第二章 平面向量
单元测试题
（考试时间为90分钟，试卷满分100分）
选择题（本题共15小题；每小题4分，共60分）
1.（2016年北京高考）设，是向量，则“”是“”的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】:D
【解析】:由，故是既不充分也不必要条件，故选D.
2.（2016年天津高考）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点分别
是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值
为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】:B
【解析】：设，，∴，，
，故选B.
3.已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则a＋b＋c的模等于 ( )
A．0 B．2＋
C. D．2
【答案】:D
【解析】：|a＋b＋c|＝|＋＋|＝|2|＝2||＝2.
4.下列向量组中能构成基底的是( )
A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)
B．e1＝(-1，2)，e2＝(5，7)
C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D．e1＝(2，-3)，e2＝(，-)
【答案】:B
【解析】:利用e1∥e2x1y2－x2y1＝0，可得只有B中e1，e2不平行，故应选B．
5.平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则·等于( )21世纪教育网版权所有
A．8 B．6
C．－8 D．－6
【答案】:A
【解析】： ∵＝＝－＝(－1，－1)，∴＝－＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)，∴·＝(－1，－1)·(－3，－5)＝8.
6.（2016年全国II高考）已知向量，且，则m =（ ）
－8
－6
6
8
【答案】:D
【解析】：向量，由得，解得，故选D.
7.下列说法正确的是( )
A．两个单位向量的数量积为1
B．若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝c
C.＝－
D．若b⊥c，则(a＋c)·b＝a·b
【答案】:D
【解析】：选D.A中，两向量的夹角不确定，故A错；B中，若a⊥b，a⊥c，b与c反方向，则不成立，故B错；C中，应为＝－，故C错；D中，因为b⊥c，所以b·c＝0，所以(a＋c)·b＝a·b＋c·b＝a·b，故D正确．
8.若M是△ABC的重心，则下列向量中与共线的是( )
A.＋＋
B．＋＋
C．3＋
D．3＋
【答案】:C
【解析】：设D为BC的中点，因为＝，所以3＋＝2＋＝＋＋＝，故本题选C.2·1·c·n·j·y
9.若a＝(λ，2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则λ的取值范围是( )
A．(，＋∞)
B．[，＋∞)
C．(－∞，)
D．(－∞，]
【答案】:A
【解析】:a与b夹角为钝角，∴－3λ＋10<0且5λ＋6≠0，∴λ>.选A.
10.若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于( )
A．－a＋b
B.a－b
C.a－b
D．－a＋b
【答案】:B
【解析】:令c＝λa＋μb，则 ∴∴c＝a－b.
11.向量＝(4，－3)，向量＝(2，－4)，则△ABC的形状为 ( )
A．等腰非直角三角形
B．等边三角形
C．直角非等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】:C
【解析】：∵＝(4，－3)，＝(2，－4)，
∴＝－＝(－2，－1)，
∴·＝(2,1)·(－2,4)＝0，
∴∠C＝90°，且||＝，||＝2，||≠||.
∴△ABC是直角非等腰三角形．
12.设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则
①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；②|a|－|b|＜|a－b|；③(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2中，是真命题的是( )．
A.①②
B．②③
C．③④
D．②④
【答案】:D
【解析】：①平面向量的数量积不满足结合律．故①假；②由向量的减法运算可知|a|，|b|，|a－b|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；③因为［(b·c)·a－(c·a)·b］·c＝(b·c)·a·c－(c·a)·b·c＝0，所以垂直．故③假；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9·a·a－4b·b＝9|a|2－4|b|2成立．故④真．21教育网
13.(2016·衡水模拟)设向量a＝(2，4)与向量b＝(x，6)共线，则实数x＝( )
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】:B
【解析】：a＝(2，4)，b＝(x，6)，∵a∥b，∴4x－2×6＝0，∴x＝3.
14.已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )21cnjy.com
A．1 B．2
C. D．
【答案】:C
【解析】：∵|a|＝|b|＝1，a·b＝0，(a－c)·(b－c)＝0?|c|2＝c·(a＋b)＝|c|·|a＋b|cosθ，∴|c|＝|a＋b|cosθ＝cosθ，则|c|的最大值是.
15.(2015·新课标全国Ⅰ)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．(－7，－4)
B．(7，4)
C．(－1，4)
D．(1，4)
【答案】:A
【解析】：＝(3，1)，＝(－4，－3)，＝－＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．www.21-cn-jy.com
填空题（本题共4小题，每题4分，共16分）
16.(2016·江苏模拟)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．21·世纪*教育网
【答案】：-3
【解析】：∵a＝(2，1)，b＝(1，－2)，∴ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，即解得故m－n＝2－5＝－3.www-2-1-cnjy-com
17.已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向
量b的数量积a·b＝________.
【答案】：3
【解析】:a·b＝|a||b|cos 30°＝2··cos 30°＝3.
18.已知非零向量a，b，若|a|＝|b|＝1，且a⊥b，又知(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则实数k的值为________．2-1-c-n-j-y
【答案】：6
【解析】：由(2a＋3b)·(ka－4b)＝2ka2－12b2＝2k－12＝0，∴k＝6.
