2026年高考数学一轮复习专题课件：二项式定理(共75张PPT)

(共75张PPT)
　二项式定理
2026年高考数学一轮复习专题课件★★
二项式定理的内容
(1)(a＋b)n＝______________________________________________．
(2)第r＋1项Tr＋1＝_________．
(3)第r＋1项的二项式系数为__________________．
二项式定理的常用变形
(1)(a－b)n＝Cn0an＋(－1)1Cn1an－1b＋…＋(－1)rCnran－rbr＋…＋(－1)nCnnbn.
(2)(1＋x)n＝Cn0＋Cn1x＋…＋Cnrxr＋…＋Cnnxn.
回归教材
Cn0an＋Cn1an－1b1＋…＋Cnran－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N*)
Cnran－rbr
Cnr(r＝0，1，…，n)
二项式系数与项的系数的区别
(a＋bx)n的展开式中，二项式系数是指Cn0，Cn1，…，Cnn，它们是组合数，只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．如(a＋bx)n的展开式中第r＋1项的二项式系数是Cnr，而该项的系数是Cnran－rbr.当然，在某些特殊的二项展开式(如(1＋x)n)中，各项的系数与二项式系数是相等的.
二项式系数的性质
(1)对称性：当0≤r≤n时，Cnr与Cnn－r的关系是_____．
(2)增减性与最大值：二项式系数先增后减．①当n为偶数时，第______项的二项式系数最大，最大值为_____，②当n为奇数时，第_______________项的二项式系数最大，最大值为__________________．
(3)各二项式系数和：Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝____，
Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝____，
Cn1＋Cn3＋Cn5＋…＝____．
相等
2n
2n－1
2n－1
1．判断下面结论是否正确．(对的打“√”，错的打“×”)
(1)Cnran－rbr是(a＋b)n的展开式中的第r项．
夯实双基
答案　(1)×
(2)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．
答案　(2)×
(3)在(1－x)9的展开式中，系数最大的项是第5项和第6项．
答案　(3)×
(4)在(a＋b)n的展开式中，每一项的二项式系数与a，b无关．
答案　(4)√
(5)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.
答案　(5)×
(6)(a＋bx)n的展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同．
答案　(6)×
2．(2025·山东聊城质检)(x＋2y)5·(x－3y)的展开式中x3y3项的系数为(　　)
A．－120　　　　　　　　 B．－40
C．80 D．200
√
解析　(x＋2y)5的展开式通项为Tk＋1＝C5k·x5－k·(2y)k＝C5k·2k·x5－kyk，
因为(x＋2y)5(x－3y)＝x(x＋2y)5－3y(x＋2y)5，
在xTk＋1＝C5k·2k·x6－kyk中，令6－k＝3可得k＝3，
在yTk＋1＝C5k·2k·x5－kyk＋1中，令5－k＝3可得k＝2，
因此，展开式中x3y3项的系数为C53×23－3C52×22＝－40.
3．(2022·北京)若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝(　　)
A．40 B．41
C．－40 D．－41
√
解析　方法一(赋值法)：依题意，令x＝1，可得1＝a4＋a3＋a2＋a1＋a0，令x＝－1，可得81＝a4－a3＋a2－a1＋a0，以上两式相加可得82＝2(a4＋a2＋a0)，所以a0＋a2＋a4＝41，故选B.
方法二(通项公式法)：(2x－1)4的展开式通项为Tr＋1＝C4r(2x)4－r(－1)r，分别令r＝4，2，0，可得a0＝1，a2＝24，a4＝16，所以a0＋a2＋a4＝41，故选B.
4．【多选题】已知 的展开式共有13项，则下列说法中正确的是(　　)
A．所有项的系数和为312
B．所有奇数项的二项式系数和为211
C．二项式系数最大的项为第6项或第7项
D．有理项共有5项
√
√
－4　
3
题型一　 求展开式中的特定项(微专题)
(2)在(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)n＋2的展开式中，含x2项的系数是多少？
【答案】　Cn＋33－1
【解析】　(1＋x)k(3≤k≤n＋2)中x2的系数为Ck2，从而含x2项的系数是C32＋C42＋…＋Cn＋22＝C33＋C32＋C42＋…＋Cn＋22－1＝C43＋C42＋…＋Cn＋22－1＝Cn＋33－1.
(3)(2025·南师大附中模拟)设(2x－3)2 023＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a2 023(x－1)2 023，则a2 023＝________．
22 023
【解析】　∵(2x－3)2 023＝[2(x－1)－1]2 023＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a2 023(x－1)2 023，
∴T1＝C2 0230[2(x－1)]2 023(－1)0，
∴a2 023＝22 023.
