期末检测卷（含答案）-2025-2026学年数学九年级上册人教版

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期末检测卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版
一、选择题
1．点关于原点对称的点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
2． 如图，在⊙O中， AB是⊙O的直径， CD 是弦， 且AB⊥CD于点E，CD=4， OE=1.5， 则⊙O的半径是(　　)
A．2.5 B．2.25 C．2.4 D．3
3．小亮与小明在解一道一元二次方程时都发生了小错误，小亮在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是3和2；小明在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是-1和-2，则原来的方程是（　　）
A． B．
C． D．
4．将抛物线 先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，则平移后的抛物线解析式为（ ）
A． B．
C． D．
5．苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点为正六边形的中心．若，则的长是（　　）
A．1 B． C．2 D．3
6．一个不透明的袋子里装有 3 个红球和 4 个黑球，它们除颜色外其余均相同。从袋子里任意摸出一个球是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，四边形内接于，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．已知是抛物线上的三点，则由小到大依序排列是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，在中，，，，的半径为1，点P是边上的动点，过点即P作的一条切线（点Q为切点），则切线长的最小值是（　　）
A． B．3 C． D．4
10．约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”.若点，是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧；则下列结论：①；②：③；④，正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
二、填空题
11．若的半径为，点A到圆心O的距离为，那么点A与的位置关系是　 　．
12．将抛物线向左平移3个单位后得到的抛物线解析式是　 　．
13．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为　 　．
14．若扇形的半径为，弧长为，则扇形的面积为　 　．
15．我国明代数学著作《算学宝鉴》中记载有这样一个问题：“门厅一座，高广难知．长竿横进，门狭四尺．竖进过去，竿长二尺．两隅斜进，恰好方齐．请问三色，各该有几？”译文：有一座矩形门框，不知道其高度和宽度．如果拿支长竿横着过，门的宽度比长竿的长度少四尺；拿长竿竖着过，长竿的长度比门的高度多二尺；拿长竿沿门对角线斜着过，恰好通过．问门的高度、宽度及长竿的长度各是多少尺？设长竿的长度为尺，则　 　．
16．莱洛三角形广泛应用于建筑，工业，包装等方面，某数学兴趣小组在学习了莱洛三角形的知识后获得灵感，设计了如图2的美丽图形，爱思考的小聪提出以下问题：如图3，正五边形的边长为5，分别以和为圆心，5为半径作和交于点，此时阴影部分的周长为　 　．
三、解答题
17．用适当的方法解方程
（1）
（2）
18．如图所示，将置于平面直角坐标系中，，，.
（1）画出向下平移5个单位得到的，并写出点的坐标；
（2）画出绕点顺时针旋转得到的，并写出点的坐标；
（3）画出以点为对称中心，与成中心对称的，并写出点的坐标.
19．关于的一元二次方程．
（1）若方程总有两个实数根，求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若两个实数根，满足，求的值．
20．如图，是的外接圆，是的直径，，，为的延长线与的交点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求和长．
21．随着高铁、地铁的大量兴建以及铁路的改扩建，我国人民的出行方式越来越多，出行越来越便捷．为保障旅客快捷、安全的出入车站，每个车站都修建了如图所示的出入闸口．某车站有四个出入闸口，分别记为A、B、C、D．
（1）当一名乘客通过该站闸口时，恰好从B闸口通过的概率是______．
（2）请用树状图或列表法求甲、乙两名乘客选择相同闸口通过的概率．
22．如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
（3）保持时的矩形不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
23．【问题情境】一次数学活动课上，同学们对教材P.102习题12作了深入研讨．
【教材原题】如图，为的直径，与相切于C，于D．求证：平分．
（1）【知识迁移】宏志小组同学发现，原题有多个逆命题，其中一个如下．
如图，为的直径，C为上一点，于D，平分．那么为的切线．这个命题是真命题吗？说明你判断的依据．
（2）【问题拓展】思进小组同学发现，原题记与交于E，三条线段有特定的数量关系．请你写出这个数量关系并说明理由．
（3）【应用尝试】奇思小组同学提出，若，，则可求出的面积．请你试试看．
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】A
3．【答案】D
4．【答案】B
5．【答案】A
6．【答案】C
7．【答案】B
8．【答案】D
9．【答案】A
10．【答案】B
11．【答案】点在圆内
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】15
15．【答案】10
16．【答案】
17．【答案】（1），
移项得：，
配方得：，即，
直接开平方得：，
，；
（2）
提公因式得：，
∴或，
，．
18．【答案】解：（1）如图，为所作，点的坐标为（-1，-1）；
（2）如图，为所作，点的坐标为（4，1）；
（3）如图，为所作，点的坐标为（1，-4）；
19．【答案】（1）解：∵a=1，b=-2(m+1)，c=m2+2
∵方程总有两个实数根
（2）解：由韦达定理可得：
∵
∴
∴
解得或
由（1）知：
∴．
20．【答案】（1）证明：连接并延长交于点，连接，则，
所以，，
因为，所以，
因为，，
所以，所以，
所以，可得，
因为，所以，所以是的半径，且，
所以是的切线；
（2）解：因为，
所以，
所以，
所以是等边三角形，，
所以，所以的长为，
因为是的切线，所以，
在中，，所以，
由勾股定理得：．
21．【答案】（1）；
（2）解：画树状图得：
由树状图可知：有16种等可能的结果，其中两名乘客选择相同闸口通过的有4种结果，
即，，，，
两名乘客选择相同闸口通过的概率．
22．【答案】（1）解：当时，，
，
将和代入，得：，
解得，
；
（2）解：由抛物线的对称性可得，
，
，
，
矩形的周长为，
，
当时，矩形的周长有最大值，最大值为；
（3）解：如图，
当时，点A，B，C，D的坐标分别为，，，，
∴矩形对角线的交点P的坐标为，
∵直线平分矩形的面积，
∴点P是和的中点，
∴，
∵，
∴线段平移后得到的线段是，线段的中点Q平移后的对应点是P，
由平移知，，
∴是的中位线，
∴，
即抛物线向右平移的距离是4个单位．
23．【答案】（1）解：原题证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵与相切于C，
∴
∵，
∴，
∴
∴
∴平分．
这个命题的逆命题是真命题，理由如下：
如图，连接，
∵，
∴，
∵平分．
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是半径，
∴为的切线．
（2）解：，理由如下：如图，在上截取，连接作于点H，
∵平分．
∴，
∴，
∴，
∵平分．，
∴，
∵
∴
∴
∵
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴
∴
∴
（3）解：∵是的直径，
∴，
由（2）得到，，
∴
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得或，
当时，，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴点E在的延长线上，
∴不符合题意，舍去，
∴的面积为．
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