期末检测卷（含解析）-2025-2026学年数学九年级上册苏科版

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期末检测卷-2025-2026学年数学九年级上册苏科版
一、单选题
1．不透明的袋子中装有个红球，个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，恰好是黄球的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．方程的根是（ ）
A． B．
C．， D．，
3．如图，是的直径，点，在同一半圆弧上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，正六边形螺帽的边长为4，则这个螺帽的面积是（ ）
A． B．6 C．24 D．12
6．在一个不透明的布袋中装有个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中黄球可能有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
7．我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆内接正十二边形的面积来近似估计⊙O的面积S，设的半径为1，则（ ）
A． B． C． D．
8．某品牌衬衣为了促进消费，拟对该品牌衬衣进行降价处理，决定将原价为元每件的该衬衣经过两次降价降为每件元，且两次降价的百分比相同．若设每次降价的百分比为x，则下列所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图是发动机的实物剖面图，图是其示意图．图中，点在直线上往复运动，推动点做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点、是直线与的交点；当点运动到时，点到达；当点运动到时，点到达．若，，则下列结论正确的是（ ）

A． B．
C．当与相切时， D．当时，
二、填空题
10．小杰和小明玩扑克牌，各出一张牌，谁的牌大谁赢，同样大就平．小杰手中有牌 ，，，小明手中有牌 ，，．这时每人任出一张牌，小杰获胜的概率是 ．
11．已知的半径为5，点P在上，则的长为 ．
12．沧州金丝小枣又名西河红枣，因干枣剥开时有金黄丝相连，入口甜如蜜，外形如珠似玑，故称金丝小枣，是中国国家地理标志产品．2022年至2024年沧州某地的金丝小枣种植面积由5000亩增加到7500亩．设2022年至2024年金丝小枣种植面积的年平均增长率为，则可列方程为 ．
13．如图，在圆中，直径，弦交于点，且，若，则 ．
14．已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ．
15．如图，，分别与相切于A，B两点，C是优弧上的一个动点，若，则 ．
16．甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角，若，，则阴影部分的面积是 ．（结果用表示）
三、解答题
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．现有四张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字，，1，2，把这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
(1)随机抽取一张卡片，求抽取的卡片上的数字为正数的概率；
(2)先从四张卡片中随机抽取一张卡片，其上的数字作为点A的横坐标；然后放回并洗匀，再随机抽取一张卡片，其上的数字作为点A的纵坐标，用列表或画树状图的方法求出点A在第一象限的概率．
19．已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根．
(1)求m的取值范围．
(2)当时，求m的值．
20．如图，四边形内接于是的直径，，求的度数．
21．某商场将进货价为30元的玩具以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种玩具销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变．
(1)求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率；
(2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种玩具获利4800元，则这种玩具应降价多少元？
22．如图，经过原点且与两坐标轴分别交于点A和B，点A的坐标为，点B的坐标为，解答下列问题：
(1)求线段的长；
(2)求的半径及圆心C的坐标；
(3)在上是否存在一点P，使得是等腰三角形？若存在，请求出P点的坐标，求出的度数；若不存在，请说明理由．
23．已知，如图，在中，，，，点从点A开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．
(1)如果点，分别从点A，同时出发，那么几秒后，的面积等于？
(2)如果点，分别从点A，同时出发，那么几秒后，的长度等于？
24．如图，在中，，点在上，以为直径的与边相切于点，与边相交于点，且，连接并延长交于点，连接．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求图形中阴影部分的面积．
25．为提高同学们的宪法意识，学校将组织“弘扬宪法精神，共筑法治校园”知识竞赛，共100道单选题，每题1分，满分为100分．王老师为了从甲、乙两名同学中选择一名同学代表班级参赛，对他们进行了培训和指导，期间甲、乙完成了十次模拟答题．为了比较这两名同学的成绩，绘制了如下的统计图和统计表：
甲、乙成绩统计表
平均成绩/分 中位数/分 方差/分2
甲 96 8.6
乙 96 96
(1)_______，________；
(2)你认为王老师会选择哪位同学代表班级参赛？请说明理由；
(3)若将每题1分改为每题0.5分，其余不变，则甲这10次成绩的方差将_________（填“变大”、“变小”或“不变”）．
《期末检测卷-2025-2026学年数学九年级上册苏科版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 D C B A C D A D C
1．D
【分析】本题主要考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解决问题的关键．直接由概率公式求解即可．
【详解】解：不透明的袋子中装有个红球，个黄球，
从中随机摸出一个球，恰好是黄球的概率是：，
故选：D．
2．C
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，利用因式分解法求解即可，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得：，．
故选：C．
3．B
【分析】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理推出．连接，由圆周角定理得到，求出，即可得到的度数．
【详解】解：连接，
是的直径，
，
，
．
故选：．
4．A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系的应用，利用根与系数的关系，求出，再代入计算即可求解，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：∵是方程的两个实数根，
∴，
∴，
故选A．
5．C
【分析】本题主要考查了正多边形，
先画出图形，可知，再作，即可求出，然后根据勾股定理求出，进而求出答案.
