42C22种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共A33种情况，而这A33种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有 ＝15(种)．
【答案】 (3)15
(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；
【答案】 (4)90
【解析】 (4)在(3)的基础上，还应考虑再分配，共有15A33＝90种分配方式．
(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；
【答案】 (5)15
【解析】 (5)无序部分均匀分组问题．有 ＝15种分配方式．
(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；
【答案】 (6)90
【解析】 (6)在(5)的基础上，还应考虑再分配，共有15A33＝90种分配方式．
(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本．
【答案】 (7)30
【解析】 (7)从6本中选4本分配给丙，再选1本分配给甲，剩下的一本给乙，故有C64C21＝30种分配方式．
状元笔记
解决分组分配问题的策略
(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Ann(n为均分的组数)，避免重复计数．在分配过程中，要注意是随机分配还是定向分配．
(2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均分的组数的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．在分配过程中，要注意是随机分配还是定向分配．
(3)对于不均匀分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．在分配过程中，要注意是随机分配还是定向分配．
思考题1 (1)现有4份不同的礼物，若将其全部分给甲、乙两人，要求每人至少分得1份，则不同的分法共有( )
A．10种 B．14种
C．20种 D．28种
√
【解析】 4份礼物分2组，甲1份，乙3份或甲2份，乙2份或甲3份，乙1份，即有C41＋C42＋C43＝4＋6＋4＝14种分法．
(2)为进一步了解和巩固拓展脱贫攻坚成果，某县选派7名工作人员到A，B，C三个乡镇进行调研活动，每个乡镇至少去1人，恰有两个乡镇所派人数相同，则不同的安排方式种数为( )
A．1 176 B．2 352
C．1 722 D．1 302
√
【解析】 由题意可知，7名工作人员的分组方式有(1，1，5)，(2，2，3)，(3，3，1)三种情况．
把7名工作人员分为(1，1，5)三组，不同的安排方式共有 ·
A33＝126(种)；
把7名工作人员分为(2，2，3)三组，不同的安排方式共有 ·
A33＝630(种)；
把7名工作人员分为(3，3，1)三组，不同的安排方式有 ·
A33＝420(种)．
综上，不同的安排方式种数为126＋630＋420＝1 176.
(3)(2025·山东淄博两校联合训练)在某场马拉松比赛中，组委会派小王、小李等6名志愿者到甲、乙两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有2位引导员．若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为( )
A．40 B．28 C．20 D．14
√
【解析】 若小王在甲路口，小李在乙路口，则剩余4个人分到两个路口，共有C41C33A22＋ ＝8＋6＝14种方案．同理若小王在乙路口，小李在甲路口，也有14种方案．所以一共有28种不同的安排方案．故选B.
二、相同元素的分组分配问题
(1)(2025·河北唐山模拟)从某校4个班级的学生中选出7名学生参加志愿者服务，若每个班级至少有一名志愿者，则共有________种不同的选法．(用数字作答)
【解析】 直接隔板法：由题意，从4个班级的学生中选出7名志愿者，每个班级至少有一名志愿者，相当于7个球排成一排，然后插3块隔板把它们分成4份，即从中间6个空位中选3个插板，分成四份，共有C63＝20种不同的选法．
20
(2)将20个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子，允许有盒子为空，但球必须放完，不同的放法有( )
A．180种 B．200种
C．230种 D．231种
√
【解析】 借球隔板法：将20个小球分成三组需要两块隔板，因为允许有盒子为空，不符合隔板法的原理，那就人为的再加上3个小球，保证每个盒子都至少分到一个小球，那就符合隔板法的要求了(分完后，再在每组中各去掉一个小球，即满足了题设的要求)．然后就变成待分小球总数为23，球中间有22个空档，需要在这22个空档里加入2个隔板来分隔为3份，共有C222＝231种不同的放法．故选D.
状元笔记
隔板法解决相同元素的分组分配问题
(1)隔板法：指在解决若干相同元素分组，要求每组至少含有一个元素的问题时，采用将比所需分组数目少1的板插入元素之间形成分组的解题策略．也可理解为不定方程的正整数解问题．
(2)注意事项：①所有元素相同；②每组至少含有一个元素；③隔板包含分组＋分配两步；④隔板法不是解决元素相同问题的唯一策略．
思考题2 (1)某中学准备组建一个18人的足球队，这18人由高一年级10个班的学生组成，每个班至少一个名额的分配方案共有________种．
24 310
【解析】 根据题意，将18个名额分配给10个班，每班至少有1个名额，可以转化为18个元素之间有17个间隔，要求分成10份，每份都有元素，相当于用9块挡板插在17个间隔中，共有C179＝24 310种不同方法．
(2)有30个完全相同的苹果，分给4个不同的小朋友，每个小朋友至少分得4个苹果，问有多少种不同的分配方案？( )
A．680 B．816
C．1 360 D．1 456
√
【解析】 根据题意，先取出12个苹果，分给4个小朋友，每人3个，将剩下的18个苹果再分给4个小朋友，每人至少一个，即将剩下的18个苹果排成一排，排好后中间产生17个空位，在17个空位中任选3个，插入挡板，即可以将18个苹果分成4组，分别对应4个小朋友即可，则有C173＝680种分法．故选A.
(3)将20个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，不同放法有多少种？
【答案】 286
【解析】 去球隔板法：先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放0，1，2，3个球，有1种放法(这样剩下14个相同的球且四个盒子每个盒子还需至少放1个球，就可以用隔板法了)．再把剩下的14个球，用3个隔板分成4组放到4个不同的盒子，每组至少1个，共有C133＝286种放法．
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