1.1.1 正切-课件(共31张PPT)-数学北师大版（2024）九年级下册

(共31张PPT)
2025-2026学年北师大版数学九年级下册
第一章 直角三角形的边角关系
1.1.1 正切
新课导入
A
1
小明在A处仰望塔顶，测得∠1的大小，
再往塔的方向前进50m到B处，又测得∠2的大小，
B
2
根据这些他就求出了塔的高度.你知道他是怎么做的吗？
1.1.1 正切 教学过程
一、教学基本信息
- 课题：1.1.1 正切（人教版初中数学九年级下册或北师大版初中数学九年级上册）
- 课时：1课时（45分钟）
- 授课对象：初中九年级学生
- 学情分析：学生已掌握直角三角形的性质、勾股定理，以及“比值与图形形状的关系”等基础认知，具备一定的观察、猜想、验证能力，但对“用比值刻画角的大小”这一抽象概念需要具象引导。
二、教学目标
1. 知识与技能：理解正切的定义，掌握直角三角形中锐角正切的表示方法；能根据直角三角形的边长求锐角的正切值，或根据锐角的正切值与一边长求另一边长；了解正切值随锐角增大而增大的变化规律。
2. 过程与方法：通过“情境探究—猜想验证—定义抽象—应用巩固”的过程，培养学生的几何直观和逻辑推理能力，体会“从特殊到一般”“数形结合”的数学思想。
3. 情感态度与价值观：感受正切在实际生活中的应用价值，激发学生对数学的探究兴趣；通过小组合作，培养学生的合作意识与表达能力。
三、教学重难点
- 重点：正切的定义及直角三角形中锐角正切值的计算。
- 难点：理解正切的本质是“锐角的函数”，即正切值与锐角的对应关系（与边长无关）；运用正切解决实际问题。
四、教学准备
- 多媒体课件（包含情境图片、几何图形、练习题）
- 学生分组学具：含30°、45°、60°的直角三角形模型（每组各2个，边长不同但锐角对应相等）、刻度尺、计算器
五、教学过程
（一）情境导入，激发疑问（5分钟）
- 问题1：学校旗杆高15米，从旗杆底部到某观测点的水平距离为20米，观测点看旗杆顶端的“倾斜程度”如何？
- 问题2：某山坡，上坡走10米可升高3米；另一山坡，上坡走20米可升高6米，哪个山坡更陡？
- 师：“倾斜程度”“陡峭程度”是生活中常见的描述，如何用数学方法精确刻画呢？仅用“高”或“水平距离”单一量够吗？（引导学生发现“单一量无法比较”）
- 生：讨论后回答——需要结合“垂直高度”和“水平距离”来判断。
（二）探究新知，抽象定义（15分钟）
1. 从特殊直角三角形入手，探究比值规律
- 任务：每组拿出含30°的两个直角三角形（△ABC和△A'B'C'，∠C=∠C'=90°，∠A=∠A'=30°，边长不同），测量每个三角形中“∠A的对边”和“∠A的邻边”的长度，计算“对边长度/邻边长度”的比值，记录结果。
- 学生操作：分组测量、计算，教师巡视指导，提醒测量时保留一位小数。
- 成果展示：各小组汇报数据，教师板书。引导学生发现：虽然两个三角形边长不同，但“∠A的对边/∠A的邻边”的比值相等（约为0.58）。
- 师：换用含45°、60°的直角三角形，重复上述操作，会有类似规律吗？
- 学生活动：快速测量计算，汇报结果。发现：含45°的直角三角形中，对应比值均为1；含60°的直角三角形中，对应比值均约为1.73。
- 生：在直角三角形中，只要锐角的度数固定，它的“对边与邻边的比值”就固定不变，与三角形的大小无关。
2. 抽象正切定义，明确表示方法
- 板书：tanA = ∠A的对边 / ∠A的邻边 = BC / AC
- 强调：① tanA是一个比值，没有单位；② 下标“A”表示对应的锐角，不可省略；③ 定义的前提是“直角三角形”，且是“锐角的对边与邻边”（区分“对边”“邻边”：与锐角相邻的直角边是邻边，相对的直角边是对边，斜边既不是对边也不是邻边）。
3. 探究正切值与锐角的关系
（三）例题讲解，巩固应用（12分钟）
1. 基础题型：已知边长求正切值
- 第一步：明确∠A和∠B的对边、邻边（结合图形标注）；
- 第二步：根据正切定义列式计算——tanA = BC/AC = 4/3，tanB = AC/BC = 3/4；
- 第三步：强调“对边邻边的对应性”，避免混淆。
2. 提升题型：已知正切值与边长求另一边长
- 师：由正切定义可知tanA = BC/AC，已知tanA和AC，如何求BC？（引导学生变形公式：BC = AC × tanA）
- 学生计算：BC = 6 × (2/3) = 4，教师板书过程。
3. 实际应用：解决导入情境问题
（四）巩固练习，反馈提升（7分钟）
（五）课堂小结，梳理知识（3分钟）
- 正切的定义：Rt△中，锐角的对边与邻边的比，记作tanA = 对边/邻边；
- 正切的性质：锐角越大，正切值越大；
- 正切的应用：求边长、比较倾斜程度。
（六）布置作业，分层落实（2分钟）
六、板书设计
1.1.1 正切
一、定义：
Rt△ABC中，∠C=90°
tanA = ∠A的对边 / ∠A的邻边 = BC/AC