二项展开式中特定项的求法
(1)求二项展开式中的有理项，是求通项公式中未知数的指数恰好都是整数的项．解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解．
(2)求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方法与求有理项一致．
状元笔记
√
∴r＝0，6，12，18，24，30时为有理项，共6项，故无理项共有31－6＝25(项)．故选D.
(2)已知(1－2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，若an＝256，则n＝________，a4＝________．
8
1 120
【解析】　因为(1－2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，所以an＝(－2)n，又an＝256，所以(－2)n＝256，解得n＝8.又(1－2x)8的展开式的通项为Tr＋1＝C8r(－2x)r＝C8r(－2)rxr，令r＝4，则T5＝C84(－2)4x4＝1 120x4，所以a4＝1 120.
微专题2　两个多项式积的展开式
(1)(2025·河北调研)已知(x＋2)4(2x2＋3x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则a4＝________．
72
【解析】　(x＋2)4的展开式的通项为Tr＋1＝C4rx4－r·2r，则T2＝C41x3·2＝8x3，T3＝C42x2·22＝24x2，则a4＝24×2＋8×3＝72.
－28
(2)(2022·新高考Ⅰ卷) (x＋y)8的展开式中x2y6的系数为______(用数字作答)．
【解析】　(x＋y)8的展开式的通项Tr＋1＝C8rx8－ryr，r＝0，1，…，7，8.令r＝6，得T6＋1＝C86x2y6，令r＝5，得T5＋1＝C85x3y5，所以 (x＋y)8的展开式中x2y6的系数为C86－C85＝－28.
求几个多项式积的展开式中特定项(系数)的方法
(1)对每一个二项式展开，利用多项式乘法法则对其展开即可．
(2)先利用运算性质对其进行化简，再利用二项式定理进行展开．
状元笔记
√
思考题2　(1)(2019·课标全国Ⅲ)(1＋2x2 )(1＋x)4的展开式中x3的系数为(　　)
A．12 B．16
C．20 D．24
【解析】　由题意得x3的系数为C43＋2C41＝4＋8＝12.故选A.
(2)(2025·河北省高三质量监测)已知(x＋2)2(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则a3＝________，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝________．
4
－4
【解析】　x2·C43·x·(－1)3＋4x·C42·x2· (－1)2＋4·C41·x3·(－1)＝－4x3＋24x3－16x3＝4x3，故a3＝4.
令x＝0，即4＝a0，
令x＝1，即0＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6，
∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝－4.
(3) (x＋2y)5的展开式中，含x3y2项的系数是________．
150
【解析】　(x＋2y)5展开式的通项为Tr＋1＝C5rx5－r(2y)r＝2rC5rx5－ryr，则含x3y2的项由 与含x2y3的项相乘产生，或由 与含x4y的项相乘产生，所求系数为2×23C53－2C51＝150.
√
微专题3　三项展开式的特定项
(1)(2025·浙江杭州开学考)在 的展开式中， 的系数为(　　)
A．60 B．－60
C．120 D．－120
(2)(2025·黑龙江大庆实验中学月考)已知 的展开式的各项系数和为32，则该展开式中的常数项为(　　)
A．－40 B．81
C．80 D．121
√
【解析】　令x＝1，则a5＝32，解得a＝2.
令r－2k＝0，
得r＝k＝0或r＝2，k＝1或r＝4，k＝2.
∴该展开式中的常数项＝1－C52×2C21＋C54×22×C42＝81.
故选B.
求三项展开式中特定项(系数)的方法
(1)通过变形先把三项式化为二项式，再用二项式定理求解．
(2)两次利用二项展开式的通项求解．
(3)利用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项需看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．
状元笔记
√
思考题3　(1)在(x2－2x－3)5的展开式中含x10和含x2的项的系数之和为(　　)
A．－674 B．－675
C．－1 080 D．1 485
【解析】　(x2－2x－3)5＝(x－3)5(x＋1)5，则x10的系数为1，
x2的系数为C54(－3)4C54＋C53(－3)3＋C55(－3)5C53＝－675，所以在(x2－2x－3)5的展开式中含x10和含x2的项的系数之和为－675＋1＝－674.故选A.
(2) 的展开式中，x3y3的系数是________．(用数字作答)
【解析】 　 表示6个因式x2－ ＋y的乘积，在这6个因式中，有3个因式选y，其余的3个因式中有2个选x2，剩下一个选－ ，即可得到x3y3的系数，即x3y3的系数是C63C32×(－2)＝20×3×(－2)＝－120.
－120
题型二　 展开式的系数和问题
已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.
