期末巩固卷（含解析）-2025-2026学年数学九年级上册人教版

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期末巩固卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版
一、单选题
1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“大雪”“芒种”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
2．已知分别是的半径，d是两圆的圆心距，当时，两圆（ ）
A．外切 B．内切 C．外离或内含 D．相交
3．在数轴上，有一点A在数之间，那么，该点落在之间的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．若是一元二次方程，则不等式的解是（ ）
A． B． C．且 D．
5．二次函数的顶点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．如图，点在的优弧上，，则的度数为( )

A． B． C． D．
7．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点D恰好落在的延长线上，则旋转角的度数为(　　)
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，以为直径的交于点，若点恰好为的中点，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
9．在同一坐标系中，函数与的图像的大致位置可能是（ ）
A． B． C． D．
10．剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围．剪纸中有一种“抛物线剪纸”艺术，即作品的外轮廓在抛物线上，体现了一种曲线美，如图，这是利用“抛物线剪纸”艺术剪出的蝴蝶，建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的四点落在抛物线上，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ．
12．已知等腰三角形的底边长和腰长恰好是方程的两根，则等腰三角形的周长为 ．
13．如图，在等边中，D是边上一点，连接．将绕点B逆时针旋转得到，连接．若，，则的周长是 ．
14．如图，是的弦，半径于点，为直径，，，则线段的长为 ．
15．某口罩生产厂生产的口罩月平均日产量为个，月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从月起扩大产能，月平均日产量达到个．
（1）口罩日产量的月平均增长率为
按照这个增长率，预计月平均日产量为 个
16．如图，长方形中，，E为上一点，且，连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，则的最小值为 ．
三、解答题
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．已知关于x的方程．
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；
(2)设此方程的两个根分别为，若，求m的值．
19．如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作于点E，求证：是的切线．
20．在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位，在中，，．
(1)试作出以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形；
(2)若点B的坐标为，试建立合适的直角坐标系，并写出A、C两点的坐标；
(3)作出与关于原点对称的图形，并写出三点的坐标．
21．如图，已知的直径垂直于弦于点E，连结，且．
(1)若，求的长；
(2)若，求扇形（阴影部分）的面积（结果保留）．
22．某中学开展“国庆70周年阅兵盛典观看情况”调查活动，随机调查了部分初中生观看阅兵盛典的收视情况，并将调查结果统计后绘制成如图1和图2所示的不完整统计图．
(1)被调查初中生的人数为 人；
(2)把条形统计图补充完整；
(3)若该学校有学生1000人，请估计该校没观看阅兵盛典的学生人数？
(4)某班级3名同学都观看了阅兵盛典，1人完整看完，1人看一多半，一人看一少半，要从这3人中任选2人写观后感在班级交流，请用列表法或画树形图法求选出的2人恰好1人全看完，1人看一多半的概率．
23．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线与抛物线交于A，D两点．点P为直线上方抛物线上的一点（不与A、D重合），连接．
(1)求抛物线的解析式和点D的坐标；
(2)请求出四边形的面积的最大值；
(3)点Q是直线上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标．
《期末巩固卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B C A D B B B C
1．C
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别；一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这两个概念判断即可．
【详解】解：四个选项中的图形都是轴对称图形，但只有选项C还是中心对称图形；
故选：C．
2．A
【分析】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是熟记两圆位置关系与圆心距d，两圆半径的数量关系间的联系．
根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径的数量关系间的联系，即可得到答案．
【详解】解：，
相切，即两圆外切．
故选：A．
3．B
【分析】本题考查了几何概率的计算，熟练掌握该知识点是解题的关键．数轴上之间的长度为6，之间的长度为2，然后利用它们之间的长度比即可得出答案．
【详解】解：数轴上之间的长度为6，之间的长度为2，那么该点落在之间的概率为，
故选：B．
4．C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，特别是在一般形式中二次项系数不等于0，同时考查了不等式的解法．
先根据一元二次方程的定义及不等式列出不等式组，再求出其解集即可．
【详解】解：根据题意可得，
解得且，
故选：C．
5．A
【分析】本题考查了二次函数的顶点式，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
根据得出二次函数顶点，再判断顶点所在象限即可．
【详解】解：由题意得：
二次函数的顶点为，
所以二次函数的顶点位于第一象限．
故选：A．
6．D
【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．根据圆周角定理即可解答．
【详解】解：，
，
故选：D．
7．B
【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，根据旋转，得到，根据等边对等角，得到，根据三角形的内角和定理求出，即可得出答案．
【详解】解：由旋转性质可知∶，
∵点D恰好落在的延长线上，
∴，
∴，
即旋转角的度数是，
故选：B．
8．B
【分析】本题考查了圆周角定理及其推论、等腰三角形的判定和性质以及扇形的面积公式，证明是等腰三角形，求出的度数是解题的关键．
首先证明是等腰三角形，求出，然后根据圆周角定理求出，再利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：连接，如图所示，
是直径，
，即，
为的中线，
是等腰三角形，
，
，
，
半径为2，
，
故选：B．
9．B
【分析】根据a的符号判断一次函数与二次函数的图像所经过的象限，然后作出选择即可；
本题考查了一次函数和二次函数的图像，熟练掌握一次函数和二次函数的系数与图像的关系是解题的关键．
【详解】解：当，二次函数的图像的开口方向是向上；一次函数的图象经过第一、二、三象限；
当，二次函数的图像的开口方向是向下；一次函数的图像经过第二、三、四象限；
只有选项B符合条件，
故选：B．
10．C
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据抛物线开口向上，与轴交于正半轴，即可判断的符号，即可求解．