19.（2016·唐山一中模拟）如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任 21*cnjy*com
意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是________．
【答案】:－
【解析】：因为点O是A，B的中点，所以＋＝2，
设||＝x，则||＝1－x(0≤x≤1)．
所以(＋)·＝2·＝－2x(1－x)
＝2(x－)2－.
∴当x＝时，(＋)·取到最小值－.
三、解答题（本题共3小题，每题8分，共24分，请写出必要的解题步骤）
20.(2016·陕西西安模拟)在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．
(1)若＋＋＝0，求||；
(2)设＝m＋n(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．
【答案】：(1)2 (2)m－n＝y－x.令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为121·cn·jy·com
【解析】：(1) ∵＋＋＝0，又＋＋＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，【来源：21cnj*y.co*m】
∴解得即＝(2，2)，故||＝2.
(2)∵＝m＋n，
∴(x，y)＝(m＋2n，2m＋n)，
∴两式相减得，m－n＝y－x.
令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.
21.已知a，b，c在同一平面内，且a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2，且c∥a，求c；
(2)若|b|＝，且(a＋2b)⊥(2a－b)，求a与b的夹角．
【答案】:(1)c＝(2,4)或(－2，－4)(2)θ＝180°
【解析】：(1)∵c∥a，∴设c＝λa，则c＝(λ，2λ)．又|c|＝2，∴λ＝±2，∴c＝(2,4)或(－2，－4)．【出处：21教育名师】
(2)∵⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0.∵|a|＝，|b|＝，∴a·b＝－.∴cos θ＝＝－1，∴θ＝180°.【版权所有：21教育】
22.(2016·辽宁模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知·＝2，cos B＝，b＝3.求：21教育名师原创作品
(1)a和c的值；
(2)cos(B－C)的值．
【答案】:(1)a＝3，c＝2 (2)
【解析】：(1)由·＝2得c·acos B＝2，
又cos B＝，所以ac＝6.
由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B.
又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.
解得或
因a>c，所以a＝3，c＝2.
(2)在△ABC中，sin B＝＝＝，
由正弦定理，得sin C＝sin B＝×＝.
因a＝b>c，所以C为锐角，
因此cos C＝＝＝.
于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C
＝×＋×＝.
第二章 平面向量
单元测试题
（考试时间为90分钟，试卷满分100分）
选择题（本题共15小题；每小题4分，共60分）
1.（2016年北京高考）设，是向量，则“”是“”的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2.（2016年天津高考）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点分别
是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值
为（ ）
A.
B.
C.
D.
3.已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则a＋b＋c的模等于 ( )
A．0 B．2＋
C. D．2
4.下列向量组中能构成基底的是( )
A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)
B．e1＝(-1，2)，e2＝(5，7)
C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D．e1＝(2，-3)，e2＝(，-)
5.平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则·等于( )21世纪教育网版权所有
A．8 B．6
C．－8 D．－6
6.（2016年全国II高考）已知向量，且，则m =（ ）
－8
－6
6
D.8
7.下列说法正确的是( )
A．两个单位向量的数量积为1
B．若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝c
C.＝－
D．若b⊥c，则(a＋c)·b＝a·b
8.若M是△ABC的重心，则下列向量中与共线的是( )
A.＋＋
B．＋＋
C．3＋
D．3＋
9.若a＝(λ，2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则λ的取值范围是( )
A．(，＋∞)
B．[，＋∞)
C．(－∞，)
D．(－∞，]
10.若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于( )
A．－a＋b
B.a－b
C.a－b
D．－a＋b
11.向量＝(4，－3)，向量＝(2，－4)，则△ABC的形状为 ( )
A．等腰非直角三角形
B．等边三角形
C．直角非等腰三角形 D．等腰直角三角形
12.设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则
①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；②|a|－|b|＜|a－b|；③(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2中，是真命题的是( )．
A.①②
B．②③
C．③④
D．②④
13.(2016·衡水模拟)设向量a＝(2，4)与向量b＝(x，6)共线，则实数x＝( )
A．2
B．3
C．4
D．6
14.已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )21cnjy.com
A．1 B．2
C. D．
15.(2015·新课标全国Ⅰ)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( )21·cn·jy·com
A．(－7，－4)
B．(7，4)
C．(－1，4)
D．(1，4)
填空题（本题共4小题，每题4分，共16分）
16.(2016·江苏模拟)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．21教育网
17.已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向
量b的数量积a·b＝________.
18.已知非零向量a，b，若|a|＝|b|＝1，且a⊥b，又知(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则实数k的值为________．www.21-cn-jy.com
19.（2016·唐山一中模拟）如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任【来源：21·世纪·教育·网】
意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是________．
三、解答题（本题共3小题，每题8分，共24分，请写出必要的解题步骤）
20.(2016·陕西西安模拟)在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．
(1)若＋＋＝0，求||；
(2)设＝m＋n(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．
21.已知a，b，c在同一平面内，且a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2，且c∥a，求c；
(2)若|b|＝，且(a＋2b)⊥(2a－b)，求a与b的夹角．
22.(2016·辽宁模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知·＝2，cos B＝，b＝3.求：2·1·c·n·j·y
(1)a和c的值；
(2)cos(B－C)的值．