求：(1)a1＋a2＋…＋a7；
【答案】　(1)－2
【解析】　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.?
令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.?
(1)∵a0＝C70＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
【答案】　(2)－1 094
【解析】　(2)(?－?)÷2，
得a1＋a3＋a5＋a7＝ ＝－1 094.
(3)a0＋a2＋a4＋a6；
【答案】　(3)1 093
【解析】　(3)(?＋?)÷2，
得a0＋a2＋a4＋a6＝ ＝1 093.
(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
【答案】　(4)2 187
【解析】　(4)∵(1－2x)7的展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|
＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)．
∴由(2)(3)即可得其值为2 187.
本题采用的是“赋值法”，它普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，在解有关问题时，经常要用到这种方法．
(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．
(2)对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(3)一般地，若f (x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f (x)的展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝ ，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝ .
状元笔记
√
√
√
(2)【多选题】(2025·辽宁实验中学校考模拟预测)已知(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，则(　　)
A．展开式中所有项的系数和为－1
B．展开式中二项式系数最大的项为第1 012项
C.
D．a1＋2a2＋3a3＋…＋2 023a2 023＝2 023
√
√
【解析】　令x＝1，则展开式的各项系数和为(1－2)2 023＝－1，A正确；因为n＝2 023，所以展开式中二项式系数最大的项为第1 012项与第1 013项，B错误；令x＝0，则a0＝1，令x＝ ，则a0＋ =
＝0，所以 ＝－1，C正确；已知关系式两边同时求导，则2 023(1－2x)2 022×(－2)＝a1＋2a2x＋…＋2 023a2 023x2 022，令x＝1，则a1＋2a2＋…＋2 023a2 023＝2 023×(1－2)2 022×(－2)＝－4 046，D错误．故选AC.
题型三　 展开式系数最大值问题
已知 的展开式中前三项的系数成等差数列．
(1)求二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
1.二项式系数最大项的确定方法
(1)若n是偶数，则中间一项 的二项式系数最大．
(2)若n是奇数，则中间两项 的二项式系数相等且最大．
2．二项展开式系数最大项的求法
如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第r项系数最大，应用 解出r.
状元笔记
思考题5　(1)(2024·全国甲卷，理) 的展开式中，各项系数中的最大值为________．
5
(2)【多选题】关于(a－b)11的说法，正确的是(　　)
A．展开式中的二项式系数之和为2 048
B．展开式中只有第6项的二项式系数最大
C．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最小
√
√
√
【解析】　由二项式系数的性质知，(a－b)11的二项式系数之和为211＝2 048，故A正确；
因为(a－b)11的展开式共有12项，中间两项的二项式系数最大，即第6项和第7项的二项式系数最大，故C正确，B错误；
因为展开式中第6项的系数是负数，且绝对值最大，所以展开式中第6项的系数最小，故D正确．
(3)(2023·上海)已知(1＋2 023x)100＋(2 023－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，其中a0，a1，a2，…，a100∈R，若0≤k≤100且k∈N，当ak<0时，k的最大值为________．
49
【解析】　xk的系数为ak＝C100k2 023k＋C100k2 023100－k(－1)k＝C100k2 023k[1＋2 023100－2k(－1)k]，k＝0，1，2，…，100，要使ak<0，则k必为奇数，且2 023100－2k>1，∴100－2k>0，即k<50，∴k的最大值为49.
题型四　 二项式定理的综合应用
(1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512 025＋a能被13整除，则a等于(　　)
A．0 B．1
C．11 D．12
√
【解析】　因为a∈Z，且0≤a≤13，所以512 025＋a＝(52－1)2 025＋a＝C2 0250·522 025－C2 0251·522 024＋C2 0252·522 023－…＋C2 0252 024·52－C2 0252 025＋a，
因为512 025＋a能被13整除，
所以－C2 0252 025＋a＝－1＋a能被13整除，又0≤a≤13，所以a＝1.
(2)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是(　　)
A．1.23 B．1.24
C．1.33 D．1.34
√
【解析】　1.056＝(1＋0.05)6＝C60＋C61×0.05＋C62×0.052＋…＋C66×0.056＝1＋0.3＋0.037 5＋…＋0.056≈1.34.
【答案】　证明见解析
(1)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.
(2)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式(数)的因式．
(3)由于(a＋b)n的展开式共有n＋1项，故可以通过对某些项的取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的．
状元笔记
思考题6　(1)0.99910≈________．(精确到0.01)
0.99
(2)求S＝C271＋C272＋…＋C2727除以9的余数．
【解析】　S＝C271＋C272＋…＋C2727
＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1
＝C90×99－C91×98＋…＋C98×9－C99－1
＝9(C90×98－C91×97＋…＋C98)－2
＝9(C90×98－C91×97＋…＋C98－1)＋7.