【详解】解：∵根据抛物线开口向上，与轴交于正半轴，
∴，则，
故选：C．
11．
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义：“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键．
由一元二次方程的定义得到，，由此即可求解．
【详解】解：∵方程是一元二次方程，
∴，，
∴，
故答案为：．
12．10
【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解，三角形三边的关系．
先利用因式分解法解方程得到，，再利用三角形三边的关系得到等腰三角形的腰为4，底边长为2，然后计算它的周长．
【详解】解：，
或，
所以，，
因为，
所以等腰三角形的腰为4，底边长为2，
所以三角形的周长为．
故答案为：10．
13．19
【分析】本题考查了图形的旋转、等边三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．先根据等边三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，则可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，然后根据三角形的周长公式求解即可得．
【详解】解：∵在等边中，，
∴，
∵将绕点逆时针旋转得到，且，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴的周长是，
故答案为：19．
14．
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形中位线的性质等，连接，可得，设的半径为，则，在中，利用勾股定理可得，即得，，进而根据三角形中位线的性质得到，再根据勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，如图所示，
∵，，
∴，
设的半径为，则，
在中，由勾股定理得，，
解得，
∴，
∵，，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，，
∴是的中位线，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了一元二次方程中增长率的知识，增长前的量增长后的量，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）设口罩日产量的月平均增长率为，根据月及月的日产量，即可列出方程求解．
（2）利用月份平均日产量月份平均日产量（增长率）即可得出答案．
【详解】（1）解：设口罩日产量的月平均增长率为，
依据题意可得：，
解得：，（不合题意舍去），
∴，
故答案为：．
（2）解：依据题意可得：（个），
故答案为：．
16．
【分析】先分析题意，将线段绕点E顺时针旋转得到线段．结合矩形的性质以及旋转的性质得，则点G在射线上运动，当时，的值最小，再证明四边形是矩形，则，，运用勾股定理以及等腰三角形的性质得，再代入数值到进行计算，即可作答．
【详解】解：如图，将线段绕点E顺时针旋转得到线段．与交于点，
∵四边形是矩形，
∴
∵，
∴，
∴，
∵旋转，
∴，
∴，
∴，
∴点G在射线上运动，
∴当时，的值最小，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
17．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．
（1）利用因式分解法解方程即可．
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：
或，
解得：，
（2）解：
或
，
18．(1)见解析
(2)3
【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况、根与系数的关系．熟练掌握根的判别式和根与系数的关系，是解题关键．
（1）根据根的判别式即可验证；
（2）利用根与系数的关系可得，据此即可求解．
【详解】（1）证明：根据题意可知：，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意得：，
∴，
解得．
19．见解析
【分析】本题考查了切线的判定定理、等边对等角、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据等边对等角得到，，则有，根据垂直的定义得到，得到，最后利用切线的判定定理证明即可．
【详解】证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线．
20．(1)见解析
(2)见解析，
(3)见解析，
【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—旋转和中心对称：
（1）分别找出点B、C绕点A沿顺时针方向旋转后的对应点，然后再顺次连接三个点，即可得到；
（2）先根据点B的坐标确定出原点是点A向左4个单位，向上5个单位，然后建立平面直角坐标系，即可写出点A、C的坐标；
（3）分别找出点A、B、C关于原点的对称点，然后顺连接即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：建立坐标系如图，；
（3）解：如图，．
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据，可得，再由勾股定理可得，然后利用三角形面积公式求出，再利用垂径定理即可求解；
（2）根据垂径定理可得，再由，可得，设，则，，根据，可得，即可求解．
【详解】（1）解：∵是的直径，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵是的直径，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，三角形面积公式，扇形的面积等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
22．(1)
(2)见解析
(3)估计该校没观看阅兵盛典的学生人数为人
(4)
【分析】本题考查了扇形统计图与条形统计图信息关联，样本估计总体，画树状图法求概率；
（1）由“看完整”的人数及其所占百分比可得被调查初中生的人数，
（2）用总人数减去其它类型人数求得“看一多半”的人数，据此补全图形即可；
（3）用总人数乘以样本中“没看”人数所占百分比可得；
（4）设甲完整看完，乙看一多半，丙看一少半，根据画树状图法即可求得结果．
【详解】（1）解：被调查初中生的人数为：（人）
故答案为：．
（2）“看一多半”的人数为：（人）
补全条形图如下：
（3）（人）
答：估计该校没观看阅兵盛典的学生人数为人；
（4）解：设甲完整看完，乙看一多半，丙看一少半
共有种等可能结果，其中恰好1人全看完，1人看一多半的有种，
∴恰好1人全看完，1人看一多半的概率为
23．(1)抛物线的解析式为；
(2)
(3)或或
【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．涉及抛物线与坐标轴的交点坐标，二次函数的图象与性质，利用待定系数法求解一次函数解析式，二次函数与面积的问题，二次函数与特殊三角形问题等知识，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
（1）利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；再联立即可求出点D的坐标；
（2）根据面积一定，知需令得的面积最大即可，过点P作轴的垂线交于点K，设点，则，求出，由，列出关于p的关系式，利用二次函数的性质即可求解；
（3）利用（1）中二次函数解析式求出点C的坐标，设，分和两种情况，利用两点间距离公式建立方程，求解即可．
【详解】（1）解：抛物线（）与x轴交于，两点，
则，
解得，
抛物线的解析式为：；
联立，则，
解得或，
当时，，
；
（2）为定值，且，
当的面积最大时，四边形的面积最大，
过点P作轴的垂线交于点K，
设点，则，
，
，
，
当时，有最大值，最大值为，
此时，
四边形的面积的最大值为；
（3）解：抛物线的解析式为：，
令，则，
，
设，
，，，
是以为腰的等腰三角形，
当时，即，
，
解得：或（舍去）；
；
当时，即，
，
解得：或，
或；
综上，是以为腰的等腰三角形时，点Q的坐标为或或．
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