【详解】解：设正六边形的中心O，一边是，则，作于点G，
可知是等边三角形，且正六边形是由6个等边三角形组成.
如图，在中，，
∴，
∴，
所以这个正六边形的面积.
故选：C.
6．D
【分析】本题考查利用频率估计概率．
利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，然后根据概率公式计算即可．
【详解】解：设袋子中黄球有个，
根据题意，得：，
解得：，
即布袋中黄球可能有个．
故选D．
7．A
【分析】本题考查了正多边形和圆，正确求出正十二边形的面积是解题的关键，根据圆的面积公式得到的面积，求得圆的内接正十二边形的面积，即可得出结论．
【详解】解：的半径为1，
的面积，
如图，设是内接正十二边形的一条边，连接，，
∴，
∵圆的内接正十二边形的中心角为，
∴
过点A作于点C，
，
圆的内接正十二边形的面积，
．
故选：A．
8．D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
根据该品牌衬衣平均每次降价的百分率为，根据降价后的价格等于降价前的价格乘以（1减去降价的百分率），则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，据此列方程，即可求解．
【详解】解：根据该衬衣每次降价的百分比为x，
∴第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，
即，
故选：D；
9．C
【分析】本题考查了线段的和与差、勾股定理、切线的性质，根据圆的性质可知，线段之间的关系可以得到：；根据线段之间的关系可求，，从而可以求出；根据切线的定义可知，利用勾股定理可以求出；利用勾股定理可以求出，所以可得，根据可得：，所以．
【详解】解：A选项：点运动到时，点到达，，
，
又，
，
，
故A选项错误；
B选项：点运动到时，点到达，，
，
，
，
，
故B选项错误；
C选项：如下图所示，
，，
，
设，则，
与相切，
，
在中，，
，
解得：，(不符合题意，舍去)，
故C选项正确；
D选项：如下图所示，当时，，
在中，，
，
，，
,
故D选项错误．
故选：C．
10．
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．先画树状图展示所有9种等可能的结果，再计算出小杰获胜的概率即可．
【详解】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中小杰获胜结果数为4，
所以小杰获胜的概率，
故答案为：．
11．5
【分析】本题考查了半径的定义，根据“圆上的点到圆心的距离等于半径”，即可解答．
【详解】解：∵的半径为5，点P在上，
∴，
故答案为：5．
12．
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
设2022年至2024年金丝小枣种植面积的年平均增长率为，则年金丝小枣种植面积为亩，那么年金丝小枣种植面积为亩，即可建立一元二次方程．
【详解】解：设2022年至2024年金丝小枣种植面积的年平均增长率为，
∵2022年至2024年沧州某地的金丝小枣种植面积由5000亩增加到7500亩．
∴由题意得：，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查垂径定理的推论、勾股定理，得到是解答的关键；连接，先根据垂径定理的推论得到，再利用勾股定理即可解答；
【详解】解：如图，连接，
∵是圆的直径，直径,
∴,
∵，
∴，
∵,
∴,
∴，
∴，
故答案为：．
14．且
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据根的判别式可得，根据一元二次方程的定义可得，据此求解即可．
【详解】解：关于x的一元二次方程有实数根，
，
解得：且，
的取值范围是且
故答案为：且
15．42
【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理、四边形内角和，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，，根据切线的性质得到，根据四边形内角和为，结合，可得，再利用圆周角定理即可求解．
【详解】解：如图，连接，，
∵，分别与相切于A，B两点，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：42．
16．
【分析】本题主要考查了扇形面积计算，根据题意可得阴影部分的面积，据此列式求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴阴影部分的面积
故答案为：．
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）先移项，然后把方程左边利用提公因式法分解因式，进而得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案；
（2）利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据概率计算方法可直接求解；
（2）画出树状图即可求解．
本题考查了概率，掌握用树状图求解概率是解题关键．
【详解】（1）解：∵四张卡片完全相同，
∴随机抽取一张卡片，每张被抽中的概率均相同，总共4种可能，其中为正数的有2种，
∴随机抽取一张卡片，抽取的卡片上的数字为正数的概率为．
（2）解：画树状图如图所示：
共有16个可能的结果，点A在第一象限的结果有4个，
即，，，，
∴点A在第一象限的概率为．
19．(1)
(2)
【分析】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，根与系数的关系，因式分解法求解一元二次方程，解题的关键是熟练一元二次方程的基础知识．
（1）根据一元二次方程根与判别式的关系，求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到方程，解方程即可．
