1.4 解直角三角形-课件(共29张PPT)-数学北师大版（2024）九年级下册

(共29张PPT)
2025-2026学年北师大版数学九年级下册
第一章 直角三角形的边角关系
1.4 解直角三角形
新课导入
A
B
C
a
b
c
三个角
三条边
直角三角形中的6个元素
至少知道几个元素，就可以求出其他的元素呢？
1.4 解直角三角形 教学过程
一、教学基本信息
课题：1.4 解直角三角形；课时：1课时；对象：九年级学生；学情：已掌握三角函数定义、特殊角值及计算器使用，具备直角三角形性质基础，需强化“已知元素推未知元素”的逻辑思维。
二、教学过程（45分钟）
1. 复习导入（5分钟）
2. 核心概念与依据（10分钟）
5. 小结与作业（5分钟）
小结：解直角三角形的依据、两种基本类型及解题思路（“知角用三角，知边用勾股”）。作业：必做题（教材习题1.4第2、4题）；选做题（测量家中倾斜物体的相关数据，用解直角三角形计算高度）。
1. 复习导入（5分钟）
回顾：直角三角形有哪些元素？（三边、两锐角），提问：“已知直角三角形的几个元素，能求出其余元素？”展示情境：某铁塔高AB，在地面C点测得塔顶A的仰角为30°，BC=20米，如何求AB？引出课题：解直角三角形。明确目标：掌握解直角三角形的依据、类型及解法。
① 定义讲解：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫解直角三角形。强调“直角是已知隐含元素”，需已知除直角外的2个元素（至少1个是边）。
② 解题依据：梳理3点核心——勾股定理（a +b =c ）；两锐角互余（∠A+∠B=90°）；三角函数定义（sinA=a/c等）。结合图形标注Rt△ABC（∠C=90°），对应边a、b、c，强化元素对应关系。
3. 类型讲解与例题示范（15分钟）
① 类型1：已知一边一角（如已知c=10，∠A=30°）。解法：先求∠B=90°-30°=60°；再用sinA=a/c得a=10×sin30°=5；最后用勾股定理或cosA求b=10×cos30°≈8.66。
② 类型2：已知两边（如已知a=3，b=4）。解法：先勾股定理求c=5；再用tanA=a/b=0.75，计算器求∠A≈36.87°；最后∠B=90°-36.87°≈53.13°。强调：选三角函数时优先选“已知数据全的”，减少误差。
4. 巩固练习与实际应用（15分钟）
① 基础题：Rt△ABC中，∠C=90°，b=2√3，∠B=60°，求a、c、∠A（学生板演，纠正易错点）。② 应用题：回归导入情境，铁塔BC=20米，∠C=30°，求AB（AB=20×tan30°≈11.55米），讲解“仰角”概念及图形构建方法。
探索新知
在Rt△ABC中，如果已知其中两边的长，你能求出这个三角形的其他元素吗？
例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c，且 ，求这个直角三角形的其他元素.
解：在 Rt△ABC 中，a2 + b2 = c2， ， .
A
B
C
在 Rt△ABC 中，
典例精析
则∠B = 30°，∠A=60°.
1.在如图的 Rt△ABC 中，根据 AC ＝ 2.4，斜边 AB＝ 6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
A
B
C
6
2.4
解：
练一练
由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．
归纳总结
探究2 如果已知 Rt△ABC 中一边和一锐角，你能求出这个三角形其他的元素吗？
已知一边及一锐角解直角三角形
2
A
C
B
c
b
a
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c，且 b = 30，∠B＝ 25°，求这个直角三角形的其他元素(边长精确到1).
A
B
C
b
30
c
a
25°
解：
在Rt △ABC 中，∠C = 90°，∠B = 25°，
∴∠A = 65°.
2. 在图中的 Rt△ABC 中，根据 ∠A＝75°，斜边 AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
A
B
C
6
75°
）
解：
练一练
在Rt△ABC中，如果已知∠A = 60°，∠B = 30°，你能求出这个三角形的其他元素吗？
两角
不能
两边
一角一边
合作探究
事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素．
A
B
a
b
c
C
归纳总结
构造直角三角形解决问题
3
解：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D.
例3 如图，在△ABC 中，∠B = 30°，∠C = 45°，
AC = 2，求 BC 的长.
D
A
B
C
在△ACD 中，∠C = 45°，AC = 2，
∴ CD = AD = sinC · AC = 2sin45° = .
∴ BC = CD + BD =
∴ BD =
在△ABD 中，∠B = 30°，
3. 如图，某人想沿着梯子爬上高 4 米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于 60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为多少米
解：如图所示，依题意可知，当 ∠B = 60° 时，
答：梯子的长至少 4.62 米.
C
A
B
练一练
1. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 30°，
AB = 8，则 BC 的长是（　　）
D
2. 在 △ABC 中，AB = AC = 3，BC = 4，则 cosB 的值是_________.
A
C
B

3. 如图，已知 Rt△ABC 中，斜边 BC 上的高AD = 3，cosB = ，则 AC 的长为（　　）
A．3 B．3.75
C．4.8 D．5
B
4. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，AC = 6， ∠BAC 的平分线 ，解这个直角三角形.
D
A
B
C
6
解：
∵AD 平分 ∠BAC，
∴∠CAB = 60°，∠B = 30°.
返回
C
1.
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝4，欲求∠A的度数，最适宜的做法是(　　)
A．根据tan A的值求出∠A
B．根据sin A的值求出∠A
C．根据cos A的值求出∠A
D．根据sin B的值求出∠B，再利用90°－∠B求出∠A
返回
2.
C
返回
3.
30°
10
返回
4.
返回
5.
A
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，BC＝2，那么AB的长等于(　　)
返回
6.
A
返回
7.
A
返回
8.
D
[2024自贡中考] 如图，等边三角形ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12 m．现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°，则新钢架减少用钢(含立柱)(　　)
9.
(8分)(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC ＝3，∠B＝45°，求AB和AC的长；
返回
返回
10.
B
解直角三角形
依据
解法：只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素.
勾股定理
两锐角互余
锐角的三角函数
谢谢观看！