（无单位，与边长无关，与锐角有关）
二、性质：
锐角越大，tan值越大
三、例题：
例1：Rt△ABC，∠C=90°，AC=3，BC=4
tanA=4/3，tanB=3/4
例2：Rt△ABC，∠C=90°，tanA=2/3，AC=6
BC=6×(2/3)=4
四、应用：刻画倾斜程度
七、教学反思（课后填写）
1
本章我们将借助生活中的实例，探索直角三角形边角之间的关系，并利用三角函数解决生活中一些简单的实际问题.
A
B
2
探究新知
梯子是我们日常生活中常见的物体.
你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些方法？
A
B
C
梯子与地面的夹角∠ABC称为倾斜角.
从梯子的顶端A到墙角C的距离，称为梯子的铅直高度.
从梯子的底端B到墙角C的距离，称为梯子的水平宽度.
斜边
梯子在上升变陡过程中，倾斜角的大小有无变化？如何变化？
1
2
倾斜角越大——梯子越陡
梯子AB和EF哪个更陡？你是如何判断的？
当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡.
当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡.
梯子AB和EF哪个更陡？你是如何判断的？
A
C2
C1
B1
B2
如图，小明想通过测量B1C1及AC1 ，算出它们的比，来说明梯子AB1的倾斜程度；
小亮认为，通过测量B2C2及AC2 ，算出它们的比，也能说明梯子AB1的倾斜程度.
你同意小亮的看法吗？
A
C2
C1
B1
B2
（1）Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系
Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2
（2）
A
C2
C1
B1
B2
B3
C3
（3）如果改变B2在梯子上的位置（如B3C3 ）呢？由此你能得出什么结论？
Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽ Rt△AB3C3
结论
A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切，记作tanA ，即
当锐角A变化时，tanA的值也随之变化.
┌
A
C2
C1
B1
B2
梯子的倾斜程度与tanA有关系吗？
tanA的值越大，梯子越陡.
注意
tanA是在直角三角形中定义的，∠A是一个锐
角（注意数形结合，构造直角三角形）.
tanA是一个完整的符号，表示∠A的正切，习惯省去“∠”号（注意tanA不表示tan乘以A）.
tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比.
注意
tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.
角相等，则正切值相等；两锐角的正切值相等，则这两个锐角相等.
例1 下图表示两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡
例题详解
5m
┌
13m
β
（乙）
（甲）
α
4m
┐
8m
解:甲梯中,
乙梯中,
∵tan α＞tan β, ∴甲梯更陡.
正切也经常用来描述山坡的坡度.
如图，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m，那么山坡的坡度就是
随堂练习
1. 如图，△ABC是等腰三角形，你能根据图中所给数据求出tanC 吗？
A
B
C
1.5
4
D
解：由图可知，D为AC的中点，则DC=2.
2. 如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B.
已知点B到山脚的垂直距离为55m，求山坡的坡度.
(结果精确到0.001m)
A
B
C
返回
B
返回
2. [2024常州新北区月考]如果某人沿坡度为3∶4的斜坡前进10 m，那么他所在的位置比原来的位置升高了(　　)
A．6 m　 B．8 m
C．10 m　 D．12 m
A
返回
A
返回
C
返回
75 m
6. [教材P3例1]如图①②表示两个自动扶梯，则自动扶梯________比较陡(填“①”或“②”).
①
返回
返回
返回
D
返回
9. 如图，网格中的四个格点组成菱形ABCD，则tan∠DBC的值为________.
3
在Rt△ABC中，
如果锐角A确定，
那么∠A的对边与邻边的比随之确定，
这个比叫做∠A的正切.
记作：tanA
tanA越大，梯子越陡， ∠A越大.
A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
┌
谢谢观看！