显然上式括号内的数是正整数．
故S除以9的余数为7.
【答案】　7
(3)当n∈N且n>2时，证明：3n>(n＋2)·2n－1.
【答案】　证明见解析
【证明】　∵n>2，∴3n＝(2＋1)n展开后至少有4项，∴3n＝(2＋1)n＝2n＋Cn1·2n－1＋…＋Cnn－1·2＋1≥2n＋n·2n－1＋2n＋1>2n＋n·2n－1＝(n＋2)·2n－1.
1．通项公式最常用，是解题的基础．
2．对三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为分组、配方、因式分解，分组时要注意结合的合理性和简捷性．
3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性．
4．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．
本课总结
(1)当n∈N时，将(x2＋x＋1)n展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角”：
若在(1＋ax)(x2＋x＋1)5的展开式中，x7的系数为－15，则实数a的值为(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．－1
C．2 D．－2
√
【解析】　由“广义杨辉三角”，得(x2＋x＋1)5＝x10＋5x9＋15x8＋30x7＋45x6＋51x5＋45x4＋30x3＋15x2＋5x＋1，
因此(1＋ax)(x2＋x＋1)5的展开式中，含x7的项为30x7·1＋45x6·ax＝(30＋45a)x7，
所以30＋45a＝－15，即a＝－1.故选B.
(2)如图，在杨辉三角中，斜线l的上方从1按箭头所
示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1，3，3，4，
6，5，10，…，记此数列的前n项和为Sn，则S32的值为
(　　)
A．452 B．848
C．984 D．1 003
√
所以前32项中奇数项之和为C22＋C32＋C42＋C52＋…＋C172＝C33＋C32＋C42＋C52＋…＋C172，
又由组合数性质Cnm＋Cnm－1＝Cn＋1m，所以C33＋C32＋C42＋C52＋…＋C172＝C183＝816，
所以S32＝816＋168＝984.故选C.
思考题　(1)(2025·河南新乡模拟)如图所示的“分数杨辉三角”被我们称为莱布尼茨三角形，是将杨辉三角中的Cnr换成 得到的，根据莱布尼茨三角形，下列结论正确的是(　　)
√
【解析】　观察莱布尼茨三角形，知每一个数等于下一层与它紧挨的两个数之和，
因此 ，即D正确，A、B、C错误．故选D.
(2) 杨辉三角，又称贾宪三角形，是二项式系数Cnr－1(n∈N*，r∈N*且r≤n＋1)在三角形中的一种几何排列，南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在杨辉三角中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是(　　)
A．136 B．153
C．190 D．210
√
【解析】　由题意可得每行选2个数且从第3行开始计数，所以第37项为杨辉三角中第21行第3个数，
所以n＝20，r＝3，所以C203－1＝C202＝190.故C正确．故选C.
一、多项式展开式中的特定项或系数问题
类型一：几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题
(2025·广东江门一模)已知(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)11＝a0＋a1(2＋x)＋a2(2＋x)2＋…＋a11(2＋x)11，则a0＋a2＋a4＋…＋a10的值是(　　)
A．680　　　　　　　　 B．－680
C．1 360 D．－1 360
√
【解析】　令x＝－1，则0＝a0＋a1＋a2＋…＋a11，令x＝－3，则(－2)4＋(－2)5＋…＋(－2)11＝a0－a1＋a2－a3＋…－a11，即a0－a1＋a2－a3＋…－a11＝ ＝－1 360，两式相加可得a0＋a2＋a4＋…＋a10＝－ ＝－680.
类型二：几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题
－3
(2)(3x＋y)(x－2y)5的展开式中x3y3的系数为________．
－200
【解析】　由题意可得(3x＋y)(x－2y)5＝3x(x－2y)5＋y(x－2y)5，
(x－2y)5的展开式的通项为Tr＋1＝C5r·x5－r·(－2y)r＝C5r·(－2)r·x5－r·yr，r＝0，1，2，3，4，5，
所以(3x＋y)(x－2y)5的展开式的通项为T＝3xC5r·(－2)r·x5－r·yr＋yC5r·(－2)r·x5－r·yr＝3C5r·(－2)r·x6－r·yr＋C5r·(－2)r·x5－r·yr＋1，其中r＝0，1，2，3，4，5，
所以展开式中x3y3的系数为3C53×(－2)3＋C52×(－2)2＝－200.
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类型三：三项展开式中的特定项(系数)问题
90
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√
√
60
240