第三章 三角恒等变换
单元测试题
（考试时间为90分钟，试卷满分100分）
选择题（本题共15小题；每小题4分，共60分）
1.(2016·南昌一模)已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为( )www-2-1-cnjy-com
A．－
B.
C．－
D.
【答案】:B
【解析】: 选B ∵<α<，∴cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|，∴cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，∴cos α－sin α＝.21cnjy.com
2.(2016·衡水中学模拟)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于( )
A．240(－1)m
B．180(－1)m
C．120(－1)m
D．30(＋1)m
【答案】:C
【解析】：选C ∵tan 15°＝tan(60°－45°)＝＝2－，∴BC＝60tan 60°－60tan 15°＝120(－1)(m)，故选C.
3.已知sin(45°＋α)＝，则sin 2α等于( )
A．－ B．－
C. D.
【答案】:B
【解析】：sin(α＋45°)＝(sin α＋cos α)·＝，∴sin α＋cos α＝.两边平方，∴1＋sin 2α＝，∴sin 2α＝－.【版权所有：21教育】
4.函数f(x)＝sin 2x－cos 2x的最小正周期是( )．
A. B.π
C．2π D.4π
【答案】:B
【解析】:f(x)＝sin 2x－cos 2x＝sin，故T＝＝π.
5.若函数f(x)＝sin2x－(x∈R)，则f(x)是( )
A．最小正周期为的奇函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为2π的偶函数
D．最小正周期为π的偶函数
【答案】:D
【解析】：f(x)＝sin2x－＝(2sin2x－1)＝－cos 2x，∴T＝＝π，f(x)为偶函数．21世纪教育网版权所有
6.已知θ是锐角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ能取得的值是( )
A. B.
C. D.
【答案】:A
【解析】：∵0<θ<，∴θ＋∈，又sin θ＋cos θ＝sin，所以
7.(2015·济南一模)若＝－，则sin α＋cos α的值为( )
A．－
B．－
C.
D.
【答案】:C
【解析】：选C 由已知得
＝＝，整理得sin α＋cos α＝.
8.若f(sin x)＝3－cos 2x，则f(cos x)等于( )
A．3－cos 2x
B．3－sin 2x
C．3＋cos 2x
D．3＋sin 2x
【答案】:C
【解析】：f(sin x)＝3－(1－2sin2x)＝2＋2sin2x，∴f(x)＝2x2＋2，
∴f(cos x)＝2cos2x＋2＝1＋cos 2x＋2＝3＋cos 2x.
9.(2016·贵州七校联考)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则sin的值为( )【出处：21教育名师】
A．－
B.
C．－
D.
【答案】:D
【解析】:由三角函数的定义得tan θ＝2，cos θ＝±，
所以tan 2θ＝＝－，cos 2θ＝2cos2θ－1＝－，
所以sin 2θ＝cos 2θtan 2θ＝，
所以sin＝(sin 2θ＋cos 2θ)
＝×＝.
10.已知tan 2θ＝－2，π<2θ<2π，则tan θ的值为( )
A. B．－
C．2 D.或－
【答案】:B
【解析】:∵π<2θ<2π，∴<θ<π，则tan θ<0，tan 2θ＝＝－2，化简得tan2θ－tan θ－＝0，解得tan θ＝－或tan θ＝(舍去)，∴tan θ＝－。【来源：21·世纪·教育·网】
11.若3sin θ＝cos θ，则cos 2θ＋sin 2θ的值等于( )
A．－ B.
C．－ D.
【答案】:B
【解析】：∵3sin θ＝cos θ，∴tan θ＝.cos 2θ＋sin 2θ＝cos2θ－sin2θ＋2sin θcos θ＝21·世纪*教育网
＝＝＝.
12.设a＝sin 17°cos 45°＋cos 17°sin 45°，b＝2cos213°－1，c＝，则有( )21教育名师原创作品
A．cB．bC．aD．b 【答案】:A
【解析】：a＝sin 62°，b＝cos 26°＝sin 64°，c＝sin 60°.