【详解】（1）解：由题意可得：
解得；
（2）由根与系数的关系可得：，
由可得
即，化简可得：
解得，
又∵
∴
20．
【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
由圆周角定理得出，再根据圆内接四边形的性质求出，即可求解．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
又∵，
∴，
在中，
．
21．(1)2，3两个月的销售量月平均增长率为
(2)这种玩具应降价2元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，根据设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，进行列方程，再解方程，即可作答．
（2）设这种玩具每个降价y元时，商场四月份销售这种玩具获利4800元，结合在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个，进行列方程，再解方程，即可作答．
【详解】（1）解：设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，
依题意，得：，
解得：，(不符合题意，舍去)，
答：2，3两个月的销售量月平均增长率为．
（2）解：∵这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个
∴每降价1元，其销售量增加12个
设这种玩具每个降价y元时，商场四月份销售这种玩具获利4800元，
依题意，得：，
整理，得：，
解得，(不符合题意，舍去)，
答：这种玩具应降价2元．
22．(1)8
(2)4，
(3)存在，P点的坐标，的度数为或P点的坐标，的度数为
【分析】（1）连接，根据勾股定理求解即可；
（2）由直角对直径可知，是直径，即可求出半径长，再根据中点坐标公式即可求出中点C坐标；
（3）过C作于D，交于，如图，连接， ， ， ，，根据垂径定理可知，垂直平分，则均符合P点的要求，再根据勾股定理求出，即可证明是等边三角形，再根据等边三角形的性质和圆周角定理即可求出的度数．
【详解】（1）解：连接，
点A的坐标为，点B的坐标为，
，
，
；
（2），
是直径，
的半径为4，
圆心C为中点，
，即；
（3）解：存在，理由如下：
如图，过C作于D，交于，连接， ， ， ，，
，
，
垂直平分，
，
和都是等腰三角形，
因此均符合P点的要求，
，
，
，
，
在中，，
，
是等边三角形，
，，
，
综上所述，存在符合条件的P点，P点的坐标，的度数为或P点的坐标，的度数为．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质和判定，垂直平分线的性质，坐标与图形，解题的关键正确作出辅助线，综合运用以上知识解题．
23．(1)点，分别从点A，同时出发，1秒或4秒后，的面积等于
(2)点，分别从点A，同时出发，2秒后，的长度等于
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解决本题的关键．
（1）设x秒后，的面积等于，根据面积公式，列出方程进行求解即可；
（2）设y秒后，的长度等于，利用勾股定理，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：设x秒后，的面积等于，
由题意得，，
∴，
解得或；
答：点，分别从点A，同时出发，1秒或4秒后，的面积等于．
（2）解：设y秒后，的长度等于，
由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴
解得或（舍去），
∴点，分别从点A，同时出发，2秒后，的长度等于．
24．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查的是切线的性质、扇形面积计算、等边三角形的判定和性质、勾股定理全等三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径、扇形面积公式是解题的关键．
()连接，根据切线的性质得到得到，根据平行线的性质得到，得到，根据等腰三角形的判定定理证明；再利用定理证明，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理证明结论；
()阴影部分面积梯形 的面积扇形 的面积(通过“整体减部分”计算不规则图形面积)连接，设的半径为，根据含的直角三角形的性质求出圆的半径，根据梯形的面积公式、扇形面积公式计算得到答案．
【详解】（1）证明：连接，
∵与边相切于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
,
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，
∵，,
∴，
∴，
设的半径为，
∵，即，
解得，，
∴，，
∴，
∴，
由()知，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
根据勾股定理得，，
∴．
25．(1)，；
(2)选择甲，理由见解析
(3)变小
【分析】本题考查中位数，方差等知识点，熟练掌握基本公式和知识点是解题关键；
（1）先列出甲的所有成绩，然后找到中位数即可；直接利用方差的计算公式直接计算乙的方差即可；
（2）可通过成绩的上升趋势或者方差进行选择，言之有理即可；
（3）根据方差的公式可知，当每个数与平均数的差值变小时，方差也会减小，即可答题．
【详解】（1）解：甲的成绩从低到高依次为：，
其中位数为：，
乙的所有成绩为：，
∴其方差为：
（2）解：选择甲，甲的成绩呈上升趋势，甲的最好成绩比乙高，甲比乙的高分次数多；选择乙，乙的方差较小，乙的成绩更稳定（答案不唯一，言之有理即可）；
（3）解：若将每题1分改为每题0.5分，其余不变，则所有的成绩离平均成绩的差都会减少，故甲这10次成绩的方差将变小．
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