1.1.2 正弦与余弦-课件(共27张PPT)-数学北师大版（2024）九年级下册

(共27张PPT)
2025-2026学年北师大版数学九年级下册
第一章 直角三角形的边角关系
1.1.2 正弦与余弦
复习导入
1. 如图，Rt△ABC中，tanA = ，tanB= .
A
B
C
1.1.2 正弦与余弦 教学过程
一、教学基本信息
- 课题：1.1.2 正弦与余弦（人教版初中数学九年级下册或北师大版初中数学九年级上册）
- 课时：1课时（45分钟）
- 授课对象：初中九年级学生
- 学情分析：学生已掌握直角三角形性质、勾股定理及正切的定义与应用，明确“用比值刻画锐角大小”的思想，具备一定观察推理能力，但对正弦、余弦与正切的区别联系及综合应用需重点引导。
二、教学目标
1. 知识与技能：理解正弦、余弦的定义，掌握直角三角形中锐角正弦、余弦的表示方法；能根据边长求锐角的正弦、余弦值，或根据值与边长求另一边长；明确正弦、余弦与正切的区别与联系，了解其随锐角变化的基本规律。
2. 过程与方法：通过“复习迁移—探究验证—定义抽象—对比应用”的过程，深化“从特殊到一般”“数形结合”思想，提升几何直观与逻辑推理能力。
3. 情感态度与价值观：感受锐角三角函数在生活中的广泛应用，增强数学应用意识；通过合作探究，培养团队协作与语言表达能力。
三、教学重难点
- 重点：正弦、余弦的定义及直角三角形中锐角正弦、余弦值的计算；正弦、余弦与正切的区别联系。
- 难点：理解正弦、余弦的本质是“锐角的函数”（值与锐角唯一对应，与边长无关）；灵活运用正弦、余弦解决实际问题及综合计算。
四、教学准备
- 多媒体课件（包含情境图片、几何图形、练习题）
- 学生分组学具：含30°、45°、60°的直角三角形模型（每组各2个，边长不同但锐角对应相等）、刻度尺、计算器
五、教学过程
（一）复习迁移，导入新课（5分钟）
- 复习回顾：师：上节课我们学习了正切，谁能说说在Rt△ABC中，∠C=90°时，tanA的定义是什么？它刻画了角的什么特征？（生回答：tanA=∠A的对边/∠A的邻边，刻画倾斜程度）
- 情境延伸：课件展示屋顶斜面图，提问：除了倾斜程度，我们还可能关注屋顶斜面与水平面夹角的其他数量特征吗？比如用“对边与斜边的比”“邻边与斜边的比”能否刻画这个角的大小？
- 引出课题：师：今天我们就来学习直角三角形中另外两个重要的锐角三角函数——正弦与余弦。（板书课题）
（二）探究新知，抽象定义（15分钟）
1. 类比正切，探究正弦比值规律
- 任务：每组拿出含30°的两个直角三角形（△ABC和△A'B'C'，∠C=∠C'=90°，∠A=∠A'=30°，边长不同），测量“∠A的对边”和“斜边”的长度，计算“对边长度/斜边长度”的比值，记录结果。
- 学生操作：分组测量、计算，教师巡视指导，提醒测量时保留一位小数。
- 成果展示：各小组汇报数据，教师板书。引导发现：虽边长不同，但“∠A的对边/斜边”的比值均为0.5，是固定值。
- 师：换用含45°、60°的直角三角形，测量“锐角对边与斜边的比”，会有类似规律吗？
- 学生活动：测量计算后汇报，发现：45°角的对边/斜边≈0.71，60°角的对边/斜边≈0.87，均为固定值。
- 师：类比正切，若将“锐角邻边与斜边的比”作为研究对象，是否也有固定规律？请用同样的三角形测量计算，验证猜想。（生操作后确认：锐角固定，邻边与斜边的比也固定）
2. 抽象定义，明确正弦、余弦表示
- 定义与板书：在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA；把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA。板书：sinA=∠A的对边/斜边=BC/AB，cosA=∠A的邻边/斜边=AC/AB
- 重点强调：① sinA、cosA均为比值，无单位；② 下标“A”对应锐角，不可省略；③ 明确“对边、邻边、斜边”的对应关系，结合图形标注；④ 对比正切：tanA是“对边/邻边”，sinA是“对边/斜边”，cosA是“邻边/斜边”，三者均与锐角有关，与边长无关。
3. 探究性质，对比三者变化规律
- 师生互动：结合30°、45°、60°的sin、cos、tan值（课件展示），引导学生总结：在锐角范围内，sinA、tanA随锐角增大而增大，cosA随锐角增大而减小；且sinA、cosA的值始终在0到1之间（因为对边、邻边均小于斜边）。
- 即时小练：在Rt△DEF中，∠F=90°，∠D=50°，DE=10，DF=6，求sinD、cosD、tanD的值（生口答，师纠正）。
1. 基础题型：已知边长求sin、cos值
- 例1：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求AB、sinA、cosA、sinB、cosB的值。
- 解题步骤：① 用勾股定理求斜边AB=√(3 +4 )=5；② 确定对应边：∠A的对边BC=4，邻边AC=3，sinA=BC/AB=4/5，cosA=AC/AB=3/5；③ ∠B的对边AC=3，邻边BC=4，sinB=AC/AB=3/5，cosB=BC/AB=4/5；④ 引导发现：sinA=cosB，cosA=sinB（互余角的三角函数关系）。
2. 提升题型：已知sin/cos值与边长求边长
- 例2：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=3/5，AB=10，求AC和BC的长度。
- 解题思路：① 由sinA=BC/AB=3/5，AB=10，得BC=10×3/5=6；② 用勾股定理求AC=√(AB -BC )=√(10 -6 )=8；③ 拓展：求cosA和tanA的值（cosA=AC/AB=4/5，tanA=BC/AC=3/4）。
3. 实际应用：解决屋顶坡度问题
（四）巩固练习，反馈提升（7分钟）
- 基础题：Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13，求sinA、cosA、sinB、cosB。（生独立完成，同桌互查）
（五）课堂小结，梳理知识（3分钟）
- 正切的定义：Rt△中，锐角的对边与邻边的比，记作tanA = 对边/邻边；
- 正切的性质：锐角越大，正切值越大；
- 正切的应用：求边长、比较倾斜程度。
（六）布置作业，分层落实（2分钟）
六、板书设计
七、教学反思（课后填写）
- 变式题：Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=4/5，AC=6，求AB和BC的长。（引导用互余关系：cosB=sinA=AC/AB）