∵y＝sin x，x∈为递增函数，∴c 13.(2016·唐山一中模拟)设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)．定义一种向量积：a?b＝(a1，a2)?(b1，b2)＝(a1b1，a2b2)．已知m＝(2，)，n＝(，0)，点P(x，y)在y＝sin x的图象上运动，点Q在y＝f(x)的图象上运动．且满足＝m?＋n(其中O为坐标原点)，则y＝f(x)的最大值A及最小正周期T分别为( )
A．2，π B．2,4π
C.，4π D.，π
【答案】:C
【解析】：＝m?＋n＝(2，)?(x，y)＋(，0)＝(2x＋，y)，则xQ＝2x＋，yQ＝y，所以x＝xQ－，y＝2yQ，所以y＝f(x)＝sin(x－)．所以最大值A＝，最小正周期T＝4π.21教育网
14.若cos ＝，sin ＝－，则角θ的终边所在的直线方程为( )
A．7x＋24y＝0
B．7x－24y＝0
C．24x＋7y＝0
D．24x－7y＝0
【答案】:D
【解析】：cos ＝，sin ＝－，tan ＝－，∴tan θ＝＝＝.∴角θ的终边在直线24x－7y＝0上．21·cn·jy·com
15.在△ABC中，若cos Acos B＝－cos2＋1，则△ABC一定是( )
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
【答案】:C
【解析】：选C.由已知得2cos Acos B＝－2cos2＋2＝－(cos C＋1)＋2＝cos(A＋B)＋1＝cos Acos B－sin Asin B＋1，∴cos Acos B＋sin Asin B＝cos(A－B)＝1，又－π填空题（本题共4小题，每题4分，共16分）
16.(2016·东北三省四市教研联合体)已知tan(3π－x)＝2，则
＝________.
【答案】：－3
【解析】：由诱导公式得tan(3π－x)＝－tan x＝2，
故＝＝＝－3.
17.(2016·保定一中模拟)的值为________．
【答案】：1
【解析】:原式＝
＝
＝＝＝1.
18.已知sin xcos x＋3cos2x－＝Asin(2x＋φ)，其中A>0，0<φ<2π，则A＝________，φ＝________．2·1·c·n·j·y
【答案】：A＝，φ＝
【解析】：sin xcos x＋3cos2x－＝sin 2x＋cos 2x＝sin，∴A＝，φ＝.21*cnjy*com
19.已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________.
【答案】:1
【解析】：∵cos(α＋β)＝sin(α－β)∴cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β∴cos α(sin β＋cos β)＝sin α(cos β＋sin β)∵α、β均为锐角，∴sin β＋cos β≠0，∴cos α＝sin α，∴tan α＝1.
三、解答题（本题共3小题，每题8分，共24分，请写出必要的解题步骤）
20.(2016·安徽模拟)已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
【答案】：(1)π (2)f(x)在上的最大值为＋1，最小值为0
【解析】：(1)因为f(x)＝sin2 x＋cos2 x＋2sin xcos x＋cos 2x＝1＋sin 2x＋cos 2x＝sin＋1，
所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)由(1)的计算结果知，f(x)＝sin＋1.
当x∈时，2x＋∈，
由正弦函数y＝sin x在上的图象知，
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最大值＋1；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最小值0.
综上，f(x)在上的最大值为＋1，最小值为0.
21.已知函数f(x)＝2cos 2x＋sin2x－4cos x.
(1)求f()的值；
(2)求f(x)的最大值和最小值．
【答案】:(1)－ (2)当cos x＝－1时，f(x)取得最大值6；当cos x＝时，f(x)取得最小值－.2-1-c-n-j-y
【解析】：(1)f()＝2cos ＋sin2－4cos ＝－1＋－2＝－.
(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cos x＝3cos2x－4cos x－1＝3(cos x－)2－，x∈R.因为cos x∈[－1,1]，所以，当cos x＝－1时，f(x)取得最大值6；当cos x＝时，f(x)取得最小值－.【来源：21cnj*y.co*m】
22.（2016·衡中二调)已知函数f(x)＝2cos xsin x＋2cos2x－.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x的值；
(3)求函数f(x)的单调增区间．
【答案】:(1)π (2)x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)有最大值为2,x＝kπ－(k∈Z)时，f(x)有最小值为－2 （3）函数f(x)的递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z) 21*cnjy*com
【解析】：(1)原式＝sin 2x＋cos 2x＝2(sin 2x＋cos 2x)＝2(sin 2xcos ＋cos 2xsin )＝2sin(2x＋)．∴函数f(x)的最小正周期为π.
(2)当2x＋＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)有最大值为2.
当2x＋＝2kπ－，即x＝kπ－(k∈Z)时，f(x)有最小值为－2.
(3)要使f(x)递增，必须使2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．∴函数f(x)的递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
第三章 三角恒等变换
单元测试题
（考试时间为90分钟，试卷满分100分）
选择题（本题共15小题；每小题4分，共60分）
1.(2016·南昌一模)已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为( )21世纪教育网版权所有
A．－
B.
C．－
D.
2.(2016·衡水中学模拟)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于( )
A．240(－1)m
B．180(－1)m
C．120(－1)m
D．30(＋1)m
3.已知sin(45°＋α)＝，则sin 2α等于( )
A．－ B．－
C. D.
4.函数f(x)＝sin 2x－cos 2x的最小正周期是( )．
A. B.π
C．2π D.4π
5.若函数f(x)＝sin2x－(x∈R)，则f(x)是( )
A．最小正周期为的奇函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为2π的偶函数
D．最小正周期为π的偶函数
6.已知θ是锐角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ能取得的值是( )
A. B.
C. D.
7.(2015·济南一模)若＝－，则sin α＋cos α的值为( )
A．－
B．－
C.
D.
8.若f(sin x)＝3－cos 2x，则f(cos x)等于( )
A．3－cos 2x
B．3－sin 2x
C．3＋cos 2x
D．3＋sin 2x
9.(2016·贵州七校联考)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则sin的值为( )www.21-cn-jy.com
A．－
B.
C．－
D.
10.已知tan 2θ＝－2，π<2θ<2π，则tan θ的值为( )
A. B．－
C．2 D.或－
11.若3sin θ＝cos θ，则cos 2θ＋sin 2θ的值等于( )
A．－ B.
C．－ D.
12.设a＝sin 17°cos 45°＋cos 17°sin 45°，b＝2cos213°－1，c＝，则有( )21cnjy.com
A．cB．bC．aD．b 13.(2016·唐山一中模拟)设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)．定义一种向量积：a?b＝(a1，a2)?(b1，b2)＝(a1b1，a2b2)．已知m＝(2，)，n＝(，0)，点P(x，y)在y＝sin x的图象上运动，点Q在y＝f(x)的图象上运动．且满足＝m ?＋n(其中O为坐标原点)，则y＝f(x)的最大值A及最小正周期T分别为( )
A．2，π B．2,4π
C.，4π D.，π
14.若cos ＝，sin ＝－，则角θ的终边所在的直线方程为( )
A．7x＋24y＝0
B．7x－24y＝0
C．24x＋7y＝0
D．24x－7y＝0
15.在△ABC中，若cos Acos B＝－cos2＋1，则△ABC一定是( )
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
填空题（本题共4小题，每题4分，共16分）
16.(2016·东北三省四市教研联合体)已知tan(3π－x)＝2，则
＝________.
17.(2016·保定一中模拟)的值为________．
18.已知sin xcos x＋3cos2x－＝Asin(2x＋φ)，其中A>0，0<φ<2π，则A＝________，φ＝________．21教育网
19.已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________.21·cn·jy·com
三、解答题（本题共3小题，每题8分，共24分，请写出必要的解题步骤）
20.(2016·安徽模拟)已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
21.已知函数f(x)＝2cos 2x＋sin2x－4cos x.
(1)求f()的值；
(2)求f(x)的最大值和最小值．
22.（2016·衡中二调)已知函数f(x)＝2cos xsin x＋2cos2x－.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x的值；
(3)求函数f(x)的单调增区间．