- 综合题：比较sin30°、cos45°、tan60°的大小（结合特殊角值计算，强化规律记忆）。
- 核心定义：Rt△中，∠C=90°，sinA=对边/斜边，cosA=邻边/斜边，tanA=对边/邻边；
- 关键性质：互余角（∠A+∠B=90°）：sinA=cosB，cosA=sinB；锐角增大时，sinA、tanA增大，cosA减小；
- 应用要点：先确定直角三角形及对应边，再选择合适的三角函数计算。
- 必做题：教材习题1.2第1、3、5题（巩固定义与基础计算）；
- 选做题：测量家中楼梯的倾斜角，计算该角的sin、cos、tan值，说明其实际意义。
1.1.2 正弦与余弦
一、定义（Rt△ABC，∠C=90°）：
sinA = ∠A的对边 / 斜边 = BC/AB
cosA = ∠A的邻边 / 斜边 = AC/AB
tanA = ∠A的对边 / ∠A的邻边 = BC/AC
（无单位，与锐角有关，与边长无关）
二、性质：
1. 互余角：sinA=cosB，cosA=sinB
2. 变化：锐角增大，sinA、tanA增大，cosA减小
3. 范围：0三、例题：
例1：Rt△ABC，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5
sinA=4/5，cosA=3/5，sinB=3/5，cosB=4/5
例2：Rt△ABC，∠C=90°，sinA=3/5，AB=10
BC=6，AC=8，cosA=4/5
四、应用：解决实际测量与计算问题
- 学生对正弦、余弦与正切的区别是否清晰？哪些地方易混淆？
- 互余角的三角函数关系学生是否能灵活运用？
- 实际应用问题的引导是否充分？是否需要增加生活化案例？
10
┐
A
B
C
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°， ，AC＝10，求BC的长.
解：
A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
斜边
┌
如图，当Rt△ABC中的一个锐角A确定时，它的对边与邻边的比便随之确定.此时，其它边之间的比值也确定吗？
探究新知
（1）Rt△AB1C1和Rt△AB2C2的关系是_________________.
（2） ________.
（3）如果改变B2在斜边上的位置，
则 __________.
B1
B2
A
C1
C2
探究活动1
如图：
Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2
B1
B2
A
C1
C2
探究活动1
思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值________，根据是___________________.
随之确定
三角形相似的性质
它的邻边与斜边的比值呢？
A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
斜边
┌
在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.
A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
斜边
┌
概念归纳
∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即
∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即
A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
斜边
┌
概念归纳
A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
斜边
┌
概念归纳
锐角A的正弦、余弦、正切，都是∠A的三角函数.
A
C2
C1
B1
探究活动2
我们知道，梯子的倾斜程度与tanA有关系，tanA越大，梯子越陡，那么梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关系吗？是怎样的关系？
sinA的值越大，梯子越陡；
cosA的值越小，梯子越陡.
例2 如图，在Rt△ABC中，∠B=90 °，AC=200，sinA=0.6，
求BC的长.
A
B
C
解: 在Rt △ABC中,
∴BC=AC·sinA=200×0.6=120.
例题详解
你还能求出cosC吗？
对比sinA和cosC，你发现了什么？
在其他直角三角形中是不是也一样呢？
sinC与cosA呢？
在直角三角形中，一个锐角的正弦等于另一个锐角的余弦.
A
B
C
规律小结
在此图中，即：sinA=cosC
sinC=cosA
随堂练习
1. 如图，Rt△ABC中，∠C=90 °， ， AC=10，
AB等于多少？sinB呢？
A
B
C
解:在Rt △ABC中，
2. 在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，求： sinB，cosB，tanB.
A
B
C
解：过A点作AD⊥BC，则BD=DC=3， AD=4.
D
3.在△ABC中，∠C=90 °， ，BC=20，
求△ABC的周长和面积.
A
B
C
解:在Rt △ABC中,
由勾股定理可得:AC=15，
∴S△ABC =15×20÷2=150，
C△ABC =20+25+15=60.
返回
A
返回
C
A
返回
返回
C
返回
5. △ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形的边长为1)，AD⊥BC于D，下列四个选项中，错误的是(　　)
A. sin α＝cos α
B. tan C＝2
C. sin β＝cos β
D. tan α＝1
C
返回
6. 如图，学过三角函数之后，小明同学明白了梯子的倾斜程度和∠BAC的三角函数值有关. 请你用∠BAC的余弦(或正弦)的大小来描述梯子的倾斜程度：_________________________________________.
∠BAC的余弦值越小，梯子越陡(答案不唯一)
(1)BC的长；
返回
(2)∠ADC的正弦值和余弦值.
A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
斜边
┌
∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即
∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即
在直角三角形中，一个锐角的正弦等于另一个锐角的余弦.
谢谢